课题名称11.2 实数
三维目标 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。
2.知道实数在数轴上的点一一对应.
3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。
重点目标无理数及实数的概念, 实
数与数轴上的点一一对应难点目标有理数与无理数的区别, 学会两个实数
的大小比较。
导入示标1、填空：（有理数的两种分类）
有理数有理数
2、有理数中的分数能化为小数吗？化为什么样的小数？举例加以说明
目标三导学做思一：做一做：参照课本，或者自己用计算器求2
的值。
请同学们动脑筋想一想，这样的数，你还能找出来吗？请相互之间举个例子，比一
比！
概括:无理数：无限不循环的小数叫做无理数；
实数：有理数与无理数统称为实数。
所以实数也可以这样分类：
注意：无理数常见的三种形式
（1）根号型，如；
（2）无限不循环型，如0.301 300 130 001…等
（3）圆周率等。
探究：请同学们自己讨论，下列说法对吗？
1. 无限小数是无理数；( )
2. 带根号的数是无理数；( )
3. 无理数就是开方开不尽而产生的数；( )
4. 无理数包括正无理数、0、负无理数三类；( )
5．两个无理数的和、差、积、商仍为无理数；( )
6．一个无理数和一个人有理数的和、差、积、商仍为无理数；( )
7．无理数的个数少于有理数。
例1、把下列各数分别填入相应的集合里：
332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π----- 正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
学做思二：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
概括 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
学做思三：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗
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学生活动：2的相反数是 -π的相反数是 0的相反数是 总结 数a 的相反数是______，这里a 表示任意__________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
达标检测 1、下列命题中，正确的是（ ）。
A 、无理数包括正无理数、0和负无理数
B 、无理数不是实数
C 、无理数是带根号的数
D 、无理数是无限不循环小数
2、12-的相反数是_________。
3、绝对值小于π的整数有__________________________。
反思总结 1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
1.已知04)3(2=-+-b a ，则b
a 3的值是_________。 2、计算
33841627-+-+
1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题 一、选择题 1.在实数?1.414，√2，π， 3.1.4. ，2+√3，3.212212221…，3.14中，无理数的个数是( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数； ②无理数是无限小数； ③无理数的平方一定是无理数； 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4，b 2=9，且ab >0，则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数：?3，?√3，?π，?1，其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键，得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( )
八年级数学实数教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
课题：2.6实数(二) 时间： 教学目标：1.了解有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用. 2.正确运用公式 );0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a 3.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，能用类比 的方法发现规律，用旧知识去探索新知识. 教学重点：1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数 范围内正确进行运算. 2.发现规律： );0,0(≥≥?=?b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a .并能用规律进行计算. 教学难点：类比的学习方法发现规律的过程。 学法指导：学生通过动手、动口、动脑等活动，类比的学习方法主动探 索、发现规律；经历探求实数性质及其运算规律的过程，发 展了学生独立思考，合作交流的意识，同时提高学生的应用 意识和解决问题能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生 进行探究，突出学生教学主体的地位。 教学准备：投影，小黑板，计算器 教学程序：一、 问题导入： 上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数 范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数 范围内的求法相同.这节课让我们来一起探究实数的乘除法运 算。 请同学回忆算术平方根有什么性质？ 从而引出新课 出示题目：让学生验证 二、新课讲解：
1、做一做：投影：填空： （1）94?= ， 94?= （2）916?= ， 916?= （3）94 = ， 9 4 = ____ （4）2516 = ， 2516=________ 以下用计算器计算： （5）76?= ， 76?= 76 = ____ ， 7 6= 通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？ 议一议： 由此归纳出规律： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a = （a ≥0，b ＞0）. （投影巩固练习：） （1）判断下面的计算是否正确。 32 --=32--； （ ） 1233=2 3；（ ） 7434322=+=+；（ ） ()()842)16)(4(164=-?-=--=-?-。（ ） （2）化简：
平方根检测题 ◆随堂检测 1、25 9的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ） A 、-4是16的平方根 B 、17是2(17)-的算术平方根 C 、164的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 ◆典例分析 例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围 |4|0b -=0 |4|b -≥0|4|b -=0 所以a=3 b=4 又因为b-a A ．1a + B ．21a + C ．21a + D ．1a + 2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57 最新八年级上册数学第二章实数测试题 一、选择题 1．下列各数：2π ， 0 0.23·， 227 ，27， 1010010001.6，1理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2 -，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－错误! B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A B C D 4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C 是有理数 D 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2 (π是无理数 B ．3 3是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ．错误! 是有理数 C ．2，2是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计，20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±，6 D ． ，6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2= 13．下列运算正确的是（ ） A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24·错误!=6 14．下列计算正确的是（ ） A ．= B ．错误!＝错误!－错误!＝1 C ．(21-= D =15．如图：在数轴上表示实数，15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 A ．2.5 B ．2，2 C ．，3 D ．，5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ． 32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =9，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－，6的绝对值是___________． 4．估计，7的整数部分是 5．比较下列实数的大小（在 填上>、<或＝） 八年级数学单元测试试卷---第二单元《实数》大全 第二章 实数 2.1认识无理数 一、问题引入： 1、 和 统称有理数，它们都是有限小数和无限 （填循环或不 循环）小数。 2、(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？ 3、请你举出一个无限不循环小数的例子___________，并说出它的整数部分是 ，小数部分是 ，请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。 4、 称为无理数，请举两个例子 。 二、基础训练： 1、2 8x =,则x _____分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351，－ 3 2 ，4.969696…，0，－5.2333,5.411010010001…，6.751755175551…中，不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？ _______ 个． 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 四、课堂检测： 1、在下列实数-12，π，4，13，5中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、下列说法正确的是（ ） A ．有理数只是有限小数 B ．无理数是无限不循环小数 C ．无限小数都是无理数 D ．3 π 是分数 3、实数：3.14，π，0.315315315…， 7 22 ，0.3030030003…中，无理数有 _________ 个． 4、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ π 、0.351，－? ?69.4,3 2，3.14159，－5.2323332…，0、0.1234567891011112131…（小数部分由相继 的正整数组成）在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数 . 5、（1）设面积为10的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由。 （2）估计x 的值（结果精确到十分位），用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢？ 6、如图，是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是无理数的正方形有________个 7、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 数的开方单元测试题 班级_______姓名________ 一、选择题：(每题4分,共28分) 1、10的平方根为………………………………………………….（ ） A 、210 B 、10± C 、10 D 、10- 2、下列各式计算正确的是……………………………………….（ ） A 、525±= B 、416±=± C 、 5)5(2-=- D 、10100=- 3、下列说法正确的是……………………………………………..（ ） A 、两个无理数的和一定是无理数 B 、23 是分数； C 、1和2之间的无理数只有2 D 、2是4的平方根 4、若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是….（ ） A 、0 B 、±1 C 、-1或0 D 、0或1 5、4-的平方根是…………………………………………………( ) A 、2 B 、-2 C 、2± D 、4± 6、在数轴上N 点表示的数可能是…….（ ） A 、10 B 、5 C 、3 D 、2 7、下列各式中正确的是…………………………………………（ ） A 、64=±8 B 、 6)6(2-=- C 、525-=- D 、283-=- 8、若x -有意义，则x x -一定是……………………………..（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 二、填空题：(每空3分，共27分) 1、当x 时，x 23－有意义 2、写出一个无理数a ，使3 八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是 （2）若 9.28,89.233==ab a ，则b 等 于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小： 方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小 （1） 2 123-10与 （2）5325与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。 （2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=? ??<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大 于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 （1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。 第二章实数 §2.1 认识无理数(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 ［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下： 实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4 八年级上册第一单元：数的开方 一、知识点总结 知识点一：平方根 （1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。 （2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算 （5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。 （6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。 （7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。 注： ①算术平方根是非负数，具有非负数的性质；a (a≥0)是一个非负数, 即a ≥0; ②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； ③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; ④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a )2=a(a≥0)； ⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 2 a =|a|= ()()? ? ?<-≥00a a a a ⑥平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a ⑦平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同： 联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。 第二章实数 目录 第二章实数 (1) 第一课时：实数的认识 (1) 知识要点一：认识无理数 (1) 知识要点二：平方根 (1) 知识要点四：算术平方根 (2) 拓展：随机的n (3) 知识要点五：立方根 (3) 知识要点五：估算无理数的大小 (4) 知识要点六：实数的概念 (5) 知识要点七：实数的性质 (5) 知识要点八：实数与数轴 (6) 知识要点九：实数的比较大小 (8) 知识要点10：实数的运算 (9) 总练习题 (9) C 基础巩固 (9) B 能力提升 (10) A 拔尖训练 (11) 第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (12) 知识要点一：二次根式的概念 (12) 知识要点二：二次根式有意义的条件 (12) 知识要点三：二次根式的性质与化简 (13) 知识要点四：最简二次根式 (13) 知识要点五：分母有理化 (14) 知识要点六：二次根式的乘除法 (15) 知识要点七：同类二次根式 (16) 知识要点八：二次根式的加减法 (16) 知识要点九：二次根式的混合运算 (17) 知识要点十：二次根式的化简求值 (17) 知识要点十一：二次根式的应用 (18) 总练习题 (19) C 基础巩固 (19) B 能力提升 (19) A 拔尖训练 (20) 第一课时：实数的认识 知识要点一：认识无理数 伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数． 希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为 此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！ 定义1 无限不循环小数叫做无理数。 常见的无理数的类型： （1）有规律但不循环的小数； （2）有特定意义的符号，如π； （3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。 练习： （1）下列说法正确的是( ) A.无限小数是无理数 B.无理数是无限小数 C.两个无理数的和一定是无理数 D.两个无理数之和一定是有理数 （2）在0、1010010001.0/27-7 2241.331601.04-3、、、、、、 π （相邻两个1之 间0的个数逐次加1个）中，属于无理数的是 。 （3）在2017321 ，，，中共有 个无理数。 知识要点二：平方根 定义2 一般的，如果一个数x 的平方等于a.即a x =2，那么这 个数x 叫做a 的平方根；求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。 记作:a x ±=。 课题名称11.2 实数 三维目标 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。 2.知道实数在数轴上的点一一对应. 3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。 重点目标无理数及实数的概念, 实 数与数轴上的点一一对应难点目标有理数与无理数的区别, 学会两个实数 的大小比较。 导入示标1、填空：（有理数的两种分类） 有理数有理数 2、有理数中的分数能化为小数吗？化为什么样的小数？举例加以说明 目标三导学做思一：做一做：参照课本，或者自己用计算器求2 的值。 请同学们动脑筋想一想，这样的数，你还能找出来吗？请相互之间举个例子，比一 比！ 概括:无理数：无限不循环的小数叫做无理数； 实数：有理数与无理数统称为实数。 所以实数也可以这样分类： 注意：无理数常见的三种形式 （1）根号型，如； （2）无限不循环型，如0.301 300 130 001…等 （3）圆周率等。 探究：请同学们自己讨论，下列说法对吗？ 1. 无限小数是无理数；( ) 2. 带根号的数是无理数；( ) 3. 无理数就是开方开不尽而产生的数；( ) 4. 无理数包括正无理数、0、负无理数三类；( ) 5．两个无理数的和、差、积、商仍为无理数；( ) 6．一个无理数和一个人有理数的和、差、积、商仍为无理数；( ) 7．无理数的个数少于有理数。 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π----- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 学做思二：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 概括 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______ 学做思三：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗 数的开方单元测试题 班级：姓名：__________ 一、选择题：（每题2分，共24分） 1、在数-5，0，7 22，2006，20.80中，有平方根的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、10的平方根应表示为（） A 、210 B 、10± C 、10 D 、10- 3、在数-27，-1.25，0，7 24中，立方根为正的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个 4、下面的运算中，是开平方运算的是（） A 、4069)64(2=- B 、864= C 、864±=± D 、4643= 5、下列各数中：5，-3，0，34， 722，-1.732，25，2π-，293+，无理数的个数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、下列说法中，正确的有（）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数a 、b,如果22b a =，那么a=b ；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。 A 、②④ B 、①②⑤ C 、② D 、②⑤ 7、下列各式正确的是（） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- 8、在数轴上，原点和原点左边的所有点表示的数是（） A 、负有理数 B 、负数 C 、零和负有理数 D 、零和负实数 9、a 、b A 、a 、b 互为相反数B 、b+a ?0C 、零和负有理数D 、b-a ?0 10、下列式子正确的是（） A 、55?B 、23-?-C 、3223-?-D 、230-? 0 11一个自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根为（）A 、22+a B 、12+a C 、1+a D 、1+a 12、若x -有意义，则x x -一定是（）A 、正数B 、非负数C 、负数D 、非正数 二、填空题：（每空2分，共38分） 13、若a 的算术平方根为2 1，则a= 14、如果68.28,868.26.2333==x ，那么x= 15、若0125=-++--y x y x ，则=x y 16、若m=3，代数式2213m m m +-+= 17、若2 992 2--+-=x x x y +1，则y x 43+= 18、比较大小：53112，10 11-67- 19、38的平方根是，2)4(-的算术平方根是，81的平方根是 20、把2写成一个数的算术平方根的形式： 21、若一个正数的两个平方根为2m-6与3m+1，则这个数是；若a+3与2a-15是m 的平方根，则m= 22、绝对值最小的实数是，21-的绝对值是，21-的相反数是 23、若实数满足1-=a a ，则a 是；若40≤≤a ，则a 的取值范围是 24、在数轴上，与表示7-的点相距2的点表示的数为 三、解答题：（每题2分，共8分） 25、求下列各数的平方根： （1）0（2）0.49（3）16 91（4）2)5(- 26、求下列各数的立方根：（每题2分，共8分） （1）27 102（2）-0.008（3）0（4）125-- 27、求下列各式的值：（每题3分，共27分） （1）16.0（2）169-（3）4 12±（4）3027.0 八 年 级 上 册 数 学 第二章 实数 单元测试卷（一卷） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题都给出了四个答案，其中只有 一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在该小题后的括号内。 1、若x 2=a ，则下列说法错误的是（ ） （A ）x 是a 的算术平方根 （B ）a 是x 的平方 （C ）x 是a 的平方根 （D ）x 的平方是a 2、下列各数中的无理数是（ ） （A ）16 （B ）3.14 （C ）113 （D ）0.01…（两个1之间的零的个数依次多1个） 3、下列说法正确的是（ ） （A ）任何一个实数都可以用分数表示 （B ）无理数化为小数形式后一定是无限小数 （C ）无理数与无理数的和是无理数 （D ）有理数与无理数的积是无理数 4、9=（ ） （A ）±3 （B ）3 （C ）±81 （D ）81 5、如果x 是0.01的算术平方根，则x=( ) （A ）0.0001 （B ）±0.0001 （C ）0.1 （D ）±0.1 6、面积为8的正方形的对角线的长是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 7、下列各式错误的是（ ） （A ）2)5(5= （B ）2)5(5-= （C ）2)5(5-=（D ）2)5(5-= 8、4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）16 9、下列推理不正确的是（ ） （A ）a=b b a = （B ）a=b 33b a = （C ）b a = a=b （D ）33b a = a=b 10、如图（一），在方格纸中， 假设每个小正方形的面积为2， 则图中的四条线段中长度是 有理数的有（ ）条。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 数的开方 课题名称 第11章 数的开方 复习课一 基础知识 三维目标 1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义； 2.理解无理数和实数的意义； 3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根； 4.会对实数分类以及进行实数的近似计算. 重点目标 平方根、算术平方根、实数的概念及其计算. 难点目标 算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用 导入示标 知识归纳 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a 的平方根记作: 或 。 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质 ①一个正数有 个平方根，它们互为相反数 ②0有 个平方根，它是 。 ③负数 平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根 （1）算数平方根的定义： 一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a 的算术平方根是 ； ②0的算术平方根是 ； ③负数 算术平方根 （3）重要性质： 3、立方根 （1）立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。如果x 3 =a ，则 叫做 的立方根。记 = 2a () = 2 a （a ≥0） 作： ,读作“ ” 。求一个数的立方根的运算叫做 。 （2）立方根的性质 ①一个正数的立方根是 ； ②一个负数的立方根是 ； ③0的立方根是 。 （3）重要性质： 4、实数基础知识 （1）．无理数的定义: 叫做无理数 （2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。 （3）.常见的无理数类型 ○ 1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· ○ 2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 ○ 3有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ○ 4.开方开不尽的数。如35,3 （4） 实数概念：________和________统称为实数。 （5）分类 _______ ________ _______ ________ _ __ 有限小数或___ ___小数 _______ 实数 ________ _______ _________ ________ 无限不循环小数 _________ （6）、实数的有关性质 ⑴若a 与b 互为相反数则ab= = -3 a 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题（1） 一、选择题 1．下列各数：2π, 0·, 227，27，Λ1010010001.6，1中无理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2-，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－23 B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A ． B C D ．4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C D ． 2是分数 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2(π是无理数 B ．33是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ． 20163 是有理数 C ．22是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3=± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ． 6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2= 13．下列运算正确的是（ ） A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24· 32 =6 14．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．27－123＝9－4＝1 C ．(25)(25)1-+= D ．62322 -= 15．如图：在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的 实数是 A ．2.5 B ．2 2 C ． 3 D ． 5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-×25-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ．32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =29y =，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－6的绝对值是___________． 4．估计7的整数部分是 内容：4.3实数（1） 班级: 姓名:____ ___使用日期：___ __ 【教学目标】 了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数。知道实数和数轴上的点一一对应。 【教学过程】 一.感情调节: 问题1：边长为1的正方形的对角线的长为多少？ 问题2：现有一个直角三角形，两个直角边分别为1，2，斜边为多少？ 二.新课学习： 自学内容(一)：概念探究（自主探究，掌握新知、新法！）课本P101 问题1，结合感情调节中的问题，试在数轴上画出表示2的点： 问题2，2是整数吗？2是分数吗？2是无限不循环小数吗？ 定义：1、无理数的概念：小数称为无理数。 有理数和无理数统称为。 2、实数的概念：和统称为实数，即实数可分为 和 3、实数的分类： 自学内容(二)：无理数可以用数轴上的点来表示课本P102 利用直尺和圆规在数轴上表示出表示10,5 的点. 结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都 表示一个数。与数轴上的点对应。 思考：10的整数部分是：，小数部分：，那5呢？ 三．自主小结:（适时小结，构建、完善知识体系！） 四．当堂检测：（当堂检测，熟练掌握新知、新法！） 1.判断： （1） 无理数都是无限小数 （ ） (2）无限小数都是无理数 （ ） （3）2 π 是分数（ ） （4）227是无理数 （ ） 2. 在 ，﹣，，3.14，，，，，5π，0，，1.2626626662… 中，属于无理数的有 个． 3.5的整数部分是 小数部分是 4. 5,17 五．适度作业 班级： 姓名： （一）核心价值题： 1．实数－1.732，2 π，34，0.121121112…，01.0－中，无理数的个数有 （ ）. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5 第一章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 第11章数的开方 一、选择题 1．在﹣3，0，4，这四个数中，最大的数是（） A．﹣3 B．0 C．4 D． 2．下列实数中，最小的数是（） A．﹣3 B．3 C．D．0 3．在实数1、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 4．实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣ 5．在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 6．a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 7．估算﹣2的值（） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间8．在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最小的一个实数是（）A．﹣1 B．0 C．D．﹣2 9．下列四个实数中，绝对值最小的数是（） A．﹣5 B．C．1 D．4 10．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（） A．﹣2 B．0 C．3 D． 11．在1，﹣2，4，这四个数中，比0小的数是（） A．﹣2 B．1 C．D．4 12．四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是（） A．﹣2 B．0 C．﹣D．1 13．与无理数最接近的整数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 14．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数3﹣的点P应落在线段（） A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上 15．估计介于（） A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间 16．若m=×（﹣2），则有（） A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣2 17．如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（） A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C 18．与1+最接近的整数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 19．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 20．若a=（﹣3）13﹣（﹣3）14，b=（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c=（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大 小关系，何者正确？（） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 21．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（） A．6 B．7 C．8 D．9 22．估计×+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 23．估计的值在（） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 二、填空题 24．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为． 25．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则a b= ． 26．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是． 27．黄金比（用“＞”、“＜”“=”填空）最新八年级上册数学第二章实数测试题
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