高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b
第3页，共3页 第二章不等式 2.1 不等式的基本性质 【夯实基础】 一、选择题 1. 下列结论正确的是( ) A. 若ac
9、1 不等式的性质 德育目标：观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，在独立思考和小组交流中学习。 学习目标：1、理解不等式的性质。 2、能运用不等式的性质进行正确的不等式的变形。 学习重点：理解并掌握不等式的性质。 学习难点: 如何正确运用不等式的性质。 学习过程：一、课堂引入：（知识复习） 等式有哪些性质？ 性质1： 性质2： 不等式也有类似的性质吗？这节课我们一起来学习不等式的性质。 二、自学教材学生自学课本P116—117 思考 ①比一比，谁能最准最快的填写。 7﹥4 7+3 _______4+3， 7+0_______4+0， 7+（－2）_ _ 4+（－2）， 7+（－3）_ _4+（－3）， 7+c _______4+c 若a < b，则a+c _ _b+c 你能发现什么？ 不等式性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同、一个数或式子，不等号的方向______。 ②比一比，哪一组能最齐最准最快填写。 7 > 4 7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 你能发现什么？ 不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向_____。 ③比一比，谁最细心最快的填写。 7 > 4 7×（－1）____4×（－1）， 7×（－2）____4×（－2）， 7×（－3）____4×（－3）， 你能发现什么？ 不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向_____ 2、小组合作完成表格： 不等式的基本性质 文字表示符号表示 (1)不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向 若a
2.1.2等式性质与不等式的性质 1. 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 2. 给出下列命题： ①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?b a<1；④a>b? 1 a< 1 b. 其中正确的命题个数是() A．0B．1 C．2 D．3 3. 若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是() A．－2<α－β＜0B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 4. 若a>b>0，c
＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b 7．已知a >0，b >0，c >0，若 c a ＋b ><，则mb _____ma ， b m a m --_____b a (用>，<填空). 10．已知若a >b > c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”) 11.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____． 12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 . 13.对于实数a ，b ，c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
《9.1.2 不等式的性质》说课稿尊敬的各位老师：下午好！ 我叫孙有玺，来自音河中学。很高兴能把《不等式的性质（1）》一课的教学和大家一起探讨。下面我将从学生状况、教学任务、教学过程、设计说明等四个方面加以分析。 一、学生状况分析： 七年级下期的学生活泼好动，有一定合作探究意识，在知识方面已经学习了有理数大小比较，等式及基本性质。这些都为自主探究不等式的性质打下了良好的基础。 二、教学任务分析： （一）教材地位与作用： 不等式是初中代数的重要内容之一，是已知量与未知量的矛盾统一体。数学关系中的相等与不等是事物运动和平衡的反映，学习研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动变化的规律。“不等式的性质”是学生学习整个不等式知识的理论基础，为以后学习解不等式（组）起到奠基的作用。 （二）教学目标： 知识目标： 探索不等式的基本性质，并能准确运用不等式的三条性质将不等式变形。 能力目标： 让学生学会类比的思想对等式性质及不等式性质进行了比较，培养学生的观察、分析、归纳的能力。 情感目标： 通过“等”与“不等”的比较使学生进一步领会对立统一的思想，培养学生辨证唯物主义的观点。 （三）、教学重点、难点： 不等式的性质是本节不等式变形的基础，也是今后解不等式（组）的依据，所以掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形是本节课的重点。
不等式的两边同乘以（或除以）负数，不等号方向改变和等式的性质不同，学生学习起来比较困难，因此，不等式性质3的理解与正确使用是本节课的难点。让学生自己动口、动手、动脑，进行比较、讨论，并加以强化练习达到突破的目的。 （四）、教学方法与学法的指导： 本节课属于性质类知识，重在探索，意在应用。因此，我采用启发诱导、实例探究的方法进行教学，这种教学方法以“主动探索”为基础，先“引导发现”后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中发展自己的观察力、想象力、思维力。引导学生学会类比、归纳的学习方法，帮助他们在自主探究过程中理解和掌握不等式的性质。 三、教学过程 (一)复习提问、引入新课 为了使学生自己能在教师的指导下，自主探究问题，发现问题，获得结论。而不是把现成的结论告诉学生。对于不等式性质的发现，我采用了下面的作法，我首先带领学生复习等式的性质等式性质1 等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等。 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 (二)合作交流、探究新知 在复习等式性质后，教师提出不等式是否也有类似的性质呢？先引导学生对不等式的两边都加、减同一个数，会发现什么呢？学生通过思考和计算后会说出不等式两边都加、减同一个数，“仍是不等式”。此时，教师抓住学生叙述中的问题予以纠正，不能笼统的说“仍是不等式”，因为“=”没有方向性，而不等号有方向性，所以要改为“不等号的方向不变”。接着，让学生不等式作两边都乘以或除以同一个数的变形，会发现什么呢？学生通过计算和讨论，甚至会发生争执，教师要深入学生，通过共同探讨，学生会发现不等式两边都乘以或除以正数，不等号方向不变，两边都乘以或除以负数，不等号方向改变。最后由学生归纳出不等式的性质2和性质3。 我这样安排的目的是为了让学生通过动手、动口、动脑发挥合作精神，学会运用类比、归纳的数学思想去探究问题，同时学生也会品尝到成功的喜悦，从而提高他们学习数学的兴趣。 (三)灵活运用、巩固练习 为使学生能够准确运用性质将不等式变形，也为例题的教学做一些铺垫，我先设置了两组抢
2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数
9.1.2 不等式的性质（二） ◆回顾归纳 1．如果a>b ，并且c<0，那么ac____bc ，或a c ____b c ，即不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向______． 2．符号“≤”和“≥”分别比“<”和“>”各多了一层相等的含义，?它们是_____号比_____号的合写形式，?通常把用符号“≤”和“≥”表示大小关系的式子，也称为______式． ◆课堂测控 知识点一 不等式的性质3 1．若- 32 m n >-，则2m______3n ． 2．若a>b ，则b_____0时，abab ． 3．若-23x+5>-2 3 y+5，则x______y ． 4．不等式mx-2<3x+4的解集是x>6 3 m -，则m 的取值范围是_______． 5．下列说法中，错误的是（ ） A ．如果ab ，c>0，那么ac>bc C ．如果a D ．如果a>b ，c<0，那么-a c <-b c 6．若a<0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．3a<2a B ．a-3
据不等式的性质_______，将不等式的两边同时_______．其中有错误的一步是步骤_______．本题正确的结论是_____． 知识点二含“≥”或“≤”的不等式 8．若x为非负整数，则-1≤32 5 x 的解集是______． 9．下列说法不正确的是（） A．不等式-x≤1的解集是x≥1 B．不等式-1 2 x>-2的解集是x<4 C．不等式2（x-1）≤3的解集是x≤2.5 D．不等式1≤x的解集是x≥1 10．（经典题）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券．（?奖券购物不再享受优惠） 根据上述促销方法，顾客在该商场的购物可获得双重优惠，如果李老师在该商场购标价为450元的商品，他获得的优惠额为多少元？ ◆课后测控 1．满足x-9<3x-3的最大负整数解是_______． 2．若│2a+3│>2a+3，则有理数a的取值范围是______． 3．关于x的不等式3x-2a≤-2的解集是x≤-1，则a的值是_____． 4．不等式21-5x>4的正整数解的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若点P（3a-2，2b-3）在第二象限，则（） A．a>2 3 ，b> 3 2 B．a> 2 3 ，b< 3 2 C．a< 2 3 ，b> 3 2 D．a< 2 3 ，b< 3 2 6．利用不等式的性质解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． （1）3 4 x-1<5 （2）-3x+2≤10
《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系
中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
不等式的基本性质 各位老师，同学： 大家好！ 今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。（板书题目） 接下来我将从教材分析，学情分析，学法教法，教学过程，板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。 一、教材分析 教材是我们教学活动的主要依据，透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。 我将从教材的地位与作用，教学目标，教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。 （一）教材的地位与作用。 不等式是初中代数的重要内容之一，而不等式的性质又是重中之重。一方面，它是初中阶段最基础、最重要的一个转折；而另一方面，学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别；在此基础上，可以使学生对生活中的数学问题有新的认识，从而扩大学生的认知结构。同时，不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。 教学目标 根据新课改的要求及教材的特点，我确定了如下的教学目标： 知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用； 能力目标经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力； 情感目标开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 情感态度与价值观的培养，是学生全面发展的需要，该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验，增强学好数学的信心。 教学重点难点 根据教材内容的特点，结合新课程改革的基本要求，我认为本节课的重点是：理解不等式的三个基本性质。 由于在探究的过程中，需要采用类比的方法来得出结论，对学生的抽象思维能力要求较高，但对于七年级的学生而言，其形象思维能力占主导地位，在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征，我认为本节课的难点为：对不等式的基本性质3的重点认识。 二、学情分析 学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。 我们知道，现在的学生几乎不存在学不会的情况，而是没有掌握正确的学习
2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】：
【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
《不等式的性质》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m，
最小值为n，则m﹣n＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x； （2）﹣x＞﹣1．
不等式的性质（二） 第二课时教学目标1．理解同向不等式，异向不等式概念； 2．掌握并会证明定理1，2，3； 3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据； 4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念. 1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式. 2．不等式的性质：定理1：若，则定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵，∴由正数的相反数是
负数，得说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若，且，则.证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数，得∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若，则定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵∴说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即. 定理3推论：若.证明:∵,∴①∵∴②由①、②得说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课
高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。
(4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励
9.1.2不等式的性质（第2课时） 教学目标： （1）能运用不等式的性质对不等式进行变形和解简单的不等式.（2）知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心圆点与空心圆点的区别. 教学重、难点： 重点：不等式性质的运用. 难点：不等式的解集在数轴上的表示方法. 一、复习引入： 不等式具有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示. 二、讲授新课： 1、利用不等式的性质解不等式 例1利用不等式的性质解下列不等式 （1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1 （3）x＞50 （4）-4x＞3 分析：解不等式，就是借助不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x 根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以：3x-2x＜2x+1-2x x＜1 第（3）（4）题由学生独立完成，老师纠错 2、在表示两个数量大小关系时，我们会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子，如一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃. 三、当堂训练： 1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示出来. （1）x+5＞-1；（2）4x＜3x-5； （3）3x＜-4 ；（4）-8x＞10 . 2.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集 （1）x的3倍大于或等于1； （2）x与3的和不小于6； （3）y与1的差不大于0； （4）y的1 4小于或等于-2. 四、归纳总结： （1）如何利用不等式的性质解简单不等式？（2）依据不等式性质3解不等式时应注意什么？（3）请说明符号“≥”和“≤”的含义？ 五、布置作业： 教科书习题9.1 第5、7、8题 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 9.1.2不等式的性质 黄冈市蕲春县第三实验中学叶学林 一．课标分析： 从《课标》看，方程与不等式是同“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们之间有密切的联系，存在许多可以进行类比的内容。学生对于等式的认识已经具备一定的积累，充分发挥心理学中正向迁移的积极作用，可以为学习不等式的性质提供一条合理的学习之路。 《课标》提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。 二．教学内容和内容解析： 1.内容： 不等式的性质。 2.内容解析： （1）本节内容是第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第二课时，此节课是在学生学习了等式的性质，加深对不等式的认识的基础上，探究不等式的性质。 （2）不等式的性质是深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。这三条性质不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 因此，“不等式的性质”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它在利用不等式的观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 三．学生分析： 从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算 规律等，通过类比、猜测、验证的方法来探索掌握不等式的性质，并初步体会不 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
9.1.2不等式的性质(教案)
高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
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