广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期
《高等数学》课程试题
课程号： 1920008
□ 考试
□ A 卷
□ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一． 计算（20分，各4分）.
1.x x x x sin 2cos 1lim
0-→. 2.?+x dx
2cos 1.
3.?-++1121sin 1dx x
x . 4.x x x x )1232(lim ++∞→. 5.?26
2cos π
πxdx .
二.计算（20分，各5分）. 1.求)arcsin(tan x y =的导数。
2.求由方程0=-+e xy e y
所确定的隐函数y 的二阶导数22dx
y
d 。
3.已知???==t
e y t e x t
t cos sin ，求当3π=t 时dx dy
的值。 4.设x y y x z 3
3
-=，求x
y z
x z ?????2,.
三.计算.（25分，各5分）.
1. dx x x ?+9
23
2.dx e x ?
班级：
计科
1141 姓
名： 阿稻
学号：
2014xx
试题共2
页
加白纸4张
密
封
线
GDOU-B-11-302
3.dt
te
dt e x
t x
t x ??→0
20
2
2
2
)(lim .
4.求]1
)1ln(1[lim 0
x
x x -+→. 5.dx x ?-202sin 1π
.
四.解答（14分，各7分）.
1.问12
+=
x x
y ()0≥x 在何处取得最小值？最小值为多少？ 2.证明x x x
x
<+<+)1ln(1.
五.解答（21分，各7分）.
1.求由2x y =与x y 2=围成图形的面积。
2.求由x x x y ),0(,sin π≤≤=轴围成的图形绕x 轴所产生的旋转体的体积。
3.计算σd y x D
??+)(22，其中D 是矩形闭区域：1,1≤≤y x .
《高等数学》课程试题A 卷答案
一. 计算 （20分 各4分）
1.原式＝2sin sin 220
lim =→x x x x 2.原式＝c x xdx +=?tan 21
sec 212 3. 原式＝201arctan 211
1
12π?-==+x dx x 4. 原式＝e x x x =++∞
→)1221(lim 5. 原式＝83
622cos 12
6
-
=+?ππ
πdx x 二、计算 （20分 各5分） 1.x x
y 22sec tan 11'-=
2.两边对x 求导，得：0''=++xy y y e y y
e
x y
y +-
=' 2
)()
'1()('''y y y e x y e y e x y y ++-+-= 3
2)
(22y y
y e x e y ye xy +-+= 3.t
t t
t t e t e t e t e dx dy t
t t t sin cos sin cos cos sin sin cos +-=+-=
233
13
13
-=+-==π
t dx dy 4.3
23y y x x
z -=??
222233y x y x z x y z -=???=???
三、计算 （20分 各5分）
1.原式＝c x x dx x x x x ++-=+-+?)9ln(29
219
99222
3 2. 原式＝c e e x c e te dt te x x
t t t +-=+-=?)(2)(22
3. 原式＝222
2
2
20
lim
=?
→x x
t x
x xe
dt
e e
4. 原式＝2
1211
1)
1ln(lim lim
20
=+-
=+-→→x x x x x x x 5. 原式＝222)cos (sin )sin (cos cos sin 24
4020-=-+-=-???π
ππ
π
dx x x dx x x dx x x
四、解答 （14分 各7分）
1.解:0)
x (1x 1'y 2
22
=+-= 1x ±= 1x -=（舍）又 00x y 211x y ==== 故：函数在1x =取到最大值，最大值为2
1
。
2.证明：令)0(ln )(>=x x x f ，考虑区间]1,1[x +。显然，此函数在这个区间上满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间可导。由拉格朗日定理得：至少存在一点)1,1(x +∈ξ使得:ξ
ξ1
)('111ln )1ln(==-+-+f x x 。由ξ的范围可以知
道：
1111<<+ξx 。从而，我们可以得到1)1ln(11<+<+x
x x 。整理得：x x x
x
<+<+)1ln(1。
五、解答 （21分 各7分）
1.解：2x y =与x y 2=的交点为)4,2(),0,0(
利用元素法:取积分变量为x ，积分区间为[1,2]。（1）面积元素为
dx x x dA )2(2-=（2）此面积为3
4
)2(2
02=
-=?dx x x A 。
2.解：利用元素法：取积分变量为x ，积分区间[0,π]。（1）体积元素为
xdx dV 2
sin π= （2）此旋转体的体积为2
sin 2
2
πππ
=
=?xdx V 。
3.解：3
8
)(4)(4)(1
022101
2
2
2
2
=+=+=+??????dy y x dx d y x d y x D D
σσ
y
广东海洋大学2006—— 2007学年第一学期
《高等数学》课程试题（B ）
课程号： 1921006x 1
√ 考试
□ A 卷
√ 闭卷
□ 考查
√ B 卷
□ 开卷
一、填空（21分，每小题3分）
1．若函数???≥+<=0
,0
,)(x x a x e x f x 在0=x 点连续，则a = 1
2．函数x x a y 3sin 3
1sin +=在3
π
=
x 处取得极值，则=a 2
3．若)0(f '存在，且0)0(=f ，则=→x
x f x )
(lim
)0(f ' 4. 曲线x e y =在点)1,0(处的法线方程为 x+y-1=0 5．函数x x y ln 2=的二阶导数=''y 2lnx+3
6．设)(x f 具有原函数为)(x F ，则='?dx x f x )( xf(x)-F(x)+C
班级：
姓
名：
学号：
试题共 密
封
线
7．=-+?-dx x x 21
12)1( 2
二、计算题（每小题5分，共25分）
1、x
x x 10
)31(lim -→ 解：原式=11
(3)330
lim[1(3)]
x x x
x x e ---→+-=
2 1
2
3lim 2331+--+-→x x x x x x 解：原式=22113363lim lim 321622
x x x x x x x →→-==--- 3 设,42
arcsin 2
x x x y -+=求dy
12arcsin arcsin
221(2)arcsin 2
x x
y x x x
dx
'=+=-解: 故 dy=
4．求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx
y d
解： 两边对x 求导
2
11
1cos 0121cos 2
1
sin
21
(1cos )2
y y y y y y y
y y '''-+=??→=
-'-''==
- 5．求曲线)1ln(2x y +=的凸凹区间与拐点.
解：22
2222
22(1)222(1)(1),0,1(1)(1)x
x x x x x y y x x x +-+-'''=
===+++令
得x=±1
三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1．dx x
x ?
-2
49
2 ?xdx arctan
3．dx x x ?-π
20
3cos cos
220
20
21/2
1/2
3/23/220
(cos )cos (cos )cos 2
2
8(cos )
(cos )3
3
3
x dx
xdx xdx
x d x x d x
x x ππππ
π
π
π
π
ππ
π
===-=-+=-+=
???
?
??
原式
4 dx x
?+4
1
11
5．dx x x ?∞
++1
2
)
1(1
四求由曲线2
y=,直线1=
3x
x以及x轴所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.（10分）
解：略
五要造一长方体的带盖箱子，体积为72平方厘米，而底面长与宽的比为2：1，问长、宽、高各为多少时，表面积最小，求出表面积。（7分）
六 证明：当0>x 时，22
1
)1ln(x x x ->+.（7分）
22
1()ln(1)2
111()10,()110(0)0,F x x x x x x x F x x F x x x
f =+-+
--++'=-+=>++>>=证明:
设则故为增函数当x 时,有f(x)即证
广东海洋大学2007——2008学年第一学期
《高等数学》课程试题（A ）
课程号： 1921006x 1
□√ 考试
□√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
班级：
姓
名：
密 GDOU-B-11-302
一、填空（21分，每小题3分）
1．设??
?
?
?=≠-+=0
,0,1
1)(x a x x
x x f ,则常数a = 1/2
时, )(x f 在
),(∞+-∞内连续.
2．若当0→x 时,a e x x -+cos 是无穷小量，则常数a = 2 .
3．曲线x y
cos =的最大曲率是 .
4. 曲线x y tan =过点)1,4
(π
的切线方程为 y-1=2(x-4π) .
5．设dt t t x x
)(sin )(2
0?+=?,则=)(x d ?2x dx . 6．dx x ?∞
++0
2
)
1(1
= 1 . 7．=++?-dx x
x x )3cos (3
32
4
3
18 . 二、计算题（每小题5分，共25分）
1、2
2
2
)sin 1(lim x x x +→ 解：原式=222
1
2sin 2
2sin 0
lim(1sin )x
x
x x x e →+=
2 )
1ln()
1ln(lim 0
x x x x x ++-→
00001
1ln(1)
111lim
lim
lim 22(1)211lim ln(1)112
x x x x x x x x x x x x →→→→-
-++===
+==+++洛
洛原式=
3. 求由参数方程??
???-+==13arctan 3
t t y t x 所确定的函数的二阶导数22dx y d .
2
2
342
22222
(
)14421,4(1)1(1)
1(1)
dy d dt
dy dy dt t d y
t t dx t t t t dx dx dt t dx
dx dt t ++===++===+++ 4．设方程 y xe y x -=+1确定一个隐函数)(x y y =,求 )(x y ' 解：1
11
y y
y
y e y e xe y y xe +''
'+=--=-+
三. (11分) 设函数2)1(-=x x y =322x x x -+. 1.求函数的单调区间、极值；（6分） 2.凹凸区间和拐点. （5分）
2
122341(31)(1)01/31
640
2/3
y x x x x x y x x '=-+=--===''=-==令
令得x 得
四．求下列积分（每小题5分，共20分） 1．dx x e x ?+cos )3(sin
sin sin sin cos 3cos sin 3sin 3sin x x x e xdx xdx e d x x e x C +=+=++???
2.?+dx x x )1ln(2
22222
222
ln(1)ln(1)ln(1)
1
ln(1)ln(1)111ln(1)ln 12
x dx x x x d x x x x dx x x x dx x x x x x x x C
=+=+-+=+-=+--+++=+-+-++????原式
3．dx x x ?--2
1424 ，
2
2
21
1
0221/2221/22
1023/2023/2210(
411(4)(4)
(4)(4)2211(4)(4)......33x x
x dx
x d x x d x x x ----==-+-=
-----=---=?????原式
4.dx x x ?++4
1
25
22343310
11
2
04,3
1
592()......62t t x dx tdt
x x t t t t dt t t -==
====-+==+=?
?解: 时,t=1时
五. (8分) 设曲线x y =与x y =围成的图形记为E
1.求E 的面积;
2.图形E 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
解：略
六 .证明：当0>x 时，ln(1)arctan /(1)x x x +>+.（7分）.
故当x>0时，f(x)>f(0)=0, 得证。
七.工厂要做一个高为a ，容积为V 的长方形密封食品盒，问怎样设计底面的长宽的长度，使所做盒子用料最省？（8分）
广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期
《 高等数学1 》课程试题A
课程号： 1921006?1
∨ 考试
∨ A 卷
∨ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一、填空题（每小题3分，共21分）
1. 已知函数y=1
(1),0,0
x
x x a
x ??+≠?
?=?,在x=0处连续，则a =__e__.
2. 当0x →时，ln(12)1kx
x e +-与是等价无穷小，则k =__2_
. 00ln(12)2lim
lim 1,21
kx x x x x
k e kx →→+===-因为故
3. 曲线31y x =+过点（0，1）处的切线方程为_y-1=0___
4. 函数482(13)y x x x =-+-≤≤的最大值是_59__，最小值是2-+
3
3
3(480,228222(1)11,
(3)59
y x x f f f '=-===-=-+-==令
得
5. 设ln(1),y x y '''=-=则32/(1)x -
6. 设2
()(1),()x F x t t dt F x '=+=?
则2(1)x x x +
7. 1
21121x
dx x -+=+?/2π
二 计算题 （每小题6分，共30分）
班级：
姓
名：
学号：
试
题共
页
加白纸
张
密
封
线
GDOU-B-11-301
1. 0
1cos lim
sin x x
x x
→-
220001cos 2sin (/2)/21
lim
lim lim sin sin 2
x x x x x x x x x x x x →→→-=== . 2. 3
0lim(12)x
x x →- 13
(2)620
lim[1(2)]
x x x
x x e ---→=+-=原式
3. 设2
ln cos ,y dy x
=求
22212222
(sin )()tan()(),
cos(2/)22
tan()()y x x x x x
dy dx
x x '=
--==
4. 求由参数方程2
arctan ln(1)
x t y t =??
=+?所表示的函数的导数dy
dx 。 22/2/(1)
2/1/(1)
dy dy dt t t t dx dx dt t +===+
5. 求曲线2x
y xe -=的凹凸区间及拐点.
222222222(2)4(1)0,1
x x x
x
x
x
y e xe y e
e
xe
e
x x ------'=-''=---=-==令
得
三、求下列积分（每小题6分，共30分） 1.
?
2
2
2
31,2
12
1
13
232
62
t t t tdt t dt t t c t +=+-=
-=
-+??解: x= dx=tdt
原式=
2.
3
ln x xdx ?
44443
44
ln ln ln ln 44444
ln 416x x x x x xd x d x x dx
x x x c =-=-=-+???解: 原式= 3.
1
1
(x --?
1
1
/2
/2
4sin cos 0011cos 24cos cos 4 (2)
x t dx tdt x t x t
t tdt dt πππ-=-=-=====+=-=-=??
?
?
原式设时,时,t=/2上式
4.
2
2
π
π
-
?
x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 2
12π2
π2π0
3?
?-=-=3
43
cos 4)cos )(cos 22
2
320
2
1=-
=-?ππd(x x x
5.
2
2dx
x +∞
+?
149,(20)
:arctan P c +∞
=
=
+?
解原式
四.(10分)求由4,xy y =轴,y=1和y=2所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 解：略
五.（9分）证明下列不等式 1．当1x ex >>x
时,e
()
x ex
e y e e -'->=∴>x x x 证明: 设f(x)=e
f (x)=e 为增函数e 故 f(x)为增函数,x>1时,有f(x)>f(1)=0,得证.
2. cos cos cos
22
x y x y
++>,
,(,)22x y ππ∈- :()cos ,
()sin ()cos 0
(/2/2)
cos cos ()cos
22
f x x f x x f x x x x y x y f x ππ'==-''=-<-<<++>证明设故为凸函数,由定义得,
广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期
班级：
GDOU-B-11-301
《 高等数学1》课程试题B
课程号： 1921006?1
∨ 考试
□ A 卷
∨ 闭卷
□ 考查
∨ B 卷
□ 开卷
一、填空题（每小题3分，共21分）
1. 已知函数y=sin ,0
,0x
x x a
x ?≠??
?=?,在x=0处连续，则a =___1___. 2. 当
0x →时，sin 21x -kx 与e 是等价无穷小，则k=___2__.
3. 曲线1x y e +=过点（0，e ）处的切线方程为_y-e=ex_
4. 函数32()395f x x x x x =--+=在 -1 处取得极大值，极大值为_10__
2()36903,1
()66(3)0(1)0(1)10
f x x x x x f x x f f f '=--===-''''''=->-<-=最大故 5. 设ln(1),y x y '''=+=则32/(1)x + 6. 设20()(1),()x
F x t t dt F x '=-=?则4(21)x x - 7.
1
2111x
dx x -+=+?/2π
二、 计算题 （每小题6分，共30分） 1. 2
1cos lim
x x
x →- 220/21
:lim 2
x x x →==解原式
2. 32lim(1)x x x
→∞
-