2006高考复习易做易错题精选
立体几何
一、选择题：
1．（石庄中学）设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满
足（ ）
A 共线
B 共面
C 不共面
D 可作为空间基向量
正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
2．（石庄中学）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、
D 1C 1的中点，则直线OM( )
A 是AC 和MN 的公垂线
B 垂直于A
C 但不垂直于MN
C 垂直于MN ，但不垂直于AC
D 与AC 、MN 都不垂直
正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。
3．（石庄中学）已知平面α∥平面β，直线L ?平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10，且到L 的距离为9的点的轨迹是（ ）
A 一个圆
B 四个点
C 两条直线
D 两个点
正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
4．（石庄中学）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且
总保持A P ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（ ）
A 线段
B 1
C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段
C 线段BC 1
D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段
正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
5． （石庄中学）下列命题中：
① 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则∥ 。
② 若∥， ∥，则∥ .
③ 若 、 、是空间一个基底，且 =
31＋31 ＋31 ,则A 、B 、C 、D 四点共面。
④ 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的一
个基底。其中正确的命题有（ ）个。
A 1
B 2
C 3
D 4
正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
6．(磨中)给出下列命题：①分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )
正确答案：①
错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清
7．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )
A 、7
B 、8
C 、9
D 、10
正确答案：A
错误原因：4+8—2=10
8．(磨中)下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
正确答案：D
错误原因：空间观点不强
9．(磨中)a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( )
A 、有且只有一个
B 、一个面或无数个
C 、可能不存在
D 、可能有无数个
正确答案：C
错误原因：过a 与b 垂直的夹平面条件不清
10．（一中）给出下列四个命题：
（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F
－V=4.
（3）若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β.
（4）命题“异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定.
其中，正确的命题是
（ ） A ．（2）（3） B ．（1）（4） C ．（1）（2）（3） D ．（2）（3）（4） 正确答案：A
11．（一中）如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定
点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD
面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．50°
D ．45°
正确答案：C
12．（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则αQ R · · S · P · · P
· B S · R · · S · P Q · R · C · R P · · · D Q A Q S
+β满足（ ）
A 、α+β<900
B 、α+β≤900
C 、α+β>900
D 、α+β≥900
答案：B
点评：易误选A ，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。
13．（蒲中）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面
的个数为（ ）
A 、2个
B 、4个
C 、6个
D 、8个
答案：B
点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。
14．（蒲中）△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为
θ的二面角B-AD-C ，若b
a =θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、形状与a 、b 的值有关的三角形
答案：C
点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。
15．（江安中学）设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。
A. α⊥c ，若β⊥c ，则βα//
B. α?b ，α?c ，若α//c ，则c b //
C. β?b ，若β⊥b ，则αβ⊥
D. β?b ，c 是α在β内的射影，若c b ⊥，则α⊥b
正解：C
C 的逆命题是β?b ,若αβ⊥，则a b ⊥显然不成立。
误解：选B 。源于对C 是α在β内的射影理不清。
16．（江安中学）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（ ）。
A.
α和β都垂直于平面 B. α内不共线的三点到β的距离相等
C. m l ,是α平面内的直线且ββ//,//m l
D. m l ,是两条异面直线且ββαα//,//,//,//l m m l
正解：D
对于βα,,A 可平行也可相交；对于B 三个点可在β平面同侧或异侧；对于m
l C ,,
在平面α内可平行，可相交。
对于D 正确证明如下：过直线m l ,分别作平面与平面βα,相交，设交线分别为
11,m l 与22,m l ，由已知βα//,//l l 得21//,//l l l l ，从而21//l l ，则β//1l ，同理
β//1m ，βα//∴。
误解：B
往往只考虑距离相等，不考虑两侧。
17．（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
A.
29
23 B. 27
19 C. 31
30 D. 2723 正解：D 。
当平面EFD 处于水平位置时，容器盛水最多
2121sin 3
1sin 313131h ASB SB SA h DSE SE SD h S h S V V SAB SDE SAB C SDE
F ?∠????∠???=??=∴??-- 27
431323221=??=??=h h SB SE SA SD 最多可盛原来水得1－
2723274= 误解：A 、B 、C 。由过D 或E 作面ABC 得平行面，所截体
计算而得。
18．（江安中学）球的半径是R ，距球心4R 处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。
A. 2
R π B.
216
15R π C. 216
9R π D. 221R π 正解：B 。
如图，在Rt OPA ?中，AB OP ⊥于B
则2OA OB OP =?即24R OB R =?
1
4OB R ∴= 又222215
16AB OA OB R =-=
∴以AB 为半径的圆的面积为215
16R
误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。
19．（江安中学）已知AB 是异面直线的公垂线段，AB=2，且a 与b 成 30角，在直线a 上取AP=4，则点P 到直线b 的距离是（ ）。
a
E. 22
F. 4
G. 142 b
H. 22或142
正解：A 。过B 作BB ’∥a ，在BB ’上截取BP ’=AP ，连结PP ’，过P ’作P ’Q ⊥b 连
结PQ ，∴PP ’⊥由BB ’和b 所确定的平面，∴PP ’⊥b
∴ PQ 即为所求。在Rt ?PQP ’中，
PP ’=AB=2,P ’Q=BP ’,BQ P 'sin ∠=AP ? 30sin =2, ∴PQ=2。
误解：D 。认为点P 可以在点A 的两侧。本题应是由图解题。
20．（丁中）若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是 （
） （A ）)2,0(π
（B ）)2,0[π
（C ）]2,0(π
（D ）]2,0[π
错解：C
错因：直线在平面α外应包括直线与平面平行的情况，此时直线a 与平面α所成的角为0 正解：D
21．（薛中）如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
答案：B
错解：C 认为（1）（3）对
D 认为（1）（2）（3）对
错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。
22．（薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
答案：C
错解：D
错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。
23．（案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是
A 、一定是正三棱锥
B 、一定是正四面体
C 、不是斜三棱锥
D 、可能是斜三棱锥 正确答案：（D ）
错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D
24．（案中）给出下列四个命题：
（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V ，面数F 满足的关系式为
2F-V=4
（3） 若直线L ⊥平面α，L ∥平面β，则α⊥β
（4） 命题“异面直线a,b 不垂直，则过a 的任一平面和b 都不垂直”的否定，其中，正
确的命题是 （ ）
A 、（2）（3）
B 、（1）（4）
C 、（1）（2）（3）
D 、（2）（3）（4）
正确答案：（A ）
错误原因：易认为命题（1）正确
二填空题：
1. （如中）有一棱长为a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保
持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.
错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a ，球的表面积为2a π。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为
，所以正确答案为：22a π。
2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，
椭圆的离心率为2e =
________。 错解：答6π。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：3
π。 3. （如中）已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与
底面ABC 成0
60角的截面面积是___________________。
错解：学生用面积射影公式求解：0
10025cos60S S S ===底底截＝。
错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：。
4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。
正确答案是不能确定。
5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，
则此直线垂直于另一个平面。
正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。
6. （如中）平面α外有两点A,B ，它们与平面α的距离分别为a,b ，线段AB 上有一点P ，
且AP:PB=m:n ，则点P 到平面α的距离为_________________. 错解为：
na mb m n
++。错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的情况。正确答案是：|na mb mb na m n m n +-++或| 。 7. （如中）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB
的长等于_____.
错解：16. 错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的情况。正确答案是：16或64。
8. （如中）判断若a,b 是两条异面直线，p 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面
与a,b 都平行。
错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面时恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行。
9．(磨中)与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个。
正确答案：7个
错误原因：不会分类讨论
10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，若G 、E 分别为BB 1，C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心，则四边形BGEF 在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
正确答案： 2
1 错误原因：不会找射影图形
11．(磨中)△ABC 是简易遮阳板，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD 面积最大，遮阳板ABC 与地面所成角应为_________。
正确答案：50°
错误原因：不会作图
12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为2
1的椭圆，则角θ等于_______
正确答案：30°
错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。
13．(磨中)把半径为r 的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。
正确答案：(12
6+)r 错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上
14．（一中）AB 垂直于BCD ?所在的平面，4:3:,17,10===BD BC AD AC ，当
BCD ?的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 。正确答案：
135
15．（蒲中）在平面角为600的二面角βα--l 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为PC=2cm ，PD=3cm ，则P 到棱l 的距离为____________ 答案：
3
572cm 点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。
16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，
且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________
答案：600
点评：以PD 为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD 与棱PC 的夹角，利用
cos 2450+cos 2600+cos 2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。
17．（蒲中）正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角
都相等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD 1C
点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD 1C ，
易瞎猜。
18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。
正解：5
2。 设5242,22=+==AB x BD
55252
5222
=
==x
58
555252=-=AD CD AD CD BD AB CD ⊥⊥∴⊥,,
ADB ∠ 为二面角的平面角，2π
=∠∴ADB
2
2)55
8()552(+=∴AB 5
852*******=+=
5
2422)8552(
42cos 222=??-+=∠∴ACB 误解：折叠后仍然CD AD CD BD ⊥⊥,判断不了，找不到AB ADB Rt ,?的长求不出。
19．（江安中学）某地球仪上北纬
30，纬线的长度为cm π12，该地球仪的半径是_____cm ，表面积是_____ cm 2。 正解：π192,34
设地球仪的半径为R ，纬线的半径为r 。
由已知ππ122=r ，6=r πππ1924844,34,2
36,30cos 2=?===?=∴?=R S R R R r 表故 。 误解：误将πππππ1443644,61222=?====R S R R 得
20．（江安中学）自半径为R 的球面上一点P 引球的两两垂直的弦PA 、PB 、PC,则222PC PB PA ++=_____。
正解:24R ,可将PA,PB,PC 看成是球内接矩形的三度,则2
22PC PB PA ++应是矩
形对角线的平方,即球直径的平方。
误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。
21．（丁中）直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，则∠BAC= 。
错解：600
错因：画图时只考虑一种情况
正解：600或1200
22．（丁中）直线l 与平面α成角为300，m A m A l ??=?,,αα则m 与l 所成角的取值范围是
错解：[ 300 , 1200]
错因：忽视两条直线所成的角范围是]90,0[00
正解：[ 300 , 900]
23．（丁中）若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B
到平面α的距离为_________cm 。
错解：2
错因：没有注意到点A 、B 在平面α异侧的情况。
正解：2、14
24．（薛中）已知直线L ∩平面α=O ，A 、B ∈L ，→OA = 4 ，8=→
AB ；点A 到平面α距离为1，则点B 到平面α的距离为 。
答案：1或3
错解：3
错因：考虑问题不全面，点A ，B 可能在点O 的同侧，也可能在O 点两侧。
25．（薛中）异面直线a , b 所成的角为?60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为?60，这样的直线L 有 条。
答案：三条
错解：一条
错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P 作b a b b a a '''',,//,//由确定一平面α，画b a '',相交所成角的平分线m 、g ，过m, g 分别作平面α的垂面γβ,，则在γβ,中易找到所求直线共有3条。
26．（薛中）点P 是?ABC 所在平面外一点，且P 在?ABC 三边距离相等，则P 点在平面ABC 上的射影是?ABC 的 心。
答案：内心或旁心
错解：内心
错因：P 在平面ABC 内的正射影可能在?ABC 内部，也可能在?ABC 外部。
27．（案中）四面体的一条棱长为x ，其它各棱长为1，若把四面体的体积V 表示成x 的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。 正确答案：（0，26] ???
????326， 错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x 的隐藏范围。
28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AD 的中点，则点A 1到平面为EF 的距离为 正确答案：3
2 错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。
29．（案中）点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 正确答案：5
702 错误原因：找不到解题思路
三、解答题：
1. （如中）由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC ，O 为⊿ABC
的外心，求证：OP α⊥。
错解：因为O 为⊿ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以⊿POA ，⊿POB ，⊿POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，所以OP α⊥。 错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。
正解：取BC 的中点D ，连PD ，OD ，,,,,,,
AB PO PO .PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥面同理，
2. （如中）一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球，无论怎样摇动
盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。
错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。
错误原因是空间想像力不够。
正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：
331448[1(1)]8833
ππ-?=-，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个114??的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为21[114(1)4]48124
ππ??-??=-。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：
3440(8)481256()33
cm πππ-+-=-。 3．（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=8，AA 1=4，M 为B 1C 1上一点，且B 1M=2，点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN ，
求： (1) ),cos(1AM D A ；
(2) 直线AD 与平面ANM 所成的角的大小；
(3) 平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大
小.
解：(1) 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线
为x 轴，y 轴，z 轴.
则D(0,8,0)，A 1 (0，0，4)，M(5,2,4)
4,8,0(1-=∴A ) )4,2,5(= ∵01=?A ∴0,cos 1>=∠A
(2) 由(1)知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，⊥∴D A 1平面AMN ，垂足为N.
因此AD 与平面所成的角即是.DAN ∠
易知2arctan 1=∠=∠D AA DAN
(3) ∵⊥1AA 平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ， ∴11NA AA 和分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
5
5arccos ),(1111=∠=∠==D AA N AA NA AA θ 4．（一中）点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ．
（Ⅰ）求EOF ∠的大小；
（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小．
解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H
，则EG FH ==
GH =．
22222
EF GH EG FH EG FH ∴=++-?
222012.=++-=
又在EOF ?中，2OE OF ==，
222222221cos 22222
OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-???． 120EOF ∴∠=．
（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．
∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．
∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．
在Rt ?EGM 中，90EGM ∠=，EG =，112GM OE =
=， ∴tan EG EMG GM
∠==EMG ∠=
所以，二面角E OF A --
的大小为
解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ，
则(1,1OE =-，(0,2,0)OF =． 1cos ,2||||OE OF OE OF OE OF ?∴<>=
=-． 120EOF ∴∠=． （Ⅱ）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z
=．
由110,0,n OE n OF ?=?=得
10,20,
y y ?-=??=??
解得0,y z ==． 所以，1(1,0,n =． 又因为平面AOF 的法向量为2(0,0,1)n =， 1212123
cos ,||||
n n n n n n ?∴<>==
．∴12,arccos 3n n <>=． 所以，二面角E OF A --的大小为arccos 3
． 5．（蒲中）斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱AA 1与底面相邻两边AB 、AC 都成450角，
求这个三棱柱的侧面积。
解：过点B 作BM ⊥AA 1于M ，连结CM ，在△ABM 和△ACM 中，∵AB=AC ，∠MAB=∠MAC=450，MA 为公用边，∴△ABM ≌△ACM ，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA 1⊥面BHC ，即平面BMC 为直截面，又BM=CM=ABsin450=2
2a ，∴BMC 周长为2x 2
2a+a=(1+2)a ，且棱长为b ，∴S 侧=(1+2)ab 点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；
二是作直截面的方法不当，即“过BC 作平面与AA 1
垂直于M ”；三是由条件“∠A 1AB=∠A 1AC ?∠AA 1
在底面ABC 上的射影是∠BAC 的平分线”不给出
论证。
6．（江安中学）如图在三棱柱ABC-'''C B A 中，已知底面ABC
A 1C 1
C
A
M
B 1
是底角等于
30，底边AC=34的等腰三角形，且22','=⊥C B AC C B ，面AC B '与面ABC 成 45，B A '与'AB 交于点E 。
1) 求证：'BA AC ⊥；
2) 求异面直线AC 与'BA 的距离；
3) 求三棱锥BEC B -'的体积。
正解：①证：取AC 中点D ，连ED ， AB E ∴的中点，是' //2'2
1=C B AC DE AC C B ⊥∴⊥,'
又ABC ? 是底角等于
30的等腰?，D DE BN AC BD =⊥∴ , ',,BA AC BE AC BDE AC ⊥⊥∴⊥∴即面
②解：由①知的一个平面角，是二面角B AC B EDB --∠'
23
33230tan ,245=?
===∠∴ AD BD ED EDB ，＝ 在22
2224245cos 2222=??-+=?-+=?α BD ED BD ED EB DBE 中：ED BE ED Rt BDE EB ,,,2⊥??∴=∴是等腰是异面直线AC 与'BA 的距离，为2
③连，
面又BED AC BD D A ED EA ED D A ⊥⊥∴===,',2',' 2'',','=⊥∴⊥∴?D A ABC D A AC D A BED D A 且面面
338')(2131'31'=???=?=
?-D A AC BD D A S V ABC ABC B 33
42121''''''====----ABC B ABB C BEB C BEC B V V V V 误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后
错解。
7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M
为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1
到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。
求
4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
5) PC 和NC 的长；
6) 平面NMP 和平面ABC 所成二面
角（锐角）的大小（用反三角函
数表示）
正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展
开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922=+
②如图1，将侧面BC 1旋转
120使其与侧
面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1
的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿
棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。
设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在2,292)3221==+?x x MAP Rt ＋中，（ 5
4,5211=∴==∴NC A P C P MA MC ③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平
面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，
又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥。
所成二面角的平面角。与平面就是平面ABC NMP NHC ∠∴
1,602
11=∴=∠=
∠?CH PCP PCH PHC Rt 中，在 54tan ==∠?CH NC NHC NCH Rt 中，在 误解：①不会找29 的线段在哪里。
②不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解。
③不会找二面角的平面角。
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高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
2016上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=?? +=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点 P 落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20） 15.设R a ∈，则“1>a ”是“12 >a ”的（ ）
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．
3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
2016年高考上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i i z += ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=： ，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9 ．在2 )n x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 .
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷 2016.1 一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()f x = 的定义域为 ； 5. 三阶行列式1 354 001 2 1 --中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1 ()f x a x = +的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ?=，45B ? = ，BC = AC = ； 8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为1 3 ，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程2 50x ax ++=的一个虚根， 则a = ； 11. 函数2 21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ； 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆2 2 650x y x +-+=上的两个动点，且满足 ||AB =||OA OB +的最小值为 ； 二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B. 4 3 π C. 2π D. 4π 15. 在6 (1)x +的二项展开式中，2 x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 （一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27- （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是. 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行 答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( ) 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=??+=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P （2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． （2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． （2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积. （2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ． （1）证明：AC ⊥BD ； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 第四编 立体几何初步 第九章 立体几何初步 第一节 简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下： 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S 体积V 棱 柱 底侧S S 2+ h S 底 棱 锥 底侧S S + h S 底3 1 棱 台 下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆 柱 )(2r l r +π h r 2π 圆 锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节 三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分. （4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧 （5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. （6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图： （1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） （2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45??='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半. 第三节 空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断： ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a //高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析
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