专题11 一次函数及其应用
命题点1函数图像与坐标轴交点坐标
1. 关于直线l ：y ＝kx ＋k(k ≠0)，下列说法不正确．．．
的是( ) A . 点(0，k)在l 上 B . l 经过定点(－1，0) C . 当k>0，y 随x 的增大而增大 D . l 经过第一、二、三象限
【答案】D
【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析
正误
A
将点(0，k )代入y ＝kx ＋k 中成立，所以点(0，k )在直线
l 上
√ B
当x ＝－1时，y ＝－k ＋k ＝0，所以直线l 经过定点(－1，
0)
√
C
当k ＞0时，y 随x 的增大而增大
√
D
当k >0时，直线l 经过第一、二、三象限；当k <0时，
直线l 经过第二、三、四象限
命题点2一次函数与二元一次方程
2. 设点A(a ，b)是正比例函数y ＝－3
2x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是
( )
A . 2a ＋3b ＝0
B . 2a －3b ＝0
C . 3a －2b ＝0
D . 3a ＋2b ＝0
【答案】D
【解析】本题考查了正比例函数的图象与性质．把点A (a ，b )代入y ＝－3
2x 中，得b ＝
－3
2
a ，即2
b ＝－3a ，∴3a ＋2b ＝0. 3. 如图，两直线y 1＝kx ＋b 和y 2＝bx ＋k 在同一坐标系内图象的位置可能是( )
【答案】A
【解析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A 、 由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k <0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b >0，k <0，符合；B 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0，
y 2＝bx ＋k 中，b <0，k >0，不符合；C 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b <0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不符合；D 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不
符合；
故选A.
命题点3函数的增减性
4. 已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )
A . k ＞1，b ＜0
B . k ＞1，b ＞0
C . k ＞0，b ＞0
D . k ＞0，b ＜0
【答案】A
【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴
k －1>0, ∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b ＜0, ∴k >1，b ＜0.
5. 已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标x 与对应的纵坐标y 分别如下表所示，两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标y 是( )
甲
x 1 2 3 4 y
1
2
3
乙
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
【答案】D
【解析】由表格可知，只有一对值相等，它是x ＝4，y ＝3，故两个函数图象的交点为(4，3)，故交点的纵坐标为3，故选D.
命题点4函数图像的平移
6. 在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )
A . 将l 1向右平移3个单位长度
B . 将l 1向右平移6个单位长度
C . 将l 1向上平移2个单位长度
D . 将l 1向上平移4个单位长度
【答案】A
【解析】∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，∴－2(x ＋a )－2＝－2x ＋4，解得a ＝－3，故将l 1向右平移3个单位长度．故选A.
命题点5函数图像与坐标轴围成图形面积
7. 已知直线y ＝kx －4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为( )
A . y ＝－x －4
B . y ＝－2x －4
C . y ＝－3x ＋4
D . y ＝－3x －4
【答案】B
【解析】直线y ＝kx －4(k <0)与两坐标轴的交点坐标为(0，－4)、(4
k
，0)，∵直线y ＝
kx －4(k <0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×(－4k )×1
2
＝4，解得k ＝－2，则直
线的解析式为y ＝－2x －4.故选B.
命题点6函数应用
8. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率. 该绿化组完成的绿化面积S (单位：m 2
)与工作时间t(单位：h )之间的函数
关系如图所示. 则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )
第8题图
A . 300 m 2
B . 150 m 2
C . 330 m 2
D . 450 m 2
【答案】 B
【解析】设提高效率后对应的直线解析式为S ＝kt ＋b ，由图可知，该直线经过(4，1200)
和(5，1650)两点，代入得：?????4k ＋b ＝12005k ＋b ＝1650，解得：?
????k ＝450b ＝－600，所以提高效率之后，S 与t
的函数解析式为：S ＝450t －600，则当t ＝2时，S ＝300，所以在前2个小时内，一共完成的绿化面积为300 m 2
，∴提高效率前每小时的绿化面积为：300÷2＝150 m 2
.故选B.
命题点7函数意义
9. 若函数y ＝(m －1)x |m|
是正比例函数，则该函数的图象经过第____________象限． 【答案】二、四
【解析】∵函数y ＝(m －1)x |m |
是正比例函数，则?
????|m |＝1m －1≠0，∴m ＝－1.则这个正比例函
数为y ＝－2x ，其图象经过第二、四象限．
10.若一次函数y ＝－2x ＋b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是________(写出一个即可)．
第11题图
【答案】－1(答案不唯一，满足b ＜0即可)
【解析】∵一次函数y ＝－2x ＋b 的图象经过第二、三、四象限，∴b ＜0，故b 的值可以是－1.
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限．若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．【答案】－2
【解析】由已知得B(1，1)，把顶点B(1，1)代入y＝kx＋3中，得k＝－2.
12. 已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是________．
【答案】a>b
【解析】∵点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上两点，∴a＝－2×1＋1＝－1，b＝－2×2＋1＝－3. ∵－1>－3，故a>b.
13.若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝(k－1)x＋k
的图象不经过
．．．第________象限．
【答案】一
【解析】依题意，k－1<0，k＋1<0, 解得k<－1<0.∴一次函数y＝(k－1)x＋k的图象过第二、三、四象限，故不过第一象限．
命题点8函数图像与一元一次不等式
14. 如图，直线y＝－x＋m与y＝x＋3的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x ＋m＞x＋3＞0的解集为________．
第14题图
【答案】－3＜x＜－2
【解析】∵直线y＝－x＋m与y＝x＋3的交点的横坐标为－2，∴m＝－1，∴关于x的不等式－x＋m＞x＋3的解集为x＜－2，∵y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴x＋3＞0的解集是x ＞－3，∴－x＋m＞x＋3＞0的解集是－3＜x＜－2.
15. 如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝13.
第15题图
(1)求点B 的坐标；
(2)若△ABC 的面积为4，求直线l 2的解析式． 【答案】解：(1)∵点A 的坐标为(2，0)，∴AO ＝2. 在Rt △AOB 中，
OA 2＋OB 2＝AB 2，即22＋OB 2＝(13)2，
∴OB ＝3， ∴B (0，3)；
(2)∵S △ABC ＝12BC ·OA ，即4＝1
2BC ×2，
∴BC ＝4，
∴OC ＝BC －OB ＝4－3＝1， ∴C (0，－1)．
设直线l 2的解析式为y ＝kx ＋b . ∵直线l 2经过点A (2，0)，C (0，－1)，
∴?????0＝2k ＋b
－1＝b ， 解得??
???k ＝1
2b ＝－1，
∴直线l 2的解析式为y ＝1
2
x －1.
16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A(－6，0)的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B(m ，4)．
(1)求直线l 1的表达式；
(2)过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围．
第16题图
【答案】解：(1)∵点B 在直线l 2上，∴4＝2m ，∴m ＝2， 设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b ，
由A 、B 两点均在直线l 1上得?
???
?4＝2k ＋b 0＝－6k ＋b ，
解得?????k ＝12b ＝3
，则l 1的表达式为y ＝1
2
x ＋3；
(2)∵C 、D 分别为直线x ＝n 与直线l 1、l 2的交点， ∴当点C 位于点D 的上方时，l 1>l 2，
结合图象可知，当x <2时，l 1>l 2成立，∴n <2.
17.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A 型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份A 型车
销售总额增加25%.
(1)求今年A 型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A ，
B 两种型号车的进货和销售价格如下表：
【答案】(1)解：设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆(x ＋400)元， 根据题意得，32000x ＝32000×（1＋25%）x ＋400，
解得x ＝1600，
经检验，x ＝1600是方程的根，且符合题意，
A 型车
B 型车
进货价格(元/
辆) 1100
1400
销售价格(元/
辆)
今年的销售价
格
2400
所以，今年A 型车每辆售价为2000元；
(2)解：设今年7月份新进A 型车m 辆，那么新进B 型车(50－m )辆，获得的总利润为y 元，根据题意，得50－m ≤2m ，
解得m ≥162
3
，
y ＝(2000－1100)m ＋(2400－1400)(50－m )， y ＝－100m ＋50000
∵k ＝－100<0，
∴y 随m 的减少而增大，但m 只能取整数， ∴当m 取17时，可以获得最大利润． 进货方案：A 型车17辆，B 型车33辆． 满分冲关
1. 已知点P(m ，n)是一次函数y ＝x －1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m ，n 满足(m ＋2)2
－4m ＋n(n ＋2m)＝8，则点P 的坐标为( )
A . (12，－12)
B . (53，23
) C . (2，1) D . (32，12
)
【答案】D
【解析】∵点P (m ，n )是一次函数y ＝x －1的图象位于第一象限部分上的点，∴m －1＝
n ①，又∵当y ＝0时，x ＝1，∴m ＞1，n ＞0.将(m ＋2)2－4m ＋n (n ＋2m )＝8整理，得(m ＋n )2
－4＝0，则(m ＋n ＋2)(m ＋n －2)＝0，∵m ＋n ＋2＞0，∴m ＋n －2＝0②，将①代入②，得m ＝32，n ＝12
. 2. 如图，直线y ＝2
3x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、
OB 的中点，点P 为OA 上一动点．PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( )
第2题图
A . (－3，0)
B . (－6，0)
C . (－32，0)
D . (－52
，0)
【答案】C
【解析】对于直线y ＝2
3x ＋4，当y ＝0时，x ＝－6，当x ＝0时，y ＝4，∴点A (－6，0)，
点B (0，4)．∵点C 、D 分别是AB 、OB 的中点，∴点C (－3，2)，点D (0，2)．作点D 关于x 轴的对称点D ′，则点D ′坐标为(0，－2)，如解图，连接CD ′交x 轴于点P ′，此时PC ＋
PD 值最小．∴直线CD ′的解析式为y ＝－43x －2，当y ＝0时，x ＝－32
，∴点P 的坐标为(－
3
2
，0)．故选C.
3.一次函数y ＝43x －b 与y ＝4
3
x －1的图象之间的距离等于3，则b 的值为( )
A ．－2或4
B . 2或－4
C . 4或－6
D . －4或6 【答案】D
【解析】∵直线y ＝43x －1 与x 轴的交点A 的坐标为(3
4 ，0)，与y 轴的交点C 的坐标
为(0，－1)，∴OA ＝34，OC ＝1，直线y ＝43x －b 与直线y ＝4
3x －1相距3，可分为两种情况：
(1)如解图①，点B 的坐标为(0，－b )，则OB ＝－b ，BC ＝1－b ，易证△OAC ∽△DBC ，则OA DB
＝AC
BC ，即3
43
＝12
＋（34
）
21－b
，解得b ＝－4；(2)如解图②，点F 的坐标为(0，－b )，则CF ＝b
－1，易证△OAC ∽△ECF ，则OA EC ＝AC
CF ，即343
＝
12
＋（34
）
2b －1
，解得b ＝6，故b ＝－4或6.
第3题解图
4. 已知二元一次方程组?????x －y ＝－5x ＋2y ＝－2的解为?
????x ＝－4
y ＝1，则在同一平面直角坐标系中，直
线l 1：y ＝x ＋5与直线l 2：y ＝－1
2
x －1的交点坐标为__________．
第5题图
【答案】(－4，1)
【解析】二元一次方程x －y ＝－5对应一次函数y ＝x ＋5，即直线l 1；二元一次方程x ＋2y ＝－2对应一次函数y ＝－1
2x －1，即直线l 2.∴原方程组的解即是直线l 1与l 2的交点坐
标．∴交点坐标为(－4，1)．
5. 如图，已知A 、B 、C 、D 是平面直角坐标系中坐标轴上的点，且△AOB ≌△COD ，设直线AB 的表达式为y ＝k 1x ＋b 1，直线CD 的表达式为y ＝k 2x ＋b 2，则k 1·k 2＝________．
【答案】1
【解析】直线AB 与x 轴的交点B 坐标为(－b 1
k 1
，0)，与y 轴的交点A 坐标为(0，b 1)，直线CD 与x 轴的交点C 坐标为(－b 2k 2
，0)，与y 轴的交点D 坐标为(0，b 2)，∵△AOB ≌△COD ，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴－b 1k 1＝b 2，－b 2k 2＝b 1，∴k 1＝－b 1b 2，k 2＝－b 2b 1
，∴k 1k 2＝1.
6. 将函数y ＝2x ＋b(b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b|(b 为常数)的图象，若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0 【答案】－4≤b ≤－2 【解析】先求出直线y ＝2与y ＝|2x ＋b |的交点的横坐标，再由已知条件列出关于b 的 不等式组，即可求出结果．由?????y ＝2y ＝|2x ＋b |，得? ????y ＝2y ＝2x ＋b 或?????y ＝2y ＝－2x －b ，解得x ＝2－b 2或x ＝－2＋b 2，∵0＜x ＜3，∴?????2－b 2≤3－b ＋2 2≥0 ，解得－4≤b ≤－2. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知点(a ，b)在直线y ＝2mx ＋m 2 ＋2(m ＞0)上，且满足a 2 ＋ b 2－2(1＋2bm)＋4m 2 ＋b ＝0，则m ＝________． 第8题图 【答案】3－1 【解析】本题考查了一次函数的性质、配方法以及完全平方公式．∵点(a ，b )在直线y ＝2mx ＋m 2 ＋2(m ＞0)上．∴b ＝2am ＋m 2 ＋2，即b －2＝2am ＋m 2 .∵a 2 ＋b 2 －2(1＋2bm )＋4m 2 ＋b ＝0∴a 2 ＋b 2 －2－4bm ＋4m 2 ＋b ＝0，∵b －2＝2am ＋m 2 ，∴a 2 ＋b 2 －4bm ＋4m 2 ＋2am ＋m 2 ＝0，∴(a ＋m )2 ＋(b －2m )2 ＝0.∴a ＝－m ，b ＝2m .∴2m －2＝－2m 2 ＋m 2 ，解得m ＝－1±3，∵m ＞0，∴m ＝3－1. 8. 如图，一次函数的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB. 若C(32，3 2 )，则该一次函数的解析式为____________________． 【答案】y ＝－3x ＋ 3 【解析】如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，由C (32，32)可得，CD ＝32，OD ＝3 2，由对 称性可知AC ＝OA ＝x ，则(32－x )2 ＋(32)2＝x 2，解得x ＝1，∴OA ＝AC ＝1，AD ＝12，∴∠CAD ＝60°，∴∠OAB ＝60°，∴OB ＝3，由此可得点A (1，0)，B (0，3)，设直线AB 的解 析式为y ＝kx ＋3，求得k ＝－3，即y ＝－3x ＋ 3. 9. 某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示：(教师按成人票价购买，学生按学生票价购买) 运行区间 成人票价(元/张) 学生票价 (元/张) 出发 站 终点站 一等座 二 等 座 二等 座 若师生均购买二等座票，则共需1020元． (1)参加活动的教师有______人，学生有______人； (2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y 元． ①求y关于x的函数关系式； ②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？ 【答案】解：(1)10; 50； 【解法提示】设有教师x人，则有学生(60－x)人． 由题意，列方程得：22x＋16(60－x)＝1020， 解得：x＝10， ∴60－x＝50(人)， ∴有教师10人，学生50人． (2)①由题意知： y＝26x＋22(10－x)＋50×16 ＝26x＋220－22x＋800 ＝4x＋1020. ∴y关于x的函数关系式为y＝4x＋1020； ②由题意得：4x＋1020≤1032， 解得：x≤3. ∴提早前往的教师最多只能3人． 10. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？ (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式； (3)小明家5月份用水26吨 ，则他家应交水费多少元？ 【答案】解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元． 根据题意列方程组得， ?????14m ＋（20－14）n ＝4914m ＋（18－14）n ＝42， 解得：? ????m ＝2n ＝3.5， 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元； (2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ； 当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21， 故所求函数关系式为：y ＝? ????2x （0≤x ≤14）3.5x －21（x ＞14）； (3)∵26＞14， ∴小明家5月份应交水费为3.5×26－21＝70元， 答：小明家5月份应交水费70元． 11. 下图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y(单位：L /km )与速度x(单位：km /h )之间的函数关系(30≤x ≤120)．已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km /h ，耗油量增加0.002 L /km . (1)当速度为50 km /h 、100 km /h 时，该汽车的耗油量分别为________L /km 、________L /km ； (2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式； (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 第11题图 【答案】解：(1)0.13，0.14； 【解法提示】x 轴表示速度，从30到60之间为40，50，对应的y 轴汽车耗油量由0.15到0.12，列表如下 ∴当速度为50 km/h 时，该汽车耗油量为0.13 L/km ，当速度为100 km/h 时，该汽车耗油量为0.12＋0.002×(100－90)＝0.14 L/km ； (2)设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ， ∵y ＝kx ＋b 的图象过点(30，0.15)与(60，0.12)， ∴?????30k ＋b ＝0.1560k ＋b ＝0.12，解方程组，得? ????k ＝－0.001b ＝0.18， ∴线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.001x ＋0.18； (3)根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝0.12＋0.002(x －90)＝0.002x －0.06， 由图象可知，B 是折线ABC 的最低点， 解方程组?????y ＝－0.001x ＋0.18y ＝0.002x －0.06，得? ????x ＝80 y ＝0.1， 因此，速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km. 初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少 ~ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点，交x 轴于点B （-6，0），△AOB 的面积为15，且AB=AO ，求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 （ 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式 12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA 交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6. ； 求：（1）△COP的面积 （2）求点A的坐标及m的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD的解析式 2020年中考二轮专题实际应用 1．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式； （2）何时甲货车离B地的距离大于乙货车离B地的距离？ 2．为更新树木品种，某植物园计划购进甲、乙两个品种的树苗栽植培育若计划购进这两种树苗共41棵，其中甲种树苗的单价为6元/棵，购买乙种树苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间的函数关系如图所示． （1）求出y与x的函数关系式； （2）若在购买计划中，乙种树苗的数量不超过35棵，但不少于甲种树苗的数量．请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 3．春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品质相同的草莓，“草莓节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额y 甲、y 乙（单位：元）与标价应付款金额x （单位：元）之间的函数关系如图所示． （1）求y 甲、y 乙关于x 的函数关系式； （2）“草莓节”期间，如何选择甲、乙两家水果店购买草莓更省钱？ 4．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y （千克），增种果树x （棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种多少棵树，果园总产量6750千克？ 5．为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动，自行车队从甲地出发，目的地为乙地，在自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往乙地，到达乙地后立即按原路返回甲地．自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍．如图所示的是自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地的时间x（h）的关系图象，请根据图象提供的信息，回答下列问题． （1）自行车队行驶的速度是；邮政车行驶的速度是；a＝．（2）邮政车出发多少小时与自行车队相遇？ （3）当邮政车与自行车队相距15km时，此时离邮政车出发经过了多少小时？ 6．A、B两地相距60km，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中L1、L2分别表示甲、乙俩人离B地的距离y（km）与甲出发时间x（h）的函数关系图象． （1）根据图象，直接写出乙的行驶速度； （2）解释交点A的实际意义； （3）甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km； （4）若用y3（km）表示甲乙两人之间的距离，请在坐标系中画出y3（km）关于时间x （h）的的数关系图象，注明关键点的数据． 二次函数 的解析式 【重点难点提示】 重点：二次函数的解析式 难点：从实际问题中抽象出二次函数 考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。 【经典范例引路】 例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4 （1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。 解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0) 则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16 ∴k=±2 (2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4) ∴S △ABC =21 ×4×4=8 设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0 得：x=－1±22或x=1±22 ∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4） 例2 阅读下面的文字后，解答问题 有这样一道题目： 已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由 （2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 解 （1）能：根据题意有：?? ?++=-=c b a c a 2 又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b 2=2 巩固练习 一、选择题： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x （kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2， 如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙 弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（） （A）y1>y2（B）y1=y2 \ （C）y1 $ 9．要得到y=-3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（） （A）m>-1 4 （B）m>5 （C）m=- 1 4 （D）m=5 11．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 《一次函数的性质及运用》专题练习 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列图像中，表示y 是x 的函数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中自变量的取值范围选取错误的是 ( ) A ．y ＝x 2中x 取全体实数 B ．y ＝11x -中x ≠0 C ．y ＝11 x +中x ≠－1 D ．y x ≥1 3．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升，如果每升汽油2.6元，则油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是 ( ) A ．y ＝2.6x(0≤x ≤20) B ．y ＝2.6x ＋26(0 求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．如图，直线l与x轴交于点A（﹣1.5，0），与y轴交于点B（0，3） （1）求直线l的解析式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积． 3．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 4．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 5．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B．若△AOB的面积为12，求一次函数的表达式． 6．已知一次函数y=kx+b，当x=﹣4时，y的值为9；当x=6时，y的值为3，求该一次函数的关系式． 7．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 8．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 9．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式mx+n＜0的解集． 10．已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象； （2）结合图象求，当﹣1＜y≤0时x的取值范围． 11．已知y﹣2与2x+1成正比例，且当x=﹣2时，y=﹣7，求y与x的函数解析式． 12．已知y与x﹣1成正比例，且当x=﹣5时，y=2，求y与之间的函数关系式． 13．已知一次函数的图象经过点A（，m）和B（，﹣1），其中常量m≠﹣1，求一次函数的解析式，并指出图象特征． 14．已知一次函数y=（k﹣1）x+5的图象经过点（1，3）． （1）求出k的值； （2）求当y=1时，x的值． 1 / 3 一次函数解析式的确定练习题 第1题?如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ? b 的图象，看图填空: 则y 与x 之间的函数关系式是 第5题.已知直线y = _5x ? a 与直y = 5x ? b 的交点坐标为 （m,8）， 贝H a b 的值是 _________________ . 1 第6题.若直线y x ? n 与直线y = mx -1相交于（1, - 2），则（ ） 2 第7题.已知下表是y 与x 的一次函数，请写出函数表达式， x -2 -1 0 2 3 y 4 第8题.如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ?b 的图象. （1 ）图象经过（0, _ ）和（ _ -）点; （2）贝廿 k 二 ___ - b 二 _________ 第9题.某一次函数的图象经过点 （-1,2）-且函数y 的值随自变量2 出一个符合上述条件的函数关系式是 _____________________ 1 第10题.已知y-m 与3x+6成正比例关系（m 为常数当帚 -1 -2 第11题.已知一次函数y 二kx ? b 的图象经过点 A （2,5）和点E ,点E 是一次函数y = 2x -1 的图象与y 轴的交点，则这个一次函数的表达式是 ___________________ . 1 第12题.直线y =kx ? b 过点（-2,5）且与y 轴交于点P ，直线y x 3与y 轴交于Q - (1) b = k 二 ; (2 )当 x = 6 时， y = ； (3 )当 y =6时， X 二 . 第 2题. 一次函数 y =bx 2的图象经过点A （_1,1） ,I 则 b Y 第3题.正比例函数的图象经过点 A （-2,-3），求正比例函数的关系式. 第4题.y ?3与x 1成正比例，且当x = 1时，y =1 -T O k y / I /的增大而减小，请你写 I | 4 时，a yp4，当 x = 3 时, y =7，那么y 与x 之间的函数关系式是 1 2 3 2 一次函数专项训练及答案 一、选择题 1．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜-1 D ．a ＞-1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点，()()12120m x x y y =--<， ∴该函数图象是y 随x 的增大而减小， ∴a+1<0， 解得a<-1， 故选C. 【点睛】 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题. 2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ） A ．2x > B ．02x << C ．8x >- D ．2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可． 【详解】 解：∵函数y ＝?4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，?8）， ∴?8＝?4m ， 解得：m ＝2， 故A 点坐标为（2，?8）， ∵kx ＋b ＞?4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0， 则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2． 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ） A ．2 B 2 C 5 D 3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣22，则A （0，2）， 当y=0时，﹣2=0，解得2，则B （2，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则2OA=4，OH=12 AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到22OP OM -21OP - 当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-= 故选D ． 精心整理 一次函数的应用 一．选择题 1．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法： ①甲、乙两地之间的距离为560km； ②快车速度是慢车速度的1.5倍； ③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km； ④相遇时，快车距甲地320km A．1 2 A． 3．t（小时）③A、 A．1 4 A．1 5 6l1、l2分 x= h 人相距7km． （6题图）（7题图） 7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中： ①甲队每天挖100米； ②乙队开挖两天后，每天挖50米； ③甲队比乙队提前3天完成任务； ④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米． 正确的有．（在横线上填写正确的序号） 8．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是． 三、解答题： （行程问题） 8.周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点） （1 （2 及 9. （1 （2 为t （3 10.小林家、小华家与图书馆依次在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟．设两人出发x（分钟）后，小林离小华家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示． （1）小林的速度为米/分钟，a= ，小林家离图书馆的距离为米；（2）已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与家的距离为y1（米），请在图中画出y1（米）与x（分钟）的函数图象； （3）小华出发几分钟后两人在途中相遇？ 11．甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s（千米）随时间t （小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？ 高三复习题型专题训练《函数的解析式》（含答案） 考查内容：主要涉及求函数的解析式（换元法，待定系数法，配凑法，方程组法等） 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知()2 145f x x x -=+-，则()f x 的表达式是（ ） A ．223x x +- B ．2610x x +- C ．26x x + D ．287x x ++ 2．已知函数) 12f x =+，则 A ．()2 21f x x x =++ B ．()()2 231f x x x x =-+≥ C ．()2 21f x x x =-+ D ．()()2 231f x x x x =++≥ 3．已知1)3f x =+，则(1)f x +的解析式为（ ） A ．4(0)x x +≥ B ．23(0)x x +≥ C ．224(1)x x x -+≥ D ．23(1)x x +≥ 4．已知()1f x +=()21f x -的定义域为（ ） A ．1,12?? ??? B ．13,22?? ???? C ．1,12?????? D ．13,22 ?????? 5．设函数()(0)f x kx b k =+>，满足(())165f f x x =+，则()f x =（ ） A ．543 x -- B ．5 43x - C ．41x D ．41x + 6．已知()f x 满足()1 2()3f x f x x +=，则()f x 等于（ ） A ．12x x -- B ．1 2x x -+ C ．12x x + D ．1 2x x - 7．设()()2log 20x f x x =>，则()3f 的值是（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．1024 8．若 (cos )cos2f x x =，则(sin 60)f ?等于（ ） A ． B C ． 12 D ．12 - 9．已知定义在R 上函数()f x 为单调函数,且对任意的实数x ,都有 19．2一次函数（2） 班级学号姓名 【学习目标】 1．能根据已知条件确定一次函数关系式． 2．能利用一次函数关系式求相应的自变量的值以及函数值． 【重、难点】 重点：运用待定系数法求一次函数关系式． 难点：求一次函数关系式中的自变量的取值范围． 【新知预习】 1．已知函数y＝2x－3，当x＝－2时，y＝____；当y＝1时， x＝___ ．2．某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往车辆为3000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系，及x的取值范围． 【导学过程】 活动1： 一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm. （1）写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式； （2）5h后蚊香还剩多长？ （3）该盘蚊香可以使用多长时间？ （4）求t的取值范围. 活动2： 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的一次函数,当所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求所挂物体的质量为4克时的弹簧的长度； （3）当弹簧长为29厘米时，所挂物体的质量为多少克？ 小结：求一次函数表达式的一般步骤： 例1．已知：y是x的正比例函数，x=2时，y=6，求y与x的关系式. 例2．已知y与x－3成正比例，当x=4时，y=3，求y与x的函数关系式． 变式1 已知y－1与x成正比例，当x=2时，y=－4，求y与x的函数关系式． 变式2 已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x=－1时，y=2； 当x=2时，y=5，求y与x的函数关系式． 例3．长方形的周长为20cm． (1)写出长y与宽x之间的函数关系式； (2)当长为5 cm时，宽为多少？ (3)求长的取值范围． 【反馈练习】 1.完成课本P145练习． 2.已知函数y=4x+5,当x=-3时，y= ；y=5时，x= ． 3.已知y与4x－1成正比例，当x=3时，y=6，求出y与x的函数关系式． 4.已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y=9; 当x=2时，y=-3. (1)求这个函数的函数关系式； (2)y=5时，求x的值． 5.已知：y－3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值； （3）计算y＝4时，x的值. 6．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸，按如图所示方法粘合在一起，粘合部分白纸为2cm. （1）求10张白纸粘合后的长度； （2）设x张白纸粘合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式； （3）求x的取值范围． 一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费0.2元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收0.11元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ x y 2 1 7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用 水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. (3)若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓 球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的 付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系 式. （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？ 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这 两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系 式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合 算？ 一次函数解析式的确定及应用 学习目标 1.经历用待定系数法确定一次函数解析式的过程，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，提高数学运算能力. 2.能够用一次函数的相关知识解决实际问题，感受一次函数在解决实际问题中的作用，提高利用数学建模解决实际问题的能力. 教学过程 活动一:待定系数法 1.已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求这个一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为 ，将点（2，5）和（-1，-1）代入，得方程组 ，解方租 ，所以这个一次函数的解析式为 . 2.一次函数)0(≠+=k b kx y 中有 个待定系数，因此需要根据 个条件才能列出关于 的二元一次方程组求解. 探究归纳： 1.待定系数法 先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. 2.求一次函数解析式的步骤 （1）设出 （2）根据条件列出解析式中关于未知系数的方程（组）; （3）解方程（组），确定 （4）根据求出的未知系数确定 活动二:知识点即时反馈练习 1.一次函数3+=kx y 中，当3=x 时，6=y ，则k 的值为( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5 2.如果一次函数的图象经过点（0，1）和（-1，3），那么这个函数的解析式为( ) A.1 - y 2- =x =x 2+ - y B.1 C.1 =x 2+ 2- y y D.1 =x 3.如图，直线l为一次函数b =2的图象，则= x y+ b 活动三：典型习题 例1.（1）已知一次函数的图象过A（-3，-5），B（1，3）两点，求这个一次函数的解析式为.（2）已知直线b =，求这个一 y2 - y+ kx =经过点A（0，6），且平行于直线x 次函数的解析式. 变式练习1 一次函数的图象与直线1 y平行，且经过点 A（1，-7），求这个一次函数的解 =x 3- - 析式. 变式练习2 已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求一次函数的解析式. 例2.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（单位∶元）与每月用水量x（单位∶m3）之间的 关系如图所示. （1）求y关于x的函数解析式 （2）若某用户二、三月份共用水 40 m2（二月份用水 一次函数专项练习题 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ， B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为 A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 到原点之间的距离为 22A A x y + 1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时， ()2323y k x x =-++-是一次函数；2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法： ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数1223 y x =-, y 的值随x 值的________而增大。 3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__。4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。 5、直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=-bx+k 经过第____象限。 6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。 7、已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？ 题型五、待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k ≠0）的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k ≠0）； ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 题型六、平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y=21x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3+-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 高考求函数解析式方法 及例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 ，求f(x)的解， 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题： 解法一、 1222x x a ? -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入 ))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 三【配凑法（整体代换法）】 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。 4.4确定一次函数表达式的六种类型 【学前准备】： 1.正比例函数的表达式是 ；一次函数的表达式是 . 2.正比例函数图象一定经过坐标 ，正比例函数图象和一次函数图象都是 。 3.直线x y 2-=与直线52+-=x y 的位置关系是 ；直线13--=x y 与 直线5+=x y 的位置关系是 4.一次函数2-=kx y 中，若y 随x 的增大而减小，则k 0； 5.一次函数3+=kx y 中，当x=-2时，y=1，则k= 。 6.函数b x y +-=的图象经过点（－5，2），则b= . 想一想： （1） 确定正比例函数的表达式需要____个条件， （2） 确定一次函数的表达式需要_____个条件。 一、根据规律： 1.某山区的气温t （℃）和高度h （米）之间的关系如下表 由上表得t 与h 之间的关系式是 . 二、根据图象： 直线l 是一次函数 y = kx + b 的图象， (1) b = ，k = ； (2) 当x =30时，y = ； (3) 当y =30时，x = 。 三、根据平行： 1.一次函数y=kx+b 的图象平行于正比例函数y=0.5x 的图像，且过点（4，7），求一次函数的解析式以及与坐标轴的交点坐标. 2.已知正比例函数y=kx 经过点P(1，2），如图所示． （1）求这个正比例函数的解析式； （2）将这个正比例函数的图像向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、 原点O 的像P '、O '的坐标，并求出平移后的直线的解析式． O' P'P (1, 2 )O x y 四、根据面积： 直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积是4，求表达式。 五、根据定义： 1.y与x成正比例，其图象经过)1,3 (P；求y与x的关系式。 2、已知y-1与x+1成正比例，且x=2时，y=7，求表达式。 3、若函数y=kx+b的图象经过点（-3，-2）和（1，6）求k，b及表达式。 六、根据交点： 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，-5)，且与正比例函数y= 1 2x的图象相交于点(2， a)，求 (1)a的值 (2)k，b的值 (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。 一次函数专项练习题 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ， B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点 (,),(,)A A B B A x y B x y 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为 A B x x -； 若AB ∥y 轴，则 (0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点(,)A A A x y 1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x += -+-是一次函数；4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法： ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数1223 y x =-, y 的值随x 值的________而增大。 3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__。4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。 5、直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=-bx+k 经过第____象限。 6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。 7、已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？ 题型五、待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k ≠0）的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k ≠0）； ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 题型六、平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y=21x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3+-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线一次函数练习题及答案(较难)
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