简单的三角方程

简单的三角方程

一、例题

【反三角】

1、 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。

【思路分析：注意反正弦、反正切函数单调性的应用

解：∵－1≤x ≤1 ∴－34π

≤x ≤34π

点评：注意反函数的定义域。】

【三角方程】

2、解方程22sin 3cos 0x x +=．

【解原方程可化为22(1cos )3cos 0x x -+=，

即22cos 3cos 20x x --=．

解这个关于cos x 的二次方程，得

cos 2x =，1

cos 2x =-．

由cos 2x =，得解集为φ； 由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z π

π??=±∈????． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ??

=±∈????．】

3、解方程22sin cos cos 03x x x x --=．

【解一因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得

2tan tan 103x x --=．

解关于tan x 的二次方程，得

tan x =tan 3

x =-． 由

tan x =,3x x k k Z ππ??

=+∈????；

由tan x =,6x x k k Z ππ??=-∈????

． 所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ?

?

=+=-∈????或．】

【解二降次得

1cos 21cos 22022x x x -+-=，

化简得2cos 203

x x +=． 因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以

cos 2x ，得tan 2x =

由tan 2x =2,3x k k Z ππ=-∈，即,26

k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ??=-∈???

?

．】 4、 解方程 ①3sinx-2cosx=0

②2sin 2x-3sinxcosx-2cos 2x=0

【解：①方程两边同除以cosx ，得tanx=

32 解集为},32arctan

|{Z k k x x ∈+=π ②除以cos 2x 化为2tan 2x-3tanx-2=0．

}21

arctan

,2arctan |{2

1

tan 2tan Z k k x k x x x x ∈-=+=-==ππ或】 二、练习

【反三角练习】

5、 （1）4

1sin =

x ,x 是△ABC 的一个内角,则x =。 【答案：41arcsin 或4

1arcsin -π】 （2）4

1sin -=x ,x 为第四象限角,则x =。 【答案：4

1arcsin 2-πk Z k ∈】 6、 （1）)3

1tan(arcsin =。 （2）)5

3arcsin 2cos(=。 （3）)54arcsin 21cos(=。 【答案：（1）42（2）257（3）5

52】 7、 （1）)]3(arcsin[sin π-

=。（2）)4arcsin(sin =。 【答案：（1）3π-

（2）4-π】

8、 计算：

（1）)53arccos

2sin( （2）)178arcsin 54cos(arccos + 【答案：4

3π-

】 9、 解不等式)1arctan()2arctan(2+

1|{<<-x x 】

10、已知(),111arctan

arctan ≠+-+=x x x x y 求y 的值 【答案：

,4π或.43π-】

【解三角方程练习】

11、（1）方程0cos 1sin =-x

x 的解为 （2）方程a x x =-cos 3sin 有解，则a 的取值范围是

【答案：（1）Z k k x x ∈+=};2|{ππ （2）[-2，2]】

12、方程1cos log sin log 22=-x x 的解集是

【答案：Z k k x x ∈+=},2arctan 2|{π】

13、 实数q 在什么范围内取值时，方程q x x =+sin 2cos 有实数解 【答案：]89,2[-】

14

、已知函数()f x =， (1)求函数()f x 的定义域、值域、最小正周期；

(2)判断函数()f x 奇偶性。

【答案：

(1)tan (22)sin 22()3|cos |tan (22)22

ππx x k πk πx f x k Z ππx x x k πk π?∈-+??===∈??-∈++??，，，，， 定义域：{|}2πx x k πk Z ≠+∈，，值域为：R ，最小正周期为2T π=； (2)sin()sin ()()|cos()||cos |

x x f x f x x x --==-=--，且定义域关于原点对称，所以()f x 为奇函数。】

15、 求cos 20cos 60cos100cos140?+?+?+?的值。

【答案：1

2

】

16、函数

sin

()

2cos

f

θ

θ

θ

=

+

（R

θ∈）的值域是__________.

【1、

sin

()

2cos

y f

θ

θ

θ

==

+

，2sin cos)

y y

θθθ?

=-=+，所以

2||

y≤[

y∈；2、令tan

2t

θ

=；3、数形结合；4、导数法；

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

人教版高中数学高二-数学《最简三角方程(2)》教案

最简三角方程（2） 【教学目标】 1．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2 sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等） ． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用 公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角． ２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题． 【教学重点与难点】 重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法； 难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有 字母三角方程的实数解讨论． 【教学过程】 1．概念辨析 已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表： 把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程； （2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；

（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程； （4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为 sin()x θ+= 1≤时，方程有解． 2．例题分析 例1、解方程2 2sin 3cos 0x x +=． 解：原方程可化为 2 2(1cos )3cos 0x x -+=，即2 2cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2 x =-． 由cos 2x =，得解集为φ；由1cos 2x =- ，得解集为22,3x x k k Z ππ??=±∈???? ． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ??=± ∈???? ． [说明]方程中的2 sin x 可化为2 1cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0?≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解． 例2、解方程2 2sin cos cos 0x x x x -=． 解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以 2cos x ，得 2tan tan 103 x x - -=． 解关于tan x 的二次方程，得tan x = tan 3 x =- ． 由tan x = ,3x x k k Z ππ?? =+∈???? ； 由tan 3x =- ，得解集为,6x x k k Z ππ?? =-∈???? ． 所以原方程的解集为,,3 6x x k x k k Z π π ππ?? =+ =- ∈??? ? 或． [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方

最简三角方程

6.5最简三角方程（2） 上海市第四中学张云一、教学内容分析 在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0 ?≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制． 二、教学目标设计 1．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2 A x B x C +=， sin sin 2 +=等）． A x B x C sin cos [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角． ２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题． 三、教学重点及难点 重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法； 难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论． 四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计

六、教学过程设计 1．概念辨析 已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：

把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程； （2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程； （3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程； （4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为 sin()x θ+= 1≤时，方程有解． 2．例题分析 例1、解方程22sin 3cos 0x x +=． 解 原方程可化为 22(1cos )3cos 0x x -+=， 即 22cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得 cos 2x =，1cos 2 x =-． 由cos 2x =，得解集为φ； 由1cos 2 x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ? ?=± ∈??? ? ．

三角函数公式大全与立方公式

【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差

最简三角方程

6.5 最简三角方程(学案) 一．学习目标: 1、理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法； 2、会把一般的三角方程转化为最简的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法； 3、利用函数的图像以及反三角函数的知识推导最简三角方程的解集。 二．重点与难点： 1、会求最简三角方程的解集； 2、会将一般三角方程转化为最简三角方程并求解集。 三．学习过程： 知识储备： 1、分别作出正弦函数、余弦函数和正切函数的图像： (1) sin y x = (2) cos y x = (3) tan y x = （一）问题引入 1、 已知角求其三角函数值，答案是否唯一？那么已知三角函数值求所对应的角，又如何呢？

2、 已知x 是三角形的一个内角，且1 sin 2 x =，求x 。 变式：若x R ∈呢？ （二）问题展开 预习课本P111，并解决以下问题： 一、三角方程的定义 1、我们把______ ______的方程叫做三角方程。把满足______ ________叫做三角方程的解集。 2、在三角方程中，把形如_________________；_________________；_________________的方程叫做最简三角方程。 二、最简三角方程的解集 sin x a =的解集： 1）推导：① ；② ； （三）问题解决 例1.直接说出下列三角方程的解集： 1、sin 2 x = ； 2、1sin 3x =；

例2、求下列方程的解集： （1）2sin 16x π?? += ?? ? ； （2）sin 2cos21x x += （3）2 2sin 3sin 20x x --=； （4）()31sin 1cos2x x -=+； 小结： 一般的三角方程转化为最简的三角方程其基本的转化方法有：（1）化为 、 的三角函数；（2） ；（3） 等等。 （四）问题深化: 仿照上面推导方法，归纳其它两种最简三角方程的的解集： （五）你问我答: （1） ； （2） ；

关于超越方程的解法

定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。 定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等超越函数。 定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是基本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使基本初等函数的值等于已知常数的变数值。 下面介绍基本初等超越方程的解法 一、指数方程 定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。 1.1 最简指数方程的解法 当时，方程有唯一解；当时，方程无解。 1.2 指数方程的解法 解指数方程的主要工具下面的几种同解变形： (1)方程与方程同解； (2)方程与方程同解； (3)方程且与方程同解。（因为） (4)方程与方程同解； (5)方程（其中）与方程组同解。（即换元法） 例1：解方程（类型或） 解： 例2：解方程（类型） 解：原方程可变形为 于是有 由此解得 例3：解方程（类型） 解： 或 例4：解方程（类型） 解：以除原方程的两边，得 令代入上式，得 解得，其中不满足的条件，舍去。 所以 二、对数方程 定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。 2.1 最简对数方程的解法 对于任何，方程总有唯一解。

2.2 对数方程的初等解法 解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种： (1)根据对数定义。方程可同解变形为 (2)方程可以变形为，（定义域扩大，应验根）。 (3)运用对数基本恒等式，对数运算法则和换底公式进行变形，（应注意，验根）。 (4)对一个等式的两边取对数。（等式两边必须都取正值） (5)方程与方程组 同解.（即换元法） 注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。 例5：解方程（类型） 解： 4 =4 =1 =3 例6：解方程 解：运用换底公式将原方程化为（类型） 令，则有，即 由，得 由，得 经检验，和都是原方程的根。 例7：解方程 解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得 类型 令则可化为解得 由 由 经检验，两根都是原方程的根。 三、三角方程 定义6：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。 3.1 最简三角方程的通解公式 的解集是 当时无解。 的解集是 当时无解。 的解集是 的解集是 3.2 三角方程的解法

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用 反三角函数及最简三角方程 一、知识回顾： 1、反三角函数： 概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ，不存在反函数. 含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x . 22 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数 非奇非偶 反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数 非奇非偶 其中： （）．符号 arcsin x 可以理解为－， ] 上的一个角弧度，也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[－ ， ] 上的一个实数；同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ，π 上的一个角2 ] 2

(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y 22 ＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件； 22 （4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。 22 2、最简单的三角方程 方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中： （1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三 角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的

三角函数公式大全

三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数: 概念:把正弦函数,时得反函数,成为反正弦函数，记作、 ,不存在反函数、 含义:表示一个角;角;、 其中: （１). 符号arcsｉn x可以理解为[-,]上得一个角(弧度),也可以理解为区间［-,]上得一个实数;同样符号arccos x可以理解为［0,π]上得一个角(弧度)，也可以理解为区间[0,π]上得一个实数; (2)．ｙ＝ａrcsin x等价于siｎy=x, y∈［-,],ｙ=arcｃos x等价于cos y=x, x∈［0，π]，这两个等价关系就是解反三角函数问题得主要依据; (３).恒等式ｓｉn(arｃsiｎx)=ｘ, ｘ∈[-１，1］，cos（aｒcｃos x)＝ｘ, x∈[-1，1], ａrｃsin(siｎx)=x，x∈[-,]，ａｒccos(coｓx）=x, ｘ∈［0, π]得运用得条件; (4）. 恒等式arcsiｎｘ+aｒcｃos x＝，arcｔan x+arccoｔx=得应用。

2 其中: (1)．含有未知数得三角函数得方程叫做三角方程。解三角方程就就是确定三角方程就是否有解,如果有解,求出三角方程得解集; (2）．解最简单得三角方程就是解简单得三角方程得基础，要在理解三角方程得基础上,熟练地写出最简单得三角方程得解; (3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间得关系在解三角方程中得作用; 如:若,则;若,则; 若,则；若,则; (4).会用数形结合得思想与函数思想进行含有参数得三角方程得解得情况与讨论。 【例题精讲】 例1、 分析与解: 例4、 函数，，的图象为（）y x x =∈- ??????arccos(cos )π π2 2 （A ） （B ） （C ） （D ） 分析与解: 例５、 函数，， 的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π π 3 23

高一数学最简三角方程

6.5最简三角方程（2） 一、 教学内容分析 在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0?≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制． 二、教学目标设计 1．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2 sin sin A x B x C +=， 2sin cos A x B x C +=等）． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角． ２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题． 三、教学重点及难点 重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法； 难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有 字母三角方程的实数解讨论． 四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计

六、教学过程设计 1．概念辨析 已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表： 把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程； （2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x、cos x的齐次方程，，通常化为关于tan x的方程。再用解代数方程的方法，

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

简单的三角方程

简单的三角方程 一、例题 【反三角】 1、 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。 【思路分析：注意反正弦、反正切函数单调性的应用 解：∵－1≤x ≤1 ∴－34π ≤x ≤34π 点评：注意反函数的定义域。】 【三角方程】 2、解方程22sin 3cos 0x x +=． 【解原方程可化为22(1cos )3cos 0x x -+=， 即22cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得 cos 2x =，1 cos 2x =-． 由cos 2x =，得解集为φ； 由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z π π??=±∈????． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ?? =±∈????．】 3、解方程22sin cos cos 03x x x x --=． 【解一因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得 2tan tan 103x x --=． 解关于tan x 的二次方程，得

tan x =tan 3 x =-． 由 tan x =,3x x k k Z ππ?? =+∈????； 由tan x =,6x x k k Z ππ??=-∈???? ． 所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ? ? =+=-∈????或．】 【解二降次得 1cos 21cos 22022x x x -+-=， 化简得2cos 203 x x +=． 因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以 cos 2x ，得tan 2x = 由tan 2x =2,3x k k Z ππ=-∈，即,26 k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ??=-∈??? ? ．】 4、 解方程 ①3sinx-2cosx=0 ②2sin 2x-3sinxcosx-2cos 2x=0 【解：①方程两边同除以cosx ，得tanx= 32 解集为},32arctan |{Z k k x x ∈+=π ②除以cos 2x 化为2tan 2x-3tanx-2=0．

最最完整版--三角函数公式大全

三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A） Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B） ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB

反三角函数与最简三角方程

反三角函数： 1、概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ?? ∈-???? 时的反函数，称为反正弦函数，记作x y arcsin =. 注意： sin ()y x x R =∈，不存在反函数. 2、含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ?? ∈-???? ；sin x α=. 3、反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中： （1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π ，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－ 2π，2 π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－ 2π，2 π ], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式： sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], arcsin(sin x )＝x , x ∈[－ 2π，2π ], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π] arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2 π 。

最简单的三角方程 其中： （1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±； 若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 二、典型例题： 例1. 函数，，的反函数为（ ）y x x =∈??? ???sin π π2 32 []A y x x .arcsin =∈-，，11 [] B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11 例2. 函数，，的图象为（）y x x =∈- ??????arccos(cos )π π2 2

初中三角函数公式大全

^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a

反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数: 概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx. IL 2 2 y = Sin X（X二R）,不存在反函数 含义：arcsinx表示一个角：?；角? _一，一；sin〉=x. 1 2 2J 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中：（1 ）?符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实 2 2 2 2 数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数； (2) ?y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关 2 2 系是解反三角函数问题的主要依据； (3) ?恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1], arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2 (4) ? 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。2 2

方程 方程的解集 Sin X = a a ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z } a <1 {χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= a a ∣ = 1 {χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z } a <1 {χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a {χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z} (1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有 解，求出三角方程的解集； (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简 单的三角方程的解； (3) .要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 女口：若 sin 〉=Sin :,贝U Sin = Q (T )k :;若 cos 〉= cos ：,则〉=2k 二二卩 若 tan : = tan ：,贝V a = k .■-；若 CotI=Cot ：,贝y a = k 二■ L ； (4) .会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 【例题精讲】 A. y = a r c s Xn X E 【-1, 1 】 B. y = -arcsinx , X 1-1, 11 C. y"+arcsXnχw[-1, 1】 D. y =二-arcsinx , X ∣-1, 11 分析与解: X , ,需把角X 转化至主值区间 IL 2 2 π π X ,又 sin(二 -X)=Sinx = y 2 2 由反正弦函数定义，得 H -x=arcsiny ■ X -二- arcsiyι又由已知得 -1三y 二1 例1.函数y = Sin X , 「 兀 X _2，

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-