2020考研数学一真题及解析（完整版）
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x →0+时，下列无穷小阶数最高的是A.?0x
(
e t 2
-1)
d t
B.?
x
ln (d t
C.
sin 20
sin d x
t t ?
D.
1cos 0
t
-?
1.答案：D
解析：A.(
)
2
32001~3
x
x
t x e dt t dt -=??
B.(
3
5
2
2
002ln 1~5
x
x dt t x =??C.sin 223
001sin ~3
x x
t dt t dt x
=??D.2311cos
2
20
~x t -?
?
25
12
20
25x t
=5
2
5
2152x ??=?? ???
2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0
lim ()0,x f x →=则（）
A.当
0,()0x f x x →==在处可导.
B.当
0,()0x f x x →==在处可导.
C.当
0()0lim 0.
x f x x →=在处可导时,D.当
()0lim 0.
x f x x →=在处可导时,2.答案：B
解析:0
00()
()()0lim
0lim 0,lim 0||
x x x x f x f x f x x x x +
-→→→→=∴=∴== 00()
lim
0,lim ()0
x x f x f x x
→→∴==00()(0)
()lim lim 0(0)
0x x f x f f x f x x
→→-'∴===-()f x ∴在0x =处可导∴选B
3.设函数(,)f x y 在点（0，0）处可微，(0,0)
(0,0)0,,,1f f f x y ??
??==- ?
????n 且非零向量d 与n 垂直，则（）
A.(,)(0,0)
lim
0x y →=存在
B.(,)(0,0)
lim
0x y →=存在
C.(,)(0,0)
lim
0x y →=存在
D.(,)(0,0)lim
x y →=3.答案：A
解析：
(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0
f
=00
x y →→''--?-?∴
即00
x y →→''-?-?=(),,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y ''?=+-
(,)(0,0)
lim 0x y →∴存在
∴选A.
4.设R 为幂级数
1
n
n
n a r
∞
=∑的收敛半径，r 是实数，则（）
A.
1n
n
n a r
∞
=∑发散时，||r R
≥B.
1
n
n
n a r
∞
=∑发散时，||r R
≤C.||r R ≥时，
1n
n
n a r
∞
=∑发散
D.||r R ≤时，1
n
n
n a r
∞
=∑发散
4.答案：A 解析：∵R 为幂级数
1
n
n
n a x
∞
=∑的收敛半径.
∴
1n
n
n a x
∞
=∑在(,)R R -内必收敛.
∴
1
n
n
n a r
∞
=∑发散时，||r R ≥.
∴选A.
5.若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）
A.存在矩阵P ，使得PA =B
B.存在矩阵P ，使得BP =A
C.存在矩阵P ，使得PB =A
D.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案：B 解析：
A 经初等列变换化成B.∴存在可逆矩阵1P 使得1AP
B =1111A BP P P --∴==令..
A BP
B ∴=∴选
6.已知直线222
11112:
x a y b c L a b c ---==与直线33322
222:x a y b c L a b c ---==相交于一点，法
向量,1,2,3.i i i i a a b i c ??
??
==????
??则
A.1a 可由23,a a 线性表示
B.2a 可由13,a a 线性表示
C.3a 可由12,a a 线性表示
D.123,,a a a 线性无关6.答案：C 解析：令1L 的方程
222
111
=x a y b z c t a b c ---==即有212121
21=a a x y b t b t z c c αα????
?? ? ?
?=++ ? ? ? ? ? ???????由2L 的方程得323232
23=a a x y b t b t z c c αα?????? ? ?
?=++ ? ? ? ? ? ?????
??由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132
t t αααα+=+即312(1)t t ααα=+-，3α可由12,αα线性表示，故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件，且1
()()(),()04
P A P B P C P AB ===
=1
()()12
P AC P BC ==，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.
34B.23C.12
D.
512
7.答案：D
解析：(()()[()]
P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()
()()()()1
11004126
P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=
--+=()()()[()]()()()()1
11004126
P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=
--+=()()()[()]()()()()111
104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=
--+=
()()()()1115
661212
P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=
++=选择D
8.设12,,,n X X X …为来自总体X 的简单随机样本，
其中1
(0)(1)()2
P X P X x ====Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100
155i i P X =??≤ ???
∑的近似值为
A.1(1)-Φ
B.(1)Φ
C.1(2)-Φ
D.(2)
Φ8.答案：B 解析：由题意
11
,24
EX DX ==
1001001110050.10025
i i i i E X X EX D X DX ==????
==== ? ???
??∑∑由中心极限定理
100
1
~(50,25)
i
i X
N =∑∴100
1001
155555055(1)55i
i i i X P X P ==??-??-????≤=≤=Φ???????
?????
∑∑故选择B
二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上.9.011lim 1ln(1)x x e x →??
-=?
?-+??
9.解析：
011lim e 1ln(1)x x x →??- ?-+??0ln(1)e 1
lim (e 1)ln(1)x x
x x x →+-+=-+20ln(1)e 1lim x x x x →+-+=01
e 1lim 2x
x x x →-+=1
=-10.
设ln(x y t ?=??=+??，则212|t d y
dx ==10.
解析：
d d d d d d y y t x
x t ??==
1t =
2
22d d d 1d d d d d d d d d y y t y t t t x t
x x
t ?? ?
????-
???=
==
3
t =-
得22
1
t dy dx
==11.若函数()f x 满足()()()0(0),(0),(0)f x af x f x a f m f n ''''++=>==且，则
()d f x x +∞
=
?
11.解析：
特征方程为210a λλ++=特征根为12,λλ，则1212,1a λλλλ+=-?=，特征根
120,0
λλ<<0
()d [()()]d f x x f x af x x
+∞
+∞
'''=-+?
?0
[()()]|f x af x +∞
'=-+n am
=+12.设函数2
(,)e d xy
xt
f x y t
=?
，则2(1,1)
f x y
?=
??12.解析：
232()e e x xy x y f
x x y
?=?=?332232=e 3e x y x y
f y f
x y x y x ???? ?????=+???2(1,1)
=e+3e 4e.
f x y
?=??13.行列式
0110111101
1
a
a a a --=
--
13.解析：
2
224201101101101111011
011000
01111011111100
00
2
1
214.0
a a a a a a a a
a
a a a a a a
a a
a
a
a a a a
a a a
----=
----+-+-==----=--=-14.设X 服从区间,22ππ??
- ??
?上的均匀分布，sin Y X =，则(,)Cov X Y =14.解析：
解1
()2
20
x f x ππ
π
?-
<<
?
=???其他
cov(,)X Y EXY EXEY =-(sin )(sin )E X X EXE X =-2222
2
2
1
1
1
sin x x dx xdx xdx
πππππππ
π
π
---=-??
?
20
1
2
sin 0
x xdx ππ
=-?
20
2
()cos x d x
ππ=
-?
22002cos cos x x xdx πππ?
?=-+ ?
???20220sin x π
ππ
??=+= ???三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证
明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）
求函数33(,)8f x y x y xy =+-的最大值15.解析：求一阶导可得
22324f
x y x f
y x y
?=-??=-?令1006
010
12f x x x f y y y
???==??=???????
?=???==?????可得求二阶导可得
2222
226148f f f
x y x x y y
???==-=???当0,00. 1.0
x y A B C ====-=时.20AC B -<故不是极值.
当11
612
x y =
=时1. 1. 4.
A B C ==-=2110.10,612AC B A ??
->=> ???
故是极小值点
极小值33
111111,8661261212216f ??????=+-?=- ? ? ?????
??16.（本题满分10分）计算曲线积分222
444L
x y x y
I dx dy x y
x y -+=+++?
，其中L 是222x y +=，方向为逆时针方向16.解析：设22
224,44x y x y
P Q x y x y -+=
=
++
则
2222248(4)Q P x y xy
x y
x y ??-+-==??+取路径222:4,L x y εε+=方向为顺时针方向.
[]2222
2222
2222222224444444441
(4)()1
111(1)22.
2
L L L L L D D D x y
x y dx dy
x y x y x y
x y x y x y dx dy x y x y x y x y Q P dxdy x y dx x y dy x y dxdy S εεεεεεππεεε-
+-++++-+-+=+-+++++????=-+-++ ????
?=--=?=??=?
???????则17.（本题满分10分）
设数列{}n a 满足111,(1)12n n a n a n a ??=++=+ ??
?，证明：当||1x <时幂级数1n n n a x =∑收敛，并求其和函数.
17.证明：由111(1),12n n n a n a a +?
?
+=+
= ??
?
知0n a >则1
1
211n n
n a a n ++
=
<+，即1n n
a a +<故{}n a 单调递减且01n a <<，故n
n
n a x x <当||1x <时，
1
n
n x
∞
=∑绝对收敛，故
1
n
n
n a x
∞
=∑收敛.
1
111011111
111
()(1)(1)1121121
1()
21
1()()
2
n n n
n n n n n n n
n n n
n n n
n
n n n n n n n S x a x na x n a x a n a x n a x na x a x x na x S x xS x S x ∞∞∞
-+===∞
+=∞
=∞
∞==∞
-='??'===+ ???=++?
?=++ ???=++=++'=++∑∑∑∑∑∑∑∑则1
(1)()()12
x S x S x '--
=即11()()2(1)1S x S x x x '-
=--
解得)
()S x c
=
-又(0)0S =故2c =
因此() 2.
S x =
18.（本题满分10分）设∑为曲
面)224Z x y =
≤+≤的下侧，()f x 是连续函数，计算
[()2][()2][()]I xf xy xy y dydz yf xy y x dzdx zf xy z dxdy
∑
=+-+++++??18.
解析：
z =
则x y z z '
'==
方向余弦为cos αβγ==
=-
于是
122222
222220101[()2[()2][()]d d d 4d d 2sin 4742432xy D D I xf xy xy y yf xy y x zf xy z S x y x y r d rdr d r dr r ππθθθππ∑????
=
+-+++??????
?=?=??
=- ??
?=??-??????????70.3???= ???
19.设函数()f x 在区间[0,2]上具有连续导数，(0,2)
(0)(2)0,max{|()|},x f f M f x ∈===证明（1）存在(0,2)ξ∈，使得|()|f M ξ'≥（2）若对任意的(0,2),|()|x f x M '∈≤，则0M =.
19.证明：
（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈，由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使
()(0)
()()f c f f c f c
c ξ-'==从而|()|
|()|f c M
f M c c
ξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使
(2)()()
()22f f c f c f c
c ξ--'=
=
--从而|()||()|22f c M
f M c c ξ'=
=≥--
综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.
c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，
0()(0)()d |()||()(0)||()|d ,
c
c
f c f f x x
M f c f c f f x x Mc '-='==-≤
(2)()()d c
f f c f x x
'-=
?
2
|()||(2)()||()|(2)
c
M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-?于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.
M =20.设二次型2
2
121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ????
=
? ?????
化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.
（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .20.解析：
（1）设1-22=,=-242a A B b ??
????
???
???由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同、相似于B
∴144
a b
a b
ab +=+?≥?
=?∴ 4.
1
a b ==（2）212
||52
4E A λλλλλ--=
=--
∴A 的特征值为0，5
当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α??
=??
??
当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α??
=??-??
又B 的特征值也为0，5
当0λ=时，解(0)0E B x -=得12
12βα??
==??-??
当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα??==????
对12,αα
单位化
121212,||||ααγγαα====令112221[,],[,]
Q Q γγγγ==则T
T 11220005Q AQ Q BQ ??==??
??
故T
T
2112Q Q AQ Q B =
可令
T
12
43553455Q Q Q =???=???
??-??
=??
??--????21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.
（1）证明P 为可逆矩阵
（2）若A 2α+A α-6α=0，求P -1AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵.21.解析：
(1)α≠0且A α≠λα.故α与A α线性无关.则r (α,A α)=2则P 可逆.
2106(,)(,)()1106.
11AP A A A A x A P AP ααααα-??
=== ?
-??
??
= ?-??
故(2)由260
A A ααα+-=设2(6)0,(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0
A E A E +=-=或若|(3)|0(2)0,2,A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾
|3|0,|2|0.
A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值，故A 可相似对角化
22.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1与X 2均服从标准正态分布，X 3的概率分布为
3331321
{0}{1},(1)2
P X P X Y X X X X =====+-.
（1）求二维随机变量（X 1，Y ）的分布函数，结果用标准正态分布函数()x Φ表示.（2）证明随机变量Y 服从标准正态分布.22.解析：
1131223131223123113(1)(,){,}
{,(),0}{,(),1}{,,0}{,,1}
F x y P X x Y y P X x X X X X y X P X x X X X X y X P X x X y X P X x X y X =≤≤=≤-+≤=+≤-+≤==≤≤=+≤≤=
若11311
1
,{,,1}{}()22x y P X x X y X P X x x ≤≤≤==≤=Φ则若11311
1
,{,,1}{}()2
2
x y P X x X y X P X y y >≤≤==≤=
Φ则故1
1()()(),22
(,)11()()(),22x y x x y F x y x y y x y ?ΦΦ+Φ≤??=?
?ΦΦ+Φ>??
(2)
312231223312232313(){}{()}
1
1{()|0}{()|1}2211
{|0}{|1}22
1
1()()
2
2().Y F y P Y y P X X X X y P X X X X y X P X X X X y X P X y X P X y X y y y =≤=-+≤=
-+≤=+-+≤==≤=+≤==Φ+Φ=Φ23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为
1e
,0,()0,.m
t t F t θ??- ?
??
??-≥=???
其他其中m θ,为参数且大于零.
（1）求概率{}P T t >与{|}P T s t T s >+>，其中0,0s t >>.
（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的
最大似然估计值?θ
.23.解析：
（1）{}1()m
t P T t F t e
θ??
- ???
>=-={|}{}m
t P T s t T s P T t e
θ??- ???
>+>=>=(2)1.,0()()0t m
m m m t e t f t F t θθ??
- ?--?
???≥'==?
??
其他
似然函数()1()n
i i L f t θθ==∏，()1
1100n
m m i i t m n mn n i m t t e t θθ-=---?∑?≥=?
??
…其他
当120,0,,0n t t t ≥≥≥…时
()
1
1
1()n
m
m
i i t m n mn n L m t t e
θθθ-=---∑=…取对数1
1
ln ()ln ln (1)ln n
n
m
m
i i
i i L n m mn m t t
θθθ
-===-++-∑∑求导数(1)
1
ln()n m m i i d mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln()0d d θθ=
解得θ=所以θ的最大似然估计值
θ