1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33
a b ba =，证明ab ba =。 证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166
b a b a -=。 又a 为5阶元，所以5a e =，所以1
b ab a -=，即ab ba =。
2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1
xy -也属于H ，证明H 是一个子群。 证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11
,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1
111
,,()y H y
e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。
3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。 证明：因为()1
ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。
设ab n =，若()m
ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m
ab e n m =?
所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？
解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为： （1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。
证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故 由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群 （1）AutG 对于映射的合成封闭：
,(),()A u t G a b G a b G
στττ?∈?∈?∈，， 故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。
（2）下证1
AutG AutG σσ
-?∈?∈
'''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即
则1
1
'
'
1
''
1
''
''
1
1
()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ
-∈。
故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。
6 设G 是一个群。证明由()n
x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。
证明：（1）先证φ是单射：
()()1
11,,,x y G
x y x y x y e x y φφφ---?∈==?=
?=?若即
为单射。
（2）再证φ是满射：
11
,()x G x x φφ--?∈∈=?因G 为群，故G,x 为满射。 （3）G φ?为自同构可交换：
φφ由（1），（2）知为双射，若为自同构，则： ()1
11.xy x y φφφ---?∈=x,y G,(xy)=(x)(y),即
1
111y
x x y x y y x G ----=?=
?可交换。
G 反之若可交换，则：
()1
11111111===xy yx y x x y xy y x x y φφφ---------?∈=?==x,y G ，，(xy)(x)(y)
φφφ?则为同态，又为双射为自同构。
7 设G 是一个交换群。证明由=n
φ(x)x 定义的n 次幂映射:G G φ→是G 到自身的同态。 证明：G ,,,x y G xy yx ?∈=因为为交换群，故有 ()()()()n
n
n
xy xy x y x y φφφφ===?为同态。
8 证明1101??
???和1011??
???
在2()GL R 中为共轭。但是不存在行列式为1的矩阵A ，使得111100111A A -????= ? ?????
。 证明：121110(),0111a b A GL A A c d -??????
=∈=
? ? ???????
设使得R
22101,0,0,11ad ac bc
a a c
b d ad b
c c cb ca da ??--??===≠∈ ? ?---++??
??即有R
2
201110,d e t 0()0111b A b G L b d ??????=-≠
? ? ???????
故A 形如。所以与在中共轭。
R
2
11110det 0,1A 0111A b A A -????
=-<=
? ?????
因为故不存在行列式为的矩阵，使得 9 证明若一个群只有有限个子群，则它必为有限群。
证明：设群G 有有限个子群，则G 中每个非单位元的元素的阶都是有限的（否则G 有无限
个子群）。
112
1,a G a G a ?∈<>
∈-<>
则为G 的有限子群，取a 21312G ()
a a a G a a <><>∈-<><> 则是的异于的有限子群，再取 312G a a a <><>
<>则是的一个异于与的有限子群
G 如此下去，由于仅有有限个子群，故上述过程不能无限继续下去 12r a a a ?<><><> 从而r,使G=
i (1,2,)G a i <>= 又是有限的，故为有限群。
10 证明若H 是群G 的一个指数为2的子群，则H 必为正规子群。 证明：,,x G x H xH Hx H ?∈∈==若则 ,:)2,,x H G H G H H x x H H x
?=== 若则由于（故所以 H G 故。
11 证明自由群的任意非单位元都是无限阶元。
证明：设a 为自由群F 的非单位元，F 由集合X 生成，则映射:f X →Z ，诱导出映射
:F ?→Z 。 又1
1,ij
i n n i ij a F a x x ∈= 则，
()()()()()()()1
111ij
i n n i ij i i
ij ij a x x n f x n f x ???==++ 1
j
ik k n m ===∑
若|a|是有限的，则()||a ?也是有限的，所以m=0，ker a a ?∈?为单位元，矛盾。 所以|a|是无限阶元。
12 二面体群n D 中有多少个二阶元？（分n 为奇，偶情形讨论） 解：21
{|,,}i j n n D a b a e b e a b ba -====
当j 为奇数时，()
()2
2,i j i i i i i i a b a b a b
a ba
b a a bb b e -=====
所以{|0,1,,1}2i
a b i n =- 是阶元
当j 为偶数时，i j i
a b a =，只有当n 为偶数时2
n i=
，i
a 为2阶元。 13 设x ，y 是二阶自由群2F 的两个生成元。证明由()()1
,x xyx y x φφ-==决定的同态
22:F F φ→是一个同构。
证明：由于22:F F φ→，2,F x y =<>，()()1
,x xyx y x φφ-==
有()()()()()
1
11
y x x x y x y y xy φφφφφ---===，故φ为满射
构造映射22:F F ?→()()1
,x y y y xy ??-==，则2F id φ??φ==，则φ为同构。
14 设I ，J 是环R 的两个理想。举例说明I J 不一定是理想。证明
{|,,}I J r R r x y x I y J +=∈=+∈∈是理想。
证明：例子：在整数环Z 中取理想<2>,<3>，则23<><> 不是理想。（两个整数互素即
可）
首先证I+J 是R 的子加群
因为0,0,0I J I J ∈∈∈+故，,,,r I J x I y J ?∈+?∈∈使得
,000r x y r r I J =++=+?+为的单位元
121212
,,,,,r r I J
x x I y y J ?∈+?∈?∈ 111222,r x y r x y =+=+使
121212122()(),
r r x x y y I J r r r r +=+++∈++=+ ,,,()0r I J
r x y r x y I J r r ∈+=+?-=--∈++-=
对使 可知r 有负逆元r -，故I+J 为R 的子加群。
,,,,,,a R r I J r x y x I y J I J ?∈?∈+=+∈∈因为为理想
所以,,,ax I ay J ya J xa I ∈∈∈∈，()ar a x y ax ay I J =+=+∈+则
()ra x y a xa ya I J I J R =+=+∈+?+为的理想。
15 自然数集合在加法和乘法下构成环吗？为什么？
答：不构成环。因为自然数在加法下不构成群。 16 证明n Z 是整数环的素理想当且仅当n 是素数。 证明：充分性：n 为素数，则：
,a b ?∈Z ，ab n ∈?Z n
||n ab n a ?或a n ?∈n|b 或Z b n ∈Z 故n Z 是素理想。
必要性：n Z 是整数环的素理想，若n 为合数，1212,1,1n n n n n n n =<<<<
12121212||1,1n n n n n n n n n n n n n n n ∈?∈∈?<<<<或或与矛盾Z Z Z
故n 为素数。
17 若12:R R φ→是两个环之间的同构，证明其逆映射也是环同构。 证明：因为12:R R φ→是环同构，所以φ为双射，所以存在映射1
21:R R φ
-→，使得
1
1
11,R R id id φφφφ--==，所以1φ-也为双射。下证1φ-保持加法和乘法运算：
因为φ为同构，所以122,a a R ?∈
11
111
12121212((
))(())(())(()(
))
a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----+=+=+=+ 则1
1
1
1212()()()a a a a φφφ---+=+
11
111
12121212((
))(())(())(()(
))
a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----=== 则1
1
1
1212()()()a a a a φφφ---=，所以1
φ-为同构。
18 设I ，J 是环R 的两个理想。（1）证明I J 是理想。（2）证明I 和J 的元素乘积的有限和
v v v
x y ∑
的集合是理想。此理想记作IJ 。（3）证明IJ I J ? 。
证明：（1）因为I ，J 为R 的子加群，I ，J 为R 的理想
所以;,;();,r R a b I J a b I J ar ra I J ?∈∈-∈∈ ，所以I J 为R 的理想 （2）{
|,,}v v
v v v
IJ x y
x I y J v =∈∈∑有限
''1
1
;,;,n
m
i i j j i j r R a b IJ a x y b x y ==?∈∈==∑∑则且'',,(1,,,1,,)i j i j x x I y y J i n j m ∈∈==
所以有1
1
,(),()n n
i
i
i
i
i i a b IJ ra rx y IJ ar x y r IJ ==-∈=
∈=∈∑∑，所以I J 为R 的理想。
（3）因为I J 为R 的理想 1
,(),()n
i i
i
i
i a IJ a x y I y J R a J x I R =?∈=
∈∈?∈∈?∑
所以a I J IJ I J ∈?? 。
19 证明极大理想都是素理想。证明整数环中的素理想都是极大理想。
证明：首先，中华说第一句话“极大理想都是素理想”是不对的。例如：在偶数环R 中，<4>是极大理想，但不是素理想。
下面证明整数环中的素理想都是极大理想：
证明：设N 为整数环Z 的理想，设d 为N 中最小的整数，则d N <>∈ ,,0n N n q d r r n
?∈=+≤<
若0r >，则r n qd N =-∈与d 的设法矛盾，故0r N d =?∈<>
所以d N <>=，故Z 的理想都为主理想，且N 为素理想，则存在素数p ，使得
N p =<>
下证N 为极大理想，设M 有N M N M ≠?且，则存在m 使得M m =<>，则
|1p m p m m p m p m <>?<>?∈<>??==或
若m p N M =?=，矛盾。故11m M N =?=<>=?为极大理想Z 。 20 设R 是整环。证明以R 中元素为系数的多项式在自然的加法和乘法下构成的环[]R x 也是整环。
证明：[][]e R R x R x ∈?为中的单位元 因R 可交换，故0
,[],,,,n m
i
j
i
j
i
j
i j f g R x f a x g b x a b
R ==?∈=
=∈∑∑
[]fg gf R x =?可交换
下证[]R x 为环，[]R x 关于加法乘法封闭
(),()[],()[],0[][]f x g x R x f x R x R x R x ?∈-∈∈?为加群
()[],()(()())()()()(),(()())()(h x R x h x f x g x h x f x h x g x f x g x h x f x g x h x
?∈+=+= 所以[]R x 为环 下证无零因子：
(),()[],(),()n m
i j
i
j
i j f x g x R x f x a x g x b x
==?∈=
=∑∑，若()()0f x g x =，则
2000
00
0,0,0,1,,2.000n
i i
i j k i j k i
c
x c a b i n i a b a b =+====?==
?=?==∑∑
当 对于0,0,1,,i j k
j k i
c a b
i n +==
=?=∑ ，
用数学归纳法证明000n n a a b b ====== 假设000k k a a b b ====== ，下证110k k a b ++== 2222
0R j k j k R c a b ++=+=
=∑
，由000k k a a b b ====== ，则
11220000k k R n n a b c a a b b +++==?======
由R 无零因子，有110k k a b ++==，所以[]R x 无零因子。
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
用字母表示数及代数式
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
§3.1列代数式 教学目标 1．理解用字母表示数的意义； 2．学会用字母表示数及简单的数量关系； 3．初步渗透“字母代数”符号化思想及“分类讨论思想”； 4．培养学生观察、分析、归纳、概括能力，以及创新能力． 教学重点与难点 重点：用字母表示数． 难点：用含字母的算式表示给定的数量关系． 教学过程 一、创设情景 1、多媒体投影准备的图片． 2、字母可以表示问题 二、探索新知 1、搭1个正方形需要4根火柴棒. … 按如图所示方式搭图形 （1）搭2个正方形需要根火柴棒；搭3个正方形需要根火柴棒； 搭4个正方形需要根火柴棒；… （2）搭50个正方形需要根火柴棒；… （3）搭x个正方形需要根火柴棒； （4）利用你的计算方法，搭2008个这样的正方形需要根火柴棒？解：（1）7;10;13; （2）151; （3）3x+1 （4）6025 2、 （1）请你观察月历中涂色框中的3个数有什么关系？ 如果我们用字母a表示方框中的一个数，那么其余的2个数怎样用a来表示？（2）如果涂色框中是如图的4个数呢？你会用用字母把它们的关系表示出来吗？
三、例题讲解３、找规律 (1) 1,4,9,16,___25_ ,__36__, ……第100个数是__10000_, ……,第n个数是__n2__; (2) 7,12,17,_22__,__27__, ……,第100个数是_502_,第n个数是5n+2_; (3) 再来看下面的式子：有谁知道应该等于多少呢？那从1加到n的和呢？ 四、应用巩固 1、做一做： (1)某地为了治理河山,改造环境,计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山,如果每年植树绿化x公 顷荒山,那么这五年内植树绿化荒山________公顷; (2) 中国飞人刘翔在刚闭幕的奥运会上获得了110米栏的冠军,假设他用了t秒跑完全程，那么他的速度为_________米/秒; (3)每本练习本m元,甲买了5本,乙买了2本,两人一共花了_______元,甲比乙多花了 __________元. 2、填空 （1）一打铅笔12枝，n打钢笔有______枝； （2）三角形的三边长分别为3a,4a,5a，则其周长为______； （3）如图，某广场四角铺了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，则共有草地______平方米. （4）我们知道：23=2×10+3 865＝8×102+6×10+5 类似地，5984＝＿＿×103+＿＿×102 + ＿＿×10＋＿＿ 若某个三位数的个位数是a，十位数是b，百位数是c，则此三位数可表示为__________.c ×102+b×10+a 五、课堂小结 100(1001) 123...100___5050_ 2 ?+ ++++== 10 2 )1 4( 4 4 3 2 1 6 2 )1 3( 3 3 2 1 3 2 )1 2( 2 2 1 = + ? = + + + = + ? = + + = + ? = + .................................. (1) 123...__ 2 n n n ?+ ++++=
复习重点： 第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15） 第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定 （P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
用字母表示数代数式与代数式的值 一、知识概述 1、用字母表示数的意义 用字母表示数是代数的一个重要特点，能一般而又简明地把数和数量关系表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便，又能使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来，更具普遍意义．如一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义． 2、用字母表示数时书写应注意以下原则 ①字母与字母相乘可以用“·”表示，也可以省略．如a×b 通常写作a·b或ab； ②数字与字母相乘，数字通常写在字母前面．如：a×3通常写作3a； ③带分数因数一般写成假分数．如x的倍，表示成x，而不要写成； ④除法运算写成分数形式．如1÷a通常写作； ⑤在一些实际问题中，表示某一数量的代数式如果有单位，当代数式是积或商的形式，单位写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则需要将代数式用括号括起来.再将单位写在后面，如(m＋n)厘米； ⑥相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如a·a·a写作a3. 3、代数式 代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号．特别注意：单独的数或字母，也是代数式． 4、列代数式 在解决实际问题中，往往需要先把问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式． 要正确列出代数式，请注意以下关键：
线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵, 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 2.1代数式－用字母表示数 学习目标：1.通过实例理解用字母表示数的意义。 2.会用字母表示探索的数量关系和规律。 3.经历用字母表示数的过程，形成初步的符号感，体会由特殊到一般的数学思想。 重点：用字母表示数与数量关系。 难点：用字母表示数的普遍意义。 教学过程： 一、导入 有这样一首儿歌： 1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水； 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2声跳下水； 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水； 4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿，扑通4声跳下水； .。。。。。。 如果n只青蛙应该怎样唱呢？歌能唱完吗？ 二、新授： （一）用字母表示数 阅读课本56页问题1，2解决下列问题： 1. 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数 叫做奇数。 根据偶数的定义，若用k表示任意一个整数，则2k表示的是偶数。 与2k相邻的奇数跟2k相差1，所以可以用2k+1或2k-1表示一个奇数。 2. 问题1中飞船绕地球飞行一周约91min(精确到 1min),绕地球飞行n周约需91n min。 3. 汽车速度是50km/h，则t h行驶的路程为50t km。 4. 某去年的收入是a元，今年比去年增加10%，则今年 的收入是1.1a元。 归纳（1）用来表示数的字母，可以看作数，但不同于一个确定的数， （2）字母表示数范围很广，可以是正数，也可以是负数或0，所以－a 不一定是负数。比如x的相反数是－x，那么－x不一定是负数，它可以是我们学过的任何数。 （二）用字母表示数量关系 看书本问题3，解决下列问题 1. 日历中从左到右的两个连续日期相差1天，上下连 续两个日期相关7天。 2. 若在日历中框出从左到右连续的三个数，将中间的 数用a表示，则a左边的数是a-1，右边的数是a+1。 3. 若日历中上下方向框出连续的三个数中，将中间的 数用a表示，则a上面的数是a-7，下面的数是a+7，上下两数之和是2a，任意框出的三个数之间的关系是a+c=2b； 4. 用字母a,b表示乘法的交换律：，用字母a,b表 示加法的交换律：， 归纳总结：用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，更有一般性。比如我们学过的一些计算公式。 三、练习： 1.某数比数a小15%，则该数为（） A15%a，B(1-15%)a C(1+15%)a D a-15% 线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立. 9.1字母表示数? 用字母表示数的意义? 用字母可以表示我们已经学过的和今后要学到的任何一个数，用字母表示数可以简明地表达数学运算律，用字母表示数可以简明地表达公式，用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，还可以用字母表示未知数。 一、等量关系式? s=vt? 二、运算律? 加法的交换律：a＋b＝b＋a? 加法的结合律：（a＋b）＋c＝?a＋（b＋c?）?乘法的交换律：?a×b＝b×a? ?乘法的结合律：（a×b）×c＝?a×（b×c?）???乘法的分配律：（a＋b）×c＝?a×c?＋?b ×c? 三、公式? 1、长方形的周长=（长+宽）×2?? C=(a+b)×2? 2、正方形的周长=边长×4? ?C=?4a?? 3、长方形的面积=长×宽?? S=ab? 4、正方形的面积=边长×边长? S=a·a=?a?2? 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2??? 6、平行四边形的面积=底×高?S=ah? 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2? S=（a＋b）h÷2?? ?8、直径=半径×2????半径=直径÷2? d=2r???????????r=?d÷2? 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2??? c=πd?=2πr????? 10、圆的面积=圆周率×半径×半径? ????????????S=πr?2? 长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2? 长方体的体积?=长×宽×高?V?=abh? 正方体的表面积=棱长×棱长×6??S?=6a2? 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长??V=a·a·a=?a3?? 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch? 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积? S=2πr2?+2πrh=2π(d÷2)2?+2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π)2?+Ch? 17、圆柱的体积=底面积×高? V=Sh? V=πr2h=π(d÷2)2?h=π(C÷2÷π)2?h 18、圆锥的体积=底面积×高÷3? V=Sh÷3=πr2?h÷3=π(d÷2)2?h÷3=π(C÷2÷π)?2?h÷3??? ?? 四、注意? 1、a?2表示两个a相乘，而2a表示两个a相加。? 2、字母和字母中间的乘号可以省略不写，数字和字母相乘，要把数字写在字母的前面。? 3、应用字母公式求面积?S=?(a+b)h÷2?=?(3.5+5.5)×4÷2?=?9×4÷2?=?18?(结果不必写单位 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表 示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 第一讲 字母表示数和代数式 【典型例题1】 设某数为x ，用x 表示下列各数： （1）比某数的一半还多2的数； （2）某数减去3的差与2 1 3 的积； （3）某数与3的和除以某数所得的商； （4）某数的60%除以m 的商。 解析： （1） 1 2.2x + （2）()53.3x - (3) 3.x x + (4) 60%x m 点评：此题考查的知识点是用字母表示未知量，根据题意将文字语言转换为符号语言，要按文字语言叙述的顺序书写符号语言。 【知识点】 用字母表示数。 注意书写规则 1、数字与字母及字母与字母间的乘号要省略，如2.a ab 、 2、除法运算要用分数线来表示，如 .2c r 3、数字（包括整数、分数、小数、百分数、π等） 应写在字母的前面，如2 20.250%3 b a a r π、、、；当字母前面的数字是1时应省略不写，当数字因数是带分数时，一定要把带分数化为假分数，再写到字母的前面，如1 12a 应写成 3.2 a 4、若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序书写，如一般写xy ，不写成.yx 【基本习题限时训练】 1、用式子表示“a 与b 的和除以b 与a 的差”是（ ） A a b a b +- B a b b a +- C a b a b -+ D b a a b -+ 【解】按照文字语言的叙述的顺序书写符号语言，故选B. 2、字母表达式2 2 3x y -的意义为（ ） A x 与3y 的平方差 B x 的平方减3的差乘以y 的平方 C x 与3y 的差的平方 D x 的平方与y 的平方的3倍的差 【解】按照运算顺序2 x 与2 3y 先进行文字表述，最后进行差的运算，故选D. 3、用字母表示分数的基本性质（分数的分子、分母都乘以同一个不为0的数，分数的值不变）应为（ ） 4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系 解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==， 由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα， 所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ， 因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ， 只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0 3.1字母表示数学案一 教学目标 1、使学生认识字母表示数的意义，并能说出一个代数式所表示的数量关系； 2、培养学生观察、分析及抽象思维的能力。 重点：用字母表示数的意义 难点：正确的说出代数式所表示的数量关系 一、学前准备： 你能用字母表示以前学过的运算律和公式吗？ 1、 运算律： 加法交换律可以表示成_______________加法结合律可以表示成____________ 乘法交换律可以表示成_______________乘法分配律可以表示成_____________ 乘法结合律可以表示成_____________ 2、公式 二、自学成才 1.代数式定义：像_________________________________，……这样的式子，我们称它们为代数式，严格地说，用基本的________把数和表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式；单独的一个___或者单独的一个_____也是代数式。 2. a 0 1 12 -2 14- 0.15 24125 - -a 综上，当a 表示有理数时，a 可以表示_______有理数、____、 _____有理数、—a 可以表示____有理数数、___、_______有理数。 3.我们可以用字母来表示数，并且把问题中涉及的_________关系用________来表示，这就是列代数式。 4. 列代数式时，要把复杂的数量关系分成基本的数量关系，弄清运算顺序和括号的使用。 一般按“____________”原则列代数式。 三、合作交流：求出下列火柴的根数（用四种方法） 1个正方形的火柴根数： a a a b a h a h a h b 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；自考《线性代数》重难点解析与全真练习
线性代数知识点总结
2.1代数式-用字母表示数
线性代数知识点归纳,超详细
用字母表示数-知识点
线性代数 复习提纲(一天就过)
线性代数知识点总结汇总
第一讲 字母表示代数式
线性代数经管类——重点难点总结
代数式的表示方法
线性代数知识点全归纳
相关主题
文本预览