1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元．
（1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式； （2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元 【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。
（2）根据题意，得 9x 6(50x)360
3x 8(50x)290
+-≥??+-≥?，解这个不等式组，得20x 22≤≤。
∵x 是整数，∴x
（3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-?+=（万元）。
∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。
（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。
2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作
设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。
（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。
（3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元 【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ， 从工时数方面：由
21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4
3
y 。
（2）由（1）得360－x－y=480－2x－
3
y，整理得：y=360－3x。（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
由题意得
2x60
x0
3603x0
≥
?
?
≥
?
?-≥
?
，解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。
（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。
（2）由（1）整理得：y=360－3x。
（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得
2x60
x0
3603x0
≥
?
?
≥
?
?-≥
?
，
解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。
3．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期
的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：
（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变
量x的取值范围）；
（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？
最高利润是多少？
【答案】（1）y＝－10x＋300（2）当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元【解析】解：（1）设y＝kx＋b ，
由题意得：
10k b200
14k b160
+=
?
?
+=
?
，解得：k＝－10；b＝300。
∴y＝－10x＋300。
（2）由（1）知超市每星期的利润：
W＝(x－8)·y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－8)(x－30)＝－10(x2－38x＋240)
＝－10(x－19)2＋1210
∴当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元。
（1）根据图象可以得到函数经过点（10，20）和（14，160），利用待定系数法即可求得函数的解析式。（2）超市每星期的利润可以表示成x的函数关系式，然后根据函数的性质即可确定。
4．如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=
2
x
相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k 1x+b ＞2
k x
的解集． 【答案】（1）双曲线的解析式为：y=
2
x 直线的解析式为：y=x+1（2）y 2＜y 1＜y 3（3），x ＞1或﹣2＜x ＜0 【解析】解：（1）∵双曲线y=2k x 经过点A （1，2），∴k 2=2，∴双曲线的解析式为：y=2
x ．
∵点B （m ，﹣1）在双曲线y=2
x
上，∴m=﹣2，则B （﹣2，﹣1）。
由点A （1，2），B （﹣2，﹣1）在直线y=k 1x+b 上，得
11k +b=22k +b=1??--?
，解得1k =1
b=1??
?。∴直线的解析式为：y=x+1。 （2）∵双曲线y=
2
x
在第三象限内y 随x 的增大而减小，且x 1＜x 2＜0，∴y 2＜y 1＜0， 又∵x 3＞0，∴y 3＞0。∴y 2＜y 1＜y 3。 （3）由图可知，x ＞1或﹣2＜x ＜0。 （1）将点A （1，2）代入双曲线y=
2
k x
，求出k 2的值，将B （m ，﹣1）代入所得解析式求出m 的值，再用待定系数法求出k 1x 和b 的值，可得两函数解析式。
（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究。
（3）根据A 、B 点的横坐标结合图象找出直线在双曲线上方时x 的取值即可。
5．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元． （1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案． 【答案】（1）两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。（2）W=﹣20x+6860，有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张；购买两人桌44张，购买三人桌54张；购买两人桌45张，购买三人桌53张；购买两人桌46张，购买三人桌52张 【解析】解：（1）设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，
根据题意得：3a+b=2202a+3b=310???，解得a=50
b=70???
。
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。
（2）设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌（98﹣x ）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元， 则W 与x 的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x ）=﹣20x+6860； 根据题意得：()()50x+7098x 6000
2x+398x 248
?-≤??
-≥??，解得43≤x≤46。
∵x 为整数，∴x=43，44，45，46。
∴所有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张； 购买两人桌44张，购买三人桌54张； 购买两人桌45张，购买三人桌53张； 购买两人桌46张，购买三人桌52张。
（1）设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可。 （2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌（98﹣x ）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可。
6．如图，抛物线()23
y=ax x 2a 02
--≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 【答案】（1）21
3y=x x 222--（2）该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（1
2
，0）（3）当h 最大（即点M 到直线BC 的距离最远）时，△ABC 的面积最大，M （2，﹣3）
【解析】解：（1）∵B （4，0）在抛物线()23y=ax x 2a 02
--≠的图象上 ∴30=16a 422-?-，即：1a=2
。 ∴抛物线的解析式为：213y=x x 222
--。
（2）由（1）的函数解析式可求得：A （﹣1，0）、C （0，﹣2）。 ∴OA=1，OC=2，OB=4。∴
OC OB
OA OC
=。 又∵OC ⊥AB ，∴△OAC ∽△OCB 。∴∠OCA=∠OBC 。
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。
∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径。 ∴该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（
1
2
，0）。 （3）已求得：B （4，0）、C （0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：y=
1
2
x ﹣2。 设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：y=x+b ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：
12x+b=213x x 222
--，即： x 2
﹣4x ﹣4﹣2b=0，且△=0。 ∴16﹣4×（﹣4﹣2b ）=0，解得b=4。∴直线l ：y=1
2
x ﹣4。
∵MBC 1
S BC h 2
?=??，当h 最大（即点M 到直线BC 的距离最远）时，△ABC 的面积最大。
∴点M 是直线l 和抛物线的唯一交点，有：
213
y=x x 2221y=x 42
?--????-??，解得：x=2y=3??-?。∴ M （2，﹣3）。 （1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可。
（2）根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标。
（3）△MBC 的面积可由MBC 1
S BC h 2
?=??表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距
离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M 。 7．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标（3，3），将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的 延长线交线段BC 于点P ，连AP 、AG ．
（1）求证：△AOG ≌△ADG ；
（2）求∠PAG 的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE 的解析式．
【答案】（1）证明见解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP ，理由见解析（3）
x ﹣1 【解析】解：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°， ∴在Rt △AOG 和Rt △ADG 中，AO=AD ，AG=AG ， ∴△AOG ≌△ADG （HL ）。
（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP 。理由如下：
由（1）同理可证△ADP ≌△ABP ，则∠DAP=∠BAP 。 ∵由（1）△AOG ≌△ADG ，∴∠1=∠DAG 。 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。 ∵△AOG ≌△ADG ，△ADP ≌△ABP ，∴DG=OG ，DP=BP 。 ∴PG=DG+DP=OG+BP 。
（3）∵△AOG ≌△ADG ，∴∠AGO=∠AGD 。
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC 。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。 在Rt △AOG 中，AO=3
∴G 点坐标为：
0），CG=3
在Rt △PCG 中，
PC=
CG 1tan 30，∴P 点坐标为：（3
1）。
设直线PE 的解析式为y=kx+b ，
则1
??
，解得b=1????-?
。 ∴直线PE 的解析式为
x ﹣1。 （1）由AO=AD ，AG=AG ，利用“HL”可证△AOG ≌△ADG 。 （2）利用（1）的方法，同理可证△ADP ≌△ABP ，得出∠1=∠DAG ，∠DAP=∠BAP ，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG 的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系。
（3）由△AOG ≌△ADG 可知，∠AGO=∠AGD ，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC ，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG ，PC ，确定P 、G 两点坐标，得出直线PE 的解析式。
8．如图，一次函数1y=x+22
-分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y=﹣x 2
+bx+c 过A 、B 两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+7
2
x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）
【解析】解：（1）∵
1
y=x+2
2
-分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=7
2
。
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+7
2
x+2。
（2）如图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。
∵
OA21 tan ABO
OB42∠===，
∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×1
2
=2﹣
1
2
t。
又∵N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+7
2
t+2。
∴()2
22N 1MN y ME t t 22t t 4t=t 2+42
=-=-++--=-+--（）。 ∴当t=2时，MN 有最大值4。 （3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）． 如图2，
以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形。 （i ）当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ）， 由AD=MN ，得|a ﹣2|=4，解得a 1=6，a 2=﹣2， 从而D 为（0，6）或D （0，﹣2）。
（ii ）当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D 1N 与D 2M 的交点， 由D 1（0，6），N （2，5）易得D 1N 的方程为y=1
2
-x+6； 由D 2（0，﹣2），M （2，1）D 2M 的方程为y=
3
2
x ﹣2。 由两方程联立解得D 为（4，4）。
综上所述，所求的D 点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
（1）首先求得A 、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值。 （3）明确D 点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限，是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标。
9．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(－2，0)，点B 坐标为 （0，2 ），点E 为线段AB 上的动点(点E 不与点A ，B 重合)，以E 为顶点作∠OET=45°，射线ET 交线段OB 于点F ，C 为y 轴正半轴上一点，且OC=AB ，抛物线y=2-x 2
+mx+n 的图象经过A ，C 两点.
（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE ；
（3） 当△EOF 为等腰三角形时，求此时点E 的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1） 中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（122+） 倍.若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.
【答案】（1）y=
x 2
2）证明见解析（3）E 坐标为E(－1， 1)或E(
2
)（4）P(0，
)或P （－1，
【解析】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。 ∴AB 2
=OA 2
+OB 2
=22
+22
=8。∴
∵OC=AB ，∴
， 即C （0，
。 ∵抛物线
2
+mx+n 的图象经过A 、C 两点，得
2m n 0n ?-+=??=??
，解得：m n ?=??
=?? ∴抛物线的表达式为y=
x 2
（2）证明：∵OA=OB ，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE ，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE 。 （3）当△EOF 为等腰三角形时，分三种情况讨论 ①当OE=OF 时， ∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF 中， ∠EOF=180°－∠OEF －∠OFE=180°－45°－45°=90°。
又∵∠AOB ＝90°，则此时点E 与点A 重合， 不符合题意， 此种情况不成立。 ②如图①，
当FE=FO 时，∠EOF=∠OEF=45°。
在△EOF 中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°， ∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF ∥AO 。 ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。
又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO 。 ∴BF=EF 。∴EF=BF=OF=
12OB=1
2
×2＝1 。∴ E(－1， 1)。 ③如图②， 当EO=EF 时， 过点E 作EH ⊥y 轴于点H ，
在△AOE 和△BEF 中，
∵∠EAO=∠FBE ， EO=EF ， ∠AOE=∠BEF ， ∴△AOE ≌△BEF （AAS ）。∴BE=AO=2。
∵EH ⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB 。 ∴EH ∥AO 。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
在Rt △BEH 中， ∵∠BEH=
∴OH=OB －BH=2－22。∴ E(， 2)。
综上所述， 当△EOF 为等腰三角形时，点E 坐标为E(－1， 1)或E( 2。
（4） P(0，或P （－1，。
（1）应用勾股定理求出点C 的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。 （3）分OE=OF ，FE=FO ，EO=EF 三种情况讨论即可。
（4）假设存在这样的点P 。当直线EF 与x 轴有交点时，由（3）知，此时E( 2。 如图③所示，过点E 作EH ⊥y 轴于点H ，
则OH=FH=2
由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。
过点F作FN∥x轴，交PG于点N。
易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。
依题意，可得S△EPF=（1）S△EDG=（1）S△EFN，
∴PE：NE=1。
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2
∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=1。
∴PT=（1）ST=（1）（2－2。
∴P的纵坐标为
∴2x1=0，x2=－1。
∴P点坐标为(0，或（－1，。
综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（1）倍，点P的坐标
为(0，)或（－1，。
10．已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D ，使得点D 到点B 、C 的距离之和最小，并求出点D 的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，2）（3）存在，（
32 ，15
4
） 【解析】解：（1）∵抛物线y=ax 2
+2x+c 的图象经过点A （3，0）和点B （0，3），
∴9a 6c 0
c 3++=??=?
，解得a 1c 3=-??=?。
∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++。
（2）∵()2
2y x 2x 3x 14=-++=--+，∴对称轴为x=1。 令2y x 2x 30=-++=，解得x 1=3，x 2=－1，∴C （－1，0）。 如图1所示，连接AB ，与对称轴x=1的交点即为所求之D 点，
由于A 、C 两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB 最小。
设直线AB 的解析式为y=kx+b ， 由A （3，0）、B （0，3）可得：
3k b 0 b 3+=??
=?，解得k 1
b 3
=-??=?。 ∴直线AB 解析式为y=－x ＋3。
当x=1时，y=2，∴D 点坐标为（1，2）。 （3）结论：存在。
如图2，设P （x ，y ）是第一象限的抛物线上一点， 过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，
则ON=x ，PN=y ，AN=OA －ON=3－x ．
ABP PNA AOB PNOB S S S S ???=+-梯形
111OB PN ON PN AN OA OB 222
111393y x y 3x 33x y 22222
=+?+?-?=+?+?--??=+-（）（）（）（）
∵P （x ，y ）在抛物线上，∴2y x 2x 3=-++，代入上式得：
22ABP 3933327S x y x 3x x 22222 8?=+-=--=--+（）（）（）。
∴当x= 3
2时，S △ABP 取得最大值。
当x= 32 时，2
3315y 23=224??
=-+?+ ???
，∴P （32，154 ）。
∴在第一象限的抛物线上，存在一点P ，使得△ABP 的面积最大，P 点的坐标为（
32 ，15
4
）。 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）连接AB ，与对称轴x=1的交点即为所求之D 点．为求D 点坐标，求出直线AB 的解析式，然后令x=1求得y ，即可求出D 点坐标。
（3）求出△ABP 的面积表达式．这个表达式是一个关于P 点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P 点的坐标。
11．如图，A 、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO （O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为t （0＜t ＜
10
3
）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
【答案】（1）当t=20
11
秒时，PQ∥BO（2）①S=
2
95
t+5
53
??
--
?
??
（0＜t＜
10
3
），5②（
2
3
，﹣3）
【解析】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。
∴AB10
=。
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。
∵PQ∥BO，∴AP AQ
AB AO
=，即
103t2t
105
-
=，解得t=
20
11
。
∴当t=20
11
秒时，PQ∥BO。
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。
∴△APD∽△ABO。
∴AP PD
AB OB
=，即
103t PD
106
-
=，解得PD=6﹣
9
5
t。
∴
2
2
119995
S AQ PD2t6t=t+6t=t+5 225553
????
=??=??----
? ?
????
。
∴S与t之间的函数关系式为：S=
2
95
t+5
53
??
--
?
??
（0＜t＜
10
3
）。
∴当t=5
3
秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。
②如图②所示，当S取最大值时，t=5
3
，
∴PD=6﹣9
5
t=3，∴PD=
1
2
BO。
又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=1
2
OA=4。∴P（4，3）。
又AQ=2t=10
3
，∴OQ=OA﹣AQ=
14
3
，∴Q（
14
3
，0）。
依题意，“向量PQ”的坐标为（14
3
﹣4，0﹣3），即（
2
3
，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（2
3
，﹣3）。
（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式AP AQ
AB AO
=，求出t的值。
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD
∥BO，由△APD∽△ABO得AP PD
AB OB
=求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函
数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。
②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。
12．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF 交抛物线于另一点Q ，过Q 作BC 所在直线的垂线，垂足为S ，试判断△RSF 的形状．
【答案】（1）y=﹣
14
x 2
（2）①证明见解析②（3）、（﹣3）③直角三角形 【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A 、D 关于抛物线的对称轴对称。 ∵E 是AB 的中点，∴O 是矩形ABCD 对角线的交点。 又∵B （2，1），∴A （2，﹣1）、D （﹣2，﹣1）。 ∵抛物线的顶点为（0，0），∴可设其解析式为：y=ax 2
，则有：4a=﹣1，a=﹣1
4
。 ∴抛物线的解析式为：y=﹣
14
x 2
。 （2）①证明：由抛物线的解析式知：P （a ，﹣
14
a 2
），而R （a ，1）、F （0，﹣1），
则：21
a +14
21
a +14
，
∴PF=PR 。
②∵，∴若△PFR 为等边三角形，则由①得RF=PF=PR ，得：
21a +14
，即：a 4﹣8a 2﹣48=0，得：a 2=﹣4（舍去）
，a 2
=12。
14
a 2
=﹣3。
∴存在符合条件的P 点，坐标为（3）、（﹣3）。 ③同①可证得：QF=QS 。
在等腰△SQF 中，∠1=
1
2
（180°﹣∠SQF ）。 同理，在等腰RPF 中，∠2=1
2
（180°﹣∠RPF ）。
∵QS ⊥BC 、PR ⊥BC ，∴QS ∥PR ，∠SQP+∠RPF=180°。 ∴∠1+∠2=
1
2
（360°﹣∠SQF ﹣∠RPF ）=90° ∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR 是直角三角形。
（1）根据题意能判断出点O 是矩形ABCD 的对角线交点，因此D 、B 关于原点对称，A 、B 关于x 轴对称，得到A 、
D 的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P 的坐标，然后表示出PF 、RF 的长，两者进行比较即可得证。
②首先表示RF 的长，若△PFR 为等边三角形，则满足PF=PR=FR ，列式求解即可。
③根据①的思路，不难看出QF=QS ，若连接SF 、RF ，那么△QSF 、△PRF 都是等腰三角形，先用∠SQF 、∠RPF 表示出∠DFS 、∠RFP 的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF 的形状。
13．已知：如图一，抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E,D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OP
ED OP
ED s ?+=
，当t 为何值时，s 有最小值，
并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）y=-1/4 x 2
+3/2 x-2（2）1（3）当t=2 /3 或t=10/ 7 时，以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，证明见解析
【解析】解：（1）由抛物线y=ax 2
+bx-2得：C （0，-2）， ∴OA=OC=2， ∴A（2，0），
∵△ABC 的面积为2， ∴AB=2， ∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a （x-2）（x-4），代入点C （0，-2）， a=-1/4 ，
∴抛物线的解析式为y=-1/4 (x-2)(x-4)=-1/4 x2+3/2 x-2，
答：抛物线的解析式为y=-1/4 x 2
+3/2 x-2． （2）解：由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4-2t ， ∵ED∥BA
可得：ED /OB =CE /CO ， 即ED/4 =CE/2 ， ∴ED=2CE=2t，
①1/ED +1/OP =1/2t +1/4-2t =4/2t(4-2t) =1/-t2+2t ，
∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
∴当t=1时1 ED +1 OP 的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，1/ED +1/OP 的值最小，最小值是1．
②解：由题意可求：CD= 5 t，CB=2 5 ，
∴BD=2 5 - 5 t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当BP AB =BD BC 时，即2t 2 =2 5 - 5 t 2 5 ，
解得：t=2 3 ，
当BP BD =BC BA 时，即2t 2 5 - 5 t =2 5 2 ，
解得：t=10 7 ，
当t=2/3 或t=10/7 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是2/3 或10/7 ．
（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB =CE CO ，求出ED=2CE=2t，根据1 ED +1 OP =1 2t +1 4-2t =4 2t(4-2t) =1 -t2+2t ，求出即可；
②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BP AB =BD BC 和BP BD =BC BA 代入求出即可．
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三．教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标： 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计 （一）.复习引入： （1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？ （2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限， 的增大而增大。随x y 3、当0
六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。 反比例函数图像及性质 一、反比例函数定义 形如()0≠= k x k y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。 二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 2、当0>k 时，反比例函数x k y =的图像分布在一、三象限。 3、当0 《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节 针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作 1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元． （1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式； （2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元 【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。 （2）根据题意，得 9x 6(50x)360 3x 8(50x)290 +-≥??+-≥?，解这个不等式组，得20x 22≤≤。 ∵x 是整数，∴x （3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-?+=（万元）。 ∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。 （1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。 2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作 设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。 （1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。 （3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元 【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ， 从工时数方面：由 21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4 3 y 。 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f(x)= x k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象 限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 值域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无 奇偶性：奇函数 反函数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较 3）、f(x)= d cx b ax + + (c≠0且d≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项容） 二次函数 一般式：)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f 顶点式：)0 ( ) ( ) (2≠ + - =a h k x a x f 两根式：)0 )( )( ( ) ( 2 1 ≠ - - =a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0 > a时，开口向上，有最低点当0 < a时。。。。。 ③当= >0时，函数图象与x轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x轴 有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。 ④)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f关系)0 ( ) (2≠ =a ax x f 定义域：R值域：当0 > a时，值域为（）；当0 < a时，值域为（） 单调性：当0 > a时；当0 < a时. 奇偶性：b=/≠0 x y O f(x)= d cx b ax + + x y O f(x)=c bx ax+ + 2 一次函数 二次函数 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 高中常用函数性质及图像 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 函数的性质与函数图像的关系 由特殊到一般,得出指数函数的 图象特征,进一步得出图象性质： 教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 探究：指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31 (y = （2）x )21 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 2．从画出的图象中你能发现函 数x 2y =的图象和函数x )2 1 (y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象 画出x )2 1 (y =的图象？ 3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？ 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x << 1,0> 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论 解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D. 1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=- 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明： 《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？ 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 高中各种函数图像及其性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用X 来表示y 的式子描述函数解析式。那么y 随着X 变化而变 化，则我们把X 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是X 函数。 一次函数的图像及性质 一、 一次例函数定义 形如y =kx ? b k = O 这样的函数叫一次函数。 二、 正比例函数 当一次函数y=kx ?bk +0中b = 0时，y = kx k 六0叫正比例函数。 三、 正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点（0,0 ）和点（0,b ）的直线。且与y 轴的截距是b 与y 轴的交点坐标为0,b 。 2、当k 0时，正比例y =kx 的函数图像过一、三象限, y 随X 的增大而增 大。 3、当k <0时，正比例y=kx 的函数图像过二、四象限, y 随X 的增大而减 小。 设一次函数y = kX ? b k = 0与坐标轴所围成的三角形为 1、 当k 0, b . 0时，一次函数 ^kX b 的图像 过一、二 .、三象限。 2 、 当k 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像 过一、三 .、四象限。 3、 当 k ：：： 0, b ? 0时，一次函数 ^kX b 的图像 过一、二 .、四象限。 4、 当 k ：：： 0, b ：：： 0时，一次函数 ^kX b 的图像 过二、三 .、四象限。 四、一次函数图像及性质 五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式 1 I 1 b I b 2 XB ■ YA - 一—■ b S . AOB AOB 则S-A o B 为多少? 六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数yι=kιx b i和y2 =k2X b2的交点 反比例函数图像及性质 、反比例函数定义 — 形如y二―k = 0这样的函数叫反比例函数。k叫比例系数k为常数。 X 、反比例函数的图像反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 IZ 的图像分布在一、三象限。 X IZ y=-的图像分布在二、四象限。 X 四、反比例函数图像上的点。 点p X o, y o在反比例函数y k k "的图像上=X o ?y°=k X 五、反比例函数图像上图形面积与比例系数 k 1、在y 中如上图所示S -OAB X OABC = 为点X。，y。，如图可知 (1)时, y i y2 ； (2)时, y i =y2 ； (3)时, y i ：：：y2。 2、当k . 0时，反比例函数 3、当k <0时，反比例函数 《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而 1.指数函数 0(>=a a y x 且)1≠a 图像： 性质：恒过定点（0,1）； 当0=x 时，1=y ； 当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y . 当10<=a x y a 且)1≠a 对数运算法则： N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式） a N N b b a log log log = （换底公式） 图像 x ) 1>(=a y x 性质：恒过定点（1,0）； 当1=x 时，0=y ； 当1>a 时，y 单调递增， 当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y . 当10<a x ) 10(< 1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.对数函数图像及其性质
函数图像及性质
基本初等函数图像及性质大全
高中的常见函数图像及基本性质
高中各种函数图像画法与函数性质
高中常用函数性质及图像汇总
函数的性质与函数图像的关系
五大基本初等函数性质及其图像
7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
正切函数的图像和性质 公开课教案
正切函数的图像与性质说课稿
高数总结：基本初等函数图像及其性质
高中各种函数图像及其性质
初中函数图像及性质
正切函数的性质与图象课后反思.docx
高中数学常用函数图像及性质
正切函数的性质与图像教案
相关主题
文本预览