矢量非傍轴离轴高斯光束的传输
3
高曾辉
1)2)
吕百达
1)
1)
(四川大学激光物理与化学研究所,成都 610064)
2)
(宜宾学院光电信息研究所,宜宾 644007)
(2005年3月15日收到;2005年4月29日收到修改稿)
基于矢量瑞利2索末菲衍射积分公式,得出了波动方程的一个解,它代表矢量非傍轴离轴高斯光束,其在自由空间的传输方程表示为解析的结果.矢量非傍轴离轴高斯光束的轴上和远场公式,矢量非傍轴高斯光束的传输方程,以及傍轴的结果都可作为一般表达式的特例而得出.研究表明,f 参数对光束的非傍轴特性有重要影响,而离心参数也影响非傍轴行为.与共轴情况不同的是,对离轴情况,在y 方向存在场的纵向分量.
关键词:激光光学,矢量非傍轴离轴高斯光束,瑞利2索末菲衍射积分,f 参数,离轴参数
PACC :4200
3国家高技术研究发展计划(批准号:2004AA823070)资助的课题.
E 2mail :badalu @https://www.doczj.com/doc/1c3790399.html,
11引言
在傍轴光学范畴内,对激光束的传输变换特性已进行了许多研究.随着半导体激光器,光子晶体,微光学元件,微腔激光器等研究工作的进展,实际工作中要求用更为严格的理论来处理束宽与波长可相比拟的强聚焦激光束或有大发散角的非傍轴激光束的变换.对此,已采用多种方法进行了研究,不同的
方法有其优缺点和使用条件[1—6]
.另一方面,实际工作中常使用多束离轴激光束进行光束合成或产生双
曲余弦Π正弦高斯光束[7,8]
.本文从矢量瑞利2索末菲衍射积分公式出发研究矢量非傍轴离轴高斯光束在自由空间中的传输特性,得出了较为普遍的解析传输方程,并举例说明解析表述的应用.
21矢量非傍轴离轴高斯光束在自由空
间中的传输方程
假设源平面上有场为E (x ,y ,0)=E x (x 0,y 0,0)i +E y (x 0,y 0,0)j 沿x 方向线偏振的离轴高斯光束
[7]
,
E 0x (x 0,y 0,0)=exp -
1
w 20
[(x 0-x d )
2
+(y 0-y d )2
],
(1a )E 0y (x 0,y 0,0)=0,
(1b )
式中i ,j 分别为x ,y 方向的单位矢量,w 0为束腰宽度,x d 和y d 为离轴高斯光束在x ,y 方向的位移,称为离轴参数.光传输问题可用Dirichlet 边界条件下的第一类矢量瑞利2索末菲衍射积分公式描写[9]
,它
给出在z >0半空间波动方程的严格解为
E x (r )=-12
π∫∫∞
-∞
E x
(x
,y 0,0)
×9G (r ,r 0)9z
d x 0d y 0,
(2a )
E y (r )=-1
2
π∫∫∞
-∞
E y
(x
,y 0,0)
×9G (r ,r 0)9z
d x 0d y 0,
(2b )
E z (r )=
12
π∫∫
∞
-∞
E x (x 0,y 0,0)
9G (r ,r 0)
9x
+E y (x 0,y 0,0)
9G (r ,r 0)
9y
d x 0d y 0, (2c )
式中 r 0=x 0i +y 0j ,r =x i +y j +z k ,k 为z 方向的单位矢量,
G (r ,r 0)=exp (i k r -r 0)
r -r 0
,
(3)
第54卷第11期2005年11月100023290Π2005Π54(11)Π5144205
物 理 学 报
ACT A PHY SIC A SI NIC A
V ol.54,N o.11,N ovember ,2005
ν2005Chin.Phys.S oc.
k =2πΠ
λ为波数,λ为波长.将|r -r 0|近似为[6]
r -r 0
≈r +x 2
0+y 2
0-2xx 0-2yy 0
2r
.
(4)将(3),(4)式代入(2)式,利用积分公式
∫
∞
-∞
exp (ps 2
+qs )d s
=
-i πp
exp -q
2
4p ,(5)
∫
∞
-∞
exp (ps 2
+qs )s d s
=i πq 2p
3Π2exp -q 2
4p .(6)
经繁冗复杂的计算,最后结果可整理为
E x (x ,y ,z )=i kz exp (i kr )
2r 2
p
exp -x 2
d +y 2
d w 20×exp -q 2x +q 2
y
4p
,(7a )E y (x ,y ,z )=0,(7b )
E z (x ,y ,z )=-
i k exp (i kr )
4r 2p
2
(2px +q x )×exp -x 2
d +y 2
d
w 20
×exp -q 2x +q 2
y
4p
,
(7c )
式中
p =-1
w 20+i k
2r ,
(8)
q x =2x d
w 20
-i k x r ,q y =
2y d
w
20
-i k
y r
.(9)
(7)式是本文的主要解析结果,它描述了矢量非傍轴
离轴高斯光束在自由空间的传输规律.从(7)式可以看出,E x 在x 和y 方向是对称的,而E z 在x 和y 方向是不对称的,x =x d 时E z =01而且,x =0或y =0时,E z ≠0,因此电场的纵向分量E z 在x 和y 方向都存在.这是与非离轴情况(x d =0)E z 在y 方向为零
[10]
不同的.
现讨论(7)式的一些特殊情况.矢量非傍轴离轴高斯光束轴上光场可由(7),(8)和(9)式中令x =y =0求得
E x (0,0,z )=
i k exp (i kz )
2zt exp -x 2d
+y 2d
w 2
0×exp -x 2
d +y 2
d w 40t
,(10a )
E y (0,0,z )=0,(10b )
E z (0,0,z )=-
i k exp (i kz )2z 2t 2x d
w 20
×exp -x 2
d +y 2
d
w 20
×exp -x 2d +y 2
d
w 40t
,(10c )
式中
t =-
1
w
2
+i
k 2z
.(11)
因此E x 和E z 对轴上光场都有贡献,但当x d =0时,
E z =0,轴上只有电场的横向分量E x 有贡献.
对(4)式作远场近似
r -r 0≈r -xx 0+yy 0
r
.(12)
将(3),(12)式代入(2)式,矢量非傍轴离轴高斯光束的远场场分布为
E xf (x ,y ,z )=-
i z exp (i kr )2r 2f 2
k
exp [-f 2k 2(x 2d +y 2
d )]×exp
i f x
2r -kf x d
2
×exp
i f y
2r
-kf y d
2
,(13a )E yf (x ,y ,z )=0,
(13b )
E zf (x ,y ,z )=
iexp (i kr )
2r 2f 2k i
f 2
x
2kr
+x -x d
×exp [-f 2k 2(x 2d +y 2
d )]
×exp
i f x
2r -kf x d
2
×exp i f y
2r
-kf y d
2
,(13c )
式中f 为离轴高斯光束的f 参数,
f =
1
kw 0
.(14)
令x d =y d =0,(7)式简化为
E x (x ,y ,z )=
i kz exp (i kr )
2r 2p
×exp k
2
4r 2
p
(x 2+y 2),(15a )E y (0,0,z )=0,(15b )
E z (x ,y ,z )=-
i k exp (i kr )4r 2p
2
2px -i k x
r ×exp k
2
4r 2
p
(x 2+y 2).(15c )
(15)式为矢量非傍轴高斯光束在自由空间的传输公
5
41511期高曾辉等:矢量非傍轴离轴高斯光束的传输
式,与文献[10]中(10)式令w
0x
=w0y的结果一致.
对于傍轴光束,若将(7a)式中e i kr的r作傍轴近似
r z+x2+y2
2z
,(16)
其余部分的r近似为z,则(7a)式简化为
E xp(x,y,z)=i k exp(i kz)
2zt
exp i k x
2+y2
2z
×exp-
x2d+y2d
w20
exp-
h2x+h2y
4t
,
(17)
式中
h x=2x d
w20
-i k x
z
,
h y=2y d
w20
-i k
y
z
.(18)
(17)式与文献[7]的(3)式离轴高斯光束在自由空间传输的结果是一致的.在(13a)式中若再作傍轴近似,则可得
E xp f(x,y,z)=iexp(i kz)
2zf2k
exp i k x
2+y2
2z
×exp-f2k2(x2d+y2d)
×exp i
f
x
2z
-kf x d
2
×exp i
f
y
2z
-kf y d
2
.(19)
(19)式与傍轴条件下使用夫琅禾费衍射积分公式积分的结果相同.
31数值计算和分析
利用(7)式作了大量数值计算以研究矢量非傍轴离轴高斯光束在自由空间中的传输特性.典型例示于图1—31图1为在z=10z
0面上矢量非傍轴离轴高斯光束在x方向归一化光强
I=|E x(x,0,10z0)|2+|E y(x,0,10z0)|2
+|E z(x,0,10z0)|2,
z0=πw20Πλ为高斯光束的瑞利长度.为作比较,(17)式
的傍轴计算结果I
p (x,0,10z
)=|E
xp
(x,0,10z
)|2也
示于图中.由图1知当f很小[3],例如f=0101时,傍轴近似成立,I(x,0,10z
)和I p(x,0,10z0)几乎无差
别,I
z (x,0,10z
)很小可以忽略.从图2
看出当f参
数较大,例如f=0130时,I(x,0,10z
)和I p(x,0,10z0)有显著差别,I z(x,0,10z0)不再可以忽
图1 矢量离轴高斯光束在z=10z0面上x方向的归一化光强分布 (计算参数为:f=0101,x d=y d=5101─为用(7)式的计算结果,×××为用(7c)式的计算结果,°°°为用(17)式的计算结果)
图2 矢量离轴高斯光束在z=10z0面上x方向的归一化光强分布 (─为用(7)式的计算结果,×××为用(7c)式的计算结果,°°°为用(17)式的计算结果)
略;而且随着偏心离轴参数x
d
,y d从x d=y d=015 (图2(a))增加至x d=y d=510(图2(b)),I(x,0, 10z0)和I p(x,0,10z0)差别加大,I z(x,0,10z0)也增
加.图3为离轴高斯光束在z=10z
0面上y方向的
归一化光强I(0,y,10z
)分布,与共轴情况[7]不同,
此时在y方向上存在I
z
(0,y,10z
).
6415物 理 学 报54卷
图3 矢量离轴高斯光束在z =10z 0面上y 方向的归一化光强分布 (─为用(7)式的计算结果,×××为用(7c )式的计算结果,°°°为用
(17)式的计算结果)
41结论
本文利用瑞利积分公式,推导出了矢量非傍轴离轴高斯光束在自由空间较为普遍的解析的传输方程,对矢量非傍轴离轴高斯光束在自由空间的传输
特性做了数值计算和比较.当f 参数较小(例如f =0101)时,所得结果与傍轴情况一致,z 分量可以忽略.当f 参数较大(例如f =013)时,所得结果与傍轴情况有显著差异,此时z 分量一般不能忽略.除f 参数外,离轴参数x d ,y d 对光束非傍轴行为会有影响.特别是,当x d ≠0时,在y 方向I z ≠0.
[1]Lax M ,Louisell W H and M cK night W B 1975Phys .Rev .A 111365
[2]Agrawal G P and Pattanayak D N 1979J .Opt .Soc .Am .69575[3]Nem oto S 1990Appl .Opt .291940[4]Laabs H 1998Opt .Commun .1471
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Liu P S ,L üB D 2004Acta Phys .Sin .533724(in Chinese )[刘普
生、吕百达2004物理学报533724]
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Duan KL and L üB D 2004Opt .&Laser Tech .36489
7
41511期高曾辉等:矢量非傍轴离轴高斯光束的传输
8415物 理 学 报54卷Propagation of vectorial off2axis Gaussian beams beyond
the paraxial approximation3
G ao Z eng2Hui1)2) LüBai2Da1)
1)(Institute o f Laser Physics and Chemistry,Sichuan Univer sity,Chengdu 610064,China)
2)(Institute o f Optoelectronic In formation,Yibin Univer sity,Yibin,644007,China)
(Received15M arch2005;revised manuscript received29April2005)
Abstract
Based on the vectorial Rayleigh2S ommerfeld diffraction formulation,a solution of the electric2magnetic wave equation is found,which represents vectorial nonparaxial off2axis G aussian2beams whose propagation equation in free space is expressed in a closed form.The on2axis and far2field expressions of vectorial nonparaxial off2axis G aussian beams,the propagation equation of vectorial nonparaxial G aussian beams and the paraxial results are treated as special cases of our general expression.It is shown that the f parameter plays an im potant role in determ ining the beam nonparaxiality,whereas the off2axis parameters additionally affect the nonparaxial behavior of vectorial nonparaxial off2axis G aussian beams.M oreover,unlike the on2axis case,there exists the longitudinal com ponent of the field in the y direction for the off2axis case.
K eyw ords:laser optics,vectorial nonparaxial off2axis G aussian beam,Rayleigh2S ommerfeld diffraction integral,f parameter, off2axis parameter
PACC:4200
3Project supported by the National High T echnology Development Program of China(G rant N o.2004AA823070).
E2mail:badalu@https://www.doczj.com/doc/1c3790399.html,
1.2国内外研究现状 1972年,W.H.Carter在一篇文章中研究了光频电磁场的矢量非傍轴性，他使用角谱理论,给出了电场和磁场的矢量形式解，然后使用稳相方法在远场近似下，给出电磁场的非傍轴传输公式。1975年,https://www.doczj.com/doc/1c3790399.html,x在Phys.RevA上发表的From Maxwell to paraxial wave optics 中指出传统傍轴近似理论结果与Maxwell方程组是不吻合的，且被称为“佯谬”问题。 为解决问题,Lax采用微扰级数法从严格的电磁场理论Maxwell方程组出发,给出了电磁场的精确矢量解,并证明传统的傍轴近似解正是他给出级数解的零阶项。换句话说，傍轴近似理论是忽略了许多高阶修正项。人们使用不同的理论研究，用不同的方法进行研究为求出电磁场的精确解。1979年Davsi通过假设矢势是线偏振的使用电磁场矢势理论，由矢势满足的波动方程求得了电场的矢量表达式，所得结论与Lax等人的结论相吻合。同年,Agrawal等人利用平面研究高斯光束的非傍轴近似解，并且将所得结果表示为级数形式,发现级数的零次幂项满足傍轴波动方程而二次幂项恰满足Lax等人给出微分方程。 Agrawall等人给出的是高斯光束光场的标量解,但非傍轴光束光场具有矢量性。2002年,Chen等人使用满足矢量角谱理论求得了高斯光束的非傍轴矢量场，与Agrawal的结论相同，同时将所得解表示成级数时,电场横向分量和纵向分量的各阶修正也满足Lax等人给出的迭代微分方程。Agrawal和Chen等人的工作不仅求得了非傍轴光束光场表达式,说明非傍轴光束的传输特性,而且用不同理论证明了Lax等人微扰级数解结论的正确性,同时也说明了微扰级数法的局限性。 自上世纪九十年代末,我国许多单位的激光光学工作者也对非傍轴光束展开 了理论和实验研究"虽然起步较晚,但也取得了很好的成绩"代表性研究单位 有四川大学,浙江大学,上海光学精密机械研究所,西安电子科技大学和华南 师范大学等"西安电子科技大学曾小东及其研究小组率先对非傍轴光束的传输 特性进行了研究,他们使用标量瑞利积分公式,研究了非傍轴高斯光束的远场 传输特性=-,669一711"他们以及日本筑波大学Nemoto教授,实验测量了半导体激光 器的远场分布,并和理论结果作了比较,验证了他们理论的正确性[-7274)" 上海光机所曹清和邓锡铭院士提出了一种新的算子175],这个算子可以在忽 略倏逝波的条件下,将傍轴波动方程的解转变为亥姆赫兹方程的精确解,所得 级数解的修正项也与Lxa的微扰级数法结果一致"曹清的算子是对横变量x和y 求高阶微分,比WUnsche提出的算子法运算较为简单"四川大学以及浙江大学 的研究小组对非傍轴光束的光束质量因子进行了广泛的研究;[6,77]"此外,华南 师范大学传输光学实验室对光束特别是超短脉冲光束的非傍轴理论也做了许多 工作[78一791". 总结已有的研究工作"从研究方法上看,尽管求解形式形式多样,但归根结 底就是求解Mxawen方程(组)或亥姆赫兹方程"其中最典型的是微扰级数法, 其他许多方法都能得到和微扰级数法一致的结果"微扰级数法具有理论严密性, 完整性,但求解过程和结果却显得复杂,不易进行进一步分析;从研究对象看, 微扰级数法只能用于准单色!完全相干光场的研究,对于多色,部分相干非傍 轴光场的研究,必须发展新的方法"另外,现有许多研究还只局限于研究光束 的非傍轴近似解,光场的矢量性!相关性!偏振性等也是值得关注的重要内容; 另外,目前己有研究都局限于自由空间中,没考虑光阑!透镜等光学元件对光 场的影响"但任何光束都不能脱离光学系统而存在,非傍轴光场也不可避免的
第４１卷第１０期 ２０１８年１０月合肥工业大学学报（自然科学版）JOURNAL OF HEFEI UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY Vol ．４１No ．１０ Oct ．２０１８ 收稿日期：２０１８-０１-０５；修回日期：２０１８-０３-１５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（４１６７５０２４） 作者简介：谢莉莎（１９６６－），女，安徽合肥人，合肥工业大学副教授；邓小玖（１９６０－），男，安徽繁昌人，合肥工业大学教授，硕士生导师．DOI ：１０．３９６９／j ．issn ．１００３-５０６０．２０１８．１０．０１３ 截断非傍轴矢量高斯光束的传输特性 谢莉莎， 吴本科， 邓小玖 （合肥工业大学电子科学与应用物理学院，安徽合肥 ２３０００９） 摘 要：文章基于非傍轴矢量光束横截面上光强的严格定义〈Ｓｚ〉，采用桶中功率定义光束的束宽、远场发散角以及Ｍ２因子。以截断非傍轴矢量高斯光束为例，对光束的传输特性进行了详细的理论分析和数值计算，并与非傍轴标量理论的结果进行了比较分析。数值计算表明，束腰半径Ｗ（０）＜λ时，传输特性的矢量描述与非傍轴标量描述有显著差别。当截断参量Ｒ／ω０＜０．５时，截断高斯光束的传输特性与截断平面波的传播趋于一致；当截断参量Ｒ／ω０＞２时，过渡到自由高斯光束的传播。 关键词：物理光学；截断矢量高斯光束；桶中功率；束宽；发散角；Ｍ２因子 中图分类号：O ４６３．１ 文献标识码：A 文章编号：１００３-５０６０（２０１８）１０-１３６８-０４ ＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｒｕｎｃａｔｅｄｎｏｎｐａｒａｘｉａｌｖｅｃｔｏｒｉａｌＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍｓ XIE Lisha ， WU Benke ， DENG Xiaojiu （School of Electronic Science and Applied Physics ，Hefei U niversity of T echnology ，Hefei ２３０００９，China ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Based on the rigorous definition of light intensity of nonparaxial vectorial beams in the trans - verse plane （〈Ｓz 〉），beam width ，far -field divergence angles and Ｍ２factors are defined by the power in the bucket ．Taking truncated nonparaxial vectorial Gaussian beam as an example ，the detailed theo -retical analyses and numerical calculations about the propagation characteristics are performed ，and the results are compared with those from the nonparaxial scalar theory ．Numerical calculations show that w hen the beam waist Ｗ（０）＜λ，there are obvious differences between the propagation character -istics described by nonparaxial scalar and vectorial theory ．When the truncation parameter Ｒ／ω０＜０．５，the propagation characteristics of truncated nonparaxial vectorial Gaussian beams trend to those of truncated plane waves ．M eanw hile ，w hen Ｒ／ω０＞２，truncated nonparaxial vectorial Gaussian beams follow the same propagation law s of free Gaussian beams ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：p hysical optics ；truncated vectorial Gaussian beam ；p ower in the bucket ；beam width ； divergence angle ；Ｍ２factor ０ 引 言随着激光的广泛应用，衡量光束优劣的重要指标光束质量因子的研究便成为应用激光领域的重要课题，引起了人们的广泛关注［１-１０］。文献［１１］研究了非傍轴高斯光束在自由空间的传输特性；文献［４，１２］研究了平面光波经圆孔光阑的传 输特性；文献［１３］研究了截断非傍轴标量高斯光 束的传输特性。 鉴于光束束腰与波长相当时光场的矢量属 性，本文采用矢量光束横截面上光强的严格定义 〈Ｓｚ〉，运用桶中功率定义光束的束宽，计算了截断 非傍轴矢量高斯光束的束腰半径、远场发散角以 及Ｍ２因子随截断参数、光源半宽的变化，并与非万方数据
第２９卷第６期２００８年１２月 韩山师范学院学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｎｓｈａｎＮｏｒｍａｌＵ１１ｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．２９Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００８高斯光束照射下的单缝衍射术 刘秋武，张庆 （韩山帅范学院物理与电于工程系，广东潮州５２１０４１） 摘要：根据菲涅耳．基尔霍夫衍射理论，将高斯光束的高斯振幅分布近似用抛物线代替，推导出高斯光束照射下单缝衍射光场分布的近似解及其成立条件，并通过实验和数值仿真，讨论了衍射光场的基本特性． 关键词：单缝；高斯光束；夫琅禾费衍射；菲涅耳衍射 中图分类号：０４３６．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７－６８８３（２００７）０６．００４４－０５ 单缝衍射是研究光的波动性的重要实验．激光束具有亮度高、方向性好的优点，实验通常采用激光作为光源．高斯光束在垂直于传播方向的截面已，光场沿径向按高斯函数分布，这使高斯光束照射下的单缝衍射难以求其衍射光场的精确解析解．在寻求近似解的处理方法上，文献ｆ１１用等腰三角形的光场分布代替高斯光场，研究在单缝宽度较小和远场条件下的近似解．文献【２】在单色平面光的单缝衍射的基础上，对高斯光束照射下的单缝夫琅禾费衍射的光场分布进行修正，其近似解精确度比文献ｆ１１有所提高．文献『３１采用幂级数展开法，利用近场及远场衍射条件对菲涅耳．基尔霍夫衍射积分进行简化，得其近似解．本文从菲涅耳一基尔霍夫衍射积分出发，推导出高斯光束照射下的单缝衍射光场分布的近似解及其成立条件，并通过实验和数值仿真，讨论了衍射光场的基本特性． １高斯光束照射下的单缝衍射 高斯光束垂直入射到缝宽为２ｎ的衍射屏，缝的对称轴 为Ⅳ。轴，光沿ｚ轴方向传播，如图１所示．假设高斯光束的柬腰 为“’ｏ，腰束到衍射屏距离为徇，则可知衍射屏上的光场分布为： Ｅｌ（ｚ１，耖ｌ，铂）：肠堡ｅ一竽ｅ硼（簪锄Ｍ（ｚ引，（１） Ⅲ 其中，伽为衍射屏上的高斯光束的光斑半径，岛为常数，忌为 波矢，Ｒ为高斯光束的等相位面曲率半径，妒（ｚ。）为附加相位．观察屏与衍射屏的距离为￡，由菲涅耳．基尔霍夫衍射积分㈠得观察屏上的光场分布为：衍射屏观察屏图１单缝衍射 收稿日期：２００８一０３—２４ 女韩山师范学院２００６年青年科研基金资助项目（２００６Ｃ０８）． 作者简介：刘秋武（１９７５一）．男．广东潮州人，韩山帅范学院物理与电了：工程系实验师 Ｚ