高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解
、选择题
1. 已知四边形 ABCD 满足：ABBC>0, BC CD>0, CDDA>0, DA AB>0,则该四边形 为（） A ?平行四边形 B .梯形 C .平面四边形 D .空间四边形
［答案］D
——n
n
n
n
［解析］?/ AB BC>0 ,AZ ABC>2，同理/ BCD>2，Z CDA>Q ,/ DAB >2，由内角和定
理知，四边形 ABCD 一定不是平面四边形，故选
D.
C . 0 或 1
D ?任意实数 ［答案］C
［解析］AP 可为下列7个向量:
AB , AC , AD , A A I , AB i , AC i , A —D i ,其中一个与 AB 重合，AP AB = |AB|2= 1 ; AD , A —D i , A —A i 与A B 垂直，这时 AP AB = 0; AC , A B I 与AB 的夹角为 45° 这时AP AB =>/2X i xcosn= i ,
最后 AC 1 A B = ,3 x 1 x cos /BAC 1= 3X ； = 1，故选 C.
3. 如图，在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，M 为AC 与BD 的
交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1= a , A 1D 1= b , A 1A = c , 则MN 等于（
）
111
A . —
+ ?b + 3c
B?a + ；b —3c 111 C^a —
— 3c
112 D . — ?a — ?b + 3 c
［答案］C
2. 如图，点P 是单位正方体
点，则AP AB 的值为
ABCD — A i B i C i D i 中异于 A 的一个顶
( )
—— —— ——
6. （2010 ?东青岛）在空间四边形 ABCD 中，AB CD + AC
+ AD BC 的值为(
)
A . 0 C . 1 ［答案］A
B.
D .无法确定
［解析］ —— —— —— —— —
— BC =AB
—— —— —— —— —— —— ——
(BD — BC) + (BC — BA) DB + (BD — BA) BC
—— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— ——
=AB BD — AB BC + BC DB — BA DB + BD BC — BA BC = 0,故选 A.
7.A ABC 的顶点分别为 A(1 , — 1,2), B(5, — 6,2), C(1,3 , — 1)，贝U AC 边上的高 BD
———1 —1 —
MN = MB + BN = 2D 1B 1 + 3BB 1
2 3
1 — — 1 — 1 1 1 =2(A1B L A 1D 1) — §A 1A = q a — 2匕一 3C .
4.
已知 A(2,—
5,1), B(2,— 2,4), C(1,— 4,1)，则 AC 与AB 的夹角为(
)
A. 30° B . 45°
D . 90°
［答案］C
［解析］??? a , b , c 三向量共面, ???存在实数 m , n 使c = m a + n b , 即(7,5, A = (2m — n ,— m + 4n ,3m — 2n),
|2m — n = 7 /. <— m+ 4n = 5
/. A= 65
7.
A= 3m — 2n
［解析］ C . 60° ［解析］ A B = (0,3,3), A C = (— 1,1,0).设〈A B , A C > = e,贝y cose=
AB AC |AB| |AC|
3 3 .'2 - 2
1
2，二 0= 60°.
5?已知 a = (2, — 1,3), b = (— 1,4, — 2), c = (7,5,
乩若a , b , c 三向量共面，则实
数入等于（
)
62
64
C.64
63
B.^ 65
D.〒 ［答案］D
等于()
A . 5 B. 41 C . 4 D . 2.5
［答案］A
［解析］设AD = AC , D(x , y , z)，则(x — 1, y + 1, z — 2)=久0,4, — 3), ??? x= 1, y= 4 A— 1 , z= 2 — 3 入 BD = (— 4,4入 + 5, — 3?),
又AC = (0,4, — 3), AC 丄 BD , ? 4(4?+ 5) — 3( — 3 ? = 0,
&已知正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为1 , A M = 2MC ，点N 为B 1B 的中点，则线段
MN 的长度为（
）
B.
［答案］A -> -> -> -> 1 ->
MN = AN — AM = AN — §AC
=AB + BN — 3(
AB + AD + 汨
2 T . 1 T 1 T =3AB +6AA1—3A D.
? MN =丽|= . 9|AB|2+ 36赢1|2+9必|2=曽.
9.设空间四点 0、A 、B 、P 满足OP = OA + tAB ，其中0 A .点P 在线段A B 上 B .点P 在线段AB 的延长线上 B. 点P 在线段BA 的延长线上 D .点P 不一定在直线 AB 上 ［ 答案］ A ［解析］ ?/ OP = OA + tAB ,? AP = tAB , C. 15 ~6~ D. ［解析］ ??? 0 10.在棱长为1的正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，M 、N 分别为 和BB i 的中点，那么直线 AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ） CT ［答案］ AM = AA i + A i M = AA i + ?AB , CN = CB + BN = — AD + ~AA i , AM CN= — AA i AD — ^AB AD + 2|AA i |2 + ^AA i AB = ￡, |AM|2= |AA i |2 + 4|AB|2 + AA i AB = 4, |CN|2= |AD|2 + ^AA i |2 — ^AD A A I = 4, ? cos 〈 AM , CN > = AM CN =2,故选 D. f f 5 |AM| | CN| 二、填空题 ii .已知 a = (i,2x — i ，— x), b = (x + 2,3,— 3)，若 a // b ,贝U x = __________________________ , ［答案］1 ［解析］ T a / b ,「. x + 2 = 3~ = — 3,由 x + 2 = ~3~得，2^ + 3x — 5 = 0,「? x = 1 或 5 2’ 12 .设向量 a = (— 1,3,2), b = (4, — 6,2) ,c = (— 3,12 ,t)，若 c = m a + n b,则 m + n = ________________________ 11 ［答案］q ［解析］ m a + n b = (— m + 4n,3m — 6n,2m + 2n), ? (— m + 4n,3m —6n,2m + 2n) = (— 3,12, t). 13 .若 a |=后，b = (1,2, — 2), c = (2,3,6)，且 a 丄 b , a 丄 c ,贝U a = ___________________________ ［答案］(—晋,2, 5)或(茅-2,— 1 z 刁 g ■-- ［ D.2 ［解析］ 2x — 1 = 3 = x 3得 x = 1, ?- x = 1. "—m + 4n =— 3 3m — 6n = 12 ■2m + 2n = t r m = 5, ，解得 n =$ t = 11. ?m +n =迫 2 . A i B i ［解析］设 a = (x , y , z), ■/ a 丄 b ,「. x + 2y — 2z = 0.① ?/ a 丄 c ,「. 2x + 3y + 6z = 0.② ?/ |a |= 17. A x 2 + y 2 + z 2= 17.③ 联立①②得 x =— 18z , y = 10z. 代入③得 425Z 2= 17,A z = ±1. 5 # 18 c 1 亠 18 c 1 ?-a =( — F ，2，1)或(1■，— 2，-5)- 14. ____________________________________________ 直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 中，/ ACB = 90°, / BAC = 30° ° BC = 1 , AA 1 = 6, M 是 CC 1的中点，则异面直线 AB 1与A 1M 所成角为 . n ［答案］2 ［解析］由条件知AC 、BC 、CC 1两两垂直，以 C 为原点，CB , CA , CC 1分别为x 轴, ? AB 1= (1, — ,3 , .6),心=(0 , — -. 3,—书, 〈A B 1 , A 1M 〉= 2 , n 即直线AB 1与A 1M 所成角为2. 三、解答题 15. 已知向量b 与向量a = (2 , — 1,2)共线,且满足 a b = 18 , (k a + b )丄(k a — b ),求向量 b 及k 的值. ［解析］T b z 0, a , b 共线，?存在实数 人使a = ^b , y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 3, . 6), 则 B(1,0,0), A(0, ,3, 0), B 1(1,0, ,6), M(0,0 , ),A 1(0 , COS 〈 AB 1 , A 1M 〉 AB 11 IA 1MI AB 1 ?- a= (2, - 1,2) ,??? |a|= 3, 2 2 ?- a b= ?a = Z|a| = 9 ?F= 18, ?- 7= 2. b= (4, — 2,4). ?/ (k a+ b)丄(k a —b), ? (k a + b) (k a —b) = 0. ?(k a+ 2a) (k a —2a)= 0. 2 2 ?(k2—4)|a|2= O.「. k=戈. 16.(2010上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC —A i B i C i中，AB= AC = AA i= 2,Z BAC =90°E, F依次为CQ, BC的中点. (1)求异面直线A1B、EF所成角B的大小(用反三角函数值表示); ⑵求点B1到平面AEF的距离. ［解析］以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A1(0,0,2), B(2,0,0), B1(2,0,2), E(0,2,1), F(1,1,0), (1)A1B = (2,0, —2), EF = (1 , cos0= —1, 1), AiB EF = 4 =爲 |晶||&「2^ 才3 0= arccos ⑵设平面AEF的一个法向量为n= (a, b, c), ??? AE= (0,2,1), A F = (1,1,0), n AE = 0 由丫T n AF = 0 2b + c= 0 得，* a+ b= 0 令a = 1 可得n= (1, - 1,2), ?- AB i= (2,0,2) ,??? d = 6 =6. |n| V6 ???点B!到平面AEF的距离为6. 17.如图，平面ABEF丄平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，/ BAD = / FAB= 90°BC 綊2AD, BE 綊*FA, G、H 分别为FA、FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (3)设AB = BE,证明：平面ADE丄平面CDE. ［解析］由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直.如图，以 A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A — xyz. (1)设AB = a, BC= b, BE= c,则由题设得A(0, 0,0), B(a,O,O), C(a, b,0), D(0,2b,0), E(a,0, c) , G(0,0 , c) , H(0 , b , c) , F(0,0,2c). 所以，GH = (0 , b,0) , BC= (0 , b,0), 于是GH = BC.又点G不在直线BC上， 所以四边形BCHG是平行四边形. ⑵C、D、F、E四点共面.理由如下： 由题设知,F(0,0,2c),所以 EF = (—a,0 , c) , CH = (—a,0 , c) , EF = CH , 又C?EF , H € FD ,故C、D、F、E四点共面. ⑶由AB = BE ,得c= a,所以CH = (—a,0 , a) , A E= (a,0 , a) 又A D = (0,2b,0),因此C H AE = 0 , C H AD = 0 即CH 丄AE , CH 丄AD , 又AD n AE = A,所以CH丄平面ADE. 故由CH?平面CDFE ,得平面ADE丄平面CDE. ［点评］如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来 时，可用向量法求解.如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作) 出时，可不用向量法求解，本题解答如下： 1 ⑴由题设知，FG = GA, FH = HD，所以GH綊^AD. 1 又BC綊2AD，故GH綊BC, 所以四边形BCHG是平行四边形. ⑵C、D、F、E四点共面.理由如下： 1 由BE綊2AF , G是FA的中点知，BE綊GF , 所以EF // BG, 由(1)知BG// CH，所以EF // CH，故EC、FH 共面. 又点D直线FH上， 所以C、D、F、E四点共面. ⑶连结EG,由AB = BE , BE綊AG,及/ BAG = 90。知ABEG是正方形， 故BG丄EA?由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD丄平面FABE, 因此EA是ED在平面FABE内的射影，二BG丄ED. 又ECA EA= E,所以BG丄平面ADE. 由(1)知，CH // BG,所以CH丄平面ADE.由⑵知F €平面CDE，故CH?平面CDE , 得平面ADE丄平面CDE.
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