第9章地下水向完整井的非稳定运动
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9.1 承压含水层中的完整井流
（一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
①承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和含水层均假定为弹性体；②无垂向补给、排泄，即W ＝0；③渗流满足达西定律；
④完整井，假定流量沿井壁均匀进水；
⑤水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的；⑥抽水前水头面是水平的；
⑦井径无限小且定流量抽水；⑧含水层侧向无限延伸。
在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z 轴，如图4-1所示。
图4-1 承压水完整井流
分析定流量抽水条件下形成轴对称井流流场，其定解问题可写为：
()()()()()()
??
????
??
?>=??>=∞∞<≤=>∞<≤??=??????????+??→0 )(2lim 0 ,0 0,0,0 10
0022t Q r H rT t H t H r H r H t r t H r H r r H r 常量πα（二）数学模型
(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)
此时，单井定流量的承压完整井流，可归纳为如下的数
学模型：
式中，s=H 0-H 。下边研究如何求降深函数s (r, t)。为
此，利用Hankel 变换，将方程式(4-1)两端同乘以rJ 0(βr)，并在(0,∞)内对r 积分。
2
*
2
1s s u
s
r r r T
t
???+=???t>0，0 s(∞，t)=0， r s r →∞ ?=?0lim 2r s Q r r T π→?=??（4-4） （4-3）t>0 设导压系数 ，则有： 方程式右端 方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式 （4-3）与式(4-4)，有： 按Bessel 函数的性质，有： * T a μ = 000 1()()s s a r r J r d r r J r d r r r t t ββ∞∞????? =??????? ∫ ∫ 000 ()()s d s r J r d r s r J r d r t t d t ββ∞∞??== ??∫ ∫ []010 01()()()2s aQ a r rJ r dr a sd rJ r r r t T βββπ∞∞??=???∫ ∫[]100 ()()s d r J r s r J r d r βββ∞∞= ∫ ∫ 因此，有： 上述定解问题，经过Hankel 变换，消去了变量r ，转变为常 微分方程的初值问题，即： 其解为： 再通过Hankel 逆变换由求s ，即： 200 1()2s a Q a r rJ r d r a s r r r T ββπ∞???? = ???????∫ 2 20 d s a Q a s d t T s t βπ+= ==2 () 2t a t a Q s e d T β ττ π??= ∫ 2 00 () 00 ()()2t a t s s J r d a Q e J r d d T β τβββ βββτ π∞∞??=??= ???? ∫ ∫∫ （4-5） s 先计算方括号内的积分，为此设： 将(4-6)式对r 求导数，有： 根据（4-6）式，有： 2 () 00 ()()a t F r e J r d β τβββ ∞??= ∫ （4-6） 2 2 () 00 () 00 ()()1 ()2() a t a t F r e J r d r e J r d a t β τβ τββββγββ τ∞??∞??? ′=?=? ?∫ ∫ ()() 2() ()() 2()r F r F r a t d F r r d r F r a t ττ′=? ?=? ?两边积分得： 令 ，则有：故： 利用r=0时的F （r ）值，由（4-6）可以确定C 值： 但由(4-7)式，有： 把上式代入(4-5)式，有： 2 1ln ()4() r F r C a t τ=?+?1ln C C =2 ()ln 4() F r r C a t τ=??24() ()r a t F r Ce τ??=（4-7） 2 () 00 1(0)(0)2() a t F e J d a t β τββτ∞ ??== ?∫1 (0),2() F C C a t τ== ?2 4() 1 ()2() r a t F r e a t ττ??=?2 4() 1 22() r t a t a Q s e d T a t ττ πτ? ?= ?∫ （4-8） 为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令： 同时更换积分上下限，当τ=0 时， 当τ=t 时， y= 于是， 其中， 22 2 ,4()4r r y d d y a t a y ττ= = ?at r y 42 =2 222 44444y y r u at Q e r Q e s dy dy r T ay T y ay ππ??∞∞= =∫ ∫ （4-9）22* 44r r u a T T t μ= =（4-10） ∞在地下水动力学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数积分式： 则(4-9)式可改写成： 式中，s——抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深；Q——抽水井的流量；T——导水系数；t——自抽水开始到计算时刻的时间；r——计算点到抽水井的距离；μ*——含水层的贮水系数。(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式，也就是著名的Theis 公式。 ()()y i u e W u E u dy y ?∞ =??= ∫ () 4Q s W u T π= （4-11） 为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式： 并制成数值表（表4-1），只要求出u 值，从表4-1中就可查 出相应的W （u ）值；反之亦然。 21()0.577216ln (1)n y n u n u W u e dy u u y n n ∞∞?===??+???∑∫ Theis标准曲线 1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01 1E+00 1E+01 1E+02 1E-02 1E+001E+021E+041E+061E+081E+101E+121E+141E+161/u W (u ) 2. 流量变化时的计算公式 Theis 公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而变化。在这种情况下，怎样应用Theis 公式? 首先需要绘出生产井的Q=f （t ）关系曲线，即流量过程线。 然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用Theis 公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起来，即得流量变化时水位降深的计算公式。当0 21 44Q r u s W T T t π???=?? ?? 图4-2 流量概化呈阶梯状变化图 1i i t t t ?<<2221121 114444()44()i i i Q Q Q Q Q r r r s W W W T Tt T T t t T T t t μμμπππ?????????????= ++???+?????????????? 当时，水位降深为： t 时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为： 式中，设t 0=0，相应的Q 0=0。 (4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后的计算公式。 211 11 ()44()n i i i i r s Q Q W T T t t μπ? ?=???= ?????? ∑1i i t t t ?<<（4-12） 前三项之后的级数是一个交错级数。根据交错级数的性质可知，这个级数之和不超过u 。也就是说，当u 很小，井函数W(u)用级数前两项(-0.577216-lnu)代替时，其舍掉部分不超过2u 。因此，?当u ≤0.01(即 )井函数用级数前两项代替时，其相对误差不超过0.25%；?当u ≤0.05时(即)，相对误差不超过2%；?当u ≤0.1时（即 ），相对误差不超过5%。 一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u ≤0.01或u ≤0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即： 225 r u t T ? ≥25 r u t T ?≥22.5 r u t T ?≥22.25()0.577216ln ln Tt W u u r μ? ??= 3 . Theis 公式的近似表达式 如前述，Theis 公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即： 2 1()0.577216ln (1)!n y n u n u W u e dy u u y n n ∞ ∞ ?===??+???∑∫ 于是，Theis 公式可以近似地表示为下列形式： (4-13)式称为Jacob 公式(1946)。 流量阶梯状变化时，当u i ≤0.01时，即 (4-12)式可近似地表示为： 2*2 2.250.183 2.25ln lg 4Q Tt Q Tt s T r T r u πμ= =? (4-13) 1121 2.25()0.183()lg n i i i i T t t s Q Q T r μ???=?=?∑(4-14) 2 ()25 (1,2) i r t t i n T μ ? ?≥=L 泰斯公式讨论 1、各因素对降深的影响（一） ()0 ,0, ,=?→∞→↓↑s u W r s ①r ()0 ,0,0 ,=?→∞→=↑↑s u W u t s ②t 成正比 与抽水量降深Q s ③ ,↓↑s ④e μ说明：在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下，开采量全部来自储存量的释放，体现在水头降深上，当弹性给水度μe 为常量，且瞬时释水，Q 与s 成正比。 说明：当Q 和t 一定时，含水层释水的体积V=Qt 一定。若μe 越大，表明单位 水平面积的含水层柱体在单位水头下释水能力越强，则s 越小。反之，μe 越小，则s 越大。 ()()at r u u W T Q t r s 44,2 = =π泰斯公式讨论 1、各因素对降深的影响（二） ↓→↑s T T Q A 4: π⑤s 与T 的关系 表现为： ↑→↑???? ? ???? ?? ?s T t T r W B e 4:2 μ 理解为内边界条件对s 的作用。Q 是定流量的内边界条件，而当井径r w 一定时，Q/T 可理解为水力坡度的内边界条件。Q/T 越大，J 越大，s 越大，所以，T 越大，J 越小，s 越小。 理解为任一由r 至r ＋△r 围成的均衡段内其下游断面流量Q r 大于上游断面流量Q r+△r 必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且μe 一定时，若T 大，则s 亦大；若T 小，则s 亦小。 泰斯公式讨论 1、各因素对降深的影响（三） ↑ ↑→= s a s T a T ⑥s e e 随的关系 与μμa ：导压系数 压力传导系数 不应理解为含水层某种压力改变后，压力向四周传播的速度。实际上压力传播的速度是以含水层的音速推进，在前面假定中假定了释水瞬时完成。这也就意味着不管抽水持续时间多短，任何r 处都瞬时发生水头下降。对含水层而言，a 可理解为含水层由于某种因素（外界刺激）破坏原有平衡形成不稳定流动时，地下水水头再分布以适应新条件的速度。在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H 随时间变化，但水力坡度J 不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。 泰斯公式讨论 1、各因素对降深的影响（四） ⑦t 趋向无穷大时，s 也趋向于无穷大。 ()()u W T Q t r s π4,= 这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s 不得大于（H 0－M ），否则将转化为承压－无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s 不得大于h 0。因为在s=h 0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那时，就转变为定降深变流量的条件了。 ???????????=??? ????????????+?????????????????=???????????? =??????141411414142 422422442 22 222 at r e t T Q t e t a r e t T Q e t t T Q t s at r at r at r at r πππ()at r u e t T Q t a r u e T Q t u du u dW T Q t s 4222 141444??=???????????? ????? ??=??=??πππ①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t 求导： 由此可见：s=s(t)曲线有一拐点。要求拐点位置，令上式等于0。 泰斯公式讨论 2、承压含水层中任意点水头下降速度（一） 设拐点处时间为t,则： a r t i 42 = ()2 14440.21940.0175 4i i Q r Q s W W T at T Q Q T T πππ??= =???? =×=那么拐点处降深为： 该式表明拐点处降深与r 无关。则拐点处斜率为： 2 212117.0368.044r Q Tr a Q e r a T Q t s e i μππ=?=??=?????????在抽水过程中，水位下降速率随 时间：由慢—— 快——慢泰斯公式讨论 2、承压含水层中任意点水头下降速度（二） 由 可知： at r e t T Q t s 42 14?=??π??? ?????≥≤a r t at r 222501.04当t 足够大时，以致： t KM Q t s e at r 141 99.042 ?≈??∴ ≈=∴? π意味着，在一定范围内，它们的水头下降速度相同，与r 无关。（即J 不变） 泰斯公式讨论 2、承压含水层中任意点水头下降速度（三） 地下水动力学课程组 t KM Q t s 14?≈??π意味着，在一定范围内，它们的水头下降速度相同，与r 无关（即J 不变）。换言之：在一定r 范围内，经过一定的抽水时间之后，承压漏斗曲线平行下降。该现象已被大量抽水试验验证。 漏斗曲线平行下降范围可按下式近似确定： at r at r 2.0 01.042 ≤∴≤泰斯公式讨论 2、承压含水层中任意点水头下降速度（四） 泰斯公式讨论 3、通过半径r 的圆柱形过水断面的流量Qr （一） ()2 2 2 424422 22 44442 444222440 4u r r at r r at at r dW u s s Q u Q e r Q rT r r T du r T u at Q at r e T r at s Q at r Q rT rT e Qe r T r at r at πππππππ???????????? =?==???? ???????=????∴=?=??=??????? ≥Q 2 4 1 r at r e Q Q ?∴≤∴≤①Q r 随着r 的增大而减小。 这符合基本概念和内边界条件。显然，这里不同于裘布依稳定井流（每个渗流断面Q 相等）。这是因为不稳定井流在抽水过程中含水层处处要释放出水量之故。 5 利用Theis 公式确定水文地质参数 Theis 公式既可以用于水位预测，也可以用于求参数。当含水层水文地质参数已知时可进行水位预测，也可预测在允许降深条件下井的涌水量。反之，可根据抽水试验资料来确定含水层的参数。这里着重介绍下列几种求参数的方法：1) 配线法(1) 原理 对（4-11）和（4-10）式两端取对数： 21lg lg ()lg ,lg lg lg 44Q t s W u T r u T μπ? =+=+二式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数。因此，在双对 数坐标系内，对于定流量抽水曲线和标准 曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了距离而已。只要将二曲线重合，任选一匹配点，记下对应的坐标值，代入 (4-10)式（4-11）式即可确定有关参数。此法称为降深-时间距离配线法。 同理，由实际资料绘制的s-t 曲线和与s-r 2曲线，分别与 和W(u)-u 标准曲线有相似的形状。因此，可以利用一个观测孔不同时刻的降深值，在双对数纸上绘出s-t 曲线和曲线，进行拟 合，此法称为降深-时间配线法。 如果有三个以上的观测孔，可以取t 为定值，利用所有观测孔的降深值，在双对数纸上绘出s-r 2实际资料曲线与W （u ）-u 标准曲线拟合，称为降深-距离配线法。 2t s r ?1 ()W u u ?44Q T T μπ? 和1()W u u ?1()W u u ? (2)计算步骤 ①在双对数坐标纸上绘制或W(u)-u 的标准曲线。②在另一张模数相同的透明双对数纸上绘制实测的s-t/r 2曲线或s-t 、s-r 2曲线。 ③将实际曲线置于标准曲线上，在保持对应坐标轴彼此平行的条件下相对平移，直至两曲线重合为止（图4-4）。 图4-4 降深-时间距离配线法 1 ()W u u ?④任取一匹配点(在曲线上或曲线外均可)，记下匹配点的对 应坐标值：W(u)，(或u)、(或t 、r2)，代入 (4-11)，(4-10)式，分别计算有关参数。s-法：s-t 法： s-r 法：配线法的最大优点是，可以充分利用抽水试验的全部观测资 料，避免个别资料的偶然误差提高计算精度。 1 u 2t r 2 t r []()24,14Q T t T W u s r u μπ??? ==?????????????? []()4[] ,14Q T t T W u s u μ π ? = = ??? ??????? []()24[] ,4Q T t u T W u s r μ π? = = ??? ????? 配线法也存在一定的缺点： 第一，抽水初期实际曲线常与标准曲线不符。因此，非稳定抽水试验时间不宜过短(原因是是水有滞后现象，初期流量不稳定)。 第二，当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容易拟合准确，常因个人判断不同引起误差。因此在确定抽水延续时间和观测精度时，应考虑所得资料能绘出s-t 或s-t/r 2曲线的弯曲部分以便于拟合。如果后期实测数据偏离标准曲线，均可能是含水层外围边界的影响或含水层岩性发生了变化等。这就需要把试验数据和具体水文地质条件结合起来分析。 有关边界的影响，请同学们查阅相关文献。 2) Jacob 直线图解法 当u ≤0.01时，可利用Jacob 公式（4-13）计算参数。首先把它改写成下列形式： 上式表明，s 与lg 呈线性关系，斜率为,利用斜率可 求出导水系数T （图4-7）： 式中，i 为直线的斜率，此直线在零降深线上的截距为。把它代入（4-13）有： 22.3 2.25 2.3lg lg 44Q T Q t s T T r πμπ?= +2t r 2.34Q T π2.34Q T i π= 2 t r ?? ???? 22.3 2.250lg 4Q T t T r πμ??? = ???? 因此， 于是得：以上是利用综合资料（多孔长时间观测资料）求参数，称为s-直线图解法。同理，由（4-13）式还可看出，s-lgt 和 s-lgr 均呈线性关系，直线的斜率分别为和。因此，如果只有一个观测孔，可利用s-lgt 直线的斜率求导水系数T ，利用该直线在零降深线上截距t 0值，求贮水系数。 如果有三个以上观测孔资料，可利用s-lgr 直线的值求。这种方法的优点是，既可以避免配线法的随意性，又能充分利用抽水后期的所有资料。但是，必须满足u ≤0.01或放宽精度要求u ≤0.05，即只有在r 较小，而t 值较大的情况下才能使用；否则，抽水时间短，直线斜率小，截距值小，所得的T 值偏大，而μ*值偏小。 22.25lg 0T t r μ??? =????20 2.251T t r μ??? =????22.25t T r μ???=?? ?? 2 lg t r 2.34Q T π 2.32Q T π?μ?μ? 3) 水位恢复试验 如不考虑水头惯性滞后动态，水井以流量Q 持续抽水tp 时间后停抽恢复水位，那么在时刻（t>tp ）的剩余降深s ′(原始水位与停抽后某时刻水位之差)，可理解为流量Q 继续抽水一直延续到t 时刻的降深和从停抽时刻起以流量Q 注水t-tp 时间的水位抬升的叠加：两者均可用Theis 公式计算。故有： 式中， 2 2 444Q r r s W W T Tt Tt μμπ? ? ?? ????′= ?????????′?????? ?? （4-23）p t t t ′=?20.014234r Tt μ? ≤?′ 当 时，（）式可化简为222.3 2.25 2.25 2.3lg lg lg 44Q Tt Tt Q t s T r r Tt t πμμ??′??′= ?= ??′ ??（4-24） 式(4-24)表明，呈线性关系，为直线斜率。 利用水位恢复资料绘出曲线，求得其直线段斜率i ， 由此可以计算参数T ： 如已知停抽时刻的水位降深s p ，则停抽后任一时刻的水位上升值s*可写成： 式（4-25）表明，s*与呈线性关系，斜率为。 如根据水位恢复试验资料绘出曲线，求出其直线段 斜率，也可计算T 值。两者所求T 值应基本一致。 lg t s t ′?′ 2.34Q i T π=lg t s t ′?′2.30.1834[][] Q Q T i i π= =22.252.3 2.3 2.3lg lg lg 444p p at Q t Q Q t s s s T t T r T t πππ??=? =?′′ 或（4-25） l g t t ′ 2.32Q T π?*lg t s t ?′又根据 将求出的代入，可得：利用式(4-26)可求出导压系数a 和贮水系数6. 定降深井流的计算 在侧向无限延伸的承压含水层中抽水，如果在整个抽水期间保持井中水头h w 或降深s w 不变，那么抽水量Q 将随着抽水时间的延续而逐渐减少；除了抽水井本身以外，含水层中任一点的水头H 也将随着时间的延续而逐渐降低。当t →∞时，Q →0，s(r)→s w 。一口顶盖密封住的自流井，会保持原来水头。在打开井盖的瞬间，水从井中溢出，水位迅速降低到井口附近。在一定时间内，自流井保持一定的水位，流量则逐渐减少。 2 2.252.3lg 4p p at Q s T r π=2.32Q i π?20.44 10p s i p r a t ?=（4-26） μ ? 对自流井放水来说，基本上属于这种定降深变流量问题(图4-8)。坑道放水钻孔也类似于这种情况。如果其他条件同推导Theis 公式时的假设一样，则该定解问题的数学模型为： 图4-8承压含水层中定降深抽(放)水试验 ()()()()()()()() ????? ????>=>=∞∞<<=>∞< 式中，s w 为井中降深; 为以为变量的函数，称为无越流补给承压含水层定降深井流的降深函数，其值列于表4-3 中； 为无量纲径向距离；无量纲时间。 表4-3函数A(λ，r)数值表(略) 1s s r r r r T t μ??????=?? ?????(),00 s r =(),0 s t ∞=()0,w s t s =t>0 0 () ,w s s A r λ=（4-27） (),A r λw r r r =2w Tt r λμ ? =将（4-27）式对r 求导数并代入Darcy 定律，得： 式中，Q 为随时间变化的流量; G (λ)为无越流补给承压含水 层定降深井流的流量函数(表4-4)。 ()G λλ ?() 2w Q Ts G πλ=(4-28) 如果在双对数坐标纸上绘制曲线（图4-9），由此曲线可以看出，随时间的增加，λ增大，G (λ)减小，流量Q 也随着减小。 是一个小于1的函数。由（4-27）式可以看出，各点降深等于自流井或放水井的降深乘以一个小于1的函数。这个函数在同一时刻随着r 的增加而减小；在同一断面上随着t 增加，λ增大而逐渐增加。因此，各点降深在同一时刻随远离自流(放水)井而逐渐减小；在同一断面 上随着时间增加而增大。这是符合实际情况的。 (),A r λ 表4-4G (λ) 数值表（据 Jacob 和Lohman ） 1）配线法 对（4-28）式和式两侧取对数，有：在双对数坐标纸上，Q-t 曲线与G (λ)-λ曲线形状相同，可以利用匹配点坐标G (λ)，Q 和t 来确定参数。2）直线图解法根据(4-28)式，当时，有下列近似关系： 2Tt r λμ?=()2lg lg lg 2lg lg lg w Q G Ts r t T λπμλ? =+=+25000T t r λμ?=>()22 2.25ln w G Tt r λμ? ≈ 利用自流井做放水试验可以确定水文地质参数，这是一种既简单又经济的办法。确定参数方法的原理和定流量抽水试验相似。兹介绍如下： 于是有： ()242.25ln w w Ts G Tt r πλμ ? ≈ 或：由上式可以看出，与lgt 为线性关系（图4-10）。利用斜率i 得： 将直线延长，交t 轴于一点to ，利用t o 点的=0，可计算。 21 2.3 2.25lg 4w w Tt Q Ts r πμ? =20.183 2.250.183 lg lg w w w Tt t Ts r Ts μ?= +1 Q 0.183w T s i = 1Q μ?图4-10定降深放水试验应用直线图 解法确定水文地质参数 §9-2有越流补给的完整井流 1 基本方程 把包括越流含水层、弱透水层和相邻的含水层(如果有的话)称为越流系统(图1-30)。越流系统通常可以划分为三种类型: 第一越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、忽略补给层水位变化的越流系统； 第二越流系统是考虑弱透水层弹性释放、不考虑补给层水位变化的越流系统； 第三越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、考虑补给层水位变化的越流系统。 现在进而探讨这种情况下的非稳定运动。研究时采用了和研究稳定运动时相同的地质模型(图3-9)和假设，即： (1)越流系统中每一层都是均质各向同性，无限延伸的第一类越流系统，含水层底部水平，含水层和弱透水层都是等厚的；(2)含水层中水流服从Darcy 定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水流可视为垂向一维流； (5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流；(6)抽水井为完整井，井径无限小，定流量抽水。 在上述假设条件下，根据微分方程(1-83)，把水头化为以降深表示，并改用柱坐标，于是有越流补给的抽水含水层中地下水运动的基本方程为： 相应的定解条件为：对方程（4-29）施行Hankel 变换，于是原定解问题变为常微分方程的初值问题，可以很容易地求得它的特解。 000t s r ==<<∞ 00 r s t →∞ =>0 lim 0 2r s Q r t r T π→???=?>?????(4-30)(4-31)(4-32) 2221s s s s r r r B T t μ????+?=???(4-29) 再施行逆变换可求得其解为： 其中， 有关推导过程请参阅文献。(4-33)式为Hantush 和Jacob 于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其中 ，为不考虑相邻弱透水层弹性释水时越流系统的井函数. ,4Q r s W u T B π? ?= ???? (4-33) 2 2421,4r y B y u r W u e dy B y r u T t μ??∞? ? ?=????= ∫ (4-34) ,r W u B ? ???? ? 2 公式讨论 1) 降深-时间曲线的形状 将（4-33）式写成无量纲降深形式：根据井函数表，绘制 曲线（图4-11).曲线反映出， 有越流补给的s-t 关系大致可分为三个阶段： ,4s r W u Q B T t ? ?=??? ?1,r W u B u ? ?? ??? ?图4-11越流潜水含水层的标准曲线 ,4s r W u Q B T t ? ?=????图4-11越流潜水含水层的标准曲线 （1）抽水早期，降深曲线同Theis 曲线一致。这表明越流尚未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释 水。在理论上，相当于=0或B →∞， →W （u ）此 时和Theis 曲线一致。 标准曲线组中又反映出，不同时，与Theis 曲线吻合的时间也不一样。在其他条件一定时，如果越流系数越小 （即越小），同Theis 曲线一致的过程就越长。这说明， 弱透层透水性越小，厚度越犬，阻力越大，越流进入抽水层的时间越晚。当弱透水层透水性无限小时，在有限的抽水时间内，可能没有明显的越流反映，而同Theis 曲线相一致。（2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏Theis 离曲线，说明越流已经开始进入抽水含水层。这时，抽水量由两部分组 11 K m ,r W u B ? ??? ? ?r B 1 1 K m r B 成：一是抽水含水层的弹性释水，二是越流补给，值由 零进入有限值，即： 因此，越流含水层的降深小于无越流含水层的降深，而且随 增大(即越大)，越流含水层的降深比无越流含水层的降深小得越多。 (3)抽水后期，曲线趋于水平直线，抽水量与越流补给量平衡，表示非稳定流已转化为稳定流。此时方程（4-33），当t →∞时，u →0，可简化成（3-33）式，即： 式中，为虚宗量第二类Bessel 函数（表4-16）。2 24r yB ()2 2411,r y y B y u u r W u e dy e dy W u B y y ??∞∞??? =<=????∫∫1 1 K m r B 0 2Q r s K T B π?? = ???? 0r K B ?????? 2）水头下降速度 与(4-16)式比较可以看出，越流含水层水位下降速度比无越流含水层慢。另外，与无越流含水层一样，当t 足够大时，在一定的范围内，水位下降速度是相同的。 2 22244141 4r y B y r T t T t B s Q u e d y t T u y t Q e T t t μμππ???????+?????? ? ??????= ? ?????? = ∫ (4-36) 图4-12越流含水层的配线法 2) 拐点法 （1）原理 （a ）取(4-33)对lgt 的导数，由（4-36）式有 故有： 从(4-37)可看出，同一观测孔的s-lgt 曲线的斜率变化规律是 由小到大，又由大变到小，存在着拐点。可以通过s 对lgt 的二阶导数等于零来确定其位置。设拐点为P ，则： 22 4lg 1lg 4r Tt Tt B s s d t Q e t t dt T t μμπ??? ? ??==??22 42.3lg 4r T t T t B s Q e t T μμπ?? ? ??=?(4-37) () ()22 2 2242 22.3044lg r Tt p Tt B p Tt Q s r e T Tt B t μμμπμ???? ? ??? ?= ?=??????? 故在拐点有： 解得拐点处的时间t p 为： 相应的u 值为： 将(4-39)式代回（4-37）式，得拐点处切线的斜率为： 22 4p p T t r T t B μμ? ?? =2p B r t T μ?= (4-38) 242p p r r u T t B μ ? = =(4-39) 2.34r B p Q i e T π?=(4-40) （b ）求拐点处降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得： 进行变量代换：设， 当y=0，当则 2 24214r y B y r p B Q s e dy T y π??∞= ∫ (4-41) 222 2222 ,,444r r r y dy d B y B B ξξξξ= ==?ξ=∞ p y u =2242p r r B u B ξ==224021 24r B r p B Q r Q s K e d T B T ξξ ξ ππξ ?? ∞??=? ????∫ (4-42) 将（4-41）式和（4-42）式相加，得： （4-43）式表明，拐点处降深等于最大降深的一半（图4-13）。 0m ax 1 42 p Q r s K s T B π??= =????(4-43) （c ）建立拐点P 处降深s p 与斜率i p 之间的关系。用（4-40） 式除（4-43）式得： （4-44）式右端的值已列成表4-7 表4-7 的数值表（略）应用上述原理，根据某一观测孔的观测资料绘出s-lgt 曲线，就可计算有关参数。（2）步骤： （a ）单孔拐点法，有一个观测孔时： ①在单对数坐标纸上绘制s-lgt 曲线，用外推法确定最大降深Smax(图4-13)，并用（4-43）式计算拐点处降深Sp 2.3r p B p s r K e i B ??=???? (4-44) ()()()(),,,x x x i i e K x e K x E x E x e ????和②根据Sp 确定拐点位置，并从图上读出拐点出现的时间tp 。③做拐点P 处曲线的切线，并从图上确定拐点P 处的斜率ip 。 ④根据（4-44），求出有关数值后，查表4-7确定和值⑤根据值求B 值：按（4-40）式和（4-38）式分别计算T 和值： ⑥验证，因为图解出的Smax 和Sp 常有较大的随意性而引起 误差，所以进行验证是必要的。将所求得的参数代入（4-33）式，并给出不同的t 值，计算理论深降。然后把它同实测降深比较，如果不吻合，则应重新图解计算。 r B ?? ?? ?? r B e r B r B r B = ?????? μ?12 122.3,,4r p B p Tt K Q T T e i Br m B μπ??= ==（b ）多孔拐点法，有多个观测孔时： 当抽水时间不长，观测孔降深未趋于稳定，不知道或不可能外推求出S m 时，不能用上面介绍的方法。此时可利用下述方法求参数。根据（4-40）式有： 两边同时取对数： 2.34r B p Q i e T π?= 2.3ln ln 4p Q r i T B π=? 2.32.3lg 2.3lg 4p Q r B B i T π=?(4-45) 式（4-45）表明， r 与呈线性关系。如有三个以上的观测孔资料能绘制出r-lgi p 曲线时，可以用它来计算参数。具体步骤如下： ①绘每个观测孔的s-lgt 曲线（图4-140，并从图上确定每条曲线直线段的斜率近似地代替拐点处的斜率。 lg p i §4-3有弱透水层弹性释水补给和越流补 给的完整井流 在层状含水层分布区一个含水层常被弱透水层覆盖或下伏有弱透水层，形成双层或多层结构的含水层组。从含水层中抽水时，会引起弱透水层弹性释水补给抽水含水层。当弱透水层厚度较大时这种补给相当大，不能忽略不计。1960年M.s.Hantush 研究了这个课题。1 基本方程 下面讨论考虑弱透水层弹性释水，而相邻含水层（如果有的话）水头保持不变的越流系统的基本方程。其他假设条件如下： (1)含水层和弱透水层是均质各向同性和等厚的，产状水平，分布无限.天然水力坡度为零。单井定流量抽水。 (2)含水层抽水时，能得到弱透水层弹性释水的补给。弱透水层渗透系数与含水层渗透系数相比，要小的多(差两个数量级以上)。因此可以认为，通过弱透水层中的水流是垂向运动，而抽水含水层中则为水平径向运动，服从Darcy 定律。在上述假设条件下，含水层中地下水的运动应遵循(1-83)式，相应地在弱透水层中地下水的运动服从(1-71)式。如果越流强度改用降深表示，则由（1-82）式有： 式中，分别为上、下弱透水层垂直方向的渗透系 数和水头。如整个方程组也改用降深表示，则有： 112211 1222,H s H s v K K v K K z z z t ????=?==?=????1122,,,K H K H 式中，分别为抽水含水层、 上弱透水层下弱透水层的贮水系数、导水系数和水位降深。根据连续性原理，在抽水含水层的底板(即z =m 2处)和顶板(即z =m 2+M 处)(图1-30)分别有： 常见的考虑含水层弹性释水补给而相邻含水层(如果有的话)的水头保持不变的越流系统，主要有下列三种情况（图4-16）： 2121 221s H s s s T K K r r r z z t μ????????++?=?????????()()()111222,,,,,,,,,,,,,T s r t T s r z t T s r z t μμμ???()()22,,,s r m t s r t =()() 22,,,s r m M t s r t +=第一种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个定水头的含水层； 第二种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个隔水层； 第三种情况，与第一个弱含水层相邻的是定水头含水层，与另一个弱含水层相邻的是隔水层。对于这三种情况，可以分别写出它们的微分方程和定解条件。先看第一种情况： 图4-16 弱透水层弹性释水的三种情况（据Hantush ） 上弱透水层： 抽水含水层： ()()()() 2 111 11112112(446) ,,00(447),,0(448),,,(449) s s T s t s r z s r m M m t s r m M t s r t μ???=???=?++=?+=?()()()()()211222221101,,,,(450) ,00(451),0(452) ,lim (453) 2r s s s T K s r m M t K s r m t r r r z z t s r s t s r t Q r r T μ π?→???????+++?=?????????? =?∞=??=???下弱透水层： 第二种情况和第一种情况基本相同，只是将（4-48）和 （4-56）式分别以下式代替： ()()()() 222 2 221112(454),,00(455) ,0,0 (456) ,,,(457)s s T s t s r z s r t s r m t s r t μ???=???=?=?=?()121,,0s s r m M m t z ?++=?()2,0,0s s r t z ?=?第三种情况也和第一种情况基本相同，只是将式（4-56）用下式代替： 上述定解问题，对于足够短的时间和足够长的时间有近 似解。(1) 抽水初期的解当和 时，三种情况有相同形式的近 似解： ()2 ,0,0 s s r t z ?= ?() ,4Q s H u T βπ= 式中， 分别为上、下两个弱水层的越流因素。 考虑弱透水层弹性释水时，越流系统的井函数的值列于表4-8中。 ()(),y u e u H u e r fc d y y y y u ββ?∞ ?? ??=????? ∫24r u T t μ?= 121 2 44r r B B μμβμμ???? =+111 Tm B K = 222 Tm B K = (),H u β（2）抽水时间较久时的解： 第一种情况：当，同时时，其解为： 式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井函数（表4-5） 第二种情况：当，同时时，其解为： 111 5m t K μ? >222 5m t K μ?>() 1,4Q s W u a T π= （4-62） ()1,W u a 2121334r u Tt μμμ?????++?? ??= 11110m t K μ?>222 10m t K μ? >()24Q s W u T π= 式中， 为无越流含水层的井函数（表4-1）；第三种情况：当，同时时，其解为： 式中，为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井函数(表4-5)； ()2W u () 21224r u Tt μμμ???++= 111 5m t K μ? >222 10 m t K μ? >31,4Q r s W u T B π?? = ????3 1 ,r W u B ???? ?? 221334r u Tt μμμ?????++?? ??= 1212 44r r B B μμβμμ?? ?? = +图4-17考虑弱透水层弹性释水，越流系统短期抽水时的标准曲线 （据Walton ） 利用观测孔的全部观测资料，在双对数透明纸上绘出s-t 曲线，把抽水初期的曲线（或短时间抽水的曲线）同标准曲线-（图4-17）重合，记下匹配点的坐标，，，代入公式（4- 60），求出含水层的参数T 和。 [](),4Q T H u s βπ= ????[] 2 41T t r u μ ? = ?? ???? (),H u β1 u (),H u β1u ,,s t βμ?§4-4潜水完整井流 1 考虑迟后疏干的Boulton 模型 1) 假设条件及井流状态分析 Boulton 模型建立的水文地质概念模型： （1）均质各向同性、隔水底板水平的无限延伸的含水层； （2）初始自由水面水平； （3）完整井，井径无限小，降深s < （5）抽水时，水位下降，含水层中的水不能瞬时排出，存在着迟后现象。 分析潜水完整井抽水时的降深-时间曲线，可以明显地看到三个阶段：第一个阶段： 抽水早期，降深-时间曲线与承压水完整井抽水时的Theis 曲线一致，主要表现为潜水位下降。但含水介质不能立即通过重力排水把其中的水排出，而只是由于压力降低引起水的瞬时释放，即弹性释水。 含水层的反应和一个贮水系数小的承压含水层相似。一般来说，水流主要是水平运动。 第二个阶段：降深-时间曲线的斜率减小，明显地偏离Theis 曲线，有的甚至出现短时间的假稳定。它反映疏干排水的作用，好象含水层得到了补给，使水位下降速度明显减缓。含水层的反应类似于一个受到越流补给的承压含水层。但降落漏斗仍以缓慢速度扩展着。 第三个阶段：这个阶段的降深一时间曲线又与Theis 曲线重合。说明重力排水已跟得上水位下降，迟后疏干影响逐渐变小，可以忽略不计。抽水量来自重力排水，降落漏斗扩展速度增大。此时，给水度所起的作用相当于承压含水层的贮水系数。决定于含水层的条件，这一阶段可以从抽水后的几分钟到几天后开始。 Boulton 根据抽水过程中降深一时间曲线的特征提出了考虑迟后疏干的计算方法。 假设：抽水开始后的时间τ和τ+Δτ之间潜水面下降了Δs ，此时含水层排出水量由两部分组成：（1）弹性释放出的水量：水位下降Δs 时，单位面积含水层 的弹性释水量为：μΔs ·1 （2）迟后疏干排水量：降深Δs 时，单位水平面积含水层于t 时刻。（t>τ）排出的重力水量假设为： 式中，μ为给水度，α为一经验系数。 () 1 t s e α ταμ??Δ???（b ）在τ时刻以后，单位水平面积含水层内降深为一个单位时，迟后重力排水的总体积为： 它等于含水层的给水度。因此，在水量均衡上没有矛盾，符合实际，假设是合理的。（c ）在τ和t 区间迟后排水总量为：()1 t s e αταμ??Δ???() t e dt ατταμμ ∞???=∫() ()[1]t t t s e dt s e ατατταμμ????Δ?=Δ?∫ （a ）迟后疏干排水量 与t-τ的关系如 图4-18所示，符合一般经验。 由上式可了解α的意义。 若α大，则τ到t 时间内排出的水量大，即迟后性 小；或者说，1/α小，迟后性小。因此，称1/α为延迟指数。2）数学模型及其解 如果只考虑贮存水的释放，不考虑迟后重力排水，并假设降深很小（s ＜＜H 。）值保持不变，则潜水非稳定径向运动的偏微分方程可写为：如果考虑迟后重力排水，则方程式的右边还要 加上一项，即在t 时刻单位水平面积含水层中单位时间内迟后重力排水的体积。 2 2 1( )s s s T r r r t μ? ???+=??? 这个值可以这样来求得： 将0到t 这一时间段分成n 个时间小段每一小段对应的降深为。由上述假设知，在t 时刻由引起的排水量为显然，由于迟后排水，t 时刻以前的每一个都会排水到达t 时刻的潜水面。在t 时刻单位水平面积的潜水面上，单位时间接受的迟后排水总量为： 当n →∞，→0时，，则有：1(1,2,1,,i i i i n n τττ?Δ=?=???????而 00τ=） i τΔ(1,2,1,)i s i n n Δ=???????i s Δ()i t i s e αταμ??Δi s Δ()1 i n t i i s e αταμ??=Δ= ∑ ()1 i n t i i i i s e αταμττ??=ΔΔΔ∑ i τΔi i s s ττ Δ?→Δ?()0 t t s e d αταμττ ?????∫ 因此，考虑迟后重力排水时，流向潜水完整井非稳定运动的偏微分方程为： 相应的定解条件为： Boulton 求得上述定解问题的解为： 2()021()t t s s s s T e d r r r t ατμαμττ ???????+=+????∫s f (r ，0)=0 s f (∞，t)=0 t > 0 lim ()2r s Q r r T π→?=??t > 0 1 202202 2(1){1[]}()42u Q x t r s e chu shu J x dx t x u D αηπγ?∞?=?+∫式中：s——定流量抽水、距抽水井为r 处t 时刻的降深； D= ——疏干因素（量纲为L ）；——贮水系数； μ——给水度；——延迟指数；x—— 积分变量； J o （x ）——第一类零阶Bessel 函数。 21(1) 2t x u αη?= 2222 2(1)42 at x x u ηη+?= 1;; ημμμ γηημμμ??? ?+== =+T αμμ?1 α 当η→∞时，即给水度比贮水系数大得多时，（4-71）式可简化为：式中，F= 。（4-72）式的积分部分可W （，）来表示，称为无压 含水层中完整井的井函数（表4-9）。其中的，在抽水早期取值，抽水后期取。它所描述的曲线形状，也就是理论上降深一时间曲线的形状。据此，可将上述解分为三部分： 2 2100212()[1]41tx x Q r dx s J x e F t D x x απ?∞ +=??+∫22(1) 21t x x e x αη?++,a y u r D ,a y u a u y u ? 井函数不能用初等函数表示，但可求出它的数值解（表4-9）。根据这些数值在双对数纸上画出标准曲线族，如图4-19所示。它包括两组曲线：?左边是A 组曲线，适用于抽水早期；?右边是B 组 曲线，适用于抽水后期。 ?两组曲线间用它们的共同切线连接。 ? 由于（4-72）式是在η→∞时，由(4-71)式简化得来 的，这时曲线的中间部分为一水平线，可以用(4-74)式来表达。 ? 当η≥100时，曲线的中间部分仍趋近于一水平线，因而(4-74)式仍然适用。如果η<100时，则曲线的中间部分就不是水平线，而是一条比早期和后期曲线的斜率小得多的曲线。 ,(,)a y r W u D 1(, )a a r W u D u ?1 (,)y y r W u D u ? 曲线组反映了迟后排水的影响。在抽水初期，因以弹性释水为主，水位降深同左边的Theis 曲线吻合。当迟后重力排水发生影响后便偏离Theis 曲线，下降速度变小，并随r/D 的不同方式以水平线趋近。在抽水后期，迟后重力排水减弱，下降速度由小变大，曲线斜率增加。当迟后重力排水影响基本结束时，又趋向右边的Theis 曲线，和前面分析的三个阶段是一致的。 r D 4) 利用抽水试验资料确定水文地质参数(2006-5-23)（1）配线法： ①根据表4-9在双对数坐标纸上绘制标准曲线（图4-19）。当5<η<100时，严格讲，应按（4-11）式另作标准曲线。但T.A.Prickett 经对比表明，按（4-71）式制作的η为有限值的标准曲线和根据联结A 组、B 组曲线的切线来表示中间过渡带的方法绘制的标准曲线差别不太大。因此，可以用后者作为前者的近似。 ②根据试验资料，在模数和标准曲线相同的透明双对数纸上，绘制s-t 曲线。 ③把s-t 曲线叠置在标准曲线上，保持对应坐标轴平行，使s-t 曲线尽可能多地与某一条A 组曲线重合。 任选一匹配点，取坐标：s ，t ，W （），和重合曲 线的值，代入有关公式计算参数： ,a r u D 1 a u r D ④使s-t 曲线的剩余部分尽可能多地与B 组曲线重合，值不变。任选匹配点，取坐标值：s ，t ，W （），, 代入有关公式计算参数： 把μ的表达式代入D 的表达式，即可得上式。 ⑤上述计算是在假设降深S 与含水层厚度H o 之比比较小的情况下，以T 值不变为前提的。但实际上，T 在改变，随着含水层被疏干，厚度减小，相应的T 值也减小。为减小这方面的误差，需对观测降深用(4-66)式进行校正。 24[] [(,)],14[][]a a Q r T t T W u s D r u μπ?= = r D , y r u D 1y u 24[] [(,)],14[][]y y Q r T t T W u s D r u μπ= = ⑥由标准曲线图可以看出，随着的增加，B 组曲线逐渐向Theis 曲线靠近，最终两者非常靠近而重合，这个使B 组曲线变为Theis 曲线的时间，是迟后重力排水对降深影响基本结束的时间；将配合点的值代入（4-79）式可得： 上式反映与有对应关系，故可作出曲线 （图4-20）。然后，根据前面求得的，由图4-20得， 再把值代入，就可求出来。 y u 1 t w t ,y u 12,11()4w t y r t D u α= D r t w t ,αD r t t w ?,αD r t w t ,αα 1 t w t , （2）直线图解法： 抽水持续足够长时间后，迟后重力排水影响消除，s-lgt 关系与无越流补给的承压完整井一样呈线性关系，故可利用直线图解法计算参数。 绘制s-lgt 曲线，如图4-21所示。由（4-13）式得： 可得： 式中，i 和t 0分别为从图4-21上读得的直线斜率和在横轴 （s=0）上的截距。 22.3 2.25 2.3lg lg 44Q T Q s t T r T πμπ= +02 2.252.3,4Tt Q T i r μπ== Boulton 法考虑了潜水含水层的弹性释水性质，并引进了迟 后重力排水的假设，有一经验系数α，虽有一定道理，但其物理意义并不十分明确。因此，考虑迟后疏干的Boulton 法仍是一种不完善的方法。 2考虑流速垂直分量和弹性释水的Neuman 模型在Boulton 模型中，延迟指数α 缺乏明确的物理意义，也不能保证α是常数，用它解释无压含水层从贮存中释放水的 机制就会有困难。 α1 下面将要介绍的Neuman 模型，不仅考虑了流速的垂直分量和弹性释水，还把潜水面视为可移动的边界，建立了有关潜水面变动的连续性方程，并简化得到潜水面边界条件的近似表达式.这样就不涉及非饱和带和物理意义不明确的延迟指数了。1) 定解问题及其解 Neuman 模型是在下列假设条件下建立的：（1）含水层均质各向异性，侧向无限延伸，坐标轴和主渗透方向一致，隔水层水平；（2）初始潜水面水平；（3）水流服从Darcy 定律；（4）完整井，定流量抽水； （5）抽水期间自由面上没有入渗补给或蒸发；潜水面降深和含水层厚度相比小得多，因此在建立潜水面边界条件时可以忽略水头H 对x 、y 的导数或对r 的导数。 在上述假设条件下，可以写出潜水完整井流(图4-22)的定解问题为： 222 21( ),r Z s s s s s K K r r r z μτ????++=????0 00(,,)(,,)z K s r H t s r H t z t μ?? =???0 lim 2H r r s Q r d z r K π→?=??∫ s ( r ，z ，0 ) = 0 s (∞，z ，t ) =0 式中，k r 为水平径向渗透系数;K z 为垂向渗透系数; μs 为贮水率;μ为给水度;H o 为潜水流初始厚度。 通过积分变换，可求得上述定解问题的解。降深s 用无量纲参数（β，σ，Z d 和t s ）表示为： 式中： 12 001 (,,)4()[()()]4n n Q s r z t yJ y y y dy T βωωπ∞ ∞== +∑∫ 2200022222000{1exp[()]}() (){(1)[()/]}() s d t y ch z y y y ch βγγωσγγσγ???= ++??22 22222 {1exp[()]}()(){(1)[()/]}cos() s n n d n n n n t y ch z y y y βγγωσγγσγ???= ++??其中，γo ，γn 分别为下列两个方程的根： 此处， 在实际工作中，在完整观测孔所观测到的降深是降深在整个 含水层厚度上的平均值s (r ，t ）。此时，上述解仍可用(4-86)式来表达，只是ω。(y)和ωn(y)需要按下式重新定 220000()()()0 sh y ch σγγγγ??=22sin()()cos()0 n n n n y σγγγγ+?=22 y γ ?0 0222 22 0,,,,,z d d d r d z s y d r H K z K z h K H r K r K Tt Tt t t r r h H K μσμ βμμ? ?= ======= 义: 2) Neuman 解的特点 (1)降深-时间曲线的特点：解析解描述的降深-时间曲线和抽水过程的三个阶段相一致。图4-23反映的是各向同性含水层(K d =1)中位于距抽水孔等于含水层厚度（H d =1）处含水层 底部(Z d =0)的降深。纵坐标是无量纲降深，横坐标是无量纲时间六条曲线对应不同的σ.抽水早 期，这些曲线和Theis 曲线一致，说明此时抽水量基本上自 220002 2222000 {1exp[()]}() (){(1)[()/]}s t y th y y y βγγ ωσγγσγ???=++??2222222{1exp[()]}()(){(1)[()/]}s n n y n n n t y tg y y y βγγωσγγσγ???= ++??4()d T s s Q π=2()s T t t r μ?=弹性释水。第二阶段，由于重力排水的影响，曲线和获得“越流补给“的情况相似。σ越小，重力排水的作用愈大，这种类似于“越流补给”的影响愈显著(表现为这个阶段愈长)。随着抽水时间的进一步延长，进入第三阶段，弹性释水的影响完全消失，曲线再一次和Theis 曲线一致。 在横轴为无量纲时间t y 的图4-24上，曲线也反映了抽水的三个阶段。μ* 愈小(σ愈小)降深-时间曲线第一阶段所占的时间也愈短。当σ趋近于零时，第一阶段就完全消失了。此时，潜水面以下各点的水头，由于忽略弹性释水的作用，会在抽水开始的那一瞬间突然下降。图4-23和图4-24说明，虽然潜水含水层的民和μ相比是如此地小，但一般地讲，潜水含水层的弹性释水还不应把它忽略不计。 图4-23 z d =0，h d =1和K d =1，无量纲降深s d 与无量纲时间t s 关系曲线 (据S.P.Neuman) (2)降深-时间曲线和观测点在含水层中位置的关系：图4-25表示在σ=10-2的典型情况下，降深一时间曲线和观测点位置z d 的关系。从此图可以看出，在抽水早期和中期，潜水面处的降深点小于含水层中任何一点的降深。所谓"迟后排水“或"潜水面迟后反应"就是从这个现象引出来的。 (3)水流状态变化：h d =1的剖面上，不同时刻的降深分布曲线(图4-26)反映出： 图4-26 σ=10-z ，h d =1，K d =1时，无量纲高程z d 与无量纲降深s d 的关系曲线 〈据SP. Neuman 〉 早期和后期，降深分布曲线基本上是垂直线，即同一剖面 不同深度的降深几乎是相同的，不存在垂向分速度，水流实 质上是水平的，和Dupuit假设一致。因此，This解成立，降 深-时间曲线分别与有关μ*及μ的Theis曲线一致。而在中间 阶段，含水层上部存在着明显的垂向分速度。 (4)降深-时间曲线随径向距离的变化：图4-27显示出，在 z d =0处距抽水井不同径向距离r的点上，降深-时间曲线的形 状不同。随着r 的增大，弹性贮存的作用逐渐减弱。在 r>10H。的地段，弹性贮存的影响小到可以完全忽略不计。 降深-时间曲线和与μ有关的t y 的Theis曲线一致。 从图中还可以看出，潜水面迟后反映也随r的增大减弱 了。因此，前面讨论的降深-时间曲线的三个阶段，只是在r 不大的情况下才会明显地表现出来。 图4-27 s d与无量纲时间t.，ty的关系曲线. 〈据S.P.NeuEZIan〉 (5)各向异性对降深-时间曲线的影响：图4-28证实，在各向异性截止中，K d 愈小，水平速度愈大，因而弹性释水作用和迟后反映愈明显。3) 利用抽水实验资料确定水文地质参数 （1）配线法：当抽水井和观测孔都是完整井时，由 （4-86）式确定的观测孔中的降深包括三个独立的无量纲参数.一般地讲，它们不能绘在一张图纸上。为了便于作图，必须减少独立参数的个数。为此，设远小于μ，令，使独立参数减为两个，得到两组标准曲线，分别称为A组标准曲线（表示于图4-29的左侧）和B组标准曲线（表示于图4-29的有右侧）。与A组标准曲线对应的坐标t s 标在图的上端；与B组标准曲线对应的坐标 t y 标在图的下端。它们分别用来分析抽水早期和后期的降深资料。A组曲线的右边部分和B组曲线的左边部分都趋近于一组水平的渐近线。当时，二组标准曲线彼此相距无限 远的距离。为此，必须采用不同的尺度（一个与t s 对于能够，一个与t y 对应）作图，才能把她们绘在一张图纸上。 (), s r t () ,,() s y s r t t t οβ和或 μ?0 ο= ο= 表4-10列出了二组标准曲线的数据。 利用标准曲线确定有关参数的步骤如下： ①将观测孔中不同时刻的实测降深资料点在透明双对数坐标纸上，绘制s-t曲线； ②把s-t曲线重叠在B组曲线上，保持对应坐标轴平行，使后期s-t曲线B组曲线中某一曲线最优地重合，记下该曲线的β值。在重叠部位任选一匹配点，读出相应坐标s，t，s d 和 t y 。代入下式计算有关参数： 表4-10a完整井绘制标准 表4-10b完整井绘制标准 曲线A的数值表(无)曲线B的数值表(无) 图4-29潜水含水层完整井定流量抽水时的标准曲线 [] [] [] [] 1 0.08 4 d d Q s Q s T s s π == [] 2 y T t r t μ= ?? ??
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