第1章 矩阵 习 题
1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x
x ； (2)
??
?+=-=?
??
?cos sin sin cos 11y x y y x x
2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.
3. 设????? ??--=111111111Α，???
?
? ??--=150421321
B ，求3AB -2A 和A T B .
4. 计算
(1) 2
210013112????
? ??
(2) ????
? ???????
??1)1,,(2
1
22212
11211y x c b b b a a b a a y x
5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,???
??+-=+=+-=323
3122
11323z
z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表
示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -
1+…+ a m E .
当f (x )=x 2
-5x +3，???
?
??--=3312A 时，求f (A ).
7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .
(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .
7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．
8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：
(1)????
?
??------=132126421321A
(2)????
??
? ??------=03341431210110122413B .
9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.
??
??
? ??--=121121322101A ~
1
22r r -???
??
??---1211233
02101~13c c +???
?
?
??--131123302001=B .
10. 设ΛAP P =-1
，其中???? ??--=1141P ，???
?
??-=2001Λ，求A 9.
11. 设???
?
?
??-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .
12. 设
102
212
533
A
--
??
?
=-
?
?
-
??
, 利用初等行变换求A-1.
复习题一
1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A ) ACB =E ； (B ) CBA =E ； (C ) BAC =E ； (D ) BCA =E .
2. 设?????
??=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ,????
?
??+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B , ????? ??=1000010101P ,???
?
?
??=1010100012P ，则必有 ( ) .
(A ) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C ) P 1P 2A =B ； (D ) P 2P 1A =B .
3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设
???????
?
?=000101000010
10001P ，???
??
?
?
?
?=10000010010
0000
12P ，则C -1=（ ）. (A) A -
1P 1P 2； (B) P 1A -
1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -
1P 1.
4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.
5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求C n .
6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -
1，k 为正整数.
7.设A ,B 为三阶矩阵,?????
??
? ?
?=710
00410
003
1A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .
8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1
-???
?
??O O B A .
9. 设???
??
??
? ??=-0000000000
00
0000
121Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ
Λn
n a a a a X （021≠n a a a Λ）
，求X -1.
第2章 行列式
习 题
1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组
???
??=-+-=-+-=+-0
13222321
321321x x x x x x x x x
2.当x 取何值时，00
104
1
3≠x
x x .
3.求下列排列的逆序数：
(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).
4. 证明： 3232a c
b a b a a
c b a b
a a
c
b a
=++++++.
5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.
6. 计算下列行列式:
(1)
1
1111
1
1
1111
1
1111
------
(2)
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
(3)
111
101111011110
(4) 1
22
21
23
312
111x x x x x x
（5）n
n a a a D +++=
11
1
11111121
Λ
ΛΛΛΛΛΛ，其中021≠n a a a Λ．
7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：|A*|=|A|n-1，(n ≥2)．
8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算|-2A*B-1|．
9.设???
?
? ??--=11101
2112A ，利用公式求A -1.
复习题二
1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．
2.设????
??
?
?
?-=22000200003
40043A ，求A -1．
3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3?1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．
4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：
AB E E
A B
E -=．
第3章向量空间
习题
1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．
2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.
3. 判别下列向量组的线性相关性:
(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；
(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T .
4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．
5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.
6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓
C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2
2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。 （1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明： （1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()； 6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。 (满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。 《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（） 武汉大学２０１４年线性代数真题解答 一．由12001 30000 20 010A ?? ? ?= ? ? -?? ，且1 1[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121 211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-= ，其中12k k k k n s x x x =++ . 三．有121,,,,s s αααα+ ，且1 ,1,,i i i s t i s βαα+=+= ， 证明如果12,,,s βββ 线性无关，则121,,,s ααα+ 必定线性无关. 四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即 (3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=. 证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=. 五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明 2dim(())1n sl F n =- . 六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ． 七．已知013210 1010101n n n c c F c c c ----?? ?- ? ? = ?- ? ?- ? ?-? ? ， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ； （２）求所有与F 可交换的矩阵． 《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择 1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ） 武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用） 学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题5分，6题共30分）： 1．设111111111-?? ?=-- ? ?--?? A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n A . 2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232 ，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩. 4．已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求** ()A . 5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足 0+==E A E A -， 计算A I 323+. 6. 设n 阶向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x . 二、解答题（3题共45分，每题15分） 1．设10102016A a ?? ? = ? ??? ，且()2R A =，满足 ，求a 和 . 2．已知2222 54245λλλ--?? ?=-- ? ?---??A ,121λ?? ? = ? ?--?? b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解. 3、设二次型222 123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1 -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数). 三、证明题和讨论题（2题共25分）： 1.（10分）设 是阶实方阵， (1).当为奇数且I AA T =及 时, 证明：0=-A I . (2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆. 2.（15分）对线性空间3 R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题： (1).向量组B 是否能成为3 R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到 123,,βββ的过渡矩阵P ,其中 1100α?? ?= ? ??? 2110α?? ?= ? ??? 3111α?? ?= ? ???；111β?? ?= ? ???a 2112β?? ?= ? ?-??a 3110β-?? ?= ? ??? ，且a 为实数. (2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数， （a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之； 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 备用试题 武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。 一、设四阶行列式D = 1 0370121 34031 2 2 1 －－－－ 1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。 二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。 三、设A ＝ 111212122212 ...................... n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????? ???? ? ? ?????? ，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++， 312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。 五、设线性方程组为 2 3112131 23 1222322 31323 3323 1 42434 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=? ++=?? ++=??++=? ， 1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？ 2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中： T T 12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。 六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为 ???? ? ??=????? ??=????? ??=520,210,002321ααα， 求方阵A 。 七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22 2312132343448x x x x x x x x -+-+ 1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。 八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为 2 2 2 21a b c abc +++= 九、给定3R 的基?????===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3 21ξξξ 和 ??? ??--=-=-=). 1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。 WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?--- 线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）线性代数试题及答案
(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
武汉大学2014年线性代数真题解答
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数习题参考答案
线性代数期末考试试卷+答案合集
武汉大学2002-2003线性代数试题(54工)
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
线性代数课后习题答案
大一线性代数期末考试试卷
线性代数习题集(带答案)
线性代数习题及解答
相关主题
文本预览