基本不等式求最值的类型与方法-经典大全
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2
5 6
专题：基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式：
①，、)(2
22
22
2
R b a b
a a
b ab b a ∈+≤
?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
?
??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
ab +≤≤≤
2
2
2b a +。 二、函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x b
ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)b
a
+∞；单调递减区间：(0,
]b
a
，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+
>-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)
x x x x --=+++>- 3
2
111
31222(1)
x x x --≥??+-312≥+52=， 当且仅当
211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2
。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：
①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析：①30,3202
x x <<
->Q ∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3
(32)[]13
x x x ++-≤=，
当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<
>>Q ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最
大值。
2
4
2
sin cos y x x =?2
2
2
sin sin cos x x x =??222
1(sin sin 2cos )2
x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=,
当且仅当22
sin 2cos x x =(0)2
x π
<<
tan 2x ?=，即tan 2x arc =时 “=”号成立，故
此函数最大值是
23
9
。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要
通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +
∈R ，求4
()f x x x
=+
)10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则 x a b ab 2-ab 2a b - o y 7 8 12121244 ()()()( )f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+?1212124()x x x x x x -=-?， ∵1201x x <<≤，∴121212 4 0, 0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->?>， 即4()f x x x =+ 在(0,1]上是减函数。故当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4 ()f x x x =+22( )4x x =-+， 易知当01x <≤时，20x x μ= ->且单调递减，则22 ()()4f x x x =-+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）4 ()f x x x =+)10(≤ 当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足 81 1x y +=，求2x y +的最小值。 解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+ +1610218x y y x ≥+?=, 当且仅当811 16x y x y y x ?+=??? ?=??即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088 x y x x x >?>>?>-又，则 2x y +22(8)161616 2(8)108888 x x x x x x x x x x -+=+ =+=++=-++----162(8)10188x x ≥-?+=-。 当且仅当16 88 x x -= -即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y ?=????=??则有228sin 1cos x x y x ?=??? ?= ?? 则：22 822sin cos x y x x += +222222 8csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++ 22102(8cot )(2tan )x x ≥+?18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 8181 2()(2)228x y x y x y x y x y +=++≥???=。原因就是等号成立的条件不一致。 类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 解法一：由0,0x y >>，则3xy x y =++32xy x y xy ?-=+≥， 即2 ()230xy xy -+≥解得 13xy xy ≤-≥(舍)或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3( )2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞。 解法二：由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++?-=+知1x ≠， 则：31x y x += -，由3 0011 x y x x +>? >?>-， 则：2233(1)5(1)44 (1)51111 x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=?===-++----42(1)591x x ≥-?+=-， 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 314444 1(1)22(1)2611111 x x x y x x x x x x x x x x +-++=+ =+=++=-++≥-?+=----- 9 10 ， 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数()() y x x x =++49的最值。 错解：()()y x x x x x x = ++=++491336 2=++≥+?=133********x x x x 当且仅当x x = 36 即x =±6时取等号。所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值。 分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 因为函数()() y x x x =++49的定义域为()()-∞+∞，，00Y ，所以须对x 的正负加以分类讨 论。 正解：1）当x >0时，25362133613=?+≥+ +=x x x x y 当且仅当x x = 36 即6=x 时取等号。所以当x =6时，y min =25 2）当x <0时，->->x x 036 0，， ()()-+-?? ???≥--?? ???=x x x x 3623612 11213)]36 ()[(13=-≤- +--=∴x x y 当且仅当-=- x x 36 ，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121. 例2. 当x >0时，求y x x =+49 2的最小值。 错解：因为x y x x x x x >=+≥?=0492496 22， 所以当且仅当492x x =即x =943 时，y x min = =6 2183。 分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法 中4x 与 9 2 x 的积不是定值，导致错误。 正解：因为x y x x x x x x x x >=+=++≥??=04922932293362223 3 ， 当且仅当292x x =，即x =3623时等号成立，所以当x =3623 时，y min =3363 。 例3. 求y x x x R = ++∈22 54 ()的最小值。 错解：因为y x x x x x x = ++=++ +≥+? +=22 22 22 54 414 2 414 2，所以y min =2 分析：忽视了取最小值时须 x x 22414 += +成立的条件，而此式化解得x 2 3=-，无解，所 以原函数y 取不到最小值2。 正解：令()t x t = +≥242，则y t t t =+≥1 2() 又因为t ≥1时，y t t =+1是递增的。所以当t =2，即x =0时，y min =5 2 。 例4.已知+ ∈R y x ,且 14 1=+y x ，求y x u +=的最小值. 错解：44 411≥?≥+= xy xy y x Θ ,82≥≥+=∴xy y x u ,u ∴的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为y x 4 1=和y x =，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：94545)41)( (=+≥++=++=x y y x y x y x u 当且仅当 x y y x =4即6,3==y x 时等号成立. u ∴的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 11 12 一要正：各项或各因式必须为正数； 二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错； 三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行 拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+=， 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? +=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1+10544 =5t t t t y t t t t -+-++= =++） 当,即t =时,4 259y t t ≥?+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数22 54 x y x += +的值域。 解：令24(2)x t t +=≥，则2 254 x y x +=+221 1 4(2)4 x t t t x = ++ =+≥+ 因1 0,1t t t >?=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1 y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52 y ≥。 所以，所求函数的值域为5 ,2??+∞???? 。 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 19 1x y +=，求x y +的最小值。 解：19 0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当 9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 巩固练习： 1、已知：b n m a y x =+=+2 2 2 2 ,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)2 2 2b a + (D)222b a + 2、若+ ∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：①)(233 + ∈>+R x x x ；②),(3 2 2 3 5 5 + ∈+≥+R b a b a b a b a ； ③)1(22 2 --≥+b a b a .其中正确的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++b a b a (B) ab ab b a 222≥+ (C)21≥+ab ab (D)ab b a ab ≤+2 5、设+ ∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B) 212- (C)12+ (D)2 1 2+ 6、若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 13 14 8、若+ ∈R y x ,,且12=+ y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取 “=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进 行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为 两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑 上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 15 16 技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? +=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++） 当,即t=时,4 259y t t ≥?+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。 例：求函数2 254 x y x += +的值域。 解：令24(2)x t t +=≥，则2 254 x y x +=+221 1 4(2)4 x t t t x = ++ =+≥+ 因10,1t t t >?=，但1 t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5 2 y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2??+∞???? 。 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知0,0x y >>，且 19 1x y +=，求x y +的最小值。 错解．．：Q 0,0x y >>，且 191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ?? +=++≥= ??? 故 ()min 12x y += 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x y xy +≥等 号成立条件是 19 x y =即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：19 0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 技巧七 例：已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋ y 2 2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤ a 2＋ b 2 2 。 同时还应化简 1＋y 2 中y 2前面的系数为 1 2 ， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 2 2 ＝ 2 x · 12 ＋y 22 下面将x ， 12 ＋y 2 2 分别看成两个因式： x · 1 2 ＋y 2 2 ≤x 2＋( 12 ＋y 2 2 )22 ＝ x 2＋y 22 ＋1 2 2 ＝3 4 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 34 2 17 18 技巧八： 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1 ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31 t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16 t ≥2 t · 16 t ＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1 18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥ 1 18 点评：①本题考查不等式 ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+ ∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关 系，由此想到不等式ab b a ≥+2 ） （+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 技巧九、取平方 例: 求函数152152()22 y x x x =-+-<<的最大值。 解析：注意到21x -与52x -的和为定值。 22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-= 又0y >，所以022y <≤ 当且仅当21x -=52x -，即3 2 x = 时取等号。 故max 22y =。 应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知a 、b 、c R + ∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121a b c bc a a a a -+-==≥，可由此变形入手。 解：Q a 、b 、c R + ∈，1a b c ++=。∴ 1121a b c bc a a a a -+-==≥ 。同理121ac b b -≥，121ab c c -≥ 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bc ac ab a b c a b c ??????---≥= ??????????? g g 。当且仅当13a b c ===时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且 19 1x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 解：令,0,0, x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky ∴++= 103 12k k ∴- ≥? 。16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若 )2 lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+= ?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 19 20 2 1 = Q （p b a b a =?>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2 1lg )2lg( ∴R>Q>P 。
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