初二数学
七年级第八章三角形内角和定理及推论
一、三角形三个内角的关系
三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。
⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同）
（2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。
（3）度量
实际上，有可能：
折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角;
剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角；
度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。
以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。
事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进
行 _________。
二、证明三角形的内角的和等于180°
1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这
样的提示：
把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同
旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中
的线，辅助线一般画成____线。
由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。
（2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上
E
B
C A
D
图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上
图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上
（3） （4）
图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。
作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四
个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达：
1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< >
2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < >
3、过A 点作DE ∥BC 。 < >
4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < >
5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。
2.证明：
请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°”
至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他
问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。
三角形内角和定理
表达式： △ABC 中
∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________.
三．
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）
推论
2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
表达式：∵△ACB 中，∠A +∠
B=90°
E B
C B
∴∠C=90°（即△ACB 是直角三角形）
推论3：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
表达式：△ACB中，∠ACD=∠A+∠B 推论4：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
表达式：△ACB中，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
结合教材P82内容，解决下列问题：
1._____________________________________________________________叫做三角形的外角。注意：同一顶点处虽然有两个外角，但我们通常指一个。
在上图中，延长CA到点E,得到内角∠BAC相邻的外角∠BAE，再根据推论3、推论4，分别写出它们各自的几何表达式。
推论3的：________________________________________________
推论4的：_________________________________________________
2证明上面四个推论：
推论1：_____________________________________________________
推论2：______________________________________________________
推论3：______________________________________________________
推论4：______________________________________________________
四三角形内角和定理及其推论的应用
1.三角形内角和定理及推论的作用
1）在三角形中，利用三角形内角和定理，已知两角求第三角或已知各角之间的关系求各角。
2）在直角三角形中，已知一个锐角利用推论1求另一个锐角或已知两个锐角的关系，求这两个锐角。另外，推论1常与同角（等角）的余角相等结合来证角相等。
3）利用推论4证三角形中角的不等关系。
2.阅读例题
例1.已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。
另解：同上可得到∠1+∠2=45°
∴∠3=∠1+∠2=45°（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）
∵∠AOB+∠3=180°（平角定义）
∴∠AOB=180°-∠3=180°-45°=135°
∴∠AOB=135°
例2．AB与CD相交于点O，求证：∠A+∠C=∠B+∠D
思路分析：在△AOC中，
∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角定理）
在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理）
∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）, ∴∠A+∠C=∠B+∠D 这道几何题是一对对顶三角形组成的几何图形．因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形内角和定理，探索思路，使问题解决了．可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．
揭示思路：从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”．
结合图形，连CD，立即可发现，∠B+∠E=∠1+∠2
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理）
3.教材p83例5可归纳出一个定理：__________________________.。
五．专题检测
㈠填空
1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于______度。
2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，这个三角形是三角形。
3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。
4、三角形的三个内角中最多有个锐角，最多有个直角，个钝角。
5、一个三角形的最大内角不能超过度，最小内角不能大于度。
6、已知三角形的一个外角是88°，按角分，这个三角形是（）
7、已知△ABC，
①若∠A=50°∠B=60°, 则∠C=___。
②若∠A=50°∠B = ∠C , 则∠C =______.
③若∠A=50°，∠B-∠C=10°，则∠B =____
④若∠A+∠B=130°，∠A-∠C=25°，则∠A =____，∠B =____，∠C=____。
⑤已知：∠C=2∠B，∠B比∠A大20°，∠A=__,∠B=__,∠C=__。
9、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，求∠C的外角。
9、△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角等于_________
10、△ABC中，∠B=∠C=50°，AD平分∠BAC，则∠BAD=_______.
㈡选择
11、已知，在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°，则这个三角形是()
A、等边三角形
B、等腰三角形
C、不等边三角形
D、等腰直角三角形
12、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠B=（）
A、30°
B、60°
C、90°
D、120°
13、一个三角形有一内角大于其相邻的外角，这个三角形是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、斜三角形
㈢解答
14、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B大30°，求∠C的外角。
15、等腰三角形ABC一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分.求这个等腰三角形的腰长及底边长。
㈣证明
16、如图，∠A+10°=∠ACB, ∠B=42°,∠ACD=64°.
求证：AB∥CD.
C
B