第一章随机事件与概率
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；
A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。
2.设31)(=A P ，2
1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：
（1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P
解:
（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P
（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375
.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他
拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
10
3819810991109101)
|()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+=
++=∴
++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥
Θ
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。
)
|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++=
53314354415451=
??+?+=
4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：
（1）直到第r 次才成功；
（2）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功； 解: (1)p p P r 1)1(--= (2)r n r r n p p C P --=)1(
5. 设事件A ，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a ）必然对，（b ）必然错，（c ）可能对也可能错，并说明理由。
（1）若A ，B 互不相容，则它们相互独立。 （2）若A 与B 相互独立，则它们互不相容。 （3）()()0.6P A P B ==，则A 与B 互不相容。 （4）()()0.6P A P B ==，则A 与B 相互独立。 解: (1)b, 互斥事件,一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件,
(3)b, )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 若A 与B 互不相容,则
0)(=AB P ,
而12.1)()()()(>=-+=+AB P B P A P B A P
(4)a, 若A 与B 相互独立,则)()()(B P A P AB P =, 这时84.036.02.1)()()()(=-=-+=+AB P B P A P B A P
6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：
(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；
(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解: (1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B=A1B+A2B 且A1，A2互斥
∴
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=1444
23214414233++?
+++++?+=
(2)P=3／5
7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。 解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.
第二章随机变量及其概率分布
1.设X 的概率分布列为：
F(x)为其分布的函数，则F （2）=
解: 3.0}2{}1{}0{}2{)2(==+=+==≤=X P X P X P X P F
2．设随机变量X 的概率密度为f (x )=??
???≤>,
1,0;1,2x x x c
则常数c 等于
解:由于1122===??+∞+∞
∞
-c dx x
c dx x c ,故1=c 3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少 (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少 (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少 (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少 解: (1)2304
.04.06.0}2{3225===C X P
(2)66304
.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445=--==-=-=≥C X P X P X P
(3)
2
33
532254154.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{C C C X P X P X P X P ++?==+=+==≤ =++=
(4)
98976.04.01}0{1}1{5
=-==-=≥X P X P
4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。
解: 由0321616)2(441622≥--=+??-=?k k k k 可得:2,1≥-≤k k 所以5
2
}2{=≥K P
5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的
概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
解:
0,2.0)(~2.0>=-x e x f X x
2
210
2.0112.01}10{1}10{---=+-=-=≤-=>?e e dx e X P X P x
4
220
10
2.02.0}2010{----==≤≤?e e dx e X P x
6. 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2
（2）确定c ，使得 P(X>c) = P(X )5.0(1)1()5.0()1()23 2()235( }52{Φ+-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 6915.018413.0+-== 1 1)5.3(2)5.3()5.3()23 4()2310(}104{=-Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-X P ) 5.2()5.0(1)23 2()232(1}2{1}2{-Φ+-Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P =6977.06915.09938.01)5.2(1))5.0(1(1=+-=Φ-+Φ-- 5.05.01)23 3( 1}3{1}3{=-=-Φ-=≤-=>X P X P ) 23 (}{)23(1}{1}{-Φ=<=-Φ-=≤-=>c c X P c c X P c X P 所以 5.0)23 ( =-Φc 故 3=c 7．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ，Y 的分布律分别为 试求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律. 解: 8.思考题:举出几个随机变量的例子。 解：抛一枚硬币，出现正面与反面的概率；掷一枚筛子每个面朝上的概率； 第三章多维随机变量及其概率分布 1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 解: 2.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1)6.0)1(==X P ； (2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 解: (1)6.02.01.0}1{=++==b X P ,3.0=b (2)1}1{}0{==+=X P X P ,a X P X P +===-==3.04.0}1{1}0{,1.0=a 3.)(Y X 、的联合密度函数为：?? ?<<<<+=他其0 1 0,10)(),(y x y x k y x f 求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 解: (1)1)(),(101 ==+=? ???+∞∞-+∞ ∞ -k dxdy y x k dxdy y x f ,故1=k (2) 81 )(}21,21{21 021 0= +=< 31 )(}1{1010 = +=<+? ? -x dxdy y x Y X P (4) 83 )(}21{21 010= += 4．)(Y X 、的联合密度函数为：?? ?<<<<=他其0 0,10),(x y x kxy y x f 求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。 解: (1)1 ),(2 1 00 == =? ? ??+∞∞-+∞∞ -k x kxydxdy dxdy y x f ,故2=k (2) 2412}1{21 01= =<+?? -y y xydxdy Y X P (3) 641 2}21{21 00= = +∞ <<∞-+∞<<∞-++= y x y x y x f ,) 1)(1(1 ),(222π 解: ) 1(1 )1)(1(1),()(2222x dy y x dy y x f x f X +=++==??+∞ ∞ -+∞ ∞-ππ )1(1 )1)(1(1),()(2222y dx y x dx y x f y f Y += ++==? ? +∞ ∞-+∞ ∞ -ππ 6. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。 ?? ?<<=-他 其 0),(x y e y x f x 解: x x x X xe dy e dy y x f x f --+∞ ∞-===??0),()(,)0(+∞< y y x X e dx e dx y x f x f -+∞ -+∞ ∞ -===??),()(,)0(+∞< 7. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1) 3/1)1(==Y P ； (2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。 解: (1)3161}1{=+==a Y P ,61 =a (2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.(X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c ，并讨论X 与Y 是否相互独立 ?? ?<<<<=他 其 10,10),(2 y x cxy y x f 解: 16 ),(101 2== =? ? ?? +∞∞-+∞ ∞ -c dxdy cxy dxdy y x f ,c=6 x dy xy dy y x f x f X 26),()(1 2===??+∞ ∞ -,21 236),()(y dx xy dy y x f y f Y ===?? +∞ ∞ - ),()()(y x f y f x f Y X =?,故X 与Y 相互独立. 9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗反之呢 解:联合分布可以得到边缘分布,反之不真. 第四章 随机变量的数字特征 1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是：B （A ）1； （B ）； （C ）； （D ）2. 2.设X 有密度函数： ?? ???=08 3)(2 x x f 他 其 42≤≤x , 求 )1 ( ),12(),(2 X E X E X E -,并求X 大于数学期望)(X E 的概率。 解:2 152432383)(44 2 2===?x dx x x X E 824 )8 1163(83)12()12(344 22=-=-=-?x x dx x x X E 41 24818 31)1(422 22===?x dx x x X E 6718 31)5.7(1)5.7())((4 2 2 -=-=-=≤-=>=>? dx x X P X P X E X P 3.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 已知65.0)(=XY E ， 则a 和b 的值是：D （A ）a=, b=； （B ）a=, b=； （C ）a=, b=； （D ）a=, b=。 4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。 ?? ?<<<<=他其 020,10),(y x xy y x f 解： 32 )(2 1 2 102 = =?=????ydy dx x xydxdy x X E 34)(2 21 102 = =?=??? ?dy y xdx xydxdy y Y E = +)1(XY E 5．设X 有分布律： 是：D 则 ) 32(2+-X X E （A ）1；（B ）2； （C ）3； （D ）4. 6.丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求DX EX ,. 解：X 的分布为 6,5,4,3,2,1,6 1 ) (===k k X P 27 621616615614613612611)(==?+?+?+?+?+?=X E 6 91 616615614613612611)(222222= ?+?+?+?+?+?=X E 6 19 ))(()()(22=-=X E X E X D 7.X 有密度函数：? ??+=04/)1()(x x f 他其2 0≤≤x ，求 D(X). 解：6741)(2 0=+? =?dx x x X E ，35 41)(2022=+?=?dx x x X E 36 11 )67(35))(()()(222= -=-=X E X E X D 8.设(2)X P :,)6.0,3(~B Y ,相互独立，则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是：A （A ）和； （B ）-1和4； （C ）和； （D ）和. 9. 设)3,4(~),,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求 b a ,的值。 解: B （A ） 0和8； （B ） 1和7； （C ） 2和6； （D ） 3和5. 10．下列结论不正确的是（B ） （A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立； （C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立； （D ）)()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关； 11．若 0),(=Y X COV ，则不正确的是（ D ） （A ）)()()(Y E X E XY E =；（B ）)()()(Y E X E Y X E +=+； （C ）)()()(Y D X D XY D =；（D ）)()()(Y D X D Y X D +=+； 12．（Y X ,）有联合分布律如下，试分析X 与Y 的相关性和独立性。 解: 由于64 8 8}1{}1{=?=-=?-=Y P X P 而81}1,1{=-=-=Y X P 所以X 与Y 不独立. 由于0)(,0)(,0)(===XY E Y E X E ,所以0=ρ,X 与Y 不相关 13．)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的（ B ） （A ）必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。 14. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的（ A ） （A ） 必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要， 也不充分。 15.思考题：（1） 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与Y 不相关，但不独立。 ???<<=他其0 1 4/21),(22y x y x y x f （2）设),(Y X 有?????<<=他其01 45 ),(2y x y y x f ，试验证)()()(Y E X E XY E =，但 X 与Y 不相互独立 讨论)()()(Y E X E XY E =与独立性，相关性与独立性之间的关系 解:(1) 0421)(1 11 22=? =??-x dxdy y x x X E 9 7421)(11122=?=??-x dxdy y x y Y E =?=??-1 11 224 21)(x dxdy y x xy XY E 0,0=ρ,不相关 ??? ??≤≤--==?011,8 ) 1(21421)(22122x x x dy y x x f x X ??? ??≤≤==?- 10,2 7421)(2 5 2y y dx y x y f y y Y 显然:),()()(y x f y f x f Y X ≠?,所以X 与Y 不独立. (2)解:若X 与Y 相互独立,则)()()(Y E X E XY E =,反之不成立. 独立一定不相关,反之不真. 第五章大数定律及中心极限定理 1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。 解: 设第i 只元件的寿命为i X (30,...2,1=i ),225=i EX ,50625=i DX ,则 ∑==30 1 i i X Y 是这30只元件寿命的总 合,675030*225==EY ,151875030*50625==DY , 则所求的概率为: 0516 .0)63.1(1}1518750 67508760225 306750 {}8760{}8760{30 1 30 1 =Φ-=-≥ ?-=≥=≥∑∑==i i i i X P X P Y P 2.某一随机试验，“成功”的概率为，独立重复100次，由中心极限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。 解 : 设 成 功 的 次 数 为 X ,则 )04.0,100(~B X ,4=np ,9596.196.0*4==npq 8461.0)02.1(9596.1469596.14}6{=Φ=? ?????-≤-=≤X P X P 第六章样本与统计量 1.有n=10的样本；， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则样本均值X = ，样本均方差=S ，样本方差=2S 。 2．设总体方差为2b 有样本n X X X ,,,21Λ，样本均值为X ，则 =),(1X X Cov n b 。 3. 查有关的附表，下列分位点的值：9 .0Z =，)5(21.0χ= ，)10(9.0t = 。 4．设n X X X ,,,21Λ是总体)(2m χ的样本，求)(),(X D X E 。 解: n m X D m X E = =)(,)( 5．设总体),(~2σμN X ，样本n X X X ,,,21Λ，样本均值X ，样本方差2S ，则 ~/n X σμ - ， ~/n S X μ - )1(-n T ， ∑=-n i i X X 1 2 2 ) (1 σ～)1(2-n χ， ∑=-n i i X 1 2 2)(1 μσ～)(2 n χ 第七章 参数估计 1.设总体X 的密度函数为：???? ?≤≤=-他 其01 0)(1 x x x f θθ，有样本 n X X X ,,,21Λ，求未知参数θ 的矩估计。 解:1)(1 01 +=?=?-θθ θθdx x x X E ,故θ 的矩估计:2 1??? ? ??-=x x θ 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。 解:2.5=x ,8.62 =s , λ1 = EX , 21 λ= DX ,所以 1923.01?==x λ ,3835.01?==s λ 3.设总体X 的密度函数为：???? ?≤≤+=他 其01 0)1()(x x x f θ θ，有样本 n X X X ,,,21Λ，求未知参数θ 的极大似然估计。 解:由题设,似然函数为: θθ θθ)...()1()1(()211 n n n i i x x x x L +=+=∏= )ln ()1ln()(ln 1 ∑=++=n i i x n L θθθ,02ln )1(2)(ln 1 =++=∑=θθθθθn i i x n d L d 解得θ的极大似然估计为21 )ln 1(?∑=+ =n i i x n θ 4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度 ),(~2σμN X ,抽取9根纤维，测量其纤度为：，，，，，，，，，试求μ的置信 度为95.0的置信区间，（1）若22048.0=σ,（2）若2σ未知 解: (1)3967.1=x ,05.0=α的置信区间为 []4281.1,3653.196.1,96.1=??? ?? ?+-n x n x σσ (2) 3967.1=x ,0049.02=s ,05.0=α时,3060.2)8(025.0=t 置信区间为:[]4505.1,3429.1307.03060.23967.1,307.03060 .23967.1=?? ? ?? ?+- 5. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得075.12=x ㎜，s = ㎜,设另件长度),(~2σμN X ,取置信度为95.0， （1）求2σ的置信区间，（2）求σ的置信区间。 解:00244036.02=s ,0366054 .0)1(2=-s n ,262 .6)15(2975.0=χ, 448.27)15(2025.0=χ 所以2σ置信区间为: []0058.0,0013.0262 .60366054.0,448 .270366054.0=?? ? ???. σ的置信区间为:[,] 第八章假设检验 1.某种电子元件的阻值（欧姆）)400,1000(~N X ,随机抽取25个元件，测得平均电阻值992=x ，试在1.0=α下检验电阻值的期望μ是否符合要求 解:检验假设:1000:0=μH ,1000:1≠μH 由已知可得:25 /201000 992-=-= u 查表得:64.105.0=u ,故拒绝原假设, 电阻值的期望μ不符合要求 2.在上题中若2σ未知，而25个元件的均方差25=s ，则需如何检验，结论是什么 解:由于方差未知,故用t 检验. 检验假设: 1000:0=μH ,1000:1≠μH 6.15 /251000 992-=-= t 查表 7109.1)24(05.0=t 由于7109.16.1<=t ,故接收原假设, 电阻值的期望μ符合要求, 3.成年男子肺活量为3750=μ毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为 3808=x 毫升，设方差为22120=σ，试检验肺活量均值的提高是否显著 （取02.0=α） 解: 检验假设: 3750:0=μH ,3750:1≠μH ,1615.220 /12037503808=-= u 查表得: 33.201.0=u ,故接收原假设,即提高不显著. 强化实践能力培养的等级评价标准 总分为30分，按3个档次给分，依据学生对作业的完成情况与读书报告写作情况先确定其所属档次，再根据题目具体完成情况给分。题目完成情况按照应用知识点是否正确，结果是否正确给分。结果不对，但依然应用了正确知识点，认为基本正确。 第一档（优）：（20-30分） （1）每章至少完成了一道大纲作业题，题目完成基本正确，给予满分30分。 （2）如果能完成8道以上大纲作业题（允许存在部分基本准确题目）外加一篇对课程有基本准确认识的读书报告，也给予满分30分。（3）每业章至少完成了一道大纲作题，部分题目结果不准确，但应用了正确的课程知识点，识大纲作业完成情况给予23-28分。 第二档（良）：（10-20分） （1）所完成大纲作业题涉及不超过50%章节且没有读书报告。（2）未完成任何大纲作业题目仅提交读书报告最多给20分。 （3）完成5道以下大纲作业题加读书报告给15-20分。 第三档（差）（0-10分） （1）仅完成5道以下大纲作业题。 （2）没有自己的课程读书报告。 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 自考概率论与数理统计（经管类）考试大纲 第一章随机事件和概率 （一）考试内容 掌握随机事件之间的关系及其运算；理解概率的定义，掌握概率的基本性质，会用这些性质进行概率的基本计算；理解占典概型的定义，会计算简单的古典概型问题；理解条件概率的概念，会用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式进行概率汁算；理解事件独立性的概念·会用事件独立性进行概率计算． 重点：随机事件的关系与运算、概率的概念、性质；条件概率；事件独立性的概念，乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式．难点：古典概型的概率汁算．全概率公式、贝叶斯公式，事件独立性的概念． （二）考试要求 (1)随机事件的概念及表示，要求达到“识记”层次 (2)事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念，要求达到“领会”层次 (3)和事件、积事件、对立事件的基本运算规律．要求达到“简单应用”层次 (4)频率的定义，频率的基本性质，要求达到“领会”层次 (5)概率的定义，要求达到“领会”层次 (6)概率的性质，要求达到“简单应用”层次 (7)占典概型的定义，要求达到“领会”层次 (8)简单古典概型的概率汁算，要求达到“简单应用”层次 (9)条件概率的概念，要求达到“领会”层次 (10)乘法公式，会用乘法公式进行有关概率的计算，要求达到“简单应用”层次 (11)全概率公式与贝叶斯公式，会用这两个公式进行汁算，要求达到“综合应用”层次 (12)事件独立性的概念，要求达到“领会”层次 (13)用事件的独立性计算概率．要求达到“简单应用”层次 (14)贝努利概型，要求达到“简单应用”层次 第二章随机变量及其概率分布 （一）考试内容 理解随机变量及其分布函数的概念；理解离散型随机变量及其分布律的概念；掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；掌握连续型随机变量及其概率密度函数的概念、性质及有关计算；掌握均匀分布、指数分布及其计算；熟练掌握正态分布及其计算；了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布， 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 《概率论与数理统计》课程教学大纲 （2002年制定 2004年修订） 课程编号： 英文名：Probability Theory and Mathematical Statistics 课程类别：学科基础课 前置课：高等数学 后置课：计量经济学、抽样调查、试验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论 学分：5学分 课时：85课时 修读对象：统计学专业学生 主讲教师：杨益民等 选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年（第三版） 课程概述： 本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。由于其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生考试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。 教学目的： 通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的表述、性质、数字特征及其应用，一维随机变量函数的分布、二维随机变量的和分布、顺序统计量的分布。理解数学期望、方差、协方差与相关系数的本质涵义，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的性质，熟练运用各种计算公式。了解大数定律和中心极限定量的内容及应用，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，能用所掌握的方法具体解决所遇到的各种社会经济问题，为学生进一步学习统计专业课打下坚实的基础。 教学方法： 本课程具有很强的应用性，在教学过程中要注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念。由于本课程是研究随机现象的科学，学生之前从未接触过，学习起来会感到难度较大，授课时应突出重点，讲清难点。要使学生明白，本课程主要研究哪些方面的问题，从何角度、用何原理和方法进行研究的，是怎样研究的，得到哪些结论，如何用这些方法和结论处理今后遇到的社会经济问题。在教育中要坚持以人为本，全面体现学生的主体地位，教师应充分发挥引导作用，注意随时根据学生的理解状况调整教学进度。授课要体现两方面的作用：一是为学生自学准备必要的理论知识和方法，二是激发学生学习兴趣，引导学生自学。在教学中要体现计算机辅助 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 《概率论与数理统计》教学大纲 一、内容简介 《概率论与数理统计》是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是理工学科和社会学科部分专业的基础课程。课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在科研、生产、社会等各领域中的具体应用。课程的任务在于使学生建立随机现象的基本概念和描述方法，掌握运用概率论和统计学原理对自然和人类社会的现象进行观察、描述和预言的方法和能力。为学生树立基本的概率论和统计思维素养，以及进一步在相关方向深造，打下基础。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过：高等数学、线性代数。这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结 合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本要求 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。通过对本课程的学习，学生应该建立用概率和统计的语言对随机现象进行描述的基本概念，熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： （一）随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和 运算。 2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率 计算。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公 式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 5、掌握伯努利概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 1、理解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律 及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 《概率论与数理统计》教学大纲（2019年） 一、随机事件和概率 1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式． 3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 二、随机变量及其分布 1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率，其中随机变量X 的分布函数为F (x ) = P { X ≤ x }． 2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用． 3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应 用，其中参数为λ的指数分布的概率密度为???<≥=-0 , 00,e )(x x x f x λλ． 5．会求随机变量函数的分布． 三、多维随机变量及其分布 1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率． 2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件． 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义． . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+-概率论与数理统计第4章作业题解
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