2020-2021北京市初三数学上期末试题(附答案)
一、选择题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．正三角形
B ．平行四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
3．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=?，则ABD ∠=（ ）
A ．55?
B ．45?
C ．35?
D ．65?
4．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是
（ ）
A ．y ＝﹣2（x +1）2+1
B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1
C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1
D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣1
5．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且2
2
(714)(367)8m m a n n -+--=，则
a 的值等于
A ．5-
B ．5
C ．9-
D ．9
6．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A ．黄河入海流 B ．锄禾日当午 C ．大漠孤烟直 D ．手可摘星辰 7．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（ ） A ．将y ＝﹣2x 2+1的图象向下平移3个单位得到y ＝﹣2x 2﹣2的图象 B ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y ＝﹣2（x+2）2的图象 C ．将y ＝﹣2x 2的图象沿x 轴翻折得到y ＝2x 2的图象
D ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2+1的图象沿y 轴翻折得到y ＝﹣2（x+1）2﹣1的图象 8．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y
﹣1.59
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个解x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.6 9．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3 B ．1、﹣3 C ．﹣1、﹣3 D ．1、3 10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ） A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．108°
11．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150
B ．100（1+x ）2＝150
C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150
D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝150
12．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
A ．4－9
π
B ．4－
89
π C ．8－
49
π D ．8－
89
π 二、填空题
13．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为
_____．
14．己知抛物线2
114
y x =
+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2
114
y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.
15．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心，AD 长为半径画?AC
，再以BC 为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S 1，阴影部分②的面积为S 2，则图中S 1﹣S 2的值为_____．(结果保留π)
16．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．
17．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
18．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．
20．已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．三、解答题
21．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；
(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．
22．如图，PA，PB是圆O的切线，A,B是切点，AC是圆O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
23．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
24．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长是1.
（1）画出△ABC关于原点中心对称的得到△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于C点顺时针旋转90°的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求出B点旋转后所形成的弧线长．
25．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分別比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A ．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】
A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故答案选：D. 【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形， 轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=?∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=?，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数． 【详解】 ∵35C ∠=?
∴35BAD C =∠=?∠ ∵AB 是圆O 的直径 ∴90ADB ∠=?
∴18055ABD ADB BAD =?--=?∠∠∠ 故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．
4．B
解析：B 【解析】 【详解】
∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，
故选B．
【点睛】
二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
5．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【详解】
A、是必然事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是不可能事件，故选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;
B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;
C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;
D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
仔细看表，可发现y的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．
【详解】
解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选C．
【点睛】
本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．
【详解】
解：∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，
∴-b+3=0，2+2a=0，
解得a=-1，b=3，
故选A．
【点睛】
用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．
10．C
解析：C
【解析】
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是360
5
=72度，
故选C．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100（1+x），三月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．
【详解】
设二、三两个月每月的平均增长率是x．
根据题意得：100（1+x）2＝150，
故选：B．
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a （1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
12．B
解析：B
【解析】
试题解析：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S扇形AEF=
2
80?28 3609
ππ
=，
S△ABC=1
2
A D?BC=
1
2
×2×4=4，
∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-8
9π．
二、填空题
13．8【解析】【分析】首先求出AB的坐标然后根据坐标求出ABCD的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3设y＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A点的坐标是（﹣10
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC的面积＝1
2
×4×4＝8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
14．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解
解析：5
【解析】
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出
P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.
【详解】
解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．
∵点P′在抛物线上，
又∵点到直线之间垂线段最短，MF=2
2
(30)(32)
-+-=2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．
故答案为5.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.
15．π【解析】【分析】如图设图中③的面积为S3构建方程组即可解决问题【详解】解：如图设图中③的面积为S3由题意：可得S1﹣S2＝π故答案为π【点睛】本题考查扇形的面积正方形的性质等知识解题的关键是学会利
解析：1 2π
【解析】
【分析】
如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．【详解】
解：如图，设图中③的面积为S3．
由题意：
2
13
2
23
1
··2
4
1
··1
2
S S
S S
π
π
?
+=
??
?
?+=
??
，
可得S1﹣S2＝1
2π，
故答案为1
2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.
16．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-
半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面
解析：16﹣4π
【分析】
恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．
【详解】
解：如图．
2+2=4，
恒星的面积=4×4-4π=16-4π．
故答案为16-4π．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．
17．【解析】【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系列方程求解【详解】设此圆锥的底面半径为r根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr解得：r=1故答案为：1【点睛】本题考查了圆锥
解析：【解析】
【分析】
把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】
设此圆锥的底面半径为r．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr
1203
180
π?=，
解得：r=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0再由开口的大小由a的绝对值决定可求得a的取值范围【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上∴a＞0又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小∴|a|＞3
解析：4
【解析】
【分析】
由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．
解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，
∴a＞0，
又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，
∴|a|＞3，
∴a＞3，
取a＝4即符合题意
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．
19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m根据正方形的性质则可得出BC坐标代入二次函数y=ax2+c中即可求出a和c从而求积【详解】设正方形的对角线OA长为2m则B（﹣mm）C（mm）A（02
解析：－2．
【解析】
【分析】
设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数
y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-1
m
，
则ac=-1
m
2m=-2．
考点：二次函数综合题．
20．(﹣31)【解析】【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（hk）即可求解【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1∴﹣b=1根据二次函数的顶点式方程y
解析：(﹣3，1)
【解析】
【分析】
根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．
【详解】
解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，
∴﹣b=1，
根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)，
∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．
故答案为：(﹣3，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的
h、k所表示的意义．
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）1 6
【解析】
【分析】
列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
（1）树状图如下：
（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）
【点睛】
本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法
22．∠P=50°
【解析】
【分析】
根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为
8
83
3
π
-．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD ﹣S扇形OBC即可得到答案．
【详解】
解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=2222
8443
-=-=
DO OC
∴S△OCD=
434
22
??
=
CD OC
=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=1
6
×π×OC2=
8
3
π，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣8
3
π
，
∴阴影部分的面积为83﹣8
3
π
．
24．（1）图见详解；（2）图见详解；（3）3
2
π． 【解析】 【分析】
（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用弧长公式计算即可得出结果． 【详解】
解：（1）如图示，△A 1B 1C 1为所求； （2）如图示，△A 2B 2C 2为所求；
（3）∵△ABC 关于C 点顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2，每个小正方形边长是1, 由题图可知，半径3BC =，根据弧长的公式得：?2
23903632
0BB p p ′==′． 【点睛】
此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置和熟悉弧长公式是解题关键． 25．（1）50，25；（2）20 【解析】 【分析】
（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；
（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t ，化为关于t 的一元二次方程，求解出t ，再根据a%＝t ，求得a 即可． 【详解】
（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得：
20023006105000x x ?+?=
解得：25x = ∴250x =
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． （2）由题意得：
5030%13%2001%2540%1%30012%10800a a a a ??+?++??+?+=
∴1013%1%101%12%36a a a a ?+?++?+?+= 设%a t ＝，则方程化为：22101431013236t t t t +++++= ∴2253580t t +=﹣
解得 1.6t =﹣（舍）或20%t = ∴20a =． 【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．