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桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨作者：冉晴等来源：《建筑科技与经济》2014年第01期摘要：强震下桥梁的破坏和倒塌，造成的人员伤亡和经济社会效益是不容忽视的；另一方面，随着桥梁结构体系越来越复杂和延性抗震设计理念的转变，都使得桥梁非线性抗震验算越来越受到工程师的重视。
本文回顾了桥梁非线性动力学问题的发展，总结了目前桥梁非线性抗震验算方法的优、缺点，着眼于非线性系统理论及最新成果，通过volterra级数在非线性系统理论中的成果，探讨了volterra级数在桥梁工程的运用的可行性及优越性，并提出了volterra 级数运用于桥梁结构的关键性问题。
关键词：桥梁；非线性动力学；volterra级数；非线性频率响应函数1.引言我国广阔、复杂的地貌，造就了多山多河的地形，为了方便人们的出行，桥梁作为可以跨谷跨河的工程结构物得到了广阔的发展。
其中桥梁动力学问题分析作为桥梁分析中重要的一环，关系到桥梁功能的正常使用和生命财产安全，被研究学者和设计工程师重点关注着。
在2008年我国汶川8.0级地震，有24条高速公路、6140座桥梁受损，导致了69225人遇难，4600多万人受灾[1]，造成难以估计的损失。
只进行桥梁线性动力分析已经不满足需求，因此破坏性地震下桥梁的非线性动力验算愈来愈得到工程人员的重视。
另一方面，现代桥梁体系延性设计的理念的转变、减隔震支座的采用和大量大跨桥梁复杂新体系的出现，都决定着桥梁非线性动力响应分析的必要性。
2.桥梁非线性动力响应发展经过了各界研究学者的1个多世纪的探索，从1900年日本提出的采用静力等效力来模拟地震力，到现代能够比较完整的考虑地震三大主要效应（峰值、频率、持时）的时域分析方法和频域分析方法，对结构地震动力的线性响应考虑也愈趋细致。
非线性动力响应不再满足叠加原理，表现为非常复杂的力学行为，如分叉、混沌现象。
这些理论和计算远远不理想，本文并不探讨。
第３６卷第４期２０２２年７月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３６N o ．４J u l ．２０２２收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ１３基金项目:国家自然科学基金(１１８６１０６８);新疆维吾尔自治区自然科学基金杰出青年基金项目(２０２２D ０１E １３)作者简介:罗紫洋(１９９６Ｇ),男,新疆昌吉人,在读硕士,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :４６６９４９８４１＠q q ．c o m．∗通讯作者:张新东(１９８１Ｇ),男,江苏徐州人,教授,硕士生导师,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :L i Ｇa o yu a n １１２６＠１６３．c o m ㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２２)０４Ｇ００１０Ｇ０５V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析罗紫洋,安文静,张新东(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐８３００１７)摘要:本文研究了一类V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及其理论分析．格式构造方面,利用有限差分方法进行时间和空间离散,对于积分项采用复合梯形求积公式进行处理．最后,给出了数值格式的稳定性分析和误差估计,其误差的收敛阶为Ο(τ＋h ４),其中τ为时间步长,h 为空间步长．关键词:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程;有限差分;复合梯形求积公式;稳定性;误差分析中图分类号:O ２４１．８２㊀㊀㊀文献标志码:AN u m e r i c a l S c h e m eC o n s t r u c t i o na n dT h e o r e t i c a lA n a l y s i s f o r I n t e g r a l ＧD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o fV o l t e r r aT y pe L U OZ i Ｇy a n g ,A N W e n Ｇj i n g ,Z HA N G X i n Ｇd o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,an u m e r i c a l s c h e m ec o n s t r u c t i o na n dt h e o r e t i c a l a n a l y s i sw a sm a i n l yd e v e l o p e d f o rs o l v i n g t h e V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ．I nt e r m so fs c h e m ec o n Ｇs t r u c t i o n ,t h e f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o ni s s u e df o rt i m ea n ds pa c ed e r i v a t i v e ,a n dt h e c o m p o u n d t r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a i s s u e d f o r i n t e g r a l t e r m．F i n a l l y,t h eu n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c ew e r e g i v e n ．I na d d i t i o n ,t h ee r r o r a n a l y s i sw a s c a r r i e do u t ,w h i c h s h o w e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e o r d e rw a s O (ι＋h ４),w h e r e ιw a s t h e t i m e s t e p ,a n d h w a s t h e s p a c e s t e p．K e y wo r d s :V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f i n i t ed i f f e r e n c e ;c o m p o u n dt r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a ;s t a b i l i t y ;e r r o r a n a l ys i s 0㊀引言V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E s )源于１９世纪末２０世纪初,是在竞争或人口增长模型中所引入的一类具有积分内核的方程．V I D E s 中的积分项具有记忆性质[１],这一性质是其在物理领域有着广泛应用的重要原因．例如:粘弹性方程[２]㊁具有记忆性的热传导方程[３Ｇ４],以及核反应堆中的热交换过程等．由于求解此类方程的解析解较为困难,因此研究此类方程的数值解具有重要的理论价值和实际意义．处理微分Ｇ积分方程的主要方法为差分法．１８９７年,V o l t e r r a [５]在其著作中对该类方程的数值解法已有所研究．１９７４年,B r u n n e r [６]采用隐式R u n g e ＧK u t t a 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并分析了此类方程数值解的稳定性．１９９２年,陈传淼等[７]利用内积近似一类微分Ｇ积分方程的积分项,并对空间项采用有限元方法,得到了相应的误差估计．１９９３年,汤涛[８]运用梯形求积技巧构造了一类微分Ｇ积分方程中积分项的数值格式,使其时间误差收敛阶可以达到Ο(τ３/２),并给出具体的理论分析．２００５年,S h a h m o r a d [９]基于T a u方法分析了线性F r e d h o l m ＧV o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的有效误差．２００６年,A m i r a l i ye v 等[１０]在均匀网格中构建V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并证明该格式的时间收敛阶为一阶均匀收敛．２００８年,徐大[１１]在希尔伯特空间中分析验证了有限差分方法求解线性V o l t e r r a 型方程的稳定性;同年,T a r i 和S h a h m o r a d [１２]基于勒让德多项式研究二维线性F r e d h o l m 积分方程,并给出了数值格式的误差边界．２０１０年,W a z w a z [１３]提出结合L a p l a c e 变换和A d o m i a n 分解法,构造非线性V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并通过实验证明该方法的有效性;与此同时,Z a r e b Ｇn i a [１４]利用S i n c 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并验证该方法所具有的优良性,不仅收敛速度较快,且不存在当使用其他数值方法时常见的不稳定问题．２０２１年,C i m e n 和C a k i r [１５]基于正交规则和积分恒等式构造了一类F r e d h o l m 型微分Ｇ积分方程一种新的差分格式,并分析证明该格式的稳定性和收敛性．２０２２年,S a n t r a 和M o h a Ｇpa t r a [１６]利用复合梯形公式逼近V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程中的积分项,使其误差时间收敛阶为Ο(τ)．本文考虑如下V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E ):∂u (x ,t )∂t －∂２u (x ,t )∂x ２＝ʏt０K (x ,t －s )u (x ,s )d s ＋f (x ,t ),(x ,t )ɪΩ;u (x ,０)＝φ(x ),∀x ɪ[０,L ];u (０,t )＝g １(t ),u (L ,t )＝g ２(t ),∀t ɪ(０,T ],ìîíïïïïïïïïïï(１)其中:Ω＝[０,L ]ˑ(０,T ],空间L ＞０,且时间T ＞０;积分核K (x ,t －s )在Ω上光滑且有界;f ,φ,g １和g ２为给定的光滑函数．1㊀紧致差分格式推导为方便起见,本文中不同地方的常数C 可以代表不同的数值．给定两个正整数M 和N ,定义h＝L/M 为空间变量x 的步长,τ＝T /N 为时间变量t 的步长,所以x j ＝j h ,j ＝０,１, ,M ,t n ＝n τ,n ＝０,１, ,N ．用u n j 和U nj 分别表示函数u 在点(x j ,t n )处的精确解和数值解．为了方便表达及书写,给出如下算子定义,δ２xU j ＝U j －１－２U j ＋U j ＋１h ２,H U j ＝１１２(U j －１＋１０U j ＋U j ＋１)＝(１＋h ２１２δ２x )U j ,㊀㊀j ＝１,２, ,M －１;U j ,j ＝０,M ．ìîíïïïï(２)由复合梯形求积公式可得ʏbag (t )d t ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t ig (t )d t ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]＋R ,(３)其中:R 为整个区间的截断误差．由T n ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]和中值定理可得R ＝ʏbag (t )d t －T n ＝－b －a １２τ２g ᵡ(ξ),ξɪ[a ,b ]．(４)引理１[１７]㊀假设s (x )ɪC ６[a ,b ],则有１１２(s x x (x j ＋１)＋１０s x x (x j )＋s x x (x j －１))－１h２(s (x j ＋１)－２s (x j )＋s (x j －１))＝h ４２４０s (６)(ξj ),其中:ξj ɪ(x j －１,x j ＋１),j ＝１,２, ,M －１．接下来对方程(１)进行逐项分析．对于方程(１)的时间项来说,利用T a y l o r 展开,可得∂u (x j ,t n )∂t n＝u (x j ,t n ＋１)－u (x j ,t n )τ＋O (τ)．(５)对于方程(１)的空间项来说,H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j＝δ２x u (x j ,t n ＋１)＋O (h ４)．(６)对于方程(１)的积分项而言,由式(３)和(４)可得１１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析ʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t iK (x j,t n－s )u (x j,s )d s ＝τ２ðn －１i ＝０[K (x j ,t n －t i )u (x j ,t i )＋K (x j ,t n －t i ＋１)u (x j ,t i ＋１)]＋O (τ２)．(７)如果对方程(１)作用H 算子,可得H ∂u (x j ,t n )∂t n－H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j ＝Hʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＋H f (x j ,t n ),进而由式(５)㊁(６)和式(７)可得H u n ＋１j－τδ２x u n ＋１j ＝H u nj＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j u i ＋１j ＋K n －i j u i j )éëêêùûúú＋H τf n j ＋R nj ,(８)其中:f nj ＝f (x j ,t n ),R n j ɤC (τ＋h ４)．省去式(８)中的截断误差,当j ＝１,２, ,M－１且n ＝１,２, ,N 时得到方程(１)的离散格式如下:H U n ＋１j －τδ２x U n ＋１j ＝H U nj ＋㊀H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j U i ＋１j ＋K n －i j U i j )éëêêùûúú＋H τf n j ,U ０j ＝φ(x ),U n ＋１０＝g １(t n ＋１),U n ＋１M ＝g ２(t n ＋１)．ìîíïïïïïï(９)2㊀稳定性分析本节将利用能量不等式的方法讨论数值格式的稳定性,并证明数值格式为无条件稳定．首先给出一些符号说明和引理．定义V h 为空间网格函数,V h ＝{V |V ＝(V ０,V １, ,V M ),V ０＝g １(t n ＋１),V M ＝g ２(t n ＋１)}．以下内积和范数在证明中将用到,(U ,V )＝h ðM －１j ＝１U jV j , U ２＝(U ,U )．引理１[１８]㊀假设U ɪV h ,则有－(δ２xU n H U n )ȡ２３δx U n ２．定理１㊀紧致差分格式(９)是无条件稳定的,并且满足如下不等式:H U n ＋１ ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p (),其中:C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．由式(９)可得H U n ＋１－τδ２xU n ＋１＝H U n ＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１U i ＋１＋K n －i U i )éëêêùûúú＋H τf n ,(１０)对式(１０)两边同乘H U n ＋１,并在Ω上积分可得(H U n ＋１,H U n ＋１)－τ(δ２xU n ＋１,H U n ＋１)＝(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１１)由引理１可知－(δ２xU n H U n )ȡ０．由式(１１)可得如下不等式,(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ,H U n ＋１))＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１２)接下来将用归纳法证明．由式(１２)可知,当n ＝０时,(H U １,H U １)ɤ(H U ０,H U １)＋τ(H f ０,H U １)．再由柯西Ｇ施瓦茨不等式可得H U １ ɤ H U ０ ＋τ H f ０ ɤC H U ０ ＋ H f ０ ()．假设对任意k ,k ɤn 时结论成立,即 H U k ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p ()．(１３)由式(１２),当k ＝n ＋１时,有(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．由上述不等式,结合式(１３)可得 H U n ＋１ ɤ２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷H U n＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋１ ＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋τ H f n ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p()＋τK x tT C H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p ()＋τ H f nɤ(C ＋τK x tT C ) H U ０ ＋(C ＋τK x tT C ＋τ)m a x ０ɤp ɤnH f p ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤnH f p(),其中,C 为常数．定理１证明完毕．3㊀误差估计本节将讨论数值格式的收敛性,并推导出数值格式的误差收敛阶为O (τ＋h ４)．记e nj ＝u n j －U n j ,j ＝０,１, ,M 且n ＝０,１, ,N ．定理２㊀假设u nj 为方程(１)的精确解,U n j 为离散格式(９)的数值解,则如下不等式成立, H e n ＋１jɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．用式(８)减去式(９),再由e nj 的定义可得H e n ＋１j －τδ２x e n ＋１j＝H e n j＋H [τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j e i ＋１j ＋K n －i j e i j )]＋R n j ．(１４)将式(１４)两边同乘H e n ＋１j,并在Ω上积分可得(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )－τ(δ２x e n ＋１j ,H e n ＋１j)＝(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１５)由引理１和式(１５),有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１６)类似定理１的证明,将采用归纳法．由式(１６)可知,当n ＝０时,可得(H e １j ,H e １j )ɤ(H e ０j ,H e １j )＋(R ０j ,H e １j ),再由柯西Ｇ施瓦茨不等式及R ０j ɤC (τ＋h ４)可得 H e １j ɤ H e ０j ＋R ０j ɤC (τ＋h ４)．假设对任意k ,k ɤn 时,结论成立,即 H e kj ɤC (τ＋h ４)．(１７)由式(１６),当k ＝n ＋１时,有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．由上述不等式,结合式(１７)可得 H e n ＋１jɤ H e nj＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e i ＋１j ＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e ij ＋ R n j ɤC (τ＋h ４)＋τK x tT (C (τ＋h ４))＋C (τ＋h ４)ɤm a x {C ,τK x tT C ,C }(τ＋h ４)ɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．定理２证明完毕．4㊀结论本文通过有限差分方法构造了一类V o l t e r r a型微分Ｇ积分方程的数值格式,分析了格式的稳定性和误差估计,得到其误差收敛阶为O (τ＋h ４)．相较于解决该问题原有的数值格式,在空间收敛阶上有进一步的提升．在今后的研究工作中,将以构建收敛速度更快,误差更低的数值格式为目标,并将此方法应用到分数阶微分Ｇ积分方程的数值求解．参考文献:[１]MO L F E R S D O R F L V．O ni d e n t i f i c a t i o no fm e m o r yk e r n e l s i n l i n e r t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o n [J ]．M a t h e Ｇm a t i c a lM e t h o d s i n A p pl i e dS c i e n c e s ,１９９４,１７:９１９Ｇ９３２．[２]R C N A R D Y M．M a t h m e a t i c a l a n a l ys i so fv i s c o e l a s t i c f l o w s [J ]．A n n u a lR e v i e w o fF l u i d M e c h a n i c ,１９８９,２１:２１Ｇ３６．[３]G U R T I N M E ,P I P K I N AC ．A g e n e r a l t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o nw i t h f i n i t ew a v e s pe e d [J ]．A r c h i v ef o rR a Ｇt i o n a lM e c h a n i c s a n dA n a l y s i s ,１９６８,３１:１１３Ｇ１２６．[４]M I L L E R R K．A ni n t eg r o Ｇd i f f e r e n t i a le qu a t i o nf o r g i r dh e a tc o n d u c t o r s w i t h m e m o r y [J ]．J o u r n a lo f ３１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析M a t h e m a t i c a l A n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,１９７８,６６:３１３Ｇ３３２．[５]V O L T E R R A V．S o p r aa l c u n e q u e s t i o n i d i i n v e r s i o n e d i i n t e g r a l i d e f i n i t i[J]．A n n a l i d iM a t e m a t i c aP u r ae d A p p l i c a t a,１８９７,２５:１３９Ｇ１７８．[６]B R U N N E R H．I m p l i c i t R u n g eＧK u t t am e t h o d s o f o p t iＧm a lo r d e rf o r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J]．M a t h e m a t i c s o fC o m p u t a t i o n,１９８４,４２:９５Ｇ１０９．[７]C H E NC M,T HOM E E V,WA H L B I NLB．F i n t e e lＧe m e n t a p p r o x i m a t i o n o f a p a r a b o l i c i n t e g r oＧd i f f e r e n t iＧa l e q u a t i o nw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h eＧm a t i c a l o fC o m p u t 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u a t i o ni n H i l b e r ts p a c e s[J]．N uＧm e r i s c h eM a t h e m a t i k,２００８,１０９:５７１Ｇ５９５．[１２]T A R IA,S HA HMO R A DS．Ac o m p u t a t i o n a lm e t hＧo d f o r s o l v i n g t w oＧd i m e n s i o n a l l i n e a rF r e d h o l mi nＧt e g r a le q u a t i o n so fs e c o n d k i n d[J]．T h e A n z i a mJ o u r n a l,２００８,４９:５４３Ｇ５４９．[１３]WA Z WA Z A M．T h ec o m b i n e dL a p l a c et r a n s f o r mＧA d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o df o rh a n d l i n g n o nＧl i n e a r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２０１０,２１６:１３０４Ｇ１３０９．[１４]Z A R E B N I A M．S i n c n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h eV o l tＧe r r ai n t e g r oＧd if f e r e n t i a le q u a t i o n[J]．C o mm u n i c aＧt i o n s i n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l aＧt i o n,２０１０,１５:７００Ｇ７０６．[１５]C I M E N E,C A K I R M．Au n i f o r m n u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i ng s i n g u l a r l yp e r t u r b e d F r e dh o l mi n t e g r oＧd i f fe r e n t i a l p r o b l e m[J]．C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２１,４２:１Ｇ１４．[１６]S A N T R AS,MOHA P A T R AJ．An o v e l f i n i t e d i f f e rＧe n c e t e c h n i q u ew i t h e r r o r e s t i m a t ef o r t i m e f r a c t i o nＧa l p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o f V o l t e r r at y p e[J]．J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a la n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２２,４００:１１３７４６．[１７]L U O M,X U D,L I L M．A c o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m ef o r a p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．A p p l i e d M a t h eＧm a t i c a lM o d e l l i n g,２０１５,３９:９４７Ｇ９５４．[１８]A K B A R M．C o m p a c t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e s o l u t i o n f o r a t i m e f a r a c t i o n a l p a r t i a l i n t e g r oＧd i f f e rＧe n t i a l e q u a t i o n w i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h e m a t i c a l M e t h o d si n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,２０１７,４０:７６２７Ｇ７６３９．[责任编辑:赵慧霞]４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷。
奇摄动Volterra型积分微分方程非线性边值问题
吴钦宽;林平健;孙福树;尤兴华
【期刊名称】《自然科学进展》
【年(卷),期】2005(015)003
【摘要】利用微分不等式理论,研究了一类Volterra型积分微分方程非线性边值问题.在适当条件下,构造出问题的上下解,得出解的存在性和渐近估计.
【总页数】5页(P375-379)
【作者】吴钦宽;林平健;孙福树;尤兴华
【作者单位】南京工程学院基础部,南京,210013;南京工程学院基础部,南
京,210013;南京工程学院基础部,南京,210013;南京工程学院基础部,南京,210013【正文语种】中文
【中图分类】O175
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5.奇摄动Volterra型积分微分方程非线性边值问题的渐近估计 [J], 王国灿;金丽因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第四章Volterra模型在本章中,我们首先回顾最常用的非线性建模方法.第 4.1.2节讨论多项式Volterra模型建模方法的特性,第4.2节详细解说记录下来的完全电非线性和电热非线性,以及建模非线性级数展开中所用的项.4.3节描述了如何应用Volterra分析方法计算一个普通发射放大器的失真,并且作为第一个研究案例,第 4.4介绍了在一个BJT CE放大器中,影响IM3失真的所有项的分析.同样的分析(对一个MESFET放大器)在第4.5节中介绍.4.1非线性建模为了能够分析功放的非线性行为,我们需要为实际的非线性电路,无源匹配以及偏置元件建立精确的模型.但此模型的获取又有一定难度.众所周知,N阶失真的数量与I-V和Q-V波形的N阶导数成比例(参照[1-3]).因此,为了达到精确的失真模拟,对有源元件的I-V和 Q-V波必须建模,因此不仅是直流值,高阶导数同样是正确且连续的.(为了便于参考,在早期的仿真模型中,第一阶导数可以不连续).此外,电容是很容易建模的,因此电荷没有存储,这将导致完全容性结点的非物理整流和自偏压.因此,特别是如果电容值同时取决于两个终端电压,将电容模拟等效于电荷平衡是十分重要的[5].由于无源元件在高频具有分布特性,很难在射频频率上对其建模.有损耗的传输线难以在时域上进行建模,一般而言,无源元件的建模在频域上更加精确.尽管如此,有些无源元件的频域仿真模型在高次谐波时也可能是不准确的,例如传输线宽上的阶跃变化,在电路分析中,可以采用测试电路的标准终端阻抗值来进行分析.简而言之,为了得到精确的失真模拟,从模拟模型中需要:1. 对N阶失真模拟来说, I-V 和Q-V波形的N阶导数必须足够精确.2. 结点阻抗的频率响应对于最高相关谐波,必须是正确的.同时,在基带频率,偏置阻抗和热阻抗的正确模型也是十分需要的.3. 如果可以得到主要失真源的组成信息,将十分有用.4.1.1非线性仿真模型通常来说,功放和发射机设计师使用两种非线性模型:一种是用于系统仿真的行为黑盒子模型,另一种是用于电路仿真的器件模型.根据建模方法的不同,可以对这两类模型进行更深层分割:可以是解析的,基于一些预先确定的和物理学的用参数表示的模型函数，或者完全根据实验的,将测量数据列表并以内插值替换的,或者用简单的曲线或物理意义不清楚的多项式表示的模型.在表4.1中有所介绍.表4.1 功率放大器的非线性模型行为基带模型广泛用于模拟和优化整个发射机和收发器,并且增加了新的功能,例如模拟记忆效应,在[6]中介绍.然而,行为模型描述的或者是一个已经存在的放大器,或者行为模型源自到目前为止不存在的放大器规范说明,但是在设计一个新的功率放大器中,行为模型的使用遭到限制.这里简明地介绍了最常用的行为模型的特性,仅用于参考.简单的静态的AM-AM 和 AM-PM波形不能够模拟记忆效应,但是基于调制频率的AM-AM和AM-PM波形的模型已经被开发出来.如图4.1所示,在Saleh模型中, AM-AM和AM-PM非线性模块的输入和输出端都增加了线性滤波器.在Blum 和Jeruchim(在[7]中描述)模型中,用快速傅立叶算法及足够的抽样来找到用于修改AM-AM表的瞬时调制频率.有一种Volterra型的行为模型被称作Volterra输入输出图(VIOMAP).它是普通S参数的非线性的概念性扩展,包括谐波响应,并且被成功应用于单音负载下拉仿真中[9,10].图4.1 (a)功率放大器的AM-AM和AM-PM波形(b)基于滤波器和无记忆非线性的由频率决定的非线性模型.器件模型描述了半导体设备的动作,以及无源和分布式元件的合适模型,可以建立并优化功放的模型.早期的半导体模型是解析的,所采用的等式首先来源于半导体物理学,然后将其简化以减少仿真时间.这些基于等式的模型的一个基本问题是,所选用的函数和控制参数固定了I-V 和Q-V特性的可能形状,并且可能没有足够的自由度来模拟例如I C-V CE曲率.例如,在基本的Gummel- Poon (GP) BJT SPICE模型中,集电极电流的简化形式如下:其中, 基本的指数仅可被三个控制参数修改:IS依比例决定电流, VAF (所谓的早期电压[12], 如图4.2所示)构成输出电导的一个极其简化的模型, IKF (所谓的拐点电流)降低高电流时的增益[13, 14].这个简单的等式涵盖了整个I-V平面,同时固定了导数dn I C/d V n,因而固定了非线性行为. SPICE GP模型可以适当地用于模拟基带信号[15],但是特别是对于过分简单化和固有性线的输出阻抗模型, 不能用SPICE GP模型进行精确的失真仿真,这将在本书后面说明.更好的物理模型已经被开发出来,比如BJT的Mextram和VBIC ,以及用于LDMOS 的摩托罗拉MET模型,这都是久经考验的模型.与早期的SPICE模型其比,这些模型的性能大大地提高了.后者对于找到正确的直流偏置十分重要,这是因为自我加热使得I-V波形产生一个大的差值.假如热模型有足够的时间常量来模拟缓慢加热包(主要影响直流偏置和芯片表面的微秒范围热记忆),后面的模型也可用于模拟热记忆效应.图4.2 在BJT中使用早期电压VAF模拟输出阻抗模型的额外自由度增加了其复杂性以及控制参数的数量.在一个极限中,MOS BSIM模型有数十个参数来单独控制比例特性.因此,模型的复杂性趋于失控,并且其配置愈加复杂,对错误愈加敏感.另一种设备建模的方法是放弃等式,而采用列表的测试数据或者完全根据实际以验的函数来代替.现在,任何形式的I-V和Q-V特性的模型可以被建立,这是通过Root模型得到的方法,称作”设备最了解”模型[5].在内插列表数据时,存在一些技术问题,这是因为内插的多项式容易使数据点之间产生振荡,因此派生出高阶非物理波动.然而,由于预定函数不需要压力,列表模型使用灵活.Volterra模型是一种经验模型,它不依赖于半导体物理学.其非线性描述为多项式,系数可以通过对I-V和Q-V函数微分得到,也可通过将多项式直接填入测量数据表里得到.在此我们使用的是后者,在接下来的章节中,我们将会更深层次地对Volterra模型的特性进行研究.4.1.2 Volterra模型的特性多项式模型并不自动地对模拟快速响应,相反,它可能严重地会聚在高于原始设置范围的信号电平上.然而,多项式模型允许使用高效的Volterra分析程序.然而,采用Volterra模拟方法的主要动机并不是看中了其速度优势,而是它能提供一个极好的分析工具来进行分析.主要的失真机制可以用与在普通交流噪声分析中采用的相同的方法来进行分析,由于非线性分析,多重的混合机制同样可被识别,例如可以帮助谐波终端阻抗的设计等.因此, Volterra分析是少数可以帮助理解记忆效应和帮助设计优化的方法之一.尽管如此,仍需承认多项式模型存在一些缺点.首先,多项式模型要遭受在适宜的带宽范围外,其响应接近无穷大这一事实.传统的非线性建模函数与此正好相反,它在整个偏置范围内平滑,有限的表现是我们设计的特性,因为它帮助使信号收敛,并且信号摆动不必要进行推理的了解.因此, Volterra分析并不是一个非常普通的工具.由于速度原因, Volterra分析被用于快速失真分析和模拟器中的低噪放型小信号电路(例如Voltaire XL [22]和SPICE的早期版本)中,或者甚至做为独立的模拟器使用[23].然而,为了功放能被成功地进行分析,可靠的早期信息仍是必需的.第二,预先得需要实际的大信号直流偏置电压.大信号动作经常会引起直流工作点的移位,它同时影响增益和非线性的数量.此信号感应引起的直流移位会减缓谐波平衡模拟中收敛的速度,并且在非反复Volterra计算程序中,只能对它进行估计,而非完全地预测.为了克服这点,我们需要检查直流移位是不是很大,或者在实际的大信号工作点使得多项式模型合适.第三,在多项式函数的装配中,需要知道输入和输出电压摆动的范围.多项式模型的实际功率是除开失真成分的其它部分.适宜的范围越大,低阶多项式的精确度越小.因此,沿着最大信号振幅安装是合适的,为确保多项式模型的精度,不能太超过此范围,并且由于多项式响应可能在合适的范围外是完全非物理的,也不能超过一个较小的范围.在这种情况下,就需要对输入输出轨道有较好地评估.总之, Volterra分板并不是一种简单使用的独立的仿真方法,但当它用在与其它仿真方法(例如谐波平衡)并联使用时,此方法提供了更多调试功能.在本书中,研究的案例仅限于单级晶体管放大器,并且对Volterra分析半解析地计算(象征性地来源于每一个失真源到所有结点电压的转移函数). 象征性的分析并不是必需的,它限制了对CE或CS放大器固定的结构以及双音测试信号的分析.而Volterra分析却能达到,通过在(用标准修改结分析矩阵以及非线性电流源表示的)任何电路上运用通常非线性交流分析方法.4.2非线性I-V和Q-V特性大多数的晶体管模型是以Π模型或T模型为基础.这里使用的是Π模型,本节中描述了用BJT,异质结BJT(HBT)和场效应管(FET)的Π模型表示的典型传导(I-V)和电容(Q-V)的非线性特性.在这里将BJT作为一个案例,但同样的模型也可用于FET晶体管,只是多项式系数设置不同.前面已经讲过, Volterra模型是以I-V和Q-V曲线的多项式建模为基础.测量这些曲线也许会有些困难,详见第五章.这样的电荷不能直接进行测量,我们必须依靠交流测量的电容以及对所得电容值得到的电荷等式求积分.用类似的方法,I-V曲线可以通过由S参数测量得到的和值进行大部分重造,但是实际的I-V曲线是一个更安全的出发点.这里介绍的模型是电热模型,这意味着其结温是一自由变量.然而,直流温度上升包含在偏置点中,并且只考虑由动态自我加热引起的温度变化.由于功耗是电压和电流的产物,我们认为结温中的交流成分已经是一个二阶现象.因此,一个三阶的模型仅仅包括温度的一次方,这意味着电容元件的温度依靠性被认为是线性的.4.2.1 特性在大多数被报导的BJT/HBT Volterra级数分析中,集电极电流被认为只是基极电压的函数[25-27],此考虑方法抓住了主要指数的输入输出非线性但是认为输出电导是常数.在MESFET Volterra级数分析中,漏电压的效应通常用的一个多项式来实现, (参照[28]),但即使如此,也难以捕捉所有的非线性特性.在(4.1)式中,等式是,和结温T的一个三维简单函数，就像.通过扩展大信号I-V函数到一个三输入的泰勒级数(在直流工作点,和周围),很容易得到一个多项式模型.因此,交流电流的电热三阶级数展开可以写作:其中, ,,并且K ixxx是元素xxx的i阶非线性系数.( 可以用来标志).由等式可见,第一行只受影响,第二行只受影响(例如非线性输出电导).尽管如此,第三行又列出了和的向量积.最后,第四行列出了与两个终端电压混合在一起的温度变化.图4.3中证明了电非线性的影响,其中,绘制了在三个基极电压处的集电极电流,它是三个不同基极电压处集电极电压的函数.如果除外的所有系数都是零,我们可以得到如图4.3(a)所示的三条等间距的水平线.由于线精确地保持水平,输出电导为零,且集电极电压不影响电流数量.此外,由于线之间等间距,跨导是线性的.然而,如果或偏离了零,在I-V平面的线距离将会变得不等,这表明跨导是非线性的.图4.3 证明集电级电流非线性.垂直的轴是集电极电流,水平轴是电压.(a)线性响应(b)非零 (c)非零 (d) 非零 (e) 非零 (f)非零图4.3(b)证明了的影响,仅仅存在和.与图4.3(a)相比,图4.3(b)中的线有一个非零的斜率,它与成比例且不依赖与.图4.3(b)仍是完全线性的, 图4.3(c)证实了输出电导的非线性,其电流的斜率随而变化.在这种情况下,仅有一个非零值,和可被用于模拟输出电导的曲线效应，例如饱和和击穿.图4.3(d-f)分别图解说明了,和的截项,它模拟了基极和集电极非线性物性的交互作用.为了帮助比较,图4.3(d-f)中的稍细线是临摹图(c)的( 和都有非零值).(对应于项)在图4.3(d)中是非零的,这是由于其线的斜率变化不仅仅受图4.3(c)中集电极电压的作用,也受基极电压的作用.这对于图4.2所示的模拟早期效应是十分必需的.相似的推理也可应用于和,如图4.3(e, f)所示,确定输出电导的形状,分别是和的函数.图4.4对不同建模方法的I-V曲线做了更多的比较.如果集电极电流被模拟为基极电压和线性的一维函数，就产生了一条直的I-V线,如图4.4中细虚线所示.用SPICE Gummel-Poon模型模拟的I-V曲线同样也是直的细的线,但是其斜率和输出电导随集电极电流变化,如图4.2所示.实际上,由于准饱和和截止影响,在大信号或半大信号的情况下,BJT的I-V曲线决不是直线.曲率可以通过使用和的一维多项式模拟,如图4.4中粗实线所示.然而,初步的现象(例如早期效应)在没有引起斜率决定于的值截项时不能被模拟.如图中粗虚线所示,并对应于(4.3)的完全级数展开.饱和和截止的开关同样取决于基极电压,这使得截项的使用强制地避免了I-V平面角落处的重大误差,如图4.4所示.图4.4 三个Volterra模型和Gummel-Poon SPICE模型的I-V特性最后讨论了集电极电流的电热效应,如(4.3)中最后三项所示.在图4.5(a, b)中,描述了一个二次项,它模拟了电流中由温度决定的移位.值得注意的是,不能由小信号参数和得到,相反的,需要实际的电流测量.是一个包含温度和集电极电压影响的三次项,如图4.5(c)所示.它在本质上模拟了温度对输出电导的依靠性.同样的,如图4.5(d)所示,模拟了温度和基极电压的结合效应.由于曲线的斜率反应了跨导，可被认为是受温度影响的跨导的一个变化.图4.5 电热非线性系数的影响. 非零在(a) 轴(b)轴.(c)非零影响(d)非零影响特性是FET型晶体管中唯一重要的传导性非线性.在BJT中,存在另外的两个非线性:由指数引起的非线性和非线性.电导的影响通常更重大,并且也容易模拟.理论上, 等式可以粗略地用电流增益β除，但可用一些方式简化.由于基极电流并不是强烈地依赖于集电极电压,我们可以用一个仅由和决定的两维模型:这里,系数与之前有着相似的含义.线性项通过进行模拟,和模拟其指数曲率.此外, 模拟了由自我加热产生的移位,可以看成线性项的温度依靠.本征基极电阻较难模拟.它是内部基极点和外在基极点之间的串联电阻,它的值取决于基极区的电流拥挤,也取决于内部值.因此,它可以模拟为一个由电阻器电压(),内部基极电压和结温控制的三维电导.所有的K项(k=1,2,...)都是零,但是电流拥挤效应是用和间的截项模拟的,如(4.5)所示.不论如何,通常较小,且在下面例子中被模拟为一个线性电导.4.2.3电容模型如前面解释,将电容建模成多项式电荷,然后将其关于时间进行区分以得到位移电流.电荷可能并且经常是由多于一个的端口电压所控制,这使得我们必须使用一个类似于(4.3)的多维多项式.电荷同样可以模拟为一个电容,在这种情况下,电荷不出现在控制结点之间,而出现在一些其它的结点间.在下面的例子中,只假定了一个控制电压,式(4.6)描述了基极到发射极的电荷,它是基极到发射极的电压以及温度的函数.从这个等式中,可以轻松地得到对应测量电荷C pi和非线性电流源.只需将电荷等式(4.6)分别关于和时间进行区分即可.在(4.8)式中, ω仅是失真音调的频率;因此,电容并不会引起直流失真电流但是在谐波频率处失真最严重.等式(4.7)指出由温度决定的电荷项K2CPIT不能来源于电荷测量;尽管如此,一个时变的结温可能引起一个与它成比例的电流.另外, (4.6)式中的第一项C pi描述了小信号电容, K2CPI和K3CPI定义了它的有关电的非线性. K3CPIT描述了是控制电压和结温函数的电荷,由于C = d Q/d v, K3CPIT的作用可以看成是电荷值的温度决定性.如(4.6)所示,一个线性的C-V趋势K2CPI引起了二次电荷非线性.同样的,与v2 (K3CPI)成比例的电荷引起立方的非线性.不同类型的电容有着不同的特性,如图4.6(a)所示.如 (4.27)所示,基极-射极电容C pi是指数的,因此它是高度的非线性的.BJT和FET中有偏的P-N结或肖特基结仅是稍微的非线性,它们可以通过增加反偏压进行更深一层的线性化. MOSFET型晶体管有着特殊的栅电容,例如, C GS在门限电压的周围dip.如果MOSFET动作接近于关断,此dip会引起大量的二阶非线性.图4.6 (a)归一化的电容(b) 和的电荷4.3共射极BJT/HBT放大器模型现在我们使用直接的方法来计算一个共射极BJT/HBT放大器的IM3成分,使用第2.5.2节所列出的步骤.这样进行分析:首先为电路建立一个模型,通过一个线性的交流分析建立基本的幅度.然后,通过使用第4.3.2节所示的步骤计算二阶电流电压以及三阶电流电压.4.3.1线性分析图4.7所示的是一个共射极BJT放大器,它包括输入阻抗Z IN(混合匹配网络和偏置电路),基极-射极电导g pi和电容C pi,反馈电容CBC,输出电容CCE,输出电导跨导,负载阻抗Z L以及发射极阻抗Z E.输入和负载阻抗不仅包含匹配网络的阻抗,也包括偏置网络和包寄生的阻抗,Z IN由前级的输出阻抗和本征基极电阻r bb组成,如图4.7所示.图4.7 共射极BJT放大器线性化一阶电路为减少等式的数量,输入电压源可以用诺顿等效源来代替且用下列简化符号通过替换图4.7中所有阻抗并在结点1至3应用基尔霍夫电流定律,可以得到如下矩阵等式.通过使用Cramer法则,可以得到结果以及对的响应.因此,在基极,发射极和集电极的电压如下所示:导纳矩阵的行列式写作:基极到发射极,集电极到发射极的电压分别是和.最后,由于和经常用于计算失真,例如由gm 成分产生的失真,很容易得到它们的比值:线性化分析的目的是为了获得所有非线性元件的基本电压幅度,这样我们就可以继续计算这些元件内部产生的非线性电流.在此之前,我们需要对信号摆动进行一些观察.BJT的指数响应是极端的非线性,并且在没有过度失真的情况下,不能承受高于10到30 mV的信号幅度.这听起来不像一个功率放大器,但是两件事情恰好帮助改变此情况.首先,器件并不是完全指数的,但是当驱动到高注入时,BJT线性化可用(4.1)中的参数IKF来模拟.第二,放大器有一些反馈机制来减小BE结中的信号电平.串联发射极阻抗引起一个线性化的串联反馈,CBC引起一个并联反馈.CBC的作用十分重大,这是由于强烈的电容性反馈降低了基极阻抗,因此也减小了BE电压摆动和从驱动激励产生的失真数量.4.3.2非线性分析在本节中展示了一个CE BJT放大器的非线性模型,并由它得到IM3失真.该电路有三个两输入和一个三输入的I-V和Q-V非线性,通过鉴定7个一阶系数,二阶系数和三阶系数模拟得到,其中18个是电系数,其它9个与动态温度变化相关.最后,此分析将介绍IM3音调,它是一个矢量和,由以下组成:7个由立方电非线性引起的项,21个由级联二次方非线性(修正包络信息向上转换到IM3中)引起的项,21个二次谐波向下混合到IM3的项,最后,5个立方的和24个级联的二阶电热项.这些看起来也许很多,但它描述了产生失真的不同机制的真实幅度;它同样清楚地证明了,只要立方项是解析的,大量的信息就会失去.若电路较大,分析的阶数越高,则需要对数据进行压缩,但是原理还是一样的:我们希望知道,通过从直流或谐波波段混合失真并使总失真最小化(或最小化其记忆效应),能产生多少IM3总数;我们希望知道在这些谐波波段，由失真电压引起了什么样的非线性和实际阻抗.由于项数众多,我们不单个地对这些项进行讨论.完整的分析见附件C,接下来用一些例子讲述计算步骤.4.3.2.1二阶失真电流图4.8所示的电路用于解决二阶响应,图4.7中的线性输入电压在此被短路, 添加二阶失真电流源与所有非线性电路元件并行.以T结束的电流是电热电流,将在第4.3.2.5节中讨论.如同以前, ZIN, ZE和ZL将包寄生,偏置阻抗和匹配阻抗结合在一起.为了计算自我加热效应,瞬时功耗用计算,第3.4节所示的热阻抗用于计算频率ω2–ω1处的瞬时温度波动.可以对不同的电路元件使用不同的温度,但是它们在物理上靠近基极区,此处使用共同的温度.然而对于大型设备,将此设备分成较小的并行设备是十分有利的,这样可以看出不同的温度变化.非线性被模拟为,和温度组成的三维函数,它包括和非线性以及所有高达三阶的交叉项. 和是基极到射极电压和温度的函数,非线性由集电极到基极电压和温度控制.图4.8 含电流源电路的二阶响应表示我们通过计算二阶失真电流开始进行分析.举一个例子,在ω2–ω1处由引起的二阶包络电流是:使用表2.5举另一个例子,由非线性引起的二阶包络电流是:它结合了二阶输入非线性,输出非线性和输入输出交叉项的作用,见I-V模型(4.3).从表2.5中可以看出,相量频率和可能的常量项值的选择取决于音频:例如,的乘积在2ω1处产生一个音调.上述的相量音调被选中,所以能在包络频率ω2–ω1产生失真.计算基频ω1和ω2的相量和用(4.12)-(4.14)式.4.3.2.2跨导倒数转移函数和二阶电压接下来,我们需要把不同结点的失真电流转换为失真电压.此处,我们选用了一个象征性的分析,因此很容易得到从结点X和Y到结点Z之间的非线性电流源的转移函数。
一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。
所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。
后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
伴有边界摄动非线性积分微分方程系统的奇摄动
吴钦宽
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2009(47)5
【摘要】研究伴有边界摄动的二阶非线性积分微分方程组的奇摄动问题.在适当的条件下,利用对角化技巧证明了解的存在性,并构造了解的渐近展开式,给出了余项的一致有效估计.
【总页数】6页(P881-886)
【作者】吴钦宽
【作者单位】南京工程学院,数学研究所,南京,211167
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.伴有边界摄动非线性系统初值问题的奇摄动 [J], 黄蔚章;陈育森
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第一类Volterra积分方程论文：第一类Volterra积分方程数值方法的研究【中文摘要】第一类Volterra积分方程是很重要的一类积分方程，它是在二十世纪发展并成熟起来的。
物理，力学等领域中的许多实际问题都可以通过转化为第一类Volterra积分方程来求解。
当核函数是连续或具有弱奇性时，通常精确解很难给出。
因此，Tolterra 积分方程的数值解法占有了很重要的地位，通过研究它们有很多有益的分析结果得以实现。
本文正是考虑在数据没有扰动的情况下第一类Volterra积分方程的数值解法。
本文结构如下：第一章主要介绍第一类Volterra积分方程的历史背景，国内外研究现状以及发展趋势。
第二章是一些求解第一类Volterra积分方程的预备理论，包括不适定问题，本文所需要使用的正则化方法：Tikhonov，正则化方法，全变差正则化方法等知识。
第三章研究在数据没有扰动的情况下，求解第一类、Volterra积分方程。
主要利用配置点方法，包括方法的格式构造以及收敛性分析。
第四章数值实验，主要利用Tikhonov正则化方法及全变差正则化方法，正则化参数选取方法为L-曲线法。
【英文摘要】The first-kind Volterra integral equations are a very important kind of integral equa-tions. It has been developed and matured since the twentieth century. Many practicalproblems about physics and mechanics can be solved by changing into the first-kindVolterra integral equations. Whenthe kernel function is continuous or weakly singu-lar, the exact solution is always di?cult to work out. Therefore, the numerical methodsof the first-kind Volterra integral equations play a very important role in mathematics. Byresearching the first-kind Volterra integral equations, there are many wonderful analysis .This article considers the numerical methods of the first-kind Volterra integral equationswhen the data are undisturbed and disturbed.This structure is as follows:In chapterⅠ, we introduce the background , the domestic and foreign researchingsituation and the developping tendency of the first-kind Volterra integral equations. Thisarticle lists some classical methods of solving thefirst-kind Volterra integral equations.In chapterⅡ,we show some preparatory theory of solving the first-kind Volterraintegral equations, ill-posed problems, the regularization methods using in this article:Tikhonov regularization method,total variation regularization method .In chapterⅢ, we research the numerical methods of the first-kind Volterra integralequations when the data is undisturbed, The format structure and convergence analysisare also introduced in this article.In chapterⅣ, we give a numerical experiment based on Tikhonov regularizationmethodand total variation regularization method.The regularization parameter method isthe L-curve method.【关键词】第一类Volterra积分方程不适定问题离散的正则化方法 Tikhonorv正则化方法全变差正则化方法【英文关键词】The first-kind Volterra integral equation Ill-posed problem Discrete regular-ization method Tikhonov regularization method Total variation regularization method【备注】索购全文在线加好友：1.3.9.9.3.8848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务【目录】第一类Volterra积分方程数值方法的研究中文摘要3-4Abstract4第1章绪论7-12 1.1 第一类Volterra积分方程的发展历史7-8 1.2 第一类Volterra积分方程的基本理论8-12第2章预备理论12-29 2.1 不适定问题的简介12 2.2 不适定定问题的正则化方法12-29 2.2.1 Titkhonov正则化方法14-16 2.2.2 离散的正则化方法16-19 2.2.3 全变差正则化方法19-26 2.2.4 正则化参数的选取方法26-29第3章数据没有扰动情况下第一类Volterra方程的数值解法29-46 3.1 线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法29-35 3.1.1 方法的格式构造29-30 3.1.2 方法的理论分析30-35 3.2 非线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法35-45 3.2.1 方法的格式构造35-40 3.2.2 方法的理论分析40-45 3.3 本章小结45-46第4章数值实验46-53 4.1 Tikhonov正则化方法的数值实验47 4.2 全变差正则化方法的数值实验47-52 4.3 本章小结52-53结论53-54参考文献54-59致谢59-60攻读学位期间发表的学术论文60。
Science &Technology Vision 科技视界0引言Volterr 型积分不等式在微分方程,积分方程的定性研究中有着非常重要的作用。
2004年Pachpatte [1]研究了一类线性Volterra -Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +h (t )h (α)∫a (t,s )[f (s )u (s )+sh (α)∫c (s,σ)u (σ)dσ]ds+h (β)h (α)∫b (t,s )u(s )ds (1)解的估计。
2008年Ma [2]研究了一类非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+sα(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+s α(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](2)解的估计。
本文研究了一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+s α(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+sα(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](3)解的估计。
1主要结果本文中R +=[0,+∞],I ∈[t 0,T ];C i (M ,S )为定义在(M ,S )上的i 次连续可微的函数集,其中i =1,2,…;令C 0(M ,S )=C (M ,S )。
定理令u (t ),f (t ),σ1(t ),σ2(t )∈C (I,R +),α∈C 1(I ,I ),α(t )是定义在[t 0,T ]上的连续单调不减函数且α(t )≤t 。
近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。
其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。
在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。
1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。
它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。
2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。
对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。
在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。
3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。
在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。
尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。
4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。
在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。
我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。
通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。
希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。
5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
几类具非线性边界条件的奇摄动问题的层现象本文主要利用边界层函数法和微分不等式理论研究了几类具非线性边界条件的奇摄动问题的层现象.全文共分四章：第一章介绍了一般的奇摄动问题的研究意义和概况,综述了与本文相关的一些奇摄动边值问题的成果,并陈述了本文的主要工作和创新之处.第二章通过比较方程,选取适当的界定函数,利用不等式放大技巧讨论了一类具有转向点的非线性边界条件下的二阶非线性方程奇摄动问题ε2y"= f(x, y, y’), -1< x <1, g1(y, z)|y=y(-1), z=y’(-1) = 0, g2(y, z)|y=y(1), z=u’(1) = 0,利用微分不等式理论证明了三类呈内层形态的问题的解的存在性,并给出了解的渐进估计,指出了每类问题在不同条件下,内层处有指数衰减的情况发生或代数衰减的情况发生,最后给出一个例子说明研究成果的意义.第三章通过引入伸展变量、运用边界层函数法构造了一类三阶半线性微分方程的奇摄动非线性混合边值问题ε2y’’’= f(x y, y’, ε), a < x < c, y(b)=A, y’(a) = y’(c), g(y(a), y(c), y’(a), y’(c)) = 0的形式渐近解,再采用微分不等式理论证明了解的存在性,给出了渐近解的误差估计,并得出了边界层函数呈指数型衰减的结论.第四章通过引入伸展变量、运用边界层函数法构造出了一类带非线性混合边界条件的四阶非线性微分方程的奇摄动边值问题εy(4)= f(t, y, y’,y’’,y’’’), a< t <c, y(b)=A, y’(b) = B, g(y’’(a), y’’(c), y’’(c), y’’(a)) = 0, y’’(c)=C的形式渐近解,利用微分不等式理论证明了解的存在性,给出了渐近解关于精确解的误差估计,并得出了边界层函数呈指数型衰减的结论.。
目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1课题的背景及研究现状 (1)1.2本文概述 (3)第2章线性弱奇异Volterra积分方程的算法研究 (5)2.1引言 (5)2.2若干再生核空间 (5)2.3应用泰勒展开式和再生核方法求解线性弱奇异Volterra积分方程 (7)2.4稳定性分析 (9)2.5数值算例 (13)2.6本章小结 (14)第3章非线性弱奇异Volterra积分方程的算法研究 (15)3.1引言 (15)3.2HOR法求解非线性弱奇异Volterra积分方程 (15)3.3数值算例 (22)3.4本章小结 (24)结论 (25)参考文献 (26)原创性声明、使用授权书 (30)致谢 (31)ContentsAbstract in Chinese (I)Abstract (II)Chapter1Introduction (1)1.1Background and research status of the subject (1)1.2Summary of the article (3)Chapter2Algorithm research of linear weakly singular Volterra inte-gral equation (5)2.1Introduction (5)2.2Some regenerative nuclear space (5)2.3Using Taylor expansion and reproducing kernel method to solve linearweakly singular Volterra integral equation (7)2.4Stability analysis (9)2.5Numerical example (13)2.6Chapter summary (14)Chapter3Algorithm research of nolinear weakly singular Volterra in-tegral equation (15)3.1Introduction (15)3.2HOR method for solving nonlinear weakly singular Volterra integralequation (15)3.3Numerical example (22)3.4Chapter summary (24)Conclusions (25)References (26)Original Declaration and the Letter of Authorization for Using (30)Acknowledgements (31)摘要本文旨在研究第二类弱奇异Volterra积分方程的算法,由于第二类弱奇异Volterra积分方程的奇异性和非线性方程的复杂性,使其难以用一个精确的解析表达式给出．因此在实际应用中,选择适当的数值方法求解积分方程显得尤为重要.对于第二类线性弱奇异Volterra积分方程,本文在第二章给出了一种计算方法.首先利用泰勒展开式将给定的线性弱奇异Volterra积分方程消去奇异核,再利用再生核函数的再生性,构造出所求方程近似解的表达式.再生核方法是求解积分微分方程的一种准确有效的方法,随后给出解的稳定性分析和数值算例.对于第二类非线性弱奇异Volterra积分方程,本文在第三章提出了一种求解非线性弱奇异核的Volterra积分方程的新方法,将再生核函数与处理弱奇异积分的Riemann-Liouville分数阶积分的定义相结合来求解第二类非线性弱奇异Volterra积分方程.其基本思想是利用HOR基函数逼近方程中的函数,给出了分数阶积分的HOR运算矩阵,并结合块脉冲函数(BPFs)推导出该运算矩阵,将弱奇异方程的求解转化为求解非线性方程组,然后利用牛顿迭代法解非线性方程组.最后数值算例结果表明了该方法的有效性和准确性.关键词非线性Volterra积分方程;弱奇异核;再生核;积分算子矩阵AbstractThe purpose of this paper is to study the algorithm of the second kind of weakly singular Volterra integral equation.Because of the singularity of the second kind of weakly singular Volterra integral equation and the complexity of the nonlinear equation,it is difficult to give it with an exact analytical expression.Therefore, in practical application,it is very important to choose the appropriate numerical method to solve the integral equation.For the second kind of linear weakly singular Volterra integral equation,a calculation method is given in the second chapter.Firstly,the singular kernel is removed from the given linear weakly singular Volterra integral equation by using Taylor expansion,and then the expression of the approximate solution of the equa-tion is constructed by using the reproducibility of the reproducing kernel function. The reproducing kernel method is an accurate and effective method to solve the integro-differential equation,Then the stability analysis and numerical examples are givenFor the second kind of nonlinear weak singular Volterra integral equation,in Chapter3,a new method is proposed to solve the Volterra integral equation with nonlinear weak singular kernel,The second kind of nonlinear weak singular Volter-ra integral equation is solved by combining the reproducing kernel function with the definition of Riemann-Liouville fractional integral which deals with the weak singular integral.The basic idea is to use the HOR basis function to approximate the function in the equation,to give the HOR operation matrix of the fractional integral,and to derive the operation matrix by combining the block pulse function (BPFs),The solution of the weak singular equations is transformed into the solution of the nonlinear equations,and then the Newton iterative method is used to solve the nonlinear equations.Finally,the numerical results show the effectiveness and accuracy of the methodKeywords Nonlinear Volterra integral equation;Weakly singular kernels;Repro-ducing;Matrix of integral operators algebras第1章绪论第1章绪论1.1课题的背景及研究现状积分方程理论的发展,始终与数学物理问题的研究紧密相联,许多工程问题和力学问题的数学模型都可以建模为方程,分为积分方程和微分方程两部分.通常许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的求解问题.而积分方程,既与泛函分析、复分析、随机分析、微分方程、计算数学和位势理论等都有着十分紧密且重要地联系,又是数学与物理、自然科学、力学、生物学、工程学等应用学科连接的重要纽带.积分方程是近代数学的一个重要分支,它在数学物理、电化学、散射理论、热传导、半导体、种群动力学、流体流动等各个领域都有不同的应用[1,2].积分方程的形成和发展是很多重要数学思想的最初来源,许多数学物理方程都可以用积分方程来描述,而许多偏微分方程的定解问题也可以转化为积分问题来处理.特别地,随着计算技术的发展,作为工程计算的重要基础之一,积分方程进一步得到了广泛而有效地应用.并且积分方程的形成和发展包含丰富的研究价值,人们对积分方程的研究包括解的存在性和唯一性问题、方程的近似解的数值解法以及方程的解析解等.积分方程的起源与发展,一直与数学物理问题的研究息息相关.积分方程的一般理论是在二十世纪逐步发展和成熟起来的,不过积分方程的研究早在十九世纪就已经开始.一般认为,从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》,该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel. Abel分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章,但其正式的名称却是由数学家Raymond首次提出的,把该问题的研究正式命名为积分方程.19世纪末,Fredholm和Volterra开启了研究线性积分方程理论的序幕,从此积分理论逐渐发展成了一个分支.1900年,Fredholm把未知函数出现在积分方程里面的方程称为“积分方程”.未知数的出现形式决定着积分方程的分类,其中未知函数以线性形式出现时,该方程被称为线性积分方程;反之,当未知数以非线性形哈尔滨师范大学硕士学位论文式出现时,该方程则被称为非线性积分方程.若由积分方程积分核的光滑程度来研究,分为奇异积分方程和连续的积分方程.从积分上下限的变动情况考虑,又分为Volterra积分方程和Fredholm积分方程.形如f(x)=∫xk(x,t)u(t)dt和u(x)=f(x)+λ∫xk(x,t)u(t)dt的积分方程,依次称为第一次类Volterra积分方程和第二类Volterra积分方程.由于Volterra积分方程在各种领域的不断发展,Volterra积分方程在许多学科中,如电磁学、人口学、粘弹性材料、保险数学等许多学科中都有重要应用.意大利数学家和物理学家Volterra于1896年在数学物理中首次提出Volterra积分方程,典型的第二类线性Volterra积分方程为u(x)=f(x)+λ∫xk(x,t)u(t)dt(1-1)其中f(x)和k(x,t)为已知函数,若k(x,t)=k(x−t),称为差分核.若k(x,t)包含奇异因子如(x−t)−α,0<α<1,(1-1)称为第二类线性弱奇异Volterra积分方程.奇异积分方程作为近代数学的一个组成部分,对于很多实际问题都有非常重要的意义.研究奇异积分方程理论由来已久,通过研究奇异积分方程进而就可以研究工程问题,因此奇异积分方程在很多领域内都得到广泛的应用.由于弱奇异Volterra积分方程问题在理论和实践上的重要性,其数值算法长期吸引着众多数学家、物理学家和工程师们的注意.一种数值方法包括它的数学基础和它的实现,都离不开理论数学的发展和计算手段的改善.随着计算机科学的发展以及现代大型规模电子计算机的出现,对于数值方法的冲击力是历史从未有过的.对于上述形式的弱奇异Volterra积分方程,近年来已有许多专家学者采取了不同的方法对求方程进行求解.1991年,T.Diogo,S.Mckee,T.Tang采用了Hermite 型配置法数值[3].1997年,P.Lima,T.Diogo给出了求解弱奇异Volterra型积分方程外推算法[4].Hu.讨论了具有弱奇异核的Volterra积分方程的β-多项式离散配点法[5].2002年,A.Karamete,M.Sezer提出了求解线性积分微分方程的泰勒配置法,第1章绪论通过对未知函数进行泰勒展开,将待解的积分方程近似地转化为一个含有未知函数的线性方程组来求解[6].2003年,Tao L,Yong H提出了一个新的离散gronwall不等式,利用这个不等式,证明了第二类弱奇异Volterra积分方程数值解的收敛性和误差估计[7].2004年,T.Diogo,N.B.Franco和P.Lima利用牛顿-高斯方法求解带有奇异核的Volterra积分方程[8].2007年,Marek Kolk,Arvet Pedas利用初值问题的积分方程重构,对其进行平滑变换,使得得到的方程的精确解在一定阶次的导数中不包含任何奇点.在此基础上,采用分段多项式配点法求解方程[9].Tao L,Liu YP利用周期化方法和改进的梯形积分规则求解一类阿贝尔积分方程[10]. 2008年,T.Diogo,P.Lima给出了配置法求解弱奇异积分方程的收敛性分析[11]. 2009年,J.Ma,Y.Jiang提出了网格法[12],P.Baratella应用Nystrom插值法解弱奇异Volterra积分方程[13].T.Diogo给出了数值求解弱奇异Volterra型积分方程的配置法和间接配置法[14].2011年,Zhong Chen,Wei Jiang提出一种再生核理论的数值方法,应用加权积分,给出了再生核空间重构的新定义,利用再生核函数的良好性质,给出近似解的表达式[15].2012年,M.S.Hashmi,N.Khan应用同伦渐近法求解弱奇异Volterra积分方程[16].Tau方法被S.K.Vanani和F.Soleymani利用求解弱奇异Volterra积分方程,文中利用任意多项式基的Tau方法,给出了包括Abel方程在内的弱奇异Volterra积分方程的近似多项式解,对弱奇异Volterra积分方程的数值解法,特别是Abel方程的数值解法进行了推广[17].Keyan Wang,Qisheng Wang应用Lagrange配置法求解Volterra-Fredholm积分方程[18].2014年,C.Yang通过Laplace转换法得到了求解Abel积分方程的近似解[19].2015年,S.Nemati给出了数值求解Volterra-Fredholm型积分方程的Legendre配置法,并进一步提高了求解精度[20].L.Zhu,Y.Wang用第二切比雪夫小波(SCW)方法给出了包括Abel方程在内的弱奇异Volterra积分方程的数值解[21].2017-2019年,M.A.Ramadan,M. R.Ali等给出了混合正交Bernstein多项式和块脉冲函数小波法[22−28].Xiulian Shi, Yunxia Wei等人提出了求解一类多维非线性弱奇异积分方程的一种有效的谱配置法[29−34].1.2本文概述Volterra积分方程的求解方法有很多,近十几年来,再生核空间理论在数值逼近领域得到了迅速的发展,再生核数值方法具有许多突出的特点,随着各种具体再生核构造和算子方程的研究,使得再生核为一些积分和微分方程精确解的表示和数值解的计算带来了有效的方法.再生核空间是研究数值分析的比较理想的空间哈尔滨师范大学硕士学位论文框架,适合分析和解决一些非线性问题.且再生核空间具备良好的再生性质,能为改进算法提供良好的空间框架,许多学者也利用再生核方法与其他方法作了有价值的结合.因此,用再生核或者利用再生核方法与别的方法结合来解决带有弱奇异核的Volterra积分方程的数值求解问题将成为一个新的发展方向.本文利用再生核方法与其他方法结合来对含有弱奇异核的第二类线性Volterra积分方程和含有弱奇异核的第二类非线性Volterra积分方程进行了分析和求解.本文的结构安排如下：第一章主要阐述了本文课题的研究背景、实际意义及国内外研究现状,总结本文主要研究的内容和章节安排.第二章给出了再生核空间的基本理论知识和概念.针对线性弱奇异Volterra积分方程,首先利用泰勒展开式处理积分方程的奇异核,将弱奇异积分方程转化为微分积分方程,进而在再生核空间中求解线性微分积分方程,并对方程的解进行了稳定性分析.第三章介绍了正交再生核函数的定义和块脉冲函数的概念和性质,再利用混合正交再生核函数和块状脉冲函数并结合Riemann-Liouville分数阶积分定义来处理非线性弱奇异积分方程,将其转化为一组非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组,通过数值算例展示了该方法的高效性.最后,对本文工作的主要成果进行总结,分析其中不足之处,并在当前工作的基础上提出改进的方向和措施.第2章线性Volterra积分方程的算法研究第2章线性弱奇异Volterra积分方程的数值算法2.1背景介绍Volterra积分方程在数学、物理、力学等很多领域都有重要应用,当核函数具有弱奇异性时,精确解很难被给出.因此弱奇异Volterra积分方程在学术研究中具有很重要的地位.近年来已有很多方法解决了此类问题,例如文献[34]中的样条配置法,文献[35]中利用切比雪夫高斯-洛巴托插值多项式逼近给定函数,文献[36]采用Adomian分解法和变分迭代法求解,文献[37]利用谱配置方法,文献[38]采用谱雅可比配置方法,文献[39]利用再生核方法给出了误差分析等.本章中,考虑以下形式的线性弱奇异Volterra积分方程：u(x)−λ∫x−1k(x,t)u(t)(x−t)αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1其中f(x)是已知函数,1(x−t)α在t→x时奇异,核函数k(x,t)是光滑的,通常假设未知函数u(x)在[a,b]上是连续的或平方可积的.2.2若干再生核空间2.2.1再生核空间W n+1[0,1][40]定义2.1.W n+1[0,1]={u(y)|u(n)(y)在[0,1]上绝对连续,u(n+1)(y)∈L2[0,1]}.W n+1[0,1]为希尔伯特空间,分别赋予其内积和范数:⟨u(y),v(y)⟩W n+1[a,b]=n∑i=0u(i)(a)v(i)(a)+∫bau(n+1)(y)v(n+1)(y)dy∥u∥W n+1[0,1]=√⟨u,u⟩W n+1[0,1]定理2.2.W n+1[0,1]是再生核空间.存在函数R x(y),对于每一个固定x∈[0,1], R x(y)∈W n+1[0,1],对于任意u(y)∈W n+1[0,1],满足u(x)=⟨R x(y),u(y)⟩再生核R x(y)通过以下方程被给出R x(y)=2n+2∑i=1c i(x)y i−1,y≤x2n+2∑i=1d i(x)y i−1,y>xc i(x),d i(x)(i=1,2,...,2n+2)是已知的系数.2.2.2再生核空间W12[0,1][40]定义2.3.W12[0,1]={u(y)|u(y)在[0,1]上绝对连续,u′(y)∈L2[0,1]}.W12[0,1]为希尔伯特空间,分别赋予其内积和范数,⟨u(y),v(y)⟩W12=u(0)v(0)+∫1u′(y)v′(y)dy∥u∥W12=√⟨u,u⟩W12定理2.4.W12[0,1]是再生核空间,因此,存在函数Q x(y),对于每一个固定x∈[0,1],Q x(y)∈W12[0,1],对于任意u(y)∈W12[0,1],满足u(x)=⟨Q x(y),u(y)⟩再生核函数Q x(y)被定义为Q x(y)=1+y,y<x1+x,y>x2.3应用泰勒展开式和再生核方法求解线性弱奇异Volterra积分方程2.3.1泰勒展开式消除弱奇异核给定函数f(x),考虑以下Volterra积分方程:u(x)−λ∫x−1k(x,t)u(t)(x−t)αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1(2-1)在本节中,使用泰勒展开式来消除(2-1)的奇异性.首先,将u(t)在t=x处进行泰勒展开u(t)=u(x)+(t−x)u′(x)+(t−x)22!u′′(x)+···+(t−x)nn!u(n)(x)+R n(x)(2-2)其中R n(x)是泰勒公式的余项.将泰勒展开式(2-2)代入方程(2-1)u(x)−∞∑i=0(−1)iu(i)(x)i!∫x−1k(x,t)(x−t)i−αdt=f(x)(2-3)因此,方程(2-1)转换为方程(2-3),消除了原方程的弱奇异核.2.3.2再生核(RKM)方法求解方程现在,利用再生核（RKM）方法来求解方程(2-3).令有界线性算子L:W n+1[0,1]→W12[0,1]定义如下:L u(x)=u(x)−∞∑i=0(−1)iu(i)(x)i!∫x−1k(x,t)(x−t)i−αdt(2-4)将方程(2-4)转化为等价的算子方程,即L u(x)=f(x)(2-5)令φi(y)=Q(x i,y),这里Q(x i,y)是W12[0,1]空间的再生核,且ψi(x)=L∗φi(x), L∗是L的共轭算子.为了对{ψi(x)}∞i=1进行正交化,在W n+1[0,1]空间中,GramSchmidt正交化过程可采用如下方法：ψi(x)=i∑j=1βijψj(x)这里的βij是正交化系数.定理2.5.设{x i}∞i=1是[0,1]的一组互异稠密点集,则{ψi(x)}∞i=1是W n+1[0,1]的完全系.证明:若⟨ψi(x),u(x)⟩W n+1=0⇔u(x)≡0,我们称{ψi(x)}∞i=1是完全系.考虑⟨ψi(x),u(x)⟩W n+1=⟨L∗Q xi(x),u(x)⟩W n+1=⟨Q xi(x),L u(x)⟩W12=L u(x i)=0.因此{x i}∞i=1在[0,1]是稠密的,因此L u(x)≡0,由此u(x)≡0从L−1的存在得到.定理2.6.ψi(x)=L R xi(y).证明:ψi(x)=⟨ψi(y),R x(y)⟩=⟨L∗Q xi (y),R x(y)⟩=⟨L R x(y),Q xi(y)⟩=L R xi(y).定理2.7.如果{x j}∞j=1在[0,1]上是稠密的,则方程(2-5)的解为u(x)=∞∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)证明:对任意的u n(x)∈W n+1[0,1]和W n+1[0,1]具有一组标准正交基{ψi(x)}∞i=1,所以u(x)可以展成Fourier级数u(x)=∞∑i=1⟨ψi(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1⟨i∑j=1βijψj(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨ψj(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨L∗Q x j(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨Q x j(x),L u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨Q x j(x),f(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)截断u(x)所得近似解u n(x)为u n(x)=n∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)这里的βij,x j,ψi(x)被给出.2.4稳定性分析为了考虑近似解的稳定性,在右边加上一个扰动ε(x),(2-5)变为L u(x)=f(x)+ε(x),x∈[0,1](2-6)现在,我们讨论(2-6)解的表示.2.4.1方程(2-6)所有解的表示为了研究方程(2-6)的稳定性,令L为从W n+1[0,1]到Ψ的投影算子Ψ={u|u=∞∑i=1c iψi(x),for{c i}∞i=1∈l2}这里的{ψi}∞i=1由(2-5)给出,并且L满足L∗=L.此外Lψi(s)=∞∑i=1⟨ψi(s),ψk(s)⟩ψk(s)=ψi(s)则有L u(t)=∞∑i=1⟨u(t),ψi(t)⟩ψi(t)这里的u(t)是(2-5)在W n+1[0,1]上的解.定义u L(t)=L u(t)因此,我们有u L(t)=∞∑i=1⟨u(t),ψi(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1i∑k=1βik f(t k)ψi(t)(2-7)定理2.8.如果{t i}∞i=1在[0,1]是稠密的,那么(2-7)是方程(2-5)在Ψ上的解.证明:L u L(t i)=⟨L u L(t),ψi(t)⟩=⟨u L(t),L∗ψi(t)⟩=⟨L u(t),ψi(t)⟩=⟨u(t),L∗ψi(t)⟩=⟨u(t),Lψi(t)⟩=⟨u(t),ψi(t)⟩=⟨u(t),L∗ψi(t)⟩=⟨L u(t),ψi(t)⟩=⟨f(t),ψi(t)⟩=f(t i)因为{t i}∞i=1在[0,1]是一组互异的稠密点集,则L u L(t)=f(t).很明显(2-5)在Ψ中是唯一的.下面的引理成立.引理2.9.Ψ⊥=N(L),这里Ψ⊥={u(t)|⟨u(t),v(t)⟩=0,∀v(t)∈Ψ}且N(L)是L的零空间,则N(L)={u|L u=0}.证明:对任意的u(t)∈Ψ⊥,0=⟨u(t),ψk(t)⟩=⟨u(t),L∗ψk(t)⟩=⟨L u(t),ψk(t)⟩=L u(t k)因为{t i}∞i=1在[0,1]上是稠密的,则L u(t)≡f(t).可以得到v(t)∈N(L).显然, N(L)⊂Ψ⊥.则Ψ⊥=N(L).定理2.10.{t i}∞i=1是[0,1]上的稠密集,若(2-6)有解,解 u(t)可以表示为:u(t)=∞∑i=1t∑k=1βik f(t k)ψi(t)+τ(t)这里τ(t)∈N(L).证明:假设{σt }∞i =1是N (L )的一组基.对{ψ1,ψ2,···,σ1,σ2,···}正交化,我们得到σt =∞∑k =1βik ψk (t )+t ∑j =1βij σj ,i =1,2,...因此,{ψ1,ψ2,···,σ1,σ2,···}是W n +1[0,1]的一组标准正交基.由定理2.10,我们得到了(2-6)的解.因此,通过Gram-Schmidt 正交化过程,有{ψt }∞t =1∪{σt }∞t =1是W n +1[0,1]的完全正交系,{σt }∞t =1是N (L )的完全正交系.2.4.2再生核空间中(2-5)解的稳定性令Ψ空间是完备的.L Ψ是L ∈Ψ的限制算子,则逆算子L −1Ψ:W n +1[0,1]→Ψ存在且有界.引理2.11.若u L (t )由(2-5)得到,那么u L (t )是最小范数解.证明:令u (t )是方程(2-5)的解.有u (t )=u L (t )+v (t )这里u L (t )∈Ψ,v (t )∈Ψ⊥.则下式成立∥u ∥2=⟨u L +v,u L +v ⟩=∥u L +v ∥2+⟨u L ,v ⟩+⟨v,u L ⟩+∥v ∥2=∥u L ∥2+∥v ∥2≥∥u L ∥2证明得到u L 是(2-5)的最小范数解.定理2.12.如果(2-6)有解,令u L (t )为最小范数解,那么u L (t )在W n +1[0,1]空间是稳定的.∥u L (t )−u L ,n (t )∥2→0(n −→∞)这里u L ,n (t )是u L (t )截断后得到的,因此u L (t )在W n +1[0,1]中是稳定的.证明:令f(t)=f n(t)+εn(t),这里εn(t)是扰动项.在∥·∥W n+1意义下,εn(t)→0(n→∞).一方面,因为L−1Ψεn(t)∈Ψ,L∗Ψφk=φk,因此L−1Ψεn(t)=∞∑i=1⟨L−1Ψεn(t),ψi(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1⟨L−1Ψεn(t),t∑k=1βikψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨L−1Ψεn(t),ψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t),L−1∗Ψψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t),L−1∗ΨL∗Ψψk(t)⟩ψi(t) =∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t k),ψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βikεn(t k)ψi(t)另一方面,f,f n∈W12[0,1],由(2-5)得u L(t)−u L,n(t)=∞∑i=1t∑k=1βik[f(t)−f n(t)]ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βikεn(t k)ψi(t)这里u L,n(t)=∞∑i=1t∑k=1βik f n(t k)ψi(t)于是u L(t)−u L,n(t)=L−1Ψεn(t)由L−1Ψ的连续性且在∥·∥W n+1意义下,εn(t)→0(n→∞),有limn→∞∥u L(t)−u L,n(t)∥W n+1≤∥L−1Ψ∥W n+1limn→∞∥εn(t)∥W n+1=02.5数值算例在这一节中,通过数值算例来证明本方法的准确性.例1.考虑以下具有光滑核和光滑解的Volterra 积分方程[13]:u (x )=f (x )−∫x−1exp (x −s )(x −s )−αu (s )ds,x ∈[0,1]这里精确解为u (x )=sin (πx ),f (x )由α的取值而确定.当我们应用本文方法,当α=0.8时,分别取节点个数n =100、200、300,所得误差如图1所示.0.20.40.60.8 1.00.000050.000100.000150.000200.20.40.60.8 1.00.000010.000020.000030.000040.000050.20.40.60.8 1.05. 100.000010.0000150.00002图1:分别对应|u −u 100|,|u −u 200|,|u −u 300|的绝对误差.由图1可知,随着n 的增加,近似解的精度越来越好.0.00.20.40.60.81.00.0100.0050.0000.0050.0100.015图2:ε=0.1,ε=0.01,ε=0.001三种情况下的相对误差叠加图.从图2中可以看出,在f (x )添加三种扰动项后,相对误差图基本重合.例2.考虑下面的Abel 积分方程[13]:u (x )=g (x )−∫x−1(x −s )−αu (s )ds,x ∈[0,1]真解u(x)=sin(x)xα,qp是有理数,q<p.其中g(x)=sin(x)xα+√πΓ(1−α)x12−αsinx2B(12−α,12)这里的B(·,·)是Bessel函数B(α,x)=(x2)α+∞∑k=0(−x2)kk!Γ(α+k+1)4k表2:例2当α取不同值时的相对误差节点α=0.4的相对误差α=0.9的相对误差11/1001.10425×10−72.84195×10−731/1002.22156×10−71.57889×10−751/1002.45733×10−81.82809×10−771/1001.49182×10−82.90083×10−891/1002.71828×10−88.50539×10−82.6本章小结本章主要内容在于线性Volterra积分方程的求解.首先利用泰勒展开式消去弱奇异核,将弱奇异积分方程转化为微分积分方程,然后在再生核空间求解微分积分方程.数值算例的结果表明,该方法具有较好的逼近效果和稳定性.第3章非线性Volterra积分方程的数值算法3.1背景介绍本章考虑以下形式的非线性弱奇异Volterra积分方程:u(x)−λ∫x0k(x,t)u p(t)(x−t)1−αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1(3-1)其中f(x)是已知函数,1(x−t)1−α在t→x时奇异,核函数k(x,t)是光滑的,通常假设未知函数u(x)在[a,b]上是连续的或平方可积的.对于非线性Volterra积分方程有很多数值算法,例如第二个Chebyshev小波SCW法[21],谱配置法[29−34],分数阶勒让德函数和伪谱法[43].本章利用构造的再生核基函数和块脉冲函数相结合的方法来求解非线性方程(3-1).3.2HOR法求解非线性弱奇异Volterra积分方程3.2.1再生核空间W12[0,1]定义3.1.W12[0,1]={u(y)|u(y)在[0,1]上绝对连续,u′(y)∈L2[0,1]}.W12[0,1]为希尔伯特空间，分别赋予其内积和范数，⟨u(y),v(y)⟩W12=u(0)v(0)+∫1u′(y)v′(y)dy∥u∥W12=√⟨u,u⟩W12定理3.2.W12[0,1]是再生核空间,因此,存在函数Q x(y),对于每一个固哈尔滨师范大学硕士学位论文定x∈[0,1],Q x(y)∈W12[0,1],对于任意u(y)∈W12[0,1],满足u(x)=⟨Q x(y),u(y)⟩再生核函数Q x(y)被定义为Q x(y)=1+y,y<x1+x,y>x3.2.2基函数的构造现在,从W12[0,1]空间中选取一组再生核基函数.定理3.3.设{x j(x)}∞j=1是[a,b]上互异的点,则Q xj(x)def=Q(x j,x)是再生核空间W12[0,1]中的线性无关组.若{x j(x)}∞j=1在[a,b]稠密,则Q xj(x)是再生核空间W12[0,1]中的基[41].对{Q xj (x)}∞j=1做Schmidt正交化可以得到W12[0,1]的一组标准正交基ψj(x).ψj(x)=j∑k=1βjk Q xj(x)这里βjk是正交化系数.由此得到一组标准正交基函数ψj(x).为方便表示,记正交再生核基函数为HOR j(x)=ψj(x).因此,获得一组W12[0,1]中的标准正交基函数{HOR1,HOR2,···,HOR2k−1M−1}. HOR标准正交基满足：⟨HOR j(x),HOR j′(x)⟩=1,i=j′0,j=j′这里的⟨·,·⟩为W12[0,1]的内积.任何在[0,1]中可积的函数u(x),都可以使用以下HOR函数展开为:u(x)=∞∑j=1c j HOR j(x)第3章非线性Volterra 积分方程的算法研究式中,系数c j 可由内积确定,即c j =⟨u (x ),HOR j (x )⟩下面用一个截断的级数来近似表示u (x ),如下所示:u (x )≈2k −1M ∑j =1c j HOR j (x )=C T HOR (x )这里HOR (x )和C 是2k −1M ×1向量,如下所示：HOR (x )=[HOR 1,HOR 2,···,HOR 2k −1M ]TC =[c 1,c 2,···,c 2k −1M ]T令m ′=2k −1M ,取节点t i =2i −12k M (i =1,2,···,2k −1M ),我们定义HOR 矩阵Φm ′×m ′如下:Φm ′×m ′=[HOR (12m ′),HOR (32m ′),···,HOR (2m ′−12m ′)]当M=3,k=2时,HOR 矩阵表示为：1.040831.040831.040831.040831.040831.0408300.4082480.4082480.4082480.4082480.408248000.4082480.4082480.4082480.4082480000.4082480.4082480.40824800000.4082480.408248000000.4082483.2.3分数阶积分算子矩阵在本节中,首先来回顾一下分数微积分的一些基本定义.定义3.4.对于一个正实数α,那么一个定义在[0,1]上的函数f (x )的α阶Riemann-Liouville 分数阶积分定义为：哈尔滨师范大学硕士学位论文(Iαf)(x)=1Γ(α)∫x(x−t)α−1f(t)dt,α>0,x>0f(x),α=0(3-2)其中,Γ(α)为Gamma函数.下面来回顾块脉冲函数的定义和特性.定义3.5.m-维块脉冲函数(BPFs)定义如下：b i(x)=1,im≤x≤i+1m0,其他(3-3)这里x∈[0,1),i=1,2,···,m−1.BPFs函数满足以下性质：(1)不相交性:b i(x)b j(x)=b i(x),i=j0,i=j(2)正交性:∫10b i(x)b j(x)dx=1,i=j0,i=j任何在[0,1)上可积的函数f(x)可由BPFs展开为：f(x)≈m−1∑i=0f i b i(x)=F T B m(x)这里F=[f0,f1,f2,···,,f m−1]T,B m(x)=[b0(x),b1(x),b2(x),···,,b m−1(x)]T.由BP F s的不相交性,矩阵B m(x)如下所示:B m(x)B Tm (x)=B0(x)0 00B1(x) 0............00···B m−1(x)–18–第3章非线性Volterra积分方程的算法研究HOR函数可以展开为m-维块脉冲函数,如下形式：HOR m′=Φm′×m′B m′(x)(3-4)其中B m′(x)=[b0(x),b1(x),···,,b m′−1(x)]T.块脉冲函数的分数阶积分算子Fα已经由Kilicman和Alzhour给出[42].(IαB m′)(x)≈(FαB m′)(x)(3-5)这里Fα=1m′α1Γ(α+2)1ζ1ζ2ζ3···ζm′−101ζ1ζ2···ζm′−2001ζ1···ζm′−3..................00···01ζ1000 (01)ζk=(k+1)α+1−2kα+1+(k−1)α+1令(IαHOR m′)(x)≈(PαHOR m′)(x)(3-6)其中矩阵Pα称为HOR函数的分数阶积分算子矩阵.由方程(3-4)和方程(3-5)可得(IαHOR m′)(x)≈(IαΦm′×m′B m′)(x)=Φm′×m′(IαB m′)(x)=Φm′×m′FαB m′(x)(3-7)由方程(3-6)和方程(3-7)得到PαHOR m′(x)=PαΦm′×m′B m′(x)=Φm′×m′FαB m′(x)(3-8)则分数阶再生核算子矩阵Pα为：Pα=Φm′×m′FαΦ−1m′×m′哈尔滨师范大学硕士学位论文例如,当α=0.5,M=2,k=3时,分数阶积分HOR矩阵为:Pα=0.3071060.6486330.4222540.341470.2947820.2632800.3071060.2544150.1656220.1339360.115623000.3071060.2544150.1656220.1339360000.3071060.2544150.16562200000.3071060.254415000000.3071063.2.4利用HOR求解非线性Volterra积分方程考虑如下非线性弱奇异Volterra积分方程：u(x)=f(x)+∫x0k(x,t)u p(t)(x−t)1−αdt,0<α<1(3-9)其中u(x),f(x),k(x,t)可近似为：u(x)≈U T HOR(x)≈U TΦm′×m′B m′(x)(3-10)f(x)≈F T HOR(x)≈U TΦm′×m′B m′(x)(3-11)k(x,t)≈HOR T(x)K HOR(t)(3-12)这里,K是m′×m′矩阵K=⟨HOR(x),⟨k(x,t),HOR(t)⟩⟩(3-13)下面定义A=U TΦm′×m′=[a1,a2,···,,a m′]则方程(3-10)变为u(x)≈AB m′(x)第3章非线性Volterra积分方程的算法研究则u p(x)≈A p B m′(x)(3-14)其中A p=U TΦm′×m′=[a p1,a p2,···,,a p m′],p是正整数.因此,把方程(3-10),(3-11),(3-12),(3-14)带入(3-9)得到U T HOR(x)=F T HOR(x)+λ∫x(x−t)α−1HOR T(x)KHOR(t)A P B m′(t)dt(3-15)这里λ∫x(x−t)α−1HOR T(x)KHOR(t)A P B m′(t)dt=λHOR T(x)K ∫x(x−t)α−1HOR(t)B Tm′(t)A P dt=λHOR T(x)K ∫x(x−t)α−1Φm′×m′B m′(t)B T m′(t)A P dt=λHOR T(x)KΦm′×m′∫x(x−t)α−1B m′(t)B T m′(t)A P dt=λHOR T(x)KΦm′×m′∫x(x−t)α−1diag(A P)B m′(t)dt=λHOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)∫x(x−t)α−1B m′(t)dt=λΓ(α)HOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)IαB m′(x)=λΓ(α)HOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)FαB m′(x)=λΓ(α)B Tm′(x)ΦT m′×m′KΦm′×m′diag(A P)FαB m′(x)=λΓ(α) QB m′(x)(3-16)这里的 Q=B T m′(t)ΦT m′×m′KΦm′×m′diag(A P)Fα.所以,方程(3-15)被写成如下形式U T HOR(x)=F T HOR(x)+λΓ(α) QB m′(x)将方程(3-4)带入上式U TΦm′×m′B m′(x)=F TΦm′×m′B m′(x)+λΓ(α) QB m′(x)用B m′(x)乘上述方程的两边,并在区间[0,1]积分,根据BPFs的正交性,可以得到如下非线性方程组U TΦm′×m′=F TΦm′×m′+λΓ(α) Q(3-17)为了计算未知系数矩阵U T,取网格点t i=2i−12k−1M(i=1,2,···,m′)带入方程哈尔滨师范大学硕士学位论文（3-17)得到一个由m′个未知数组成的非线性方程组,用牛顿迭代法解非线性方程组,得到未知量U T,则近似解u(x)可计算为u(x)=U T HOR m′×m′(x)3.3数值算例下面使用本章所给出的方法来求解以下弱奇异Volterra积分方程.例1.考虑以下具有光滑核和光滑解的Volterra积分方程[13]:u(x)=πx5csc(π5)−∫xu(t)(x−t)0.2dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=x2.Error(10图4.1:分别表示当k=4,M=2时的精确解和近似解的对比图及误差图.表1:例1HOR和Chebyshev方法绝对误差的比较[13]x i HOR精确解HOR的绝对误差Chebyshev的绝对误差k=8,M=8k=8,M=8n=80.10.63095711330.63095734452.3×10−71.4×10−50.20.72477953380.72477966371.2×10−72.1×10−50.30.78600298530.78600308561.0×10−73.5×10−50.40.8325531230.83255320748.4×10−85.5×10−50.50.87055049270.87055056337.1×10−82.4×10−50.60.90288039240.90288045145.9×10−84.4×10−50.70.93114986560.93114991515.0×10−85.2×10−50.80.95635245670.95635249984.3×10−87.1×10−50.90.97914832390.97914836243.8×10−86.9×10−5第3章非线性Volterra积分方程的算法研究例2.考虑以下弱奇异Volterra积分方程[21]:u(x)=x3−40966435x17/2+∫xxt(x−t)0.5u3(t)dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=x2.表2:例2HOR和SCW方法绝对误差的比较[21]x i HOR精确解HOR的绝对误差SCW的绝对误差k=4,M=2k=4,M=2k=4,M=20.10.00100123130.0011.2313×10−69.6679×10−50.20.00800476640.0084.7664×10−64.7192×10−40.30.027********.0278.3197×10−67.6218×10−40.40.06400849880.0648.4988×10−65.2959×10−40.50.12503511490.1253.5115×10−54.7042×10−30.60.21607026110.2167.0261×10−54.3467×10−40.70.34318745690.3431.8746×10−52.7024×10−50.80.51240942240.5124.0942×10−55.0051×10−50.90.72982114370.7298.2114×10−47.3236×10−3例3.考虑以下非线性带奇异核的Volterra积分方程[21]:u(x)=x2+√x15(15−16x2)+∫xu4(t)(x−t)0.5dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=√x.k,M取不同值时的绝对误差数值结果见表3.表3:例3HOR和SCW方法绝对误差的比较[21].x i HOR SCW HOR SCW k=4,M=2k=4,M=2k=5,M=2k=5,M=2 0.17.7317×10−66.8039×10−33.0366×10−61.4565×10−3 0.26.1034×10−61.4873×10−31.9800×10−71.8367×10−4 0.34.1378×10−65.2635×10−48.4214×10−71.2211×10−4 0.41.5974×10−52.7034×10−41.5396×10−66.8020×10−5 0.53.6909×10−58.2247×10−43.8105×10−62.2140×10−4 0.69.2840×10−51.6089×10−41.1926×10−52.6100×10−5 0.71.1574×10−47.3143×10−34.4679×10−52.9370×10−5 0.81.0484×10−44.6887×10−36.3578×10−52.4144×10−6 0.91.9961×10−37.3699×10−31.0129×10−48.3715×10−6哈尔滨师范大学硕士学位论文3.4本章小结本章提出了一种新的方法求解非线性弱奇异Volterra积分方程包括Abel方程,运用正交再生核和块脉冲函数相结合的方法,利用Riemann-Lioville分数阶算子矩阵将所考虑的方程转化为易于求解的非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组.数值算例结果表明了该方法的有效性.当求解此类积分方程时,难点在于弱奇异部分的处理.因此,该方法的主要特点是将再生核方法与处理弱奇异积分的Riemann-Lioville分数积分的定义结合,从而得到代数方程组.数值算例表明,当k,M越大时,误差越小.结论结论近年来,弱奇异Volterra积分方程广泛应用于许多科学领域,对于很多实际问题都有非常重要的意义.由于弱奇异Volterra积分方程问题在理论和实践上的重要性,其数值解法的研究就显得格外重要.一般来说,这种方程不容易获得解析解. Volterra积分方程的求解方法有很多,近十几年来,再生核空间理论发展迅速,具有强大的实用前景的框架结构,并且因为再生核函数又是一个初等函数,这就使得再生核理论在计算上有着极强的优势.因此利用再生核或者再生核方法与别的方法结合来解决带有弱奇异核的Volterra积分方程是一个研究方向.本文对第二类弱奇异Volterra积分方程进行了算法研究,针对线性和非线性方程设计了不同的算法.对于线性弱奇异Volterra积分方程,首先利用泰勒展开式消去弱奇异核,将弱奇异积分方程转化为积分微分方程,然后在再生核空间中近似求解积分微分方程.在数值算例部分,结果表明数值解与精确解吻合较好.对于非线性弱奇异Volterra积分方程,运用混合正交再生核和块脉冲函数相结合的方法,利用Riemann-Lioville分数阶算子矩阵将所考虑的方程转化为易于求解的非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组,可得到近似解的表达式.本文利用Mathematica12.0软件对算例进行了数值模拟,并与已有文献进行比较,其结果表明了该方法的有效性.由于时间仓促,本文也存在一定不足,有待于进一步的探索和完善.在今后的工作中,将进一步探索文中算法所能应用的领域,使其能求解更多不同种类的模型,并尝试优化算法,来获得非线性方程近似解的更高精度.参考文献mm,L.Eldn.Numerical Solution of First-Kind Volterra equations by Sequential Tikhonov Regularization.Numer.Anal.1997,34(4):1432∼14502H.J.Teriele.Collocation Methods for Weakly Singular Second Kind Volterra Integral Equations with Non-smooth Solution.IMAJ.Numer.Anal.1982,2(4): 437∼4493T.Diogo,S.Mckee,T.Tang.A Hermite-type Collection Method for The Solutions for Anintegral Equation with A Certain Weakly Singular Kernel.IMAJ.Numer.Anal.1991,11:595∼6054P.Lima,T.Diogo,An Extrapolation Method for a Volterra Integral Equation with Weakly Singular Kernel.Appl.Numer.Math.1997,24(2-3):131∼1485Q.Hu.Superconvergence of Numerical Solutions to Volterra Integral Equations with Singularities.SIAM J.Numer.Anal.1997,34(5):1698∼1707.6A.Karamete,M.Sezer.A Taylor Collection Method for The Solutions of Linear Integro-Differential put.Math.2002,79:798∼10007Tao L,Yong H.A Generalization of Discrete Gronwall Inequality and Its Applica-tion to Weakly Singular Volterra Integral Equation of The Second Kind.J.Math.Anal.App.2003,282(1):56∼628T.Diogo,N.B.Franco,P.Lima.High Order Product Integration Methods for a Volterra Integral Equation with Logarithmic Singular m.Pure Appl.Anal.2004,3(2):217∼2359Marek Kolk,Arvet Pedas.Smoothing Transformation and Piecewise Polynomi-al Collocation for Volterra Integro-Differential Equations with Weakly Singular Kernels.WSEAS Transactions Math.2007,6(4):537∼544.10Tao L.,Y.Liu.Mechanical Quadrature Methods and Their Extrapolation for Solving First Kind Abel Integral put.Appl.Math.2007, 201(1):300∼313.11T.Diogo,P.Lima Superconvergence of Collocation Methods for a Class of Weakly Singular Volterra Integral put.Appl.Math.2008,218(2):307∼316。
