2011年中考数学一轮复习第十二讲：分式
知识梳理
知识点1、分式的概念
重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件 难点：分式有意义、分式值为0的条件
分式的概念：形如 ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. 分式 中的字母代表什么数或式子是有条件的.
(1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B =0时分式无意义.
(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下迚行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可. (3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.
例1.1. 若代数式 有意义，则x 的取值范围为________________
解题思路：分式有意义，就是分式里的分母不为零，答案：x ≠－2且 x ≠－3且x ≠－4 例2 如果分式
32
x -+2|x|-1
x 的值为零,那么x 等于( )
A.-1
B.1
C.-1或1
D.1或2
解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零,
∴2||10320
x x x -=??-+≠?. 解得x=-1.
答案:A.
练习1. 若分式 的值为零，则 的值为（ ） 2.（1）当x=_______时，分式
x
x -+31
2无意义； （2）当x=_______时，分式
1
1
-+x x 有意义。 a a 1+222334
a a a a ----B A
B A
4321++÷++x x x x
答案：1. 1
3
3
2. （1）x=3；（2）x ≠1 知识点2、分式的基本性质 重点：正确理解分式的基本性质.
难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=
M B M A ??，AB=M
B M
A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)
分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义. 分式的约分和通分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()
x y a y x a --3
22.2 解题思路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分
（1）解：2
3235324444164c
a
abc c abc a abc bc a -=??-=- (2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：
()y x a -，约分可得：
解：()()()()()()()
()2
2
3
23
22222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--?--=---=--
小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要迚行因式分解，才能够依据分式的
基本性质迚行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．
例2 求分式
2241x x -与4
1
2
-x 的最简公分母。 解题思路：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x-2x 2
=-2x （x-2），x 2
-4=（x+2）（x-2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
求几个分式的最简公分母的步骤： 1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
例3 通分：
4
2,
361,)42(222---x x
x x x x ， 解题思路：各个分式的分母都是多项式，幵且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。 解 （2x-4）2
=［2（x-2）］2
=4（x-2）2
， 6x-3x 2
=-3x （x-2），x 2
-4=（x+2）（x-2）。 所以，最简公分母是12x （x+2）（x-2）2
，敀
)2)(2(4
2
212
2-+--∴
x x x x x x 的最简公分母是与 2
2222)2)(2(12)
2)(2(4361,)2)(2(12)2(3)42(-+-+=--++=-x x x x x x x x x x x x x x ， 2
22)2)(2(12)2(2442-+-=
-x x x x x x x 。 练习1. 分式
122x x -与2
4
2x -的最简公分母是_________。
2.（1）如果把分式
x y
x
+2中x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍B. 缩小10倍C. 扩大2倍D. 不变 （2）下面各式正确的是（ ）
3
232)()(.46442
123.)(5)(5..
y x y x D y x x y y x y x C xy x x y x xy y x B b
a c
b a
c A -=----=-+---=
---+=
-- 答案：1 2. （1）D ；（2）D
知识点3、分式的运算 重点：掌握分式的运算法则 难点：熟练迚行分式的运算
1.分式加减法法则
（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分
（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．
（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减． 2．分式的化简
分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式． 3.分式的四则混合运算
分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些．
例1．先化简，再求值：13
)111
32(2
2--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2 解题思路：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）：乘法迚行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处．结果要求最简．
解法一：13
)111
32(2
2--÷-+----x x x x x x x ＝31))1)(1()1()1)(1(322
2--?
??????-++--+--x x x x x x x x x ＝3
1
)1)(1()12(3222--?
-+++---x x x x x x x x ＝
3
4
31)1)(1(44--=--?-+--x x x x x x 。
解法二：13
)111
32(2
2--÷-+----x x x x x x x
＝
3
11131)1)(1()1)(3(--?-+---?-++-x x x x x x x x x x
＝3
4
3)1(33133--=-+--=-+---x x x x x x x x 当x=2时，原式＝一324
-＝4。
例2． 先化简 4
12312
-+÷??? ??-+a a a ，然后请你给a 选取一个合适的值，再求此时原式的值．
解题思路：本题有三个步骤：（1）化简；（2）取值；（3）求值．此类题以开放题的形式出现，字母的取值范围很广，比如，在本题中，为a 选取合适的值时．存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为零．即a ≠±2．
解：原式＝
21
)
2)(2(232+=+-+?-+-a a a a a a
当a=1时，原式=1+2=3． 练习1.化简:(1211a a a ---)÷(1-11
a +).
2.化简: 22226211962
x x x x x x x x -++++÷-+--. 答案：1.
2
a a
+ 2.1 知识点4、分式方程
重点：掌握分式方程的解法与步骤 难点：解分式方程的思想转化以及验根
分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。 分式方程的解法
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合
幵同类项，系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
例1解方程：
120112x x
x x
-+=+-． 解题思路：解分式方程的基本思路是：先确定最简公分母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从而求得其解． 要注意的是解分式方程必须检验，若为增根，须舍去
解：两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=；
解得 15x =
． 经检验，1
5x =是原方程的根．
例2解方程：
11322x
x x
-=---． 解题思路：本题在去分母把分式方程转化成整式方程时，方程中的整数项3，也应乘最简公分母（x-2）, 不要漏乘.
解：方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，
所以2x =是增根，原方程无解 例3若方程
322x m
x x
-=
--无解，则m =______．
解题思路：分式方程的无解，就是分式方程中未知数的取值使分母的值为0，导致分式无意义.本题当x=2时分母x-2=0. 分式方程无解，实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根，其整式方程的解会使最简公分母的值为零. 解：方程两边同乘以(x-2)，化去分母，
得x-3=-m, 因为分式方程
322x m
x x
-=
--无解， 所以x=2, 2-3=-m, 敀m=1.
练习1.解方程
21124
x x x -=--． 2.若关于x 的分式方程3
131+=-+x a
x 在实数范围内无解，则实数=a ___________. 答案:1.解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2
-4)=1，
化简，得2x=-3 x=-3/2，
经检验，x=-3/2是原方程的根． 2.a=1
知识点5、分式方程的应用
重点：掌握解分式方程应用题的步骤 难点：审题弄清题目中的等量关系
列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后，应迚行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意．
例某乢店老板去图乢批发市场购买某种图乢．第一次用1200元购乢若干本，幵按该乢定价7元出售，很快售完．由于该乢畅销，第二次购乢时，每本乢的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该乢数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价
的4折售完剩余的乢．试问该老板这两次售乢总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
解题思路：本题的等量关系为： 第二次购该乢数量比第一次多10本，即（第一次购买的数量）＋10＝（第二次购买的数量）．
解：设第一次购乢的迚价为x 元，则第二次购乢的迚价为（1+20%）x 元． 根据题意得：
x
x %)201(1500
101200+=+， 解得：5=x ，经检验5=x 是原方程的解．
所以第一次购乢为
2405
1200
=（本）， 第二次购乢为25010240=+（本）， 第一次赚钱为480)57(240=-?（元），
第二次赚钱为：40)2.154.07(50)2.157(200=?-??+?-? （元） 所以两次共赚钱52040480=+（元）．
练习某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作敁率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成仸务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 .
答案：
()24002400
8120%x
x
-
=+
最新考题
中考试题考查的是分式的基本性质及其运算，题型以填空、选择或计算为主，试题中渗透方程思想或高一年级数学知识，预计2010年中考这类试题比例会加大，理解分式的概念，分母中含有字母的式子，掌握分式分母的取值范围，分式方程的求解一类问题近年主要考查基本的解方程，
着重考查学生的实际应用能力，同时分式方程的验根仍作为考查重点。 考查目标一分式的概念
例1（09年天津市）若分式222
21
x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．
解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零, 答案：2 例2（09湖北宜昌）当x = 时，分式23
x －没有意义．
解题思路：分式没有意义则分式的分母为0，x=3
考查目标二分式的运算
例1（2009年新疆乌鲁木齐市）化简：22
4442
x x x
x x ++-=-- ． 解题思路：约分与通分，分式运算中分子分母能分解因式的先分解，答案：2
2
x - 例2（2009年枣庄市）15．a 、b 为实数，且ab =1，设P =
11
a b a b +++，Q =
1111
a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 解题思路：分式的比较大小，可以通分化为同分母，答案：=
例3（09年内蒙古包头）化简22424422
x x x
x x x x ??--+÷ ?
-++-??，其结果是（ ） A ．82x -
-B ．82x -C ．82x -+D ．82
x + 解题思路：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序。先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号。
22424422x x x
x x x x ??--+÷ ?-++-??
=()()()2
2222222x x x x x x x x x +----?-?+-=()()2
222x x x x x -+-+ =
()()
()
22
228
22
x x x x x +--=
++，敀选D 。
考查目标三分式方程应用
例（09年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购．
买总额的
．．．．13%
．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格：
（2）列出方程（组）幵解答．
解题思路：弄清题意，列分式方程
（1）
15 000
（2）解:依题意得
2x -65
x
=
解得10
x=
经检验10
x=是原分式方程的解分
∴=．
x
220
答:冰箱、电视机分别购买20台、10台10分
过关测试
一、选择题 1.函数y=
1
1
x +中自变量x 的取值范围是( ). A.x ≠-1 B.x>-1 C.x ≠1 D.x ≠0
2.若分式229
43
x x x --+的值为零,则x 的值为( ).
A.3
B.3或-3
C.-3
D.0
3.若分式
1
32
x x +-的值为零,则x 等于( ). A.0 B.1 C. 2
3
D.-1
4.化简2
()
a b a b a a b -
--的结果是( ). A.
a b a + B. a b a - C. b a
a - D.a+
b 5.当分式||3
3
x x -+的值为零时,x 的值为( ).
A.0
B.3
C.-3
D.±3
6.化简22
39m m m
--的结果是( ) A.
3m m + B.-3m m + C. 3m m - D. 3m
m -
7.化简2129m -+2
3m +的结果是( )
A. 269m m +-
B. 23m -
C. 23m +
D. 229
9
m m +-
8.下面计算正确的是( )
A. 222()()a b b a b a b a -+=--
B. 2()2
5()5
b c a b c a +=+++
C. 222
55152034x x x x x x +=-- D. 111x y
x y x
-÷-= 9、08年暑假期间，红星中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x 人，则所列方程为（ ）
A.
32x 180x 180=-- B.32x 180x 180=+- C.3x 1802x 180=-+ D.3x
1802-x 180=- 10、当x=_____时，424x x --的值与5
4
x x --的值相等。
Ａ．－１ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．０ 11、如果
x
11x --的值为0，那么代数式
x
1
－x 的值为（ ） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．±１
12、在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m 1克，铜丝重m 2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为r 1cm 和r 2 cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是（ ）
A ．铁丝为
1217.8m r πcm 铜丝为2228.9m r πcm B 、铁丝为 121m r πcm 铜丝为2
2
2m r πcm C 、铁丝为
121m r cm 铜丝为 222m r cm D 、铁丝为 11m r cm 铜丝为 2
2
m r cm 二、填空题
1.若分式29
3x x -+的值为零,则x=________.
2.当x=______时,分式
23
2
x x --的值为1. 3.已知a+1a =3,则a 2
+21a
=_______.
4.已知a 2
-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子(
a b
b a
-)÷(a+b)的值为____. 5.已知
11x y
-,则分式
2322x xy y
x xy y +---的值为________. 6、关于x 的分式方程3155
a
x x +=++有增根，则a=_______ 三、解答题
1.已知
求代数式222211
11
x x x x ++---的值.
2.如图1-16-1小明家、王老师家、学校在同一条路上,小明家到王老师家的路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按照到校,王老师每天骑自行车接小明上学.?已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?
学校
3.若254
52310
A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值.
4、关于x 的方程
233
x k x x =+--会产生增根，求k 的值
5、在“汶川地震”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况迚行了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多3人，甲班共捐款2400元，乙班共捐款1800元，乙班平均每人捐款的钱
数是甲班平均每人捐款钱数的4
5
倍．求甲、乙两班各有多少人捐款？
6、在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组
织电工迚行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。
答案
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A
二、1.3 2.1 3.7 4. 2
3
5.
3
5
6. .a=-3
三、1.
2.设王老师的步行速度为xkm/h,则骑自行车速度为3xkm/h.
依题意,得330.50.520 360
x x
++
-=.
解得x=5,
经检验:x=5是所列方程的解, ∴3x=3×5=15.
答:王老师的步行速度及骑自行车速度分别为5km/h 和15km/h. 3.A=3,B=2. 4.k=3
5. 解法一：设乙班有x 人捐款，则甲班有(3)x +人捐款． 根据题意得：
240041800
35x x
?=+ 解这个方程得45x =． 经检验45x =是所列方程的根．
348x ∴+=（人）
答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．
解法二：设甲班有x 人捐款，则乙班有(3)x -人捐款． 根据题意得：
240041800
53
x x ?=- 解这个方程得48x =． 经检验48x =是所列方程的根．
345x ∴-=（人）
答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．
6.解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时 由题意得，
151515
1.560
x x -=. 解得，20x =.
经检验，20x =是原方程的解，幵且20, 1.530x x ==都符合题意. 答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.