2020-2021高三数学下期中试卷含答案(2)
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65
B ．184
C ．183
D ．176
3．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ?的面积为（ ） A
．2+B
1
C
．2
D
1
4．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥??
+-≤??+-≥?
，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8
C ．3
D ．4
5．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <
B ．45S S =
C ．65S S <
D ．65S S =
6．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形
C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形
D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
8．已知ABC ?中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =?，则AB 边上的中线的长为( )
A
B ．
34
C ．
32或
37
D ．
34或37
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
1
2
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
10．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
11．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．已知4
2
1
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、填空题
13．要使关于x 的方程(
)
2
2
120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．
14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，*n ∈N ，则5S =______. 15．已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14
=a 2
，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．
16．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．
17．已知数列111
1
12123123n
+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 18．在
中，若
，则
__________．
19．在△ABC 中，2BC =，7AC =3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是
______．
20．（理）设函数2
()1f x x =-，对任意3,2x ??∈+∞????
，
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题
21．已知锐角ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
22sin 1cos A C B =-．
（1）若2a =，22c =，求b ； （2）若14
sin 4
B =
，3a =，求b ． 22．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若ABC ?的面积为
33
4
，其外接圆的半径为533，求ABC ?的周长.
23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；
（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14
m a b
+=，求+a b 的最小值．
24．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且
240a bc -=．
(1)当5
2,4
a m ==
时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．
25．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
1()2
n n n S a S =?-．
（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝
21
n
S n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{1
2
n n b a +
}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
【分析】
先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ?=+
=+?=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+?=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
4．A
解析：A 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点
()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+?=.
本题选择A 选项.
5．B
解析：B 【解析】
分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴
由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ?是钝角三角形，故选D.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,30b c B ===o Q ，
∴
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得292722
a a =+-??，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则12BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-??，可得：
2226(
26222CD =+-???，或2223()23222
CD =+-??，
∴解得AB 边上的中线32CD =
或37． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
9．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==?-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=?=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +?+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
11．C
解析：C 【解析】
因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115
0,0,,2
a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2
n d
S n =
--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23