江苏省如皋市2021届高三上学期第一次教学质量调研
数学试题
2020．10
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．2 2．已知集合A ＝{}
ln(2)x y x =-，B ＝{
}
2, A x
y y x =∈，则A
B ＝
A ．(-∞，2)
B ．(-∞，4)
C ．(0，2)
D ．(0，4) 3．已知α，β，γ是三个不同的平面，且α
γ＝m ，βγ＝n ，且m ∥n 是α∥β的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．函数()sin(e e )x
x
f x -=+的图像大致为
5．《九章算术》是我国古代的一本数学著作．全书共有方田，粟米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录246个与生产、生活实践相关的实际应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为 A ．
13 B ．23 C ．16 D ．56
6．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，且PA 3二面角P —BC —A 的大小为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．无法确定
7．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为椭圆
的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若AM 3MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为
A ．
2 B ．12 C ．12 D ．13
8．已知全集U ＝{}
N , 12020x x n n ∈=≤≤，若集合A ?U ，B ?U ，A
B ＝?，A ，B
的元素个数相同，且对任意的n ∈A ，2n ∈B ，则A B 的元素个数最多为
A ．20
B ．18
C ．16
D ．以上结果都不正确 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)
且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y 0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x
B ．双曲线
C 的方程为2
214
x y -= C ．1k 2k 为定值
1
4
D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝1 10．已知等比数列{}n a 的公比q ＜0，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b > 11．设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是
A ．若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直
B ．若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线
C ．若直线m ?α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线
D ．若直线m ?α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线 12．关于函数()e cos x
f x a x =-，x ∈(π-，π)，下列说法正确的是 A ．当a ＝1时，()f x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x B ．若函数()f x 在(π-，π)上恰有一个极值，则a ＝0
C ．对任意a ＞0，()f x ≥0恒成立
D ．当a ＝1时，()f x 在(π-，π)上恰有2个零点
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．命题p ：“?x ＞0，x 2＞0”的否定?p ：
． 14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射” “御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为 ．
15．已知F 是抛物线C ：2
2y px =(p ＞0)的焦点，设点A(p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝ ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）．
16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②2
42S S =，且1
12()2
n n T -=-这两个条件中任
选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，
若 ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ??
?
???
的前n 项和n Q ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
如图，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥CC 1，底面ABCD 是菱形，且A 1D ⊥平面AA 1C ． （1）求证：平面AB 1C ⊥平面A 1DB ； （2）求证：BB 1∥DD 1．
19．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E
：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点A ，
过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为21+．
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线l ：y ＝kx ﹣1与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-，n N *
∈．
（1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设11n n n n a b a a ++=
，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式30
31
n T ≥的最小正整数n 的值．
21．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，
F 2，焦距为2，且经过点(﹣1，
2
2
)．若斜率为k 的直线l 与椭圆交于第一象限内的P ，Q 两点（点P 在Q 的左侧），且OP ⊥PQ ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若PF 1∥QF 2，求实数k 的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数()e (ln )x
f x x a x x =-+，x ＞0，若()f x 在0x x =处取得极小值． （1）求实数a 的取值范围； （2）若0()0f x >，求证：03
00
()
f x x x -＞2．