2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）
1、设y 1＝40.9，y 2＝80.48
，y 3＝(12
)－1.5，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2
1、解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12
－1.5＝21.5，∵y ＝2x
在定义域内为增函数，
且1.8>1.5>1.44，∴y 1>y 3>y 2.
2、若函数f (x )＝?
???
?
a x
，x >14－a
2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞) B．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)
2、解、选D.因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象(图略)知???
a >1
4－a 2>0
4－
a 2＋2≤a
，解得4≤a <8.
3、函数y ＝(1
2
)1－x 的单调增区间为( )
A ．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)
3、解、选A.设t ＝1－x ，则y ＝
????12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝????121－x 的递增区间．
4、设13<(13)b <(1
3)a <1，则( )
A ．a a B ．a a C ．a b D ．a b 4、解、选C.由已知条件得0 5、若(12)2a ＋1<(12 )3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1 2) 5、解、选B.函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >1 2 . 6、下列三个实数的大小关系正确的是( ) A ．(12011)2＜212011＜1 B ．(12011)2＜1＜212011 C ．1＜(12011)2＜212011 D ．1＜21 2011＜(12011 )2 6、解、选B.∵12011＜1，∴(12011 2＜1,21 2011＞20 ＝1 7、设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－1)＞f (－2) B ．f (1)＞f (2) C ．f (2)＜f (－2) D ．f (－3)＞f (－2) 7、解、选D.由f (2)＝4得a －2＝4，又a ＞0，∴a ＝12 ，f (x )＝2|x | ，∴函数f (x )为偶函数，在(－∞，0)上单调递 减，在(0，＋∞)上单调递增． 8、函数f (x )＝1 2x ＋1 在(－∞，＋∞)上( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 8、解、选A.u ＝2x ＋1为R 上的增函数且u ＞0，∴y ＝1u 在(0，＋∞)为减函数．即f (x )＝12x ＋1 (－∞，＋∞)上 为减函数，无最小值． 9、若x ＜0且a x ＞b x ＞1，则下列不等式成立的是( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．1＜a ＜b 9、解、选B.取x ＝－1，∴1a ＞1 b ＞1，∴0＜a ＜b ＜1. 10、已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． 10、解析：由函数的定义，得1＜2x ＜2?0＜x ＜1.所以应填(0,1)．答案：(0,1) 11、已知函数f (x )＝a －1 2x ＋1 ，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 11、解、法一：∵f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝1 2 . 法二：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12答案：1 2 12、当x ∈[－1,1]时，f (x )＝3x －2的值域为________． 12、解、x ∈[－1,1]，则13≤3x ≤3，即－53≤3x －2≤1.答案：??? ?－5 3，1 13、若函数f (x )＝e －(x －u )2的最大值为m ，且f (x )是偶函数，则m ＋u ＝________. 13、解、∵f (－x )＝f (x )，∴e －(x ＋u )2＝e －(x －u )2，∴(x ＋u )2＝(x －u )2，∴u ＝0，∴f (x )＝e －x 2.∵x 2≥0，∴－x 2 ≤0，∴0＜e －x 2≤1，∴m ＝1，∴m ＋u ＝1＋0＝1.答案：1 14、讨论y ＝(1 3 )x 2－2x 的单调性． 14、解：函数y ＝(1 3 )x 2－2x 的定义域为R ， 令u ＝x 2－2x ，则y ＝(1 3 u .列表如下： (1，＋∞)上是减函 15、已知2x ≤(14)x －3，求函数y ＝(1 2)x 的值域． 15、解：由2x ≤(14x －3，得2x ≤2－2x ＋6，∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝1 4 即y ＝(12)x 的值域为[1 4 ，＋∞)． 16、已知f (x )＝(12x －1＋12 )x . (1)求函数的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0. 16、解：(1)由2x －1≠0，得x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． (2)在定义域内任取x ，则－x 在定义域内，f (－x )＝(12－x －1＋12－x )＝(2x 1－2x ＋1 2 )(－x ) ＝－1＋2x 21－2x ·x ＝2x ＋122x －1·x ，而f (x )＝(12x －1＋12)x ＝2x ＋1 22x －1·x ，∴f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． (3)证明：当x <0时，由指数函数性质知，0<2x <1，－1<2x －1<0，∴12x －1<－1，∴12x －1＋12<－1 2 . 又x <0，∴f (x )＝(12x －1＋1 2 )x >0.由f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )>0.综上，当x ∈R ，且x ≠0时，函数f (x )>0 17、 当a ＞1时，判断函数y = 1 1-+x x a a 是奇函数. 17、证明：由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称.又f （－x ） =1 1-+--x x a a = x x x x a a a a )1()1(-+--= x x a a -+11=－f （x ），∴f （－x ）=－f （x ）.∴函数y = 1 1-+x x a a 是奇函数. 18、 求函数y =（ 2 1）x x 22 -的单调区间，并证明之. 18、解：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则 1 2y y =1212 22 22)2 1()21(x x x x --=（21）12212122x x x x ++-=（21 ）)2)((1212-+-x x x x .∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0. 当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，即 1 2y y ＞1. ∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增. 当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即1 2y y ＜1. ∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、（用复合函数的单调性）：设：x x u 22 -= 则：u y ?? ? ??=21 对任意的211x x <<，有21u u <，又∵u y ?? ? ??=21是减函数 ∴21y y < ∴x x y 22 21-? ? ? ??=在),1[+∞是减函数对任意的121≤ 又∵u y ?? ? ??=21是减函数∴21y y < ∴x x y 22 21-? ?? ??=在 ),1[+∞是增函数 小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（x x u 22-=）和外层函数（u y ?? ? ??=21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性. 19、 求函数y =33 22 ++-x x 的单调区间和值域. 19、解：由题意可知，函数y =33 22 ++-x x 的定义域为实数R .设u =－x 2 +2x +3（x ∈R ）， 则f （u ）=3u ，故原函数由u =－x 2+2x +3与f （u ）=3u 复合而成.∵f （u ）=3u 在R 上是增函数， 而u =－x 2+2x +3=－（x －1）2+4在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数. ∴y =f （x ）在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u ≤4，此时x =1， ∴当x =1时，y max =f （1）=81，而33 22 ++-x x ＞0，∴函数y =f （x ）的值域为（0，81］. 20、 设a 是实数，)(1 22)(R x a x f x ∈+- =试证明对于任意a,)(x f 为增函数； 20、分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解 答方法 （1）证明：设21,x x ∈R,且21x x < 则12()()f x f x - 1 2 22()()2 1 2 1 x x a a =- -- ++ 1 22 1 1 2 2(22 ) 222 1 2 (2 1)(21) x x x x x x -= - = +++由于指数函数 y=x 2在R 上是增函数,且 21x x <, 所以2122x x <即2122x x -<0， 又由x 2>0得12x +1>0, 2 2 x +1>0 所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f < 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数 小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性 21、已知0>a 且1≠a ，讨论2 32 )(++-=x x a x f 的单调性. 21、【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题， 指数4 17)23(232 2+ - -=++-x x x ，当x ≥ 2 3时是减函数，x ≤ 2 3时是增函数， 而)(x f 的单调性又与10<a 两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设232u x x =-++2 317()24 x =--+ ，则当x ≥ 2 3时，u 是减函数， 当x ≤ 2 3时，u 是增函数，又当1>a 时，u a y =是增函数，当10<a 时，原 函数2 32 )(++-=x x a x f 在),2 3[+∞上是减函数，在]2 3