23.1 一元二次方程学案
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：
探究新知
【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？
合作交流
动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .
自主学习
【做一做】根据题意列出方程：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】
1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）81
x（2）)2
42=
x
x
=
-x
(5
)1
(
3+
【挑战自我】
1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822
=-+x x ±2， ±4 3、要使02)1()1(1
=+-+++x k x
k k 是一元二次方程，则k=_______.
4、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
拓展提高
1、已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。问 （1）当k 为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当k 为何值时，方程为一元一次方程？
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
作业：
课本第19页习题23.1第1、2、3题。
课后反思：
23.2.1一元二次方程的解法（一）
教学目标
1.会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程；
2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
研讨过程
一、复习导学
1.什么叫做平方根?
2.平方根有哪些性质？
二、探索新知 试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1）x 2=4 （2）x 2
-1=0 解（1）∵x 是4的平方根
∴x ＝
即原方程的根为： x 1= ，x 2 =
（2）移向，得x 2
=1
∵ x 是1的平方根
∴x=
即原方程的根为： x 1= ，x 2 =
概括总结：
就是把方程化为形如x 2
=a （a ≥0）或b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。
如：已知一元二次方程mx 2
+n=0(m ≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m 、n 必须满足的条件是（ ）
A.n=0
B.m 、n 异号
C.n 是m 的整数倍
D.m 、n 同号 例1解下列方程
（1）x 2-1.21=0 （2）4x 2
-1=0
解：（1）移项，得x 2= （2）移项，得4x 2
=
∵x 是 的平方根 两边都除以4，得 ∴x= ∵x 是 的平方根 即原方程的根为： x 1= ，x 2 = ∴x=
即原方程的根为： x 1= ，x 2 =
例2解下列方程：
⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2
－4 = 0
⑶ 12（3－2x ）2
－3 = 0
练一练：
1.解下列方程：
（1）x 2-0.81=0 （2）9x 2
=4
2.解下列方程：
（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2
-5=0
（3）（2x-1）2 =（3-x ）2
4、一个正方形的面积是100cm 2
， 求这正方形的边长是多少？
课堂小结：
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。
课后反思：
23.2.2一元二次方程的解法（二）
教学目标
1、 会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程；
2、 灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、 使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
研讨过程
一 、 复习练习：
1、 什么是直接开平方法？请举例说明。
2、 你能解以下方程吗？
（1）8－x 2= —1 （2)3y 2
—18=0
（3) x(x-1)+4x=0 （4）—3x 2
—27=0
二、例题讲解与练习
你是怎样解方程()2
1256x +=的？
解：1、直接开平方，得x+1=
所以原方程的解是x 1＝ ，x 2＝ 2、原方程可变形为
()
2
12560x +-=
方程左边分解因式，得（x+1+16） =0 即可（x+17） =0
所以x ＋17=0， =0 原方程的蟹 x 1＝ ，x 2＝ 练习： 解下列方程
（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2
－9＝0.
（3）（x ＋2）2－16＝0； （4）(x －1)2
－18＝0；
（5）(1－3x)2＝1； （6）(2x ＋3)2
－25＝0.
三、读一读
小张和小林一起解方程 x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. 小张将方程左边分解因式，得
(3x ＋2)(x －6)＝0,
所以 3x ＋2＝0,或x －6＝0.
方程的两个解为 x 1＝3
2
-
， x 2＝6. 小林的解法是这样的：
移项，得 x(3x ＋2)＝6(3x ＋2),
方程两边都除以（3x+2），得 x ＝6. 小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x 1＝3
2
-哪里去了？ 小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
四、讨论、探索：解下列方程
（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2
-x+2 =0
（4）(2x+1)2
=(x-1)2
（5）49122
=+-x x 。
练习：解下列方程
1) 2 (x+3)2=6(x+3) 2) (2x+3)2=(4-2x)2
3) x(3x+1)=9x+3
本课小结
这节课你学到了什么？你认为应该注意哪些？ 布置作业：
习题1（5、6）习题2（1、2） 课后反思：
23.2.2一元二次方程的解法（因式分解法）
◆随堂检测
1. 一元二次方程2
30x x +=的解是_____. A. 3x =- B. 120,3x x == C. 120,3x x ==- D. 3x =
2. 方程2(3)5(3)x x x -=-的根是_____.
A.5
2x =
B. 3x =
C. 125,32x x ==
D. 5
2
x =-
3. 当a =______时，22
410x x a ++-=是关于x 的完全平方式. 4. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_____. A.2
210x x -+= B. 2
210x x --= C.2
430x x -+= D. 2
40x -=
◆典例分析
用因式分解法解方程：
222()8()120x x x x ---+=
解：22(6)(2)0x x x x ----=，
(3)(2)(2)(1)0x x x x -+-+=，
则30202010x x x x -=+=-=+=或或或， 所以12343,2,2,1x x x x ==-==-。
●拓展提高
1. 用因式分解法解下列一元二次方程 （1）23(4)28x x -=- （2）2
(23)810x --=
（3）2
3630x x -+=
（4）2320x x -+=
2. 已知方程2
20x mx m +-=的一个根为-1，那么方程2
60x mx -=的根为_____ A. 2x = B. 0x =
C.122,0x x ==
D. 以上答案都不对
3. 如果2
3100a a --=，则a b +的值为__________________.
4. 以1和—3为两根的一元二次方程是______________.
5. 用因式分解法解下列方程。
（1）22(21)(1)0x --=
（2）2(21)(3)(1)x x x +-=-+
6. 已知2246130x x y y -+-+=，求22x y +的值。
23.2.3一元二次方程的解法（三）配方法
学习目标：
1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方
2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解 学习过程：
一、 复习回顾：12999 . c o m
1、若x 2=a (a ≥0)，则x =_______.
若（x +1）2
=a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、23270x -= （2）、2
(3)25x +=
3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系
（1）、26925x x ++= （2）、2616x x +=
二、 新课研讨：
1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了 ，把一个一元二次
方程转化为两个来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的，右边是，再用直接开平方法求解。
3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、26
-+ =(x-）2；（2）、2x+ +25=(x+）
x x
2
（3）、2
x x
-+ =2(x-）
23
-+ =3(x-）2（4）、2
x x
36
2
2
++要配成完全平
x ax
上，就可以配成完全平方(x+）2
（2）、对于二次项系数不为1的情况，可以先将系数变为1，再进行配方。
例2、解下列方程
（1）、2810
+=（3）、
x x
x x
-+=（2）、2
213
2
-+=
x x
3640
练习2、（1）、21090x x ++= （2）、
27
04
x x --=
（3）、23640x x +-= （4）、24630x x --=
（5）、24921x x x +-=- （6）、
(4)812xx x +=+
作业：
课后反思：
23.2.3一元二次方程的解法（配方法）练习
◆随堂检测
1.将一元二次方程2650x x --=化成2()x a b +=的形式，则b 等于_____. A.-4 B. 4 C.-14 D. 14
2. 22_____(___)n
x x x m
+
+=+. 3. 二次三项式271x x ++的最小值为______.
4. 若方程20x px q ++=可化为213
()24x +=，则p =_____，q =______.
5. 方程2237y y +=配方后得27
2()4
y -=_________.
◆课下作业
6. 当x =______时，2362x x -+-有最大值，这个最大值是_______.
7. 如果a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足式子222222a b c ab bc ++=+，请指出△ABC 的形状，并给出论证过程.
8. 说明代数式2241x x --总大于224x x --.
9. 用配方法解下列方程
（1）2312210x x --= （2）(2)(3)1x x -+=
（3）2(1)(1)12x x ---=
●体验中考
1.（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．()216x +=
B ．()2
16x -= C ．()2
29x += D ．()2
29x -= 2.（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．
3.（2008杭州）已知方程260x x q -+=可以配成2()7x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的_____ A.2()5x p -= B. 2()9x p -= C. 2(2)9x p -+= D. (2)5x p -+=
23.2 .4一元二次方程的解法(四)
教学目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
研讨过程
一、复习旧知，提出问题 1.用配方法解下列方程：
（1）x x 10152
=+ (2)2
1
31203
x x -+
= 2.用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？ 二、探索解法
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠转化为
222
4()4b b ac x a a
-+=吗？ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得
移项，得
配方，得 即
问题2：当2
40b ac -≥，且0a ≠时，22
44b ac
a -大于等于零吗？
得出结论：当2
40b ac -≥时，因为0a ≠，所以2
40a >，从而
22
404b ac
a -≥。 问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？
得出结论，当2
40b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的
根为2b x a +=，即x =。 由以上研究的结果，得到了一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：
2b x a
-=
（2
40b ac -≥） 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，
我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解
方程的方法叫做公式法。
思考：当2
40b ac -≥时，方程有实数根吗？ 三、例题
例1、解下列方程：
1、2260x x +-=；
2、2
42x x +=；
3、2
54120x x --=； 4、2
441018x x x ++=-
例2、解方程2
10x x -+=
解：这里1a =，1b =-，1c =，
224(1)41130b ac -=--??=-<
因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。
如：不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2
4410x x -+= （2）2
5(1)70x x +-=
◆随堂检测
1.若关于x 的方程2
3(4)x k -=有实数解，则k 得取值范围是____ A. 0k > B. 0k < C. 0k ≤ D. 0k ≥ 2. 方程2
1x x =+的根是_____
A.x =
x =
C.无实根
D. 12
x = 3. 如果关于x 的方程2
360x x a ++=有两个相等的实数根，那么a =______
4. 若关于x 的方程2
20x x k +-=没有实数根，则k 得取值范围是______
5. 下列方程中，没有实数根的是_____
A. 25(1)0x x --=
B. 24(2)3x x +=
C. 2
100x x -= D. 2
92160x x -+=
6. 已知两数的积是12，两数的平方和是25，则这两个数的和为______
7. 用公式法解一元二次方程。
（1）220x -+= （2）(31)(2)114x x x -+=-
课堂小结：
当2
40b ac ->时，方程有两个 的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个 的实数根； 当240b ac -<时，方程 实数根。
课堂作业：
课本28页练习题 课后反思：
23.2.5一元二次方程的解法(五)
教学目标
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
研讨过程
一、复习旧知，提出问题
1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2、用多种方法解方程2
2
(31)69x x x -=++ 二、解决问题
请同学们先看看Ｐ18页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程
2109000x x +-=，同学谁能解这个方程吗？
口答结果：x 1= x 2= , 提问：
1、所求1x 、2x 都是所列方程的解吗？
2、所求1x 、2x 都符合题意吗？说明了什么问题？
我们应把实际问题转化为数学问题来解决，求得的方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。（作为应用题，还应作答）。
三、例题
例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
分析：设截去正方形的边长x 厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，S 底面= 。
解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得 解方程得
经检验， 不符合题意，应舍去，符合题意的解是
答：截去正方形的边长为 厘米。
合作交流：
列一元二次方程解应用题的步骤：https://www.doczj.com/doc/1f2877868.html,
。 三、课堂练习
1.学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402
m ，小道的宽应是多少？
2.用一块长80cm 、宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为xcm 的小正方形，然后做成底面积为1500cm 的无盖长方体盒子。为求出x ，根据题意，列方程并整理得（ ）
A 、x 2
-70x+825=0 B 、x 2
+70x-825=0
C 、x 2
-70x-825=0 D 、x 2
+70x+825=0
3.要用一条长为24cm 的铁丝围成一个斜边长为10cm 的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）
A 、4cm ，8cm
B 、6cm ，8cm
C 、4cm ，10cm
D 、7cm ，7cm 课后延伸：（典型习题）
1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？ ⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米． 解：设道路宽为x 米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米． ⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米． ⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米．
四、小结
让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，
要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。
32
图3
五、作业：
练习1、2
课后反思:
23.2.6一元二次方程的解法(六)
教学目标
1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。研讨过程
一、创设问题情境
百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。
问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）
二、探索解决问题
分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为x，若原价为a，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价为。
解：设每次降价的百分率为x.根据题意，得
解这个方程，得
经检验：
答：每次降价的百分率为 .
三、拓展引申
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解：每次升价的百分率为x，根据题意，得
解这个方程，得
经检验：
答：每次升价的百分率为。
四、巩固练习
1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
2.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.
3.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
五、小结
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a ，设平均变化率为x ，经第一次变化后数据为(1)a x ±；经第二次变化后数据为2(1)a x ±。在依题意列出方程并解得x 值后，还要依据01x <<的条件，做符合题意的解答。 六、作业：
课本第30页，练习1、2 课后反思：
22.1 一元二次方程 一.知识点总结 1> 一元二次方程的概念 2、 一元二次方程的一般形式 3、 一元二次方程的解(根) 题型一：一元二次方程的概念问题 卜列方程中，一元二次方程共有( ). 1 * ①谿+ “0②加-3&+—0③八严 ④宀］⑤宀§+3=0 A. 2个 B ?3个 C ?4个 D ?5 卜列方程中是关丁 X 的一元二次方程的是 14、 __________________________________________ 方程3妒=7x+3的一般形式是 . 15、 _____________________________________________________ 把一元二次方程兀仗~9 = 4化简为一般形式是 ________________________________________________ ?一 16、 若方程（m-2） x m2_5m+8+（m+3）x +5=0是一元二次方程，求m 的值 17、 已知关丁?x 的方程⑷一加八十側十1）工十3心1二0.当尬为何值时，该方程是-元二 次方程？ 18、已知关丁? x 的方程（圧/ +必+，-1 = 0 题型总结 2、 A. %2+ 7 = 0 B .卅+加+*O c （兀一1）（兀+2） = 1 D =0 3、 卜列方程中，是一元二次方程的是( ）. A. r+3=0 B. x 2-3y = 0 c. 4 、 A r- - = 0 x 5、 A. (x +3)(1-3) = 1 D. 若5x2=6x —8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是 5, 6, —8 B 、5, —6, —8 C 、5, —6, 8 D 、6, 5, —8 一元二次方程3X 2-4X =5的二次项系数是( ) 3 B. - 4 C. 5 D.?5 C> 5, —6, 8
一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研
一元二次方程的应用——利润问题教学设计 （江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100） 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500
22.2 一元二次方程的解法 ［课前预习］ 1、用直接开平方法解下列方程： （1）2 (2)2x -= （2）(x －2m)2=4m 2－4mn+n 2 (x 为未 知数) （3）(3x －1)2 =－5 （4）2 2 (2)9(3)x x -=+ 2、用因式分解法解下列方程： （1）2 (2)4(2)x x -=- （2）2 (2)(24)(2)0x x x x -+-+= 3、用配方法解方程： （1）02222 =--t t （2）02 =++q px x (x 为未知数) 4、用公式法解方程：012=-+x x （精确到0.01） ［课内练习］ 5、关于x 的方程043)5(2 =+--mx x m x 是一元二次方程的条件是＿＿＿＿。 6、分式1 ||3 22---x x x 的值为零，则x ＝＿＿＿。 7、若最简二次根式132342 +--x x x 与是同类二次根式，则x ＝＿＿＿。 8、解方程：m m x +=-3)(2 3m +一定是非负数吗？
9、解关于x 的方程： （1）0)23(2 =--x m x （2）0)1(2)1(2 =-+-y y y （3）)0(0)(2 ≠=---m n x n m mx 10、若(0)n n ≠是关于x 的方程02=++n mx x 的根，则m+n ＝＿＿＿＿。 11、若单项式22++m m m y ax 是六次单项式，则m ＝＿＿＿＿。 12、已知：关于x 的二次三项式102)42(2 2 +-++-a a x a x 是完全平方式，求a 的值。 13、（1）方程02=++c bx ax 中，若0=++c b a ，则一定有一个根为＿＿＿。 （2）当m_______时，方程02)()1(2 2 =-++-x m m x m 有一个根为1。 14、已知：的值求2 2 2 2 2 2 ,10)2)(1(y x y x y x +=++-+。 15、已知：y x y x y xy x 43,01272 2 ===+-或求证：。（求x y 呢） 16、已知：x 、y 满足等式)(6)(y x y y x x -=+,求x y 的值。
初中数学 第一课时 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题 一、回顾思考： 一元一次方程是只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程。 它的一般形式是 。 二元一次方程是含有 未知数，并且含未知数的项的最高次数是 的 方程。 它的一般形式是 。 二、观察归纳： 观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、 。2 。3 。 猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫 。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； 思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意： （1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。 （3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般
21.2.3 因式分解法 学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究 仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？ 3、归纳： （1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使 _________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做 __________________。 （2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。如：如果,那么或_______,即或________。 练习1、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题
活动3：随堂训练 1、用因式分解法解下列方程 （1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。 活动4：课堂小结 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程右边化为 （2）将方程左边分解成两个一次因式的 （3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解 【课后巩固】
第二十二章一元二次方程 1、一元二次方程（1） 学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 导学流程： 自学课本导图，走进一元二次方程 分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程 去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 探究新知 自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题： 问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 展示反馈 【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。 其中为一元二次方程的是： 【我学会了】 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。 自主探究： 自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）81 x（2）)2 42= -x x x = 3+ (5 )1 ( 【巩固练习】教材第27页练习
2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：
一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。
2020-2021学年 一元二次方程的解 数学 课题 一元二次方程的解 学 习 目 标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 重点：探索一元二次方程的解或近似解 难点：培养学生的估算意识和能力 【学习过程】 一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 问题探究： 探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。 地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2 ―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？ （1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表 （4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2 +72 =102 ，也就是x 2 +12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x x 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11 备注（教师复备栏及学 生笔记）
x2+12x-15 所以 ___ 一元二次方程的应用学案 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一.自主学习 例1.如图，有一块长40c、宽30c的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.如图，N是一面长10的墙，要用长24的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABcD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃ABcD的宽为x，那么长____. 根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________. 解这个方程，得＝ ＝ 根据题意，舍去_________________. 所以，花圃的宽是________. 二.对应练习 从一块正方形木板上锯掉2c宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积. 有一块矩形的草坪，长比宽多4.草坪四周有一条宽2的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽. 三.当堂检测 两个数的和是20，积是51，求这两个数. 如图，道路AB与Bc分别是东西方向和南北方向，AB＝1000.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000？ x 22．1 一元二次方程（1） 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。） 问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程 ____________________________ 化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题： （1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________ 方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程. 1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是 二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一 元二次方程的一般形式．其中ax 2 是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例 将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练一练 1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？ 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22 ｘ (2)2(x -1)=3y 12 ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x 二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数 c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求 配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2. 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 2019版中考数学专题复习专题二（11-2）一元二次方程的应用学 案 【学习目标】 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型． 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 【重点难点】 重点：列出一元二次方程解决实际问题. 难点：将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程解决实际问题． 【知识回顾】 一．回顾练习 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，现有6个球队，共需安排_____场比赛. 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 3.一件工程，甲独做2小时完成，乙独做3小时天完成，甲乙合作_____小时可以完成. 4.一个两位数个位数字是a,十位数字是b，这个两位数是_______ 5.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米. 【综合运用】 （一）面积问题 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少？（二）传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少个人？ (三）平均增长率问题 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率. （四）商品销售问题 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【直击中考】 1..如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 2.（xx年）（本小题满分7分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学xx 年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，xx年投资18.59万元. （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从（xx年）到xx年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 一元二次方程的应用复习学案答案 第22章一元二次方程单元检测试题 （满分120分；时间：120分钟） 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 下列方程为一元二次方程的是（） A.x?2＝0 B.x2?2x?3 C.x2?4x+1＝0 D.y＝x2?1 2. 方程x2+2x=5的根是（） A.x=2±√6 2B.x=?1±√6 C.x=2±√6 4 D.x=?2+√6 3. 一元二次方程x2?3x?4=0的常数项是（） A.?4 B.?3 C.1 D.2 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+2x+3=0 B.x2+2x?3=0 C.x2?2x+3=0 D.x2+2x+1=0 5. 方程(x+1)2=4的解是（） A.x1=?3，x2=3 B.x1=?3，x2=1 C.x1=?1，x2=1 D.x1=1，x2=3 6. 已知x＝1关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0的一个解，则a的值是（） A.?1 B.?2 C.?3 D.1 7. 已知x1+x2＝?7，x1x2＝8，则x1，x2是下列哪个方程的两个实数根（） A.x2?7x?8＝0 B.x2?7x+8＝0 C.x2+7x+8＝0 D.x2+7x?8＝0 8. 在实数范围内定义一种新运算“¤”，其规则为a¤b=a2?b2，根据这个规则，方程(x+ 2)¤3=0的解为（） A.x=?5或x=?1 B.x=5或x=1 C.x=5或x=?1 D.x=?5或x=1 9. 王刚同学在解关于x的方程x2?3x+c=0时，误将?3x看作+3x，结果解得x1=1，x2=?4，则原方程的解为() A.x1=?1，x2=?4 B.x1=1，x2=4 C.x1=?1，x2=4 D.x1=2，x2=3 10. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（） A.20人 B.22人 C.61人 D.121人 二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，） 11. 把x2+6x+5=0化成(x+m)2=k的形式，则m=________． 12. 当关于x的方程(m?1)x m2+1?(m+1)x?2=0是一元二次方程时，m的值为 ________． 13. 一元二次方程x2?5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=________．（只需填一个）． 14. 如果关于x的方程x2?4x+m2＝0有两个相等的实数根，那么m＝________． 15. 方程2x2+6x?1=0的两根为x1，x2，则x1+x2等于________． 16. 若k为整数，关于x的一元二次方程(k?1)x2?2(k+1)x+k+5=0有实数根，则整数k的最大值为________． 解一元二次方程(直接开平方法)教学设计 一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。 二、重难点： 重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 四、教学过程： （一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。 （1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0） （3）x2= 25 （二）探索 问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程， 整理，得 对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？ （老师）解出完整的过程。 小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。 练习：解方程下列方程。 （1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程 （1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程 （1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习 六、课外作业：P16复习巩固第1题 一元二次方程的实际应用学案 ——几何图形问题 一、知识回顾： 1、列方程解应用题的步骤： （1）、 （2）、 （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 2、常见的几何图形的面积公式： （1）、矩形的面积＝长× ； （2）、正方形的面积＝ （3）、三角形的面积＝ 21×底× ； （4）、梯形的面积＝2 1×（ ）×高； 二、课前练习： 1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为 2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为 3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为x cm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲： 例1、如图，从一块长8厘米、宽6厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半。求这个宽度 解：设这个宽度为x cm ，则小长方形的长为 ， 宽为 ，根据题意，得 答： 例2、（08广东改编）在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去 四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 cm，求所截去小正方形的边长。 8002 解：设所截去小正方形的边长为x cm，则底面长方形 的长为，宽为，根据题意，得 答： 例3、振中的生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平 m，小道的宽应是行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 多少？ 解：设小道的宽为x m，根据题意，得 答： 四、当堂训练： 1、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边 m，小道的宽应是多少？的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 第二十二章一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________一元二次方程的应用学案
人教版九年级数学上册第22章一元二次方程学案(全章共10个)
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
配方法解一元二次方程导学案[1]
201x版中考数学专题复习 专题二(11-2)一元二次方程的应用学案
华东师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 单元检测试题(有答案)
解一元二次方程(直接开平方法)教学设计
一元二次方程学案几何图形应用题
初三数学上册_第22章一元二次方程教案_新人教版
十字相乘法解一元二次方程学案
相关主题
文本预览