概率论(计算)习题

概率论计算：

1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

45

2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P

(2)

45

191102)1|2()1()2,1(=?=

=A A P A P A A P

(3) 45

169810292108)1|2()1()1|2()1()

21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)

5

19110292108)1|2()1()1|2()1()

2(=???=+=A A P A P A A P A P A P

2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？

解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式

0125

.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()

2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式

24

.00125.002.015.0)

()

1|()1()|1(=?==

A P

B A P B P A B P

3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110

25==

C C P ; （2）

1

10

24

==C C P

4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型

5336

1224==

C C C P

5．设随机变量X 具有概率密度????

?≤>-=0,

00

,

3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）

解：（1）由1)(=∞

-+∞

?dx x f 有33

3303301==-+∞

=-+∞-??k k x

d x

e k dx x ke 所以（2）

7408

.0331

.0)1.0(=-+∞=>?

dx x e x P

6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）

0729.039.021.025

)2(===C X P （2）

9995

.051.0559.041.045[1)]5()4([1)

3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

（3）

40951

.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P

7．设随机变量X 的概率密度为,,0,

40,8

)(??

???<<=其它

x x

x f

求 解：

2

183)31(==≤

x x P

8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。 解：由题意，所以为

0456

.0)]2(1[2)]06

.012

.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P

9．设X~N （3，22）求：（1）)

3(),2|(|),

104(),52(>>≤<-≤ 解：（1）

5328

.0)5.0()1()232()235(

)52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

.0)5.3()5.3()

2

3

4()2310()

104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P

6977

.0)]2

3

2()232([1)22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P

5.0)0(1)3(=Φ-=>X P

（2）由P>c=P(x ≤c)，即

3,02

3

21)23()23

()23(

1==-=

-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以

求Y=X 的分布律。

解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=5

1， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30

715161=

+， P （Y=4）=P （X=-2）

=5

1， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度?????>>+-=其它

,

00

,0,)2(2)(y x y x e

x f （1）求分布函数F （x ，y ）；

（2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1）

????

?>>----=??

???>>+-=∞

-∞-=????

其它其它,

00

,0),1)(21(,00

,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x e

x dy y

dxdy y x f y

x y x F （2）

3

1])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤??

??dy dx y x e y dxdy y x f X Y P

求X 及Y 的边缘分布律。

13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为?

?

?≤≤=其它

,

010,

6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。

解：

????

?≤≤-=??

?????≤≤=∞

-+∞=??

其它其它,010),2(6,

010,62),()(x x x x dy x x dy

y x f x x f

????

?≤≤-=??

?????≤≤=∞

-+∞=??

其它其它,

010),(6,

010,6),()(y y y y dx y y

dx

y x f y y f

14．设（X ，Y ）的概率密度为

??

?

??<<<<--=其它,04

2,

20),6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1）

81

,18,8)6(2

4

02),(=

==--=∞-+∞

∞-+∞????k k k dy y x k dx dxdy

y x f 得由

（2）

8

3)6(812301)3,1(=--=<

（3）

???<<-=?????<<--=∞

-+∞=??

其它

其它,

01026,010,)6(81

24),()(x x x dy y x dy

y x f x x F

求23(),2(),(+X E X E X E 解：

2

.03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E

8

.23

.0223

.0204.02)2()2(=?+?+?-=X E 4

.135)2(3)523(=+=+X E X E

16．设X —b(n,p),求E(X),D(X)

)

1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1)

,...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D np

n X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==?????=+++=于是相互独立且反之

次发生第其中

设解

17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。 解：X 的概率密度为

12

2)(42)(3222)]([)2()(23

2212)(2)2(2

21

)()(,0,1

)(a b b a b ab a x E X E X D b

b ab a dx a b x dx

x f x X E b a b dx

a b x dx x xf X E b x a a

b x f -=

+-

++=-=+=-=∞

+∞-=-=-∞+∞-==??

?

??<<-=????其它

18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为

2

2222

)]([)2()(02212)2(01)(:).

(),(,0,0,00

,1)(θθθθθθθ

θ

θθθθ

=-=-=∞+=-==∞+-=>???????≤>-=??X E X E X D dx x e X X E dx x

e X X E X D X E x x x e x

f 解求常数是

其中

19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。

2

2222

)]([)2()(2222)(21)

(2)(212

)2(2)(21)

(2)(21)(:2

2

2

2

2

2

σμμσμσμσπσ

μ

σμπσ

μμσπσ

μσμπσ

=-+=-=+=∞+∞

--

+==-=∞+∞--===∞

+∞

--

+=

-=∞

+∞--=????X E X E X D dt t e t t x dx

x e x

X E dt t e t t x dx

x e x

X E 设

设为解

20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

8293

.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263

.6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=?

??? ??-Φ-???? ??Φ=???

?????????-<-<-=

<

21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n)

)

,1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F n

V U V V U x V U n x V N U n

V U X n t X -=

==

-分布定义即知由于是

相互独立与且其中必有由证明

22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

∑∑∏∑∑∏====+=-==-=

=-=

==-+=+-==+-=

>??

?

??≤≤-=>>??

???≤>+-=i i X n n i i x n d L d n X X X n

n

i x L n

i c n i X n

n i i x c n n

d L d n X X X n c n n

i i x c L x x x f c c x c

x x c x f 12)ln (2?,01

ln 212)(ln 1)....21(211

)()2(1

ln ln ?,1

0ln ln )

(ln )

1()...21(1)

1()()1(:,0,

,010,1)()2(,

0,0,

,0,)1()()1(θ

θθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为

似然函数为解得似然方程为

似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数

为已知其中

23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。

的无偏估计量

是即解a X n i a na n i X E n n i i X n E X E ∑∑==?==??

?

?

??==11

)(111)(:

24．设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，a,b 未知，n X X X ,...2,1是一个样本，试求a,b 的矩估计量。

2)1

2(3(?2)12(3(?2

1

24/2)(12/2)(12/)(4

/2)(12

/2)()2(22

/)()(1:A A X b A A a

i X n A b a a b X A b a b a a b X E b a X E -+=--=?????

????

==++-==+++-==+==∑解得令解μμ

25．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。设干燥时间

总体服从正态分布N （μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）；

（2）若σ为未知。)

4416.6,5584.5()

8(025.03

5745

.00.6)

1(2)1(2,)2()392.6,608.5(96

.12.00.622,)1(:所以置信区间为现在置信区间为

未知时所以置信区间为现在置信区间为已知时解t n a t n

X n a t n S

X a z n X a z n X ±=-±

????? ??-±?±=±?

????

?

?±σ

σσ

σσ

26．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s ），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。

)

1.21,

43.7(,)1(222)1(,)1(2

22)1(95.0,:查表计算得代入有关数值的置信区间为

置信度为标准差由题条件解????????

? ?

?----n a

x S n n a x S n σ

27．某种电子元件的寿命x （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05）

小时

于认为元件平均寿命不大故接原假设由于计算得拒绝域为

此检验如下解225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0)

1(/0225:1225:0::H t t n a t n

S x t H H <==-≥-=>=≤μμμμ

求X 及Y 的边缘分布律

8

.23.0223.0204.02)2()2(2

.0=?+?+?-=-=X E

30．盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？

9

5923164622164)|()()|()()(2;1:=+=?+?=+=B A P B P B A P B P A P B 件由全概率公式

次取到新球的事表示第事件次取到新球的表示第设解

31．对于正态总体的大样本（n>30），S 近似服从正态分布N(σ，σ2/2n)，其中σ为总全的标准差，试证：σ的100（r 2）%的置信区间为

n

x Z S

n x Z S x

Z n S x Z x

x Z n S x Z P N n S n N S n

x Z S n

x Z S 2/2

12/2122/2122/2)1,0(2/)2/2,(::2/2

12/2

1-<<+<-<-∴-=???

??

??

???<-<--∴-<

<+σσσ

σσσσσσσ即则近似服从近似服从证解

32．总体X~N （μ，σ2）n X X X ,...2,1是来自总体区的容量n=16的样本，S 2是样本方差{}4375

.0475.195.075.1)15(95.0)4)116((1616/)

(:95.0)(.16

1

2)(11612=∴=-=<∴=>-=???

?

?????

?

>-=+>=+>=--=

∑k k

t P k t P k s u

Z P ks u X P K ks u X P i i Z S 有解值的试求满足

33．已知离散型随机变量X 服从对数为2的泊松分布，即...2,112)(===K K

k

K Z P 求X=3X-2的数学期望E （X ）。

4

)(42232)(3)23()(2

)(:=∴=-?=-=-=∴=X E X E X E X E X E 解

34．设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2）Y~N （0，1）试求X=2X-Y+3的概密度。

18)5(231)(9)()(4)32()(53)()(2)32()(:2--

=

∴=+=+-==+-=+-=x e g z f Y D X D Y X D X D Y E X E Y X E X E π

解

35．设随机变量的分布律为P （Z=K ）=0....)2,1,0(1

>=λλk k

k

a ，确定a 。

λ

λλλ

e a ae k k i k a k k k a k K Z P =∴=∞==∞

=∞

===∑∑

∑0

10101

)(:

解

36．设（X ，Y ）的密度函数为??

???>>-=其它,0,0,),(x y x y e y x f 求X ，Y 的边缘密度函数判别其独立性。

不独立

与其它同理

其它时当解Y Z y y f x z f y x f y y ye y y f x x e y x f x e x

dy y e dy

y x f X z f X ∴≠????

?>-=?????>-=∴-=∞

+-=∞

+∞-=>??)()(),(,00

,)(,00

,),(),()(,

0:

37．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

???

>>+-=其它,00

,0,)43(),(y x y x Ce y x f 求：常数C 及联合分布主数F （X ，Y ）。

?????>>----=∴----=∞+∞-∞+∞

-==∴∞+∞

+=

?--=∞+∞-∞+∞

-∴+∞∞-+∞

∞-=????????其它

解,00,0)41)(31()

,()41)(31(),(),(12

12003),(1

),(:y x y e x e y x F y e x e dxdy

y x f y x F C c dy y e dx x e C dxdy y x f dxdy y x f

38．设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数????

?≥≥--+----=

其它

当,00,03331),(y x y x y x y x F 求二维随机变量

（X ，Y ）的联合φ（x,y ） 解：可验证F （x,y ）是连续型二维随机变量的分布函数，则

?????≥≥--=∴--=???----=?????=

其它

,00

,0,)3(ln 3

),(2)3(ln 323ln 33ln 32),(2

y x y x y x y x y

x F

y x x X F

y

x F

y x φφ

39．测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差试在水平a=0.05下检验假设 H 0:σ=0.04%, H 1:a<0.04%。

H

S h x x n x x x H H 接受现在

拒绝域为

解∴>=?=-===--≤=<==325.3707.72

0004.02

00037.09202)1(2325.3)9(205.0)1(212%04.00:1%04.001:0:σσσσσ

40．设随机变量X 的概率密度为????

?<≥-=0

,00

,32)(2

x x x e x x z P 求Y=X 2的概率密度函数P y (Y)。

{

}?????<≥-==-=≤≤-=≥=<==≤?0

,00,)(1)(0

232)(000)()()(:y y y ye y y F y y P y

dx

x e x y

Z y P y y F y y y y F y y F y Y P 时解

41．设随机变量X 的分布函数为

???

?

???>≤≤<=1,110,20,0)(x x AX x x F 求常数

A 及X 的概率密度P （X ）。

??

?≤≤=???

?

???>≤≤<==∴=+==+其它

求寻得解,01

0,2)()(1,11

0,20,0)(1

1)01()1()1()01(:x x x P x F x x AX x x F A F A F F F

42．设随机变量X 的概率密度函数是+∞<<-∞-=x x e x f ,||2

1)(求X 的分布函数F （x ） ????

???≥--<=∴--=∞-+=

≥=∞-=

?≥-<=??0,2110,2

1)(2112121)(02

121)(00,2

10,2

1)(:x x e x x

e x F x e x dt t e x F x x

e x dt t

e x F x x x e x x

e x

f 时

当时当解

43．在长为a 线段上任取两点M 与N ，试求线段MN 长度的数学期望。

3

00)(00)(2100

2

1|||)(|,00,0,2

1

),(:

a a dx a dy a y a a dy y x a a a

axay

a y x Y Z E a

y a x a y x P =??????-+??????-=-=-∴?????≤≤≤≤=??????其它解

44．设总体X 服从区间[θ，2θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，n X X X ,...2,1是来自总体X 的容量为n 的样

本，记∑==n

i i Z n Z 1

1。证明：的无偏估计为θθZ 3

2?=。 θθθ

θ

θθθθθθθ

=?==∴====∴?????≤≤=?

2

3

32)(3

2)32()?(23

)(2

32)(,02,1

)(:Z E Z E E EZ E dx x

Z E x x P X 其它的分布概率密度函数解

45．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为?

?

?<<<<=其它

,00,10,3),(x

y x x y x P 求X=X-Y 的概率密度函数。

??

???≤≤-===≥-=

>--=≤-=<≤=<其它

时当时

当时

当解,01

0),2

1(2

3)()(1)(,132

123)(1)()(000

0:Z Z z z F dz d z z P Z z F Z Z Z Z Y X P Z Y X P z z F X Z z F X

46．设随机变量Z 的概率密度为+∞

<<∞--=x x e x P |

|2

1)(求E （Z ）及D （Z ）。

2

02)(2)]([)(0

||21)(:=∞

-=∞

+∞--==+∞

∞--?=???dx x e x dx

X P Z E X Z D dx x e x x Z E 解

47．对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望。

解：设圆直径为随机变量Z ，圆面积为Y 。

)22(12124)]([)(,0,1

)(2

4)(b ab a b a dx a b x X f E Y E b x a a

b x z P Z Z f Y ++=-==∴???

??≤≤-==

=?πππ

其它则

48．随机向量（X ，Y ）在区域D={(x,y)|0

9

21814)(22)12()(18

1

)(2)2()(211

022)2(321

02)(,01

0,22)(10,0||10,1),(1

:=?

==+==

-==

?==

?=??

?<<=∴-==<

?<<<=∴???Z D Z D Z D Z E Z E Z D xdx x Z E xdx x Z E x x z P x

x

x

dx x z P x x

y x y x P 其它时当其它面积为解

49．设n X X X ,...2,1是来自参数为λ的泊松分布为总体的一个样本，试求λ的极大似然估计。

Z n

i i

x n n i n i x n

i i i x n n i i x L n i i

i X e xi L x e x x Z P =====-=--===-=

-==∑∑∑∑∏

1

1?1

01

1]

)ln[(1ln )(ln 1)()(1

][:λλλλλλλλ

λ令解

50．已知随机变量Z 的分布函数为

???????>≤<<=4

,14

0,40

,0)(x x x

x x F 求E （Z ）和D （Z ）。

34

122)04()(2

2

4

0)(04[,04

0,41

)()(:=

-==+=∴??

???≤<==

Z D Z E Z x dx x dF x P 上的均匀分布

服从其它

解

51．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

?<<<<--=其它

,040,20),6()

,(y x y x k y x f (1)确定常数K ；（2）求P{Z<1.5}

32

275.1042)6(81

)5.1()2(8

1

18204

2

8)6(1),()1(:=--=<=

=∴=--∞+∞-∞

+∞-=??????dy y x dx Z P K K k

dy y x dx k dxdy y x f 即解

52．Z 的概率密度为

??

???>-=其它,00),22/(2

2)(x x e

x x f θθ

其中θ>0，θ为未知参数，求θ的极大似然估计值。

∑∑∑∑∏∏==∴==+-=-+=+

-==-

===

n i i

x n n i i x n n

i i x n

i i

x nLn L n

i x e i x n n

i i x f L i 12

21?0

12312)

12

22

(1

ln 2)(ln 1222

1

)

,()(:22θ

θθθθθθθθθ令解

53．设总体Z 的概率密度为????

?

≤≤-=其它

,01

0,1)(x x x f θθ其中θ>0, θ为未知参数，求θ的矩估计量。

1

1

01)

(:+=-==?θθθθdx x X Z E i w 解

2

1?????

?

?-=∴=+Z Z Z a

θ

θθ令

54．设随机变量Z 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4）内的概率分布密度函数f y (y)，求f y (y)。

?

??

??<<=∴==∞-=∞-=≤≤-=≤=≤=>?????<<=??其它

时其它解,040,41

)(41)(1)(2

1)(()2(][)(0,02

0,2

1

)(:y y

y Y f y y Y

F y Y f y dx y dx x z f y

Z y P y Z P y Y P y y F y x x z f

55．已知

P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=6

,P(AC)=P(B),求A ，B ，C 均不发生的概率。 12

7]6143[1)]()()()([)]

()()([1)

(1)()(:=

--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解

56．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。 解：设A 为“甲投中”，B 为“乙投中”，C 为“丙投中”则

902

.0)()()(2)()()

()()()()

(2)()()()

()(,,7.0)(,8.0)(,9.0)(=--+=-++=++=+++===C P B P A p A P C P C P B P B P A P ABC p CA P BC P AB P CA BC AB P ABC CA BC AB P C B A C P B P A P 相互独立显然

57．某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i ）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。

16170

198********)/()/()()(495

19941005)/()()(100

5)(:=

??===?===

AB C P A B P A P ABC P A B P A P AB P A P 解

58．若AB ，A>C,P(A)=0.9，

7

.0)8.01(9.0)](1[)()](1[)()()()(,:)

(8.0)(=--=+--=--=-=-∴>∴>>-=+C B P A P C B P A P BC P A P BC A P BC A C A B A BC A P C B P 解求

59．对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少？

9.03

.025.09.075.09

.075.0)

/()()/()()

/()()

/(75.0)(,3.0)/(,9.0)/(,"""":=?+??=+=

===B A P B P B A P B P B A P B P A B P B P B A P B A P B A 的概率为所求则调整良好机器为产品合格为设解

60．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求（1）最小号码为5；（2）最大号码煤矿的概率。

20

1

10242)2(121

310251)1(:=

==

=C C P C C P 解

61．一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为101

，求这段时间内至

少有两台机器需要工人维修的概率。 解：设k A 为“K 台机器需维修”，则

341

.011

)109(10212)109(111)109)(101(112

12)109(0)101(012

112)109()101(12

)(≈?--=--=-=C C k k k C k A P

62．制帽厂生产帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶。一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。 解：设B 为“一盒帽子被买下”，Ai 为“一盒帽子中有I 顶帽子合格”。则

64

.04

22324)2.0()8.0(4

)

4

/()()()4,3,2(242

)/()1,0(0)/()

4,3,2,1.0(4)2.0()8.0(4)(==-===∴=====-=∑∑i C i C x i x i x i C i A i B P i A P B P i C i C i A B P i i A B P i i i i C i A P

63．某种电子元件的寿命X （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05），已知t 0.05(15)=1.7531。 解：此检验如下：

.

225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0)

15(05.0)1(/0225

:1225

0:0小时认为元件平均寿命大于设故接受原假由于计算得拒绝域为

H t t t n a t n

S x t H H <===-≥-=>=≤μμμ

四、综合题

1.对于正态总体的大样本（n>30），s 近似服从正态分布2n N σσ，（，其中σ为总体的标准差，试证：)%1100

ασ-（的的置信区间为n

z

s

n z

s

22

1221α

σα

-<<+

解：

)

2/2n N s σσ，（近世服从

)1,02/（近世服从N n

s σσ

-∴

则α

ασσ

α-=??

?

????

???<-<

-122/2

z

n s z P

2

2/2ασσαz

n s z <-<-∴ 即

n

z

s

n z

s

22

1221α

σα

-<<+

2.测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，2

σ为总体方差试在水平α=0.05下检验假设%04.0:%,04.0:10<=σσH H 解:

2

220

2

22

05.021*********.3707.70004.000037.09)1(325

.3)9(1%

04.0%

04.0H s n x x n x x H H 所以接受现在）（拒绝域为>=?=

-=

==-≤=<====-σσσσσα

3.总体X~N 162,12......),,(X X X σμ是来自总体区的容量n=16的样本，

值。

的（试求满足是样本方差

K KS X P i X i X S S 95.0),

16

1

2)

(1161

22=+>=--=

∑μ

解：

()

(){}4375

.0475.195.075.1)15(95

.04)116(1616-==-=<=>-=????

??????>-=+>K K t P K t P K S X P KS

X P 所以有所以μμ

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论复习题及答案

复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

概率论与数理统计练习题1

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2

则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。

概率统计试题及答案

<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论(计算)习题

概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

概率统计试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 （A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有 （A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（） （A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是 （A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(； （2）P （1 )(2)-=ξ。

概率论试题及答案

试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ

A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率统计计算部分练习题

1．盒中有同类产品10件，其中一级品4件，甲先从盒中任意取2件，乙再从剩下的产品中任意取2件。 (1).求乙取出的2件都不是一级品的概率； (2).求在乙取出的2件都不是一级品的条件下，甲取到的2件都是一级品的概率。 2. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。 （1）求仪器的不合格率； （2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。 3. 设随机变量X 的分布函数为 ?????>≤≤<=1 1100,0)(2 x x ax x x F 求 (1). 常数a ；(2). X 的概率密度函数；(3). )7.03.0(<

求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z . 6. 设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求 （1）32322-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 7. 罐中有5个红球，2个白球,无回放地每次取一球，直到取到红球为止，设X 表示抽取次数，求（1）X 的分布列，（2）()E X 8. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为： ???-<<<<=其它, 0)1(20,10,1),(x y x y x f 求： （1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）)(X E 和)(X D ； （3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ； （4）Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 9. 假设本班同学身高服从方差为144的正态分布，随机选取25名同学测得身高数据，算得170x cm =，是否可以认为本班同学的平均身高μ为175cm 。(0.9750.975(24) 2.0639, 1.96t u ==) 10. 设总体X 的概率密度函数为 ???<<+θ=θ其它, 010,)1()(x x x f 其中1->θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。 （1）求θ的矩估计量M θ?； （2）求θ的极大似然估计量MLE θ?； （3）若给出来自该总体的一个样本1-e ,2-e ,2-e ,1-e ,3-e ,3-e ,2-e ,2-e ，求概率}2.0{