二次函数最值问题专题资料
名校冲刺班一题80问（最值篇）
01、如图，二次函数212124
y x x =-++与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于D 点，对称轴为直线l .
（1）若E 为l 上一动点，求DE BE +的最小值，并求出此时E 点的坐标；
（2）若E 为l 上一动点，求DE EC -的最大值，并求出此时E 点的坐标；
（3）若K 为直线CD 上一动点，求BK OK +的最小值，并求出此时K 点坐标；
（4）若F N 、分别为直线CD 、x 轴上的动点，求DN FN BF ++的最小值，并求出此时F N
、的坐标；
（5）若R 为y 轴上一点，满足CR BD ⊥，S T 、为直线CD 上的动点，且满足2ST =，求
RS ST TO ++的最小值，并求出此时tan TOC ∠的值；
（6）若M 点从C 点出发，以1个单位每秒的速度运动到y 轴，再以10个单位每秒的速度
沿着y 轴运动到D 点，求从C 点到D 点的最短时间；
（7）若一点从O 点出发以1个单位每秒的速度先到达直线BD 上一点Z ，再从Z 到达y 轴
上一点K ，求整个过程的最短时间；
（8）E 为对称轴与x 轴的交点，从E 出发以1个单位每秒的速度运动到直线CD 上一点F ，
再从F 运动到y 轴，求整个运动过程的最短时间；
（9）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作y 轴平行线交线段CD 于R ，求线段QR 的
最大值；
（10）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作QS 垂直于直线CD ，求QS 的最大值；
（11）如图，Q 为一象限抛物线上一点，连接BQ 交直线CD 于点R ，求QR BR
的最大值；
（12）如图，Q 为一象限抛物线上一点，求DQC 面积的最大值；
（13）设Q 点横坐标为t （44t -<<），过Q 作QT x ⊥轴，过Q 作x 轴的平行线交抛物线于
点R ，过点R 作RS 垂直于x 轴，求四边形QRST 周长的最大值；
（14）如图，直线4y x =--与抛物线交于BQ 两点，R 为一象限抛物线上一点，RQ 交直
线CD 于点S ，求RBS ?面积最大值；
（15）如图，Q 为顶点，S 为线段QC 上一点动点，过S 作y 轴、x 轴平行线分别交CD 、
抛物线于点T R 、，求ST SR +的最大值；
（16）R 为抛物线上一点，(415)Q ，，求OR RQ +的最小值；
（17）过(017)Q ，作y 轴垂线l ，R 为二次函数上一动点，过R 作直线l 的垂线，垂足为S ，
求QR RS +的最小值；
（18）一次函数218y x =+分别与x y 、轴交于T U 、两点，V 为二次函数上一动点，求V
到一次函数的距离VW 的最小值；
（19）一次函数218y x =+分别与x y 、轴交于T U 、两点，V 为二次函数上一动点，求
UTV S ?的最小值；
（20）一次函数218y x =+分别与x y 、轴交于T U 、两点，V 为二次函数上一动点，过V 作
x 轴平行线交一次函数于点X ，求XV 的最小值；
（21）Y Z 、分别为对称轴和一次函数218y x =+上的点，求DY YZ +的最小值；
（22）如图，T 为一次函数=218y x +上动点，U 为一次函数y x =上一动点，求CT TU -的
最大值，并求出此时T U 、的坐标；
（23）已知Q 为OC 中点，R S 、分别为射线DB DQ 、（不含D 点）上动点，求ORS ?周长
的最小值；
（24）如图，一次函数18y x =+分别与x y 、轴交于Q R 、两点，R 为二次函数上一动点，SQ
与一次函数16y x =+交于点T ，求SRT ?面积的最小值；
（25）如图，矩形QRTS 为三角形BCD 内接矩形，求矩形QRTS 面积的最大值；
（26）如图，RC x ⊥轴，QR RC ⊥，S 为Q C 、之间抛物线上一动点，求矩形RTSU 周长
最小值；
（27）Q 为一象限抛物线上的一点，R 与Q 关于x 轴对称，求DCR ?面积最大值；
（28）如图，Q R 、为抛物线上满足90QDR ∠=?的点，求D 到直线QR 的最大距离，并求
出此时直线QR 的解析式；
（29）D Q 、关于对称轴对称，R 为B Q 、之间抛物线上一动点，U 为一次函数y x =上一
动点，求四边形BRQU 面积的最大值；
（30）Q 为x 轴上一动点，将线段DQ 绕D 点逆时针旋转60?得到DR ，求CR 的最小值；
（31）若T 为DOC ?内部一点，求DT CT OT ++的最小值；
（32）如图，Q 为平面上满足6OQ =的任意一点，求12
CQ DQ +的最小值；
（33）Q 为抛物线顶点，TC x ⊥轴，QT CT ⊥，R 为C Q 、之间抛物线上一动点，作
RS CT ⊥，求
CSR TQRS S S ?+梯形的最小值；
（34）Q 为直线CD 上一动点，当BQO ∠最大时，求tan BQO ∠的值；
（35）Q 为抛物线顶点，R 为一象限抛物线上动点，RT //BQ ，RS //y 轴，求RTS ?周长
的最小值；
（36）一次函数(012)y x b b =+<<分别与直线BD CD 、交于Q R 、两点，求OQR ?面积最
大值；
（37）圆O 半径为4，S 为线段CD 上一动点，ST 与圆O 切于点T ，求ST 的最小值；
（38）U V 、分别为线段CD BD 、上两点，若将DUV ?沿着UV 翻折，D 恰好落在BC 上，
求线段CU 的最大值；
（39）如图，Q 为COD ?外接圆上一点，求QC QB
的最大值；
（40）如图，R 为对称轴上一动点，且位于顶点S 下方，过R 作x 轴的平行线交抛物线于
T U 、两点，过S T U 、、三点的圆交对称轴于另一点Q ，求四边形BQRD 周长的最小值；
（41）E 为线段BD 上一动点，E F 、关于直线CD 对称，E G 、关于直线BC 对称，求FG
的最小值；
（42）E 为线段BD 上一动点，EH 垂直CD ，EI 垂直BC ，求HI 的最小值；
（43）H 为线段OC 上一动点，过H 作DH 的垂线交CD 于I ，求CI 的最大值；
（44）如图，J 为线段CD 中点，K 为线段OC 上一点，以JK 为边作正方形JKLM ，ML
与边OC 交于点N ，求线段ON 的最大值；
（45）如图P Q 、分别为线段CD BC 、上的点，若PQ 恰好将BCD ?的面积分为两部分，
求2PQ 的最小值.
（46）Q 为射线OD 上一动点，过O 作CQ 的垂线垂足为R ，以CR 为边作正方形CRST ，
连接OT ，求线段OT 的最小值；
（47）如图，H 为平面上满足4OH =的一点，以CH 为边作正方形CHJI ，连接OI ，
求线段OI 的最大值；
（48）Q R 、分别为线段CD OC 、上的点，满足CR DQ =，求DR OQ +的最小值；
（49）如图，OR OB =，S T 、分别为线段DO DR 、上的点，满足10DS TR =，求
10BT BS +的最小值，并求此时tan DBT ∠的值；
（50）如图，U 为平面上满足4OU =的点，连接CU ，以CU 为边作等边三角形UVC ，
连接OV ，求线段OV 的最大值；
（51）已知W X 、为射线CD CB 、上的动点，且满足=20WX ，以WX 为斜边往右侧作直
角三角形WXY ，若3tan 4
WXY ∠=，求CY 的最大值；
（52）如图，F 为射线CD 上一动点，满足3EF OF =，2EFO FOC ∠=∠，①求OE 的
最小值；②求tan E ∠的最大值.
（53）如图，(12)G m ，(0)m >为平面上一点，F 为y 轴上方一点，满足DG OF =，
OG CF 、交于点E ，求DE 的最小值；
（54）如图，E 为平面上满足22OE =的点，以CE 为边作等边三角形EFC ，求BF 的
最大值和最小值；
（55）如图，2OE =，90ECF ∠=?，2FC EC =，求BF 的取值范围；
（56）如图，E F 、分别为线段BC CD 、上的点（包括端点），以EF 为斜边作等腰直角
三角形EFG ，求DG 的最小值，并求出此时E F 、的坐标；
（57）如图，E F 、分别为线段OC CD 、上的点（包括端点），以EF 为边作等边三角形
EFG ，求DG 的最小值；
（58）F 为线段BC 上一点，BK DF KE DC ⊥⊥、，EK 延长线交BC 于G ，求BG 最大值.
（59）已知平面上的点Q 、R 满足416BQ CR ==，，P 为BC 中点，且135QPR ∠=?，求
QR 的最大值；
（60）如图，过B 点的圆与线段CD 相切于S ，并与BD BC 、分别交于Q R 、两点，求QR
的最小值；
（61）Q P 、分别为线段CD CO 、上的点且满足2CP DQ =，OQ DP 、交于R ，求CR 最
小值.
（62）如图，R Q S 、、分别在线段DO OC CD 、、上，且满足3tan 4
QRO ∠=
，求矩形RQTS
的最小值；（63）如图，Q 为OC 中点，S R 、分别为线段DO CD 、上的点，且满足90SQR ∠=?，求
SQR ?面积的最小值；
（64）R 为y 轴上一动点，以BR 为直角边作Rt BRQ ?，且满足30BQR ∠=?，求OQ 最小值；
（65）Rt SQR ?中，8QR =，3QS =，Q R 、分别在y 轴、x 轴正半轴，求OS 的最大值；
（66）Q 在线段OC 上，OS DQ RS SC ⊥⊥、，求CR 的最小值；
（67）在平面上求一点Q ，使得QD QC QR ++值最小，其中QR 为Q 点到直线4y x =--的
距离；
（68）如图，R 为直线上一动点，以RO 为腰作等腰三角形ROQ ，且tan 3ROQ ∠=，求
CQ 的最小值；
（69）QT 垂直平分OC ，且18QT =，R 为过Q O C 、、三点的圆上一动点，倍长QR 至S ，
求CS 的最大值和最小值；
（70）将线段BC 绕B 点逆时针旋转60?至BQ ，RQ BQ ⊥，满足43BC RQ =，S 为四边形
BCRQ 内一点，求SQ SC SR ++的最小值；
（71）如图，S U 、分别为直线BD 、y 轴上的动点，以SO 为斜边作等腰Rt SRO ?，以CU 为
直角边作等腰Rt CUT ?，连接BR ST 、，求BR 的最小值，在BR 最小的条件下，求ST 的最小值；
（72）如图，Q R 、为x 轴两侧的点，满足9060QOR QCR CQ CR ∠=?∠=?=、、，求
C Q O R 、、、围成图形面积的最大值和最小值；
（73）如图，l 为过点D 的一条任意直线（不与直线CD 重合），过C 作CQ 垂直于l 于点Q ，
求BQ 的最大值和最小值；
（74）如图，Q 为以OB 为半径的圆上一动点，以CQ 为直角边作等腰直角CQR ?，求OR 的
最大值和最小值；
（75）如图，Q 为DOC ?内部一点，①求25PQ OQ QC ++的最小值，并求出此时tan QDO ∠的值；②求2QD QO QC ++的最小值；③求m 的值，使得21PQ mOQ m CQ +++的
最小值为20.
（76）Q 为线段BD 上一点，将OQB ?沿OQ 翻折使得B 点恰好落在线段OD 上，对应点为
R ，求DQ 的最大值；