二次函数及图像练习
一、选择题:
1、[2014·兰州]抛物线3)1(2--=x y 的对称轴是( )
A 、y 轴
B 直线1-=x
C 、直线1=x
D 、直线3-=x
2、已知x 是实数,且满足01)2)(2(=---x x x ,则相应的二次函数12++=x x y 的值为( )
A 、13或3
B 、7或3
C 、3
D 、13或7或3
3、抛物线432+--=x x y 与坐标轴的交点个数是( )
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
4、将抛物线342+-=x x y 平移,使它平移后的顶点为(﹣2,4),则需将该抛物线( )
A 、先向右平移4个单位,再向上平移5个单位
B 、先向右平移4个单位,再向下平移5个单位
C 、先向左平移4个单位,再向上平移5个单位
D 、先向左平移4个单位,再向下平移5个单位
5、抛物线32-+=bx ax y 经过点(2,4),则代数式8a +4b +1的值为( )
A 、3
B 、9
C 、15
D 、—15
6、[2014·遵义]已知抛物线bx ax y +=2和直线b ax y +=在同一坐标系内的图象如图,
其中正确的是( ) A B C D 7、如图,平面直角坐标系内二次函数12+=x y 的图象通过A ,B 两点,且坐标分别为
(a ,
429),(b ,4
29),则AB 的长度为( ) A 、5 B 、425 C 、2
29 D 、229 8、某市举办了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛,在比赛中,某次羽毛球的运动线路可以看做是抛物线c bx x y ++-=24
1的一部分(如图),其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ,球落地点A 到O 点的距离是4m ,那么这条抛物线的表达式是( )
A 、14
3412++-
=x x y B 、14
3412-+-=x x y C 、14
3412+--=x x y
D 、143412---=x x y 9、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,
则下列关系正确的是( )
A 、h k n m >=,
B 、h k n m <=,
C 、h k n m =>,
D 、h k n m =<,
10、坐标平面上,若移动二次函数6)176)(175(2+--=x x y 的图象,使其与x 轴交于两点,且此两点的距离为1单位,则移动方式可为下列哪一种( )
A 、向上移动3单位
B 、向下移动3单位
C 、向上移动6单位
D 、向下移动6单位
二、填空题
11、若函数3)2()4(22+++-=x k x k y 是二次函数,则k
12、[2014·天津]抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是
13、若函数122++=x mx y 的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是 14、抛物线c bx x y ++=2的图象如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线表达式是
(第14题图) (第15题图) (第16题图)
15、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,有下列5个结论:①abc <0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b <m (am +b )(m ≠1的实数),其中正确结论的序号有
16、如图,抛物线的顶点为P (—2,2),与y 轴交于点A (0,3),若平移该抛物线使其顶
点P 沿直线移动到‘P (2,—2),点A 的对应点为’A ,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴
影部分)的面积为
三、解答题
17、已知二次函数c x ax y +-=32,当2-=x 时,函数值是1-;当1=x 时,函数值是4-.求这个二次函数的表达式。
18、如图,抛物线4)1(2+-=x a y 与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ,连结BD ,已知点A 的坐标为(1-,0).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求梯形COBD 的面积.
19、已知某二次函数图象的顶点是)21
(,-,且过点)2
30(, (1)求此抛物线的表达式;
(2)求证:对任意实数m ,点(m ,2m -)都不在这个二次函数的图象上.
20、现将抛物线c bx ax y ++=2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,的到抛物线
122
12++-=x x y .求原抛物线的表达式.
21、如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M (1,2-),N (1-,6). (1)求二次函数c bx x y ++=2的表达式;
(2)把Rt △ABC 放在坐标系内,其中∠CAB=90°,点A ,B 的坐标分别为点(1,0), (4,0),BC=5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.
22、如图,抛物线221+-=x y 向右平移1个单位得到抛物线2y ,回答下列问题:
(1)抛物线2y 的顶点坐标为 ;
(2)阴影部分的面积S= ;
(3)若再将抛物线2y 绕原点O 旋转180°得到抛
物线3y ,求抛物线3y 的表达式.
23、对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,如果当x 取任意整数时,函数值y 都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线,例如:222++=x x y .
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的表达式 (不必证明);
(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于
21的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.
24、已知抛物线)0(322≠++=a x ax y 有如下两个特点:①无论实数a 怎么变化其顶点都在某一条直线l 上;②若把顶点的横坐标减少
a 1,纵坐标增加a 1分别作为点A 的横、纵坐标,把顶点的横坐标增加
a 1,纵坐标增加a 1分别作为点B 的横、纵坐标,则A ,B 两点也在抛物线)0(322≠++=a x ax y 上.
(1)求出当实数a 变化时,抛物线)0(322
≠++=a x ax y 的顶点所在直线l 的表达式;
(2)请找出在直线l 上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 提出一个猜想吗?请用数字语言把你的猜想表达出来,并给予证明.
23、
24、
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案 一、选择题 1.已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是()A.B. C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求m<﹣2,即可求解. 【详解】 ∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点, ∴△=4﹣4(﹣m﹣1)<0 ∴m<﹣2 ∴函数y=的图象在第二、第四象限, 故选B. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求m的取值范围是本题的关键. 2.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是() A.原数与对应新数的差不可能等于零 B.原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C.当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D.当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】
解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 故答案选:D . 【点睛】 本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号. 3.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b +=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=2 22ax bx +, 且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( ) A .①②③ B .②④ C .②⑤ D .②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】 解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则- 2b a =1,b=-2a
第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2 ,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质:
2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左 加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-
二次函数题 选择题: 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D (6,—6) 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a +c 〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c 〈3b A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax 2-bx+c (a ≠0)的图象过点(-1,0),则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是( ) A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( ) A B C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2mx +m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,最小值为-2,则关于方程ax 2+bx+c =-2的根为————————————。 17、抛物线y=(k+1)x 2+k 2-9开口向下,且经过原点,则k =————————— 解答题:(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数y=x 2 +bx+c ,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣). (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与x 轴交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧),请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
二次函数应用题专题复习(含答案) 1、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元 (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元
( 3.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少 (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量) ^
1.一跳水运动员从米高台上跳下,他的高度h(单位:米)与所用的时间t(单位:秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度?最大高度是多 少米? 2.篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 3.已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当 x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式. 4.求经过A(0,-1)、B(-1,2),C(1,-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式. 5.已知二次函数为x =4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式. 6. 已知抛物线经过点(-1,1)和点(2,1)且与x 轴相切. (1)求二次函数的解析式; (2)当x 在什么范围时,y 随x 的增大而增大; (3)当x 在什么范围时,y 随x 的增大而减小. 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y =a(x-h)2 +k 形式; (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值; (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标; (4)作出函数图象; (5)x 取什么值时y >0,y <0; (6)设图象交x 轴于A ,B 两点,求△AMB 面积. 8.在长20cm ,宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形,写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系,并注明自变量的取值范围. 9.已知二次函数y=4x 2 +5x +1,求当y=0时的x 的值. 10.已知二次函数y=x 2 -kx-15,当x=5时,y=0,求k . 12.已知二次函数y=ax 2+bx +c 中,当x=0时,y=2;当x=1时,y=1;当x=2时,y=-4,试求a 、b 、c 的值. 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形,其下底是圆的直径. (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围; (2)腰长为何值时周长最大,最大值是多少? 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点: ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15.如图,抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点,与y 轴的正半轴相交于C 点,与双曲线y= x 6 的一个交点是(1,m),且OA=OC.求抛物线的解析式. 16.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米,秒的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么 (1)设△POQ 的面积为y ,求y 关于t 的函数解析式; (2)当△POQ 的面积最大时,将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ,试判断点C 是否落在直线AB 上,并说明理由; (3)当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似. 17、水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克. 经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
二次函数的应用-销售问题 【类型1】二次函数最值问题 1.(2014?荆州)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务. (1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量x的取值范围; (2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少? 2.(2014?丹东)在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套. (1)求出y与x的函数关系式. (2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元; (3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少? 3.(2010?武汉)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍). (1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
二次函数的图像与性质专项练习 【知识要点】 1.二次函数:形如 的函数叫做二次函数. 2.二次函数的图像性质:(1)二次函数的图像是 ;(2)二次 函 数 ) ,,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得 c b a a a b a c a b x a y ,,,0(44)2(2 2≠-++=为常数),其顶点坐标为 。 (3)当0>a 时,抛物线开口 ,并向上无限延伸;在对称轴左侧)2(a b x -<即时,y 随x 的增大而减小;在对称轴右侧)2(a b x ->即时,y 随x 的增 大而增大;当a b x 2-=时,函数有 . 当0即时,y 随着x 的增大而减小; 当,2时a b x -=函数有 。 3.二次函数的图像平移: (1)二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同(a 的取值决定抛物线的形状).将2ax y =的图像向右(h>0)、向左(h<0)平移h 个单位,就得到函数2)(h x a y -=的图像;再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是:“h 值正、负、右、左移;k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点: (1)抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= (2)若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破 考点㈠二次函数的图像性质 例1定义[,,a b c ]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是( 31,3 8 ); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于 2 3 ;
二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0