选修2-2 期中测试卷
（本科考试时间为120分钟，满分为100分）
说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级 姓名
第I 卷
一．选择题
1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）
（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确
2．已知22
123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的
值为 （ ） (A) 4
(B) 1-
(C) 6
(D) 0
3．设*211111()()123S n n n n n n n =
+++++∈+++N L ，当2n =时，(2)S =（ C ） Ａ．12 Ｂ．1123+
Ｃ．111234++ Ｄ．11112345
+++
4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ B ）
A 、假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
5．给出以下命题： ⑴若
()0b a
f x dx >?
，则f (x )>0； ⑵20
sin 4xdx =?
π;
⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0
()()a a T T
f x dx f x dx +=?
?
；
其中正确命题的个数为( B )
A.1
B.2
C.3
D.0
6．若
'
0()3
f x =-，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h →+--=
（ B ）
A ．3-
B ． 12-
C ．9-
D ．6- 7.已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ D ）
（A ）2x y x y ++-> （B ）2
2
1x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+
8. 定积分
π2
20
sin 2
x
dx ?
的值等于（ A ） A ．π1
42- B ．
π1
42
+ C ．
1π
24
- D ．
π12
-
【第9题2选1】9.曲线3
2y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）
A ．,)3+∞ B. ,)3
+∞ C. ()+∞ D. [)+∞ 9.设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π??
????
，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A ．112
??
--???
?
， B ．[]10-， C ．[]01，
D ．112??
????
，
10. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2016a ＝（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0 11. 已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列?
??
???)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（D ）
2012
2011
.
2011
2010.
2010
2009.
2009
2008
.
D C B A
12. 平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ B ）
Ａ．
3
a 第Ⅱ卷
二．填空题
13．若复数1111i i
z i i
-+?
=+-，则复数z= 14．已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z
【15题2选1】15.已知可导函数))((R x x f ∈的导函数)('x f 满足)()('x f x f >，则当0>a 时，
)(a f 和)0(f e a （e 是自然对数的底数）大小关系为
15.若函数24()
1
x
f x x =
+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ． 答案：10m -<≤
16.仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 91
三 解答题（本大题共5小题，共54分） 17（本小题满分10分） (1) 求定积分
1
22
2x dx --?
的值； 【2选1】(2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，
且
1
2
z z 为纯虚数，求1z （2）已知复数z 满足()
i
i
i z z z +-=
++232
，求z ． 由已知得()
i i z z z -=++12
，
设()R y x yi x z ∈+=,,
代人上式得i xi y x -=++122
2
所以???-==+1212
2
x y x ，解得???
???
?±=-=23
21y x
故i z 2
321±-=
18.【3选1】
（1）已知a ，b 是正实数，求证：b a a
b b
a +≥+
只需证)(b a ab b b a a +≥+
即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+
即证ab ab b a ≥
-+
即证ab b a 2≥+，即0)(2
≥-b a
该式显然成立，所以
b a a
b b
a +≥+
（2）求证：
(1)223)a b ab a b ++≥++; 证明：（1） ∵222a b ab +≥
,
23a +≥
, 23b +≥ ;
将此三式相加得
222(3)2a b ab ++≥++,
∴223)a b ab a b ++≥+.
（3）已知c b a ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222π
π
π
+
+=+
+=+
+=x z c z y b y x a ，
求证：c b a ,,中至少有一个大于0. 证明：（反证法）
假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则0≤++c b a ， 因为6
2,32,22222πx z c πz y b πy x a ++=++=+
+= 0
3)1()1()1()6
2()32()22(222222>-++++++=+++++++
+=++∴πz y x π
x z πz y πy x c b a 即0>++c b a ，与0≤++c b a 矛盾，故假设错误，原命题成立.
19.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；
（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．
由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．
2()2f x x x c ∴=++．
又方程2
20x x c ++=有两个相等的实数根，
440c ∴?=-=，即1c =．
故2
()21f x x x =++； （2）依题意，得
2
21
(21)(21)t
t
x x dx x x dx ---++=++?
?，
32320
1
1133t
t
x x x x x x ---????∴++=++ ? ???
??
，
整理，得32
26610t t t -+-=，即3
2(1)10t -+=，
1t ∴=
20.已知函数11
()ln()x
f x x x =+-+（1）求()f x 的单调区间； （2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b
a b a
-≥-．
21.已知数列{}n a 的前n 项和*
1()n n S na n =-∈N ．
（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a =
=?，211623a ==?，3111234a ==?，411
2045
a ==?；
（2）猜想：1
(1)
n a n n =
+．
证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*
()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1
(1)
k a k k =
+．
那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11
k k k
S ka k =-=+， 所以
111(1)1
k k k
a k a k +++=-++， 从而111
(1)(2)(1)[(1)1]
k a k k k k +=
=+++++．
即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．
21（本小题满分12分）设数列{}n a 满足2
11123,,,,,n n n a a na n +=-+=L
（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+②121111
1112
n a a a ++≤+++L
18、设函数3
2()33(0)3
x f x x x a a =--->（12分） （1）如果1a =，点P 为曲线()y f x =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程； （2）若[,3]x a a ∈时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
解：（1）设切线斜率为k,则'2
()2 3.k f x x x ==--当x=1时，k 有最小值-4。 又2929
(1),491),12317033
f y x x y =-
+=--++=所以切线方程为即。
（6分）
[,3]()0x a a f x ∈≥若时，恒成立，则：
03303331(2)(3)(3)0(3)0
()0a a a a a f a f f a ?<<≤<<<≥?????
≥≥≥???（）或或 （1），（2）无解，由（3）解得6a ≥，综上所述。
20． 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
（Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为?45，问：m 在什么范围取值时，
对于任意的]2,1[∈t ，函数)]('2
[
)(2
3x f m
x x x g ++=在区间)3,(t 上总存在极值？ （Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+-
-=x
e
p x p x h ，若在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．
解（Ι）由)0()
1()('>-=
x x
x a x f 知： 当1=a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；
（Ⅱ）由12)('=-
=a x f 得到2-=a ，故x
x f x x x f 2
2)(',32ln 2)(-=-+-=， 2)4(3)(',2)2
2()]('2[
)(22323-++=-++=++=x m x x g x x m
x x f m x x x g
因为)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，且21≤≤t ，所以?
?
?><0)3('0
)2('g g ，解得：
9337-<<-
m ，故当9337-<<-m 时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)]('2
[)(23x f m
x x x g ++=在区间)3,(t 上总存在极值。
（Ⅲ）32ln 2)(--=x x x f ，令x x
e
x p px x f x h x F ln 22)()()(---
=-= ①当0≤p 时，由],1[e x ∈得到,0ln 22,0<--
≤-x x
e
p px 所以在],1[e 上不存在0x ，使得)()(00x f x h >成立；
②当0>p 时，2
222)('x
e p x px x F ++-=，因为],1[e x ∈，所以0,0222
>+≥-p px x e ，0)('>x F 在],1[e 上恒成立，故)(x F 在],1[e 上单调递增。 4)()(max --==e p pe e F x F ，由题意可知04>--e p pe ，解得1
42->e e p ，所以p 的取植范围是),1
4(
2
+∞-e e
。 21.已知0>a ，设函数a x a x a x f 22ln )(+?-=，2)2(2
1
)(a x x g -=
． （I ）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值；
（II ）若e 是自然对数的底数，当e a =时，是否存在常数k 、b ，使得不等式)()(x g b kx x f ≤+≤对于任意的正实数x 都成立？若存在，求出k 、b 的值，若不存在，请说明理由． 解：（I ）∵2
2
1ln )(x x a x h -
= (0)x >， ………………（2分） ∴a x a x x a x h )
)(()(-+-=-='．
∴当a x =时，函数)(x h 取最大值
2
ln a
a a -； ………………（4分） （II ）当e a =时，)()()(x g x f x h -=的最大值是0，
即()()f x g x ≤，当且仅当x ………………（6分）
函数)(x f 和)(x g 的图象在x =)2
,(e e ，
∵e x
e
x f 2)(-=
'，函数)(x f 的图象在x =e k f -=，
∵e x x g 2)(-='，函数)(x g 的图象在x =e k g -=，
∴)(x f 和)(x g 的图象在x 2
3e x e y +
-=， ………………（8分）
设ln )3()()(e
x e x e e x e x f x F +-=+
--=，e x e e e x F )()(--
=-='
∴当x )(x F 取得最大值0，∴2
)(x e x f +-≤恒成立； ………………（10分）
∵0)(21
221)23()(22≥-=+-=+--e x e x e x e x e x g ，
∴2
3)(e
x e x g +-≥在x ∈R 时恒成立；
∴当e a =时，e k -=，2
3e
b =． ………………（12分）
新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案
一 选择题
1 C
2 B
3 D
4 D
5 A
6 B 7D 8C 9 D 10 A 11A 12 C
二 填空题
13 1-i 14 22
2
n n -+ 15 -2 16 -1
三 解答题
17(1)
13+ （2）10
3
18 当高3h =
时，3
27
max V l = 19 （1）单调增区间0(,)+∞ ，单调减区间10(,)-
（2）切线方程为 44230ln x y -+-= （3）所证不等式等价为10ln a b
b a
+-≥ 而1111()ln()f x x x =++
-+，设1,t x =+则1
1()ln F t t t
=+-，由（1）结论可得，011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，由此10min ()()F t F ==，所以10()()F t F ≥=即
110()ln F t t t
=+-≥，记a
t b =代入得证。
20 （选做题：从两个不等式任选一个证明，当两个同时证明的以第一个为准）
（1）证：左式=222
121212
11224+()()n n n n n a a a b b b a a a a b a b a b +++++++++L L L
=[]222
12112211221
4()()()()n n n n n
a a a a
b a b a b a b a b a b +++++++++++L L
2
14≥++L
=
2121
14
()n a a a ++=L （2）证：由排序不等式，得：
2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L ，222
1213242n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 两式相加：222
12123234122()()()()n n a a a a a a a a a a a a +++≥+++++L L ，从而
[]222
12
12233412
12
12323412233412
2()(
)()()()(
)n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥++++++++++++++L L L L
212()n a a a ≥++L ，即证。
21