全国初三初中数学竞赛测试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知m 、n 是两个连续正整数，m .下列说法正确的是 ( ). A ．x 为奇数，y 为偶数 B ．x 为偶数，y 为奇数 C ．x 、y 都为奇数 D ．x 、y 都为偶数 2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ). A ．Δ=16S 2 B ．Δ=-16S 2 C ．Δ=16S D ．Δ=-16S 3..设a 为的小数部分，b 为的小数部分.则的值为( ). A ． + -1 B ． - +1 C ． - -1 D ． + +1 4.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD 的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE 与S 的大小关系为( ). A 、S=AD·CE B 、S>AD·CE C 、S D 、无法确定 5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ). A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ). A.R=5，r="2" B.R=4，r=3/2 C.R=4，r="2" D.R=5，r=3/2 二、填空题 1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则 的值为 . 2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 . 3.AD、BE、CF为△ABC的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF，则∠BAC的度数为 . 4.下列四个命题: ①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形; ④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. 其中，正确命题的序号是 . 三、解答题 1.(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值. 2.(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F. 求使不等式S △BGF ·S △CGE ≤kS2△ABC恒成立的k的最小值. 3.(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0. 全国初三初中数学竞赛测试答案及解析 一、选择题 1.已知m、n是两个连续正整数，m A．x为奇数，y为偶数B．x为偶数，y为奇数 C．x、y都为奇数D．x、y都为偶数 【答案】C 【解析】考查知识点：两个连续正整数之间的关系，平方根的意义，奇数和偶数的概念。 思路分析：把n和a用含有m的式子表示出来，然后代入x和y的表达式中，把x和y都用含m的式子表示出来，并化简。 解答过程：∵m和n是两个连续正整数，且m＜n,∴n=m+1,∵a=mn,∴a=m(m+1), ∴x== + = + =m+1+m=2m+1 y== -= -=m+1-m=1 2m+1和1都是奇数，所以选C 2.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的 大小关系为( ). A．Δ=16S2B．Δ=-16S2C．Δ=16S D．Δ=-16S 【答案】B 【解析】本题考查判别式计算和三角形面积计算的海伦-秦九韶公式，Δ=(b2+c2-a2)2-4 b2 c2=（b-c-a）(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)= -16S2 3..设a为的小数部分，b为的小数部分.则的值为( ). A．+ -1B．- +1C．- -1D．++1 【答案】B 【解析】此题考查二次根式的开方和完全平方式的逆向应用；解决此题关键是把已知条件化简程最简二次根式，即开方，开方时要注意符号变换问题，所以由： ，所以， ，选B；此题难点在于如何把二次根式中的被开方数化为完全平方式，通过配凑得到的，平时注意掌握常见的这些形式，如：等； 4.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，△ACD与△BCD的周长相等，△ABE与△CBE的周长相等，记△ABC的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE与S的大小关系为( ). A、S=AD·CE B、S>AD·CE C、S D、无法确定 【答案】A 【解析】此题考查三角形周长的计算、直角三角形的勾股定理和面积的计算公式； 设，且，因为△ACD与△BCD的周长相等，△ABE与△CBE的周长相等，所以，两个等式相减得： ； 又因为，所以 ，即选A； 5.如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC到点P，使得△PAB与△PCA相似.则PC的长是( ). A．7B．8C．9D．10 【答案】C 【解析】设PA=x，PC=y， ∵△PAB∽△PCA， ∴PA：AB=PC：CA，PB：AB=PA：CA， ∴x：8=y：6①， （y+7）：8=x：6②， 解关于①②的方程组得 x=12，y=9， 故PC=9． 故答案是C. 考查了相似三角形的性质、解方程的知识 6.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ). A.R=5，r="2" B.R=4，r=3/2 C.R=4，r="2" D.R=5，r=3/2 【答案】D 【解析】本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心和正方形中心。设正方形边长为。设中点为，连接并延长，交大圆于点 则连接.由勾股定理有 ， 所以 。 将各个选项数据代入，知D 正确。 二、填空题 1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则的值为 . 【答案】-7 【解析】解： 令A= ，B= =α2+β2. 由已知有α+β=-1，αβ=-1. 故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.① A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.② 由式①、②得A=-4-3=-7. 2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 . 【答案】1 009 020 【解析】解： 注意到a i b i = [(a i +b i )2-(a i -b i )2]， a i + b i ="(1+2" 008)×1 004/1 004="2" 009. 要使a i b i 的值最大，须a i -b i 的值最小，而a i -b i 的最小值为1，此时a i +b i ="2" 009，a i -b i =1.于是，a i ="1" 005，b i ="1" 004，此时，a i b i 的最大值为1 005×1 004="1" 009 020. 3.AD、BE、CF为△ABC的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF，则∠BAC的度数为 . 【答案】60° 【解析】解：记BC=a，CA=b，AB=c.由内角平分线定理知 BD= ，CD=，BF=，CE=. 由BD+BF=CD+CE，. 去分母并化简得a2c+2ac2+2bc2+c3=a2b+2ab2+2b2c+b3， 即 (c-b)(a2+2ac+2ab+b2+c2+3bc)=0. 显然a2+2ac+2ab+2bc+b2+c2+bc=(a+b+c)2+bc>0. 于是，c-b=0，即b=c. 同理，当CD+CE=AE+AF时，有c=a.所以，a=b=c，△ABC为等边三角形. 故∠BAC=60°. 4.下列四个命题: ①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形; ④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. 其中，正确命题的序号是 . 【答案】④ 【解析】①不一定反例：在等腰三角形ABC中（AB=AC），在底边BC任取一点D（不是中点），连AD，将三角形ABD翻折得三角形ADE，DE=AC，角ACD=角AED，EA不等于DC，所以AEDC一定不是平行四边形。 ②不一定反例：假设有四边形ABCD，AB=AD,CB=CD,但AB≠BC，那么显然∠B=∠D，BD被AC平分，但是四边形ABCD并不是平行四边形 同理③不一定。 ④一定是平行四边形。可以画图进行证明。 三、解答题 1.(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值. 【答案】记BC=a，CA=b，AB=c. 如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠DAC=∠B， ∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B. 故△ACD△BCA.于是，b/a=CD/b.① 又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而，= =.② 由式①、②得=. 故a2=b(b+c). 若(b，c)=d，则由式①知d|a，故不妨设(b，c)=1.于是，可令 b=m2，b+c=n2.则a=mn，c=n2-m2. 由∠A>∠B>∠C，知a>b>c，即mn>m2>n2-m2. 故m 又m、n为正整数，从而，m-m>1，即m> +1.④ 设△ABC的面积为S，由海伦公式知 S=n(n+m)(n-m)·. 由式④知m≥3.又由式③容易验证: 当3≤m≤7时，只有m=5时，n=6， =8(有理数)，此时， S=14×6×11×1×8=132. 下证当m≥8，n≥9时，S>162. 由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- m)=(6-3)m2>(6-4)m2=(2-)2m2， n(n+m)(n-m)>n(1+n)×1= (2+ )n2. 由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n2(2- 2)m=14n2 则当m≥8，n≥9时，有S>162. 故S的最小值为132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11时，△ABC 面积最小，最小值为132. 【解析】略 2.(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F. 求使不等式S △BGF ·S △CGE ≤kS2△ABC恒成立的k的最小值. 【答案】 .从而，u2+(t-2)u+2t=0在[0，2]内有实根， 则Δ=(t-2)2-8t≥0 t≥6+4 或t≤6-4 . 从而t≤6-4 2. 所以，tmax="6-4" ，此时u="2" -2. 因此，当u="2" -2，x=y，即x=y=-1时， (S △BFG ·S △CEG /S2△ABC)max=(6-4 )2="17-12" . 故k≥17-12 ，kmin="17-12" . 【解析】略 3.(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0. 【答案】用反证法证明. (1)先证x=0时y=0，或y=0时x=0.如若不然，假设x=0时，y>0.则 (x+)(y+)= (y+1)>1，与已知矛盾. 当x=0，y<0时，又有 (x+)(y+)= (y+1)< (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y2<1， 与已知矛盾. 故x=0时，y="0." 同理，y=0时，x=0. (2)再证x≠0，y≠0时，x+y=0.为此先证xy<0. 如若不然，则x>0，y>0或x<0，y<0. 当x>0，y>0时，(x+)(y+)>1，与已知矛盾. 当x<0，y<0时，(x+)(y+)= =≤ .但(-x>1，-y>1，则<1， 与已知矛盾.从而，xy<0. 以下分两种情形讨论. (i)若x+y>0，由于原式关于x、y对称，不妨设x>0，y<0.则x>-y，x2>y2，有(x+)(y+)>( -y)( +y)=1，与已知矛盾. 同理，当x<0，y>0时，也与已知矛盾. (ii)若x+y<0，不妨设x>0，y<0. 则x<-y，x2 与已知矛盾. 由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立. 因此，x+y=0. 综上知x+y=0. 【解析】略 初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。 第一套试题：平方和 试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？ 解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。我们可以用双重循环解决这个问题： ``` ans = 0 for a in range(1, 12): for b in range(1, 12): if a * a + b * b == 130: ans += 1 print(ans) ``` 第二套试题：比率 试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出$x$ 的值。 解析：我们可以用比率法解决这个题目。首先，根据第一个给出的条件，我们有： ``` 3a = 4b ``` 其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。然后，根据第二个条件，我们可以得到： ``` 3b = 2c ``` 其中，$c$ 是中等苹果的重量。现在我们只需要将 $a$ 和 $c$ 的比率相等，即： ``` a / c = 20x / (20 - x) ``` 通过简单的代数运算，我们可以得到： ``` 60x = 80(20 - x) 全国初三初中数学竞赛测试 班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 一、选择题 1.已知m 、n 是两个连续正整数，m A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是 初三数学竞赛试题及答案 一、选择题 1. 已知平面内一直线L的倾斜角为α，斜率为k，若点A(-1,2)在L 上，则直线L的方程为： A. y-2 = k(x+1) B. y+2 = k(x-1) C. y-2 = k(x-1) D. y+2 = k(x+1) 答案：A 2. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c 是一个减函数，那么a, b, c的关系是： A. a > 0, b > 0, c > 0 B. a > 0, b < 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c < 0 D. a < 0, b > 0, c > 0 答案：D 3. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，末项为an，且an = 3a1，若a4 = 7，则d的值是： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 4. 在ΔABC中，∠A=60°，AC=2AB，则∠B的度数为： A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 答案：D 5. 若直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边的长度是： A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案：A 二、填空题 1. 已知ABC是一个等边三角形，AB的边长为5，则三角形ABC 的面积为______。 答案：(25√3)/4 2. 若一组数据中50%的数据小于等于10，25%的数据大于15，中位数为12，则这组数据的总个数为______。 答案：8 3. 若甲数是乙数的8倍，且甲数减去乙数等于30，则甲数的绝对值为______。 答案：40 4. 已知某数的60%等于120，这个数是______。 答案：200 5. 若甲数是乙数的1/5，乙数是丙数的1/3，则甲数与丙数之和的三倍为______。 答案：28 三、解答题 1. 一条细长导线的电阻率R为ρ，长度为l，截面积为A。如果将导线的长度翻倍，截面积减半，则新的导线的电阻率是多少？ 答：R 2. 已知函数f(x)满足f(x+1) = 2f(x) - 1，且f(2) = 3，求f(5)的值。 答：f(5) = 19 3. 北京到上海有两种交通工具可以选择，飞机和高铁。飞机每小时的速度是800千米，高铁每小时的速度是300千米。若两种交通工具 全国各地初中（9年级）数学竞赛专题大全 竞赛专题6 函数 一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2 B ．6 C ．2或2- D ．6或6- 2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x = 和2k y x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设 点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）． A ．12k k + B ．12k k - C ．12k k D ．21k k - 3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1 y x =于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）． A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．保持不变 D ．无法确定 4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22 b b y a x cx a =----在1x =取最 小值8 3 b -，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1- B ．2- C ．1-或2 D ．1-或2- 6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则 200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤ +++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．251000 7．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988 (2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤ --+--⎢⎥ +=⎢⎥-⎢⎥+ -⎣⎦ ，则x 的个位 数字是（ ）． A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 8．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）． A ．22 12 17x x += B ．22 128x x += C ．22 1217x x +< D ．22 128x x +> 9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于 x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h < B ．1h = C ．12h << D ．2h > 10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）． A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4100 二、填空题 11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则 |||||||| a b c abc a b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则244 11x x x y ++-+=的最大值是________． 14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数2 1y x x x =-+的最小值是______． 15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则 ||||a c c b -+-的值为______． 16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 17．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,, ,a a a 满足：12a =，2 n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭102008+ =，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________． 初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分) 1．已知a =，则3222621 a a a a ++=-( ) A ．B ． 2D 2 【答案】A 【解答】 由a =，知21a =，21a +=24413a a ++=，2212a a =-。 ∴3232222626112133212222 a a a a a a a a a a a a ++++-==---=-----211)1a =--=--= 2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1， 2的小球放入同一个盒子内的概率为( ) A ．215 B ．15 C ．25 D ．35 【答案】B 【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法(堆与堆之间不考虑顺序)：(12)，，(34)，，(56)，；(12)，，(35)，，(46)，；(12)，，(36)，，(45)，；(13)，，(24)，，(56)，；(13)，，(25)，，(46)，；(13)，，(26)，，(45)，；(14)，，(23)，，(56)，；(14)，，(25)，，(36)，；(14)，，(26)，，(35)，；(15)，，(23)，，(46)，；(15)，，(24)，，(36)，；(15)，，(26)，，(34)，； (16)，，(23)，，(45)，；(16)，，(24)，，(35)，；(16)，，(25)，，(34)，。 其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。∴编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为315 =。 3．已知圆O 是边长为ABC 的内切圆，圆1O 圆O 外切，且与ABC △的CA 边、CB 边相切，则圆1O 的面积为( )A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 【答案】A 【解答】 如图，设圆O 切CB 边于D ，圆1O 切CB 边于E ， 且圆O 的半径为R ，圆1O 的半径为r 。由ABC △是边长为 三角形，知2632OC =??=，1332 R OD ==?=，∵圆1O 圆O 外切，且与ABC △的CA 边、CB 边相切，∴O 、 1O 、C 三点共线，30OCD ∠=?，1122O C O E r ==。 ∴112336OC OO O C R r r r =+=++=+=，1r =。∴圆1O 的面积为21ππ?=。 4．如图，P 为等腰三角形ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F 。已知10AB AC ==，12BC =，且133PD PE PF =∶∶∶∶。则四边形PDCE 的面积为( )A ．10 B ．15 C ．403 D ．503 【答案】C 【解答】如图，连结PA ，PB ，PC 。易知1128482 ABC S =??=△。 又111222 ABC PBC PCA PAB S S S S BC PD CA PE AB PF =++=?+?+?△△△△65548PD PE PF =++=， 133PD PE PF =∶∶∶∶。∴43 PD =，4PE PF ==。由P E P F =，知点P 在BAC ∠的平分线上，A 、P 、D 三点共线。∴222PC PD DC =+， 2222222224196()6439EC PC PE PD DC PE =-=+-=+-=。∴143 EC =。 ∴111411440642223233 PDC PEC PDCE S S S PD DC PE EC =+=?+?=??+??=△△四边形。 5．记()S n 为非负整数n 的各个数位上的数字之和，如(0)0S =，(1)1S =，(1995)199524S =+++=.则(1)(2)(3)(2015)S S S S ++++=L ( ) A ．28097 B ．28098 C ．28077 D ．28087 2021年全国初中数学联合竞赛（四川初赛） 试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、C 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 7、3 8、409、1 9 10、4 三、（本大题满分20分） 11、已知关于x的一元二次方程x2-kx+5=0与x2+5x-k=0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x2+kx|=|k|所有的实根之和。 解：设x2-kx+5=0与x2+5x-k=0的公共实根为α， 则α 2-kα+5=0，α 2+5α-k=0， ············································（5分） 两式相减，得(k+5)α -(k+5) =0．·········································（10分） 因为当k=-5时两方程相同，有两个公共的实根，不合题意．所以k≠-5． 因此α =1．从而求得k=6．················································（15分） 所以方程|x2+kx|=|k|即为|x2+6x|=6，x2+6x=6或x2+6x=-6． 显然两方程都有实根，因此方程所有实根之和是-12． ············（20分） 四、（本大题满分25分） 12、如图，已知圆O的直径AB与CD互相垂直，E为OB中点，CE的延长线交 圆O于G，AG交CD于F，求DF FC 的值。 解：设OE=a，则OA=OB=OC=OD=2a，CE a， 因为△COE∽△CGD， 所以CO CG = OE GD = CE CD ， 所以CG=CO CD CE ⋅ a， 所以EG=CG-CE a。 ················································（10分） 过G作GH⊥AB于点H，则△COE∽△GHE， 所以CO GH = OE HE = CE GE = 5 3 ， 所以GH=6 5 a，HE= 3 5 a，于是AH= 18 5 a。 由△AOF∽△AHG，得OF HG = AO AH = 5 9 ， 全国初中数学竞赛试卷 一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则c b a 10019992++的值是（ ） A 、1999 B 、2000 C 、2001 D 、不能确定 2、若1≠ab ，且有09201152=++a a 及05200192=++b b ，则b a 的值是（ ） A 、59 B 、95 C 、52001- D 、9 2001 - 3、已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC ，则AC 的长为（ ） A 、32+ B 、32- C 、30⋅ D 、23- 4、如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ∆∽ACB ∆不 一定成立的情况是（ ） A 、BD A B B C A D ⋅=⋅ B 、AC AD AB •=2 C 、ACB ABD ∠=∠ D 、BD AC BC AB •=• 5、①在实数范围内，一元二次方程02 =++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在 ABC ∆中， 若222AB BC AC +，则ABC ∆是锐角三角形；③在ABC ∆和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为ABC ∆的三边，111c b a ，，分别为111C B A ∆的三边，若111c c b b a a ，，，则ABC ∆的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣； ②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） A 、522.8元 B 、510.4元 C 、560.4元 D 、472.8 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，︒=∠15QPO ，且 全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算4... 3一2：2 —. 41一24」2 二（） （A）■,2-1 （B）1 （C）•、, 2 （D）2 【答案】（B） 【解析】原式=4 （.2+1）2（4.2 - 3）2=4^.2 1）-（4-、2 3） =1，故选（B）. 2 2 2.满足等式（2 -m亍』=1的所有实数m的和为（） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】（A） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若2 -m =1，即m =1时，满足已知等式； 2 （2）若2-m=「1，即m=3时，2-m m^-1）^1满足已知等式； （3）若2 - m ~1，即m = 1且m = 3时，由已知，得22 m 0解得，m = -1 口一m - 2 = 0 故满足等式（2-m「=1的所有实数m的和1 +3 + （-1）=3，故选（A）. 3.已知AB是圆0的直径，C为圆0上一点，・CAB=15，. ABC的平分线 交圆0于点D，若CD —3，则AB=（） CN 二 DN 0C =0A,从而 0CA =/CAB =15 由AB是圆0的直径，得（A）2 （B） 6 （C） 2 迁（D）3 【答案】（A） 【解析】连接0C,过点0作ON — CD于点N，则 ACB =90,因CD 平分ACB ,故 ACD = 45；, 0CN 二 ACD - 0CA 二 30 , 在Rt ONC 中，v cos _ OCN = ——- , 0C = 1,二AB = 20C = 2 ,故选(A). 0C 2 4.不定方程3x2• 7xy-2x-5y-17 =0的全部正整数解(x, y)的组数为( ) (A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4 1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛 第一试 一、选择题 1.下面四个数中最大的是( ) A.tan48cot 48︒+︒ B.sin48cos48︒+︒ C.tan48cos48︒+︒ D.cot 48sin48︒+︒ 2.在实数范围内, 设1988 51111a x a a ⎫⎪ +=+⎪ + ⎪+ ⎪-⎝⎭ 则x 的个位数字是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 3.如图1,在直角梯形ABCD 中,7AB =,2AD =,3BC =,如果这AB 上的点P 使 得以P ,A ,D 为顶点的三角形和以P ,B ,C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下面有四个命题: ⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形, ⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, ⑶一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, ⑷一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形. 其中,正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 1.如果质数p ,q 满足关系式3531p q +=,那么2log 31 p q +的值是________. 2.如图2,ABC △的边2AB =,3AC =,1,2,3分别表示以AB ,BC ,CA 为边的正方形,则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________. 3.如果自然数1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,满足1234512345x x x x x x x x x x ++++=, 那么5x 的最大值是_______. 4.如图3,A ,B ,C ,D 四点在同一圆周上,且4BC CD ==,6AE =,线段BE 和DE 的长都是正整数,则BD 的长等于_________. 第二试 一、一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数等于它前面 的一个数加3,直到700为止,将所有这些数相乘,试求所得数的尾部零的个数(例如12003000尾部零的个数是3). 二、如果p ,q ,21p q -,21 q p -都是整数,并且1p >,1q >,试求p q +的值. 三、如图4,PQR △和P Q R '''△是两个全等的等边三角形,六边形ABCDEF 图 1 P D C B A 图 2 C A B 13 2图 3E D C B A P b 1 a 3 b 2 b 3 a 2a 1 Q' P'R'R Q F E D C B A 全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ） A 、24 B 、 25 C 、1074+ D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 4 4、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A 、 143 B 、73 C 、21 D 、7 4 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ） A 、 36 B 、3 2 C 、31 D 、10 10 6、设n 是大于1909的正整数，使得 n n --20091909 为完全平方数的n 的个数是 （ B ） A 、3 B 、 4 C 、 5 D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是____________. 答案：3- 2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______. 答案：mn 2 3、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1- 4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+ b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）A C B D E 初三数学竞赛试卷 一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分.) 1．如果2 26 (21) x x m x ⎛⎫ = ⎪-⎝⎭，那么代数式m 是 （ ） （A ）3(21)x ±- （B ）2(21)x ±- （C ）3(21)x - （D ）2(21)x - 2．在平面直角坐标系中，点A （x -，1y -）在第四象限，那么点 B （1y -，x ）在 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，点A 表示数x ，则x 2的平方根是 （ ） （A ） 2± （B ）2- （C ）2 （D ）2 4．如果,22,12=+=+c b b a ，那么a c 1 +等于 ( ) （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 5．考虑下列4个命题： ①有一个角是100°的两个等腰三角形相似； ②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④对角线相等的梯形是等腰梯形． 其中正确命题的序号是 ( ) (A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④ 6．已知如图，在矩形ABCD 中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是 ( ) （A ）大于1 （B ）等于1 （C ）小于1 （D ）小于或等于1 7．已知梯形的两条对角线分别为m 与n ，两对角线的夹角为60 0 . 那么，该梯形的面积为 （ ） （A ）mn 23 （B ）mn 43 （C ）mn 8 3 （D ）mn 3 8．已知，正整数n ，k 满足不等式 65 119 n k <<，那么当n 与k 取最小值时，n +k 的值为 （ ） （A ）29 （B ）30 （C ）31 （D ）32 1984第一届全国九年级义务教育初中中考数学联赛 一、选择题 1.若||->-a a ,则( ) A.0>a B.0>S S S B.643>>S S S C.634>>S S S D.346>>S S S E.463>>S S S 4.如图,直线和直线上一点的坐标()，x y 满足关系式( ) A.||||0+=x y B.||1=x C.2||1-=x y D.||||0-=x y E.||0-=x y 5.方程2198451331548910++=x x ( ) A.没有实数根 B.有整数根 C.有正数根 D.两根的倒数和小于1- E.以上结论都不对 6.ABC △的三条外角平分线相交成一个LMN △,则LMN △( ) A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是锐角三角形 D.不一定是锐角三角形 E.一定不是锐角三角形 7.已知方程2210+-+=x kx k 的两个实根的平方和为29 4 ,则k 的值为( ) A.3 B.11- C.3或11- D.11 E.以上结论都不对 8.一个两位数,交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的7 4 倍,则这样的两位数有 ( ) A.1个 B.2个 C.4个 D.无数多个 E.0个 9.半径为13和半径为5的两圆相交,圆心距为12,则这两圆公共弦长为( ) A. B.65 6 C. D.10 E.以上结论都不对 10.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数) A.2333-+n n B.2444++n n C.2555--n n D.2777-+n n E.2111111+-n n 二、试推导出一元二次方程20(0)++=≠ax bx c a 的求根公式. 三、已知:6lg lg =+A p q ,其中p 、q 为质数,且满足29-=q p . 求证:34< 全国初中数学竞赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） （ 1）设x53 ，则代数式 x( x1)( x 2)( x 3) 的值为( ). 2 （A）0（B）1（C）﹣1（D）2【答】 C． 解：由已知得 x23x 1 0，于是 x( x1)(x2)( x3)( x23x)( x23x2) ( x23x1)21 1. （ 2）已知 x，y，z 为实数，且满足 x2y5z 3 ，x 2 y z 5 ，则x2y 2z2的最小值为 (). （A）1 （） （C）5 （D） 54 11B011 【答】 D． ，， 解：由 x 2 y z ，可得 y z 2. 5 于是x2y2z211z22z 5． 因此，当 z 1 时， x2y2z2的最小值为 54 ．1111 （ 3）若 x 1 ，y0，且满足 xy x y，x x3 y，则x y 的值为 (). y （A）1（B）2（C）9 （D） 11 22 【答】 C． 解：由题设可知 y x y 1，于是x yx3y x4 y 1，所以 4 y 11． 故 y 1 4 ．于是x y 9 ，从而 x． 22 （ 4）设 1111 ，则 4S 的整数部分等于 (). S33 3 33 122011 （A）4（B）5（C）6（D）7 【答】 A． 解：当 k2，3，，2011，因为 1 1 1 111， k3k k2 2 k 1 k k k 1 所以1S1 1 111 1 11 20125 ． 2333201132220114 于是有 44S5，故 4S 的整数部分等于 4． （ 5）点 D，E 分别在△ ABC 的边 AB， AC 上， BE， CD 相交于点 F ，设 S 四边形 EADF S 1 ，S BDF S 2 ，S BCF S 3 ，S CEF S4， 则 S1S3与 S2S4的大小关系为(). （A） S1 S3S2 S4（） S1S3S2 S4 B （C） S1 S3S2S4（）不能确定D 【答】 C． 解：如图，连接 DE ，设S DEF S1，第（ 5）题 则S 1EF S4，从而有 S1 S3S2 S4．因为 S1S1，所以S1S3S2S4．S2BF S3 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） （ 6）两条直角边长分别是整数a，b （其中 b 2011），斜边长是 b 1 的直角三角形的个数为. 【答】 31． 2022年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩ ，或21.x y =-⎧⎨=⎩， 所以1 x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ． 2 B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =， 所以BD = DP =又易知△AEP ∽△BDP ，所以 AE PE BD DP = ，从而可得PE AE BD DP =⋅==. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可 以作为三角形的三边长的概率是 （ ） 第十二届“五羊杯〞初中数学竞赛试题初三试题 (考试时间：90分钟总分值：100分) 一、选择题(4选l型，选对得5分，否那么得0分．本大题总分值50分．) 1．方程x＝根是x＝( )． (A)4- (B)4+ (C)-4 (1)) 2．设x＝，那么x7+3x6-10x5-29x4++x3-2x2+x－l值为( )． (A) (B) (C) (D) 3．假设32x＝6·22x-5·6x，那么( )． (A)2x>3x (B)2x<3x， (C)2x>3x或2x<3x都有可能 (D)以上三者都不对 4．如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点．任选这9个点中两个连一条直线，那么一共可以连( )条直线． (A)20 (B)36 (C)34 (D)22 5．图中一共可以数出( )个锐角． (A)22 (B)20 (C)18 (D)15 6．设[x]表示不大于x最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，那么 =( )． (A)2 000 000 (B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001 7．如图，长方形图中有很多三角形．假如要找全等三角形，一共可以 找出( )对． (A)8 (B)7 (C)6 (D)4 8．设A2＝0．012 345 678 987 654 321×(1+2+3 +……+9+……+3+2+1)， B2＝0，012 345 679，那么9·109(1-｜A｜)B＝ ( )． (A)10 (B)±10 (C)l (D)±l 9．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并夹在平行线AB 与CD之间．假设PA＝，PB＝，PC＝，那么PD＝( )， (A)2 (B) (C)3 (D) 10．如图，D是△ ABC边AB延长线上一点，DE∥BC，E在AC延长线上， EF∥AB，F在BC延长线上，S△ADE＝m，S△EFC＝n，那么S四边形BFED＝( )． (A)4 (B)3 (C)2 (D) 二、填空题(每题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题总分值50分) 1．分解因式：(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10＝． ，那么= ．(abc≠0) 解是x＝． 4．：，且，那么 x= ,y= ，Z= 5，一个多边形每个外角都等于10°，那么它有条对角线． 6．设a，b，c，d为正实数，a 2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案（精华版） 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分） 1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则2 222 22103225z y x z y x ---+的值等于 ( ). (A) 2 1- (B) 2 19 - (C) 15- (D) 13- 2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ). (A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（ ）. (A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720° O C D A A B C F G 4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）. (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个 5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ). (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知31+=x ，那么=---+ +2 1 412 12x x x . 7．若实数x ，y ，z 满足41=+ y x ，11=+z y ，3 7 1=+x z ，则xyz 的值为 .初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解
全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初中数学竞赛试题及解答
初三数学竞赛试题及答案
全国各地初中(九年级)数学竞赛《函数》真题大全 (附答案)
初三数学竞赛试题参考答案
2021年全国初中数学联合竞赛(四川初三初赛)试题参考答案及评分标准
初三数学奥数题及答案
初三奥数联赛试题及详解
1988第五届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析(有些图画不出来)
初三数学联赛试题及参考答案
初三数学竞赛试卷及答案
1984第一届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析
初三全国数学竞赛题及答案
全国数学竞赛初三决赛模拟试题及答案
五羊杯初中数学竞赛初三试题含答案
2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案(精华版)
相关主题
文本预览