第二讲力与平衡
学习目标
1、理解弹力产生的条件，会确定弹力的方向，能熟练应用胡克定律求弹簧弹力的大小。
2、理解摩擦力产生的条件，会判断摩擦力的有无，能确定摩擦力的种类。
3、知道平行四边形定则是解决矢量问题的方法，学会作图，并能把握几种特殊情形
4、理解共点力作用下物体平衡的条件，并能用来解决平衡问题；
5、能结合受力分析，运用力的合成与分解、正交分解、物体的平衡条件等解决与实际相结合的力学平衡问题。
知识点一
一、重力
1、定义：由于地球的吸引而使物体受到的力．
2、重力的大小：可用公式G＝mg计算得出，式中g是比例系数，g＝9.8N/kg.
3、重力的方向：总是竖直向下．
二、弹力
1、定义：相互接触的物体发生弹性形变时，由于物体要恢复原状，物体会对与它接触的另一物体产生力的作用，这种力叫弹力．
2、方向：弹力的方向总是与物体形变的方向相反，以使物体恢复原状．
三、胡克定律
1、内容：在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度成正比．
2、公式：F＝kx.
3、适用条件：在弹性体的弹性限度内．
4、劲度系数：是一个有单位的物理量，单位为N/m.弹簧的劲度系数为1 N/m的物理意义：弹簧伸长或缩短1 m时产生的弹力大小为1 N.
四、滑动摩擦力
1．定义：当两个物体彼此接触和挤压，并发生相对滑动时，在接触面上产生的阻碍相
对滑动的力．
2．滑动摩擦力的方向及效果：滑动摩擦力的方向总是与接触面相切，并与物体的相对运动方向相反．因此，滑动摩擦力的效果总是阻碍物体间的相对运动．
3．滑动摩擦力的大小
1、滑动摩擦力的大小：与压力成正比，还与接触面的性质有关．
2、公式：f＝μN.
其中N表示压力，μ叫动摩擦因数，与接触面的材料及接触面的情况有关．
五、静摩擦力
1．定义：当两个彼此接触、挤压的物体之间没有发生相对运动，但具有相对运动的趋势时，接触面上会产生一种阻碍相对运动趋势的力，这种力称为静摩擦力．2．产生条件：物体直接接触，接触面粗糙，接触面间有压力，有相对滑动趋势．
3．方向：总是与接触面相切并且与相对滑动趋势的方向相反．
4．效果：阻碍物体间的相对滑动的趋势．
5．大小：由外部因素决定，随外力的变化而变化．
6．最大静摩擦力
(1)定义：物体与接触面之间的静摩擦力的最大值，也即在外力作用下物体将开始沿接触面滑动时的静摩擦力，用fmax表示．
(2)相关因素
①与两物体间的压力成正比．
①与接触面的性质有关．
知识点二
一、力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)．
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成．
(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力．平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示．
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力．
二、力的分解
1．矢量、标量
(1)矢量
既有大小又有方向的量。相加时遵从平行四边形定则。
(2)标量
只有大小没有方向的量。求和时按代数法则相加。有的标量也有方向。
2．力的分解
(1)定义
求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。
(2)遵循的原则
①平行四边形定则。
②三角形定则。
3.分解方法
（1）按作用效果分解力的一般思路
（2）正交分解法
①定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
③方法：物体受到F1、F2、F3…多个力作用求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y 轴分解．
x轴上的合力：
F x＝F x1＋F x2＋F x3＋…
y轴上的合力：
F y＝F y1＋F y2＋F y3＋…
合力大小：F ＝F
2x ＋F 2
y
合力方向：与x 轴夹角设为θ，则tan θ＝F y
F x .
1．（多选）关于两个共点力F 1，F 2的夹角为θ，它们的合力为F ，如图1所示，下面有关说法错误的是（ ）
A ．若F 1和F 2大小不变，θ角变大，合力就越小
B ．若F 1，F 2大小分别为4N ，7N ，它们合力可以为12N
C ．若把F 进行分解可以有多组分力，但每组只能有两个分力
D ．质点除了受F 1，F 2作用，还受到F 的作用
答案BCD
2．图2是两个共点力的合力F 跟两个分力的夹角 的关系图像， 下面的分析中正确的是 （ ）
A ．F 的取值范围是2N ≤F ≤10N
B ．F 的取值范围是4N ≤F ≤14N
C ．两个分力分别是6N 和8N
D ．两个分力分别是2N 和10N 答案C
典型例题
3．物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列几组力的合力不可能为零的是（）A．1N，5N，10N B．5N，2N，3N
C．5N，7N，8N D．10N，10N，10N
答案A
4．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是()
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案C
5．如图3所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10N，求这5个力的合力大小()
A．50N B．30N C．20N D．10N
答案B
6．两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为90°时，其合力大小为F；当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为（）
A ．2F
B ．F 2
C ．
F 22 D ．F 23
C 【解析】设两个大小相等的力均为1F ，夹角为90°时有F F =12，当它们之间的夹角为120°时，合力?=60cos 21F F 合，解得F F 2
2
=
合，选项C 正确。
7．有三个力矢量F 1、F 2、F 3，恰好可围成一个封闭的直角三角形，在下列四个选项表示的情形中(如图)，三个力的合力最大的是( )
C 【解析】根据矢量合成法则可知，A 图中三力合力为2F 1，B 图中合力为零，C 图中合力为2F 2，
D 图中合力为2F 3，因此C 图中三力的合力最大，选项C 正确。
8．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A ．kL
B ．2kL
C ．
D ． D 【解析】发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则4
1
22sin ==L L
θ
，
kL 23kL 2
15
4
15
sin
1
cos2=
-
=θ
θ。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为θ
cos
2F
F=
合
。F＝kx＝kL，故kL
F
2
15
=
合
，选项D正确。
一、实验原理和方法
一个力F′的作用效果与两个力F1、F2的作用效果都可以使相同的一端固定的橡皮条伸长到同一点O，则F′必与F1、F2的合力等效，以F1、F2为邻边作平行四边形求出合力F，比较F′与F的大小和方向，以验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则．
二、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两只)、三角板、刻度尺、图钉(几个)、细芯铅笔、橡皮条、细绳(两根)等．
三、实验步骤及数据处理
1．仪器的安装：用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上，并用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套，如图所示．
2．操作与记录
(1)用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录两弹簧测力计的读数，用铅笔描下O点的位置及此时两细绳套的方向．
(2)用一只弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
3．作图与分析
(1)用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳套方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧
知识点三
测力计的读数F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边，用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
(2)用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出只用一只弹簧测力计时的拉力F′的图示，如图所示．
(3)比较一下力F′与用平行四边形定则求出的合力F，在误差允许的范围内，大小和方向是否相同．
(4)改变两个力F1与F2的大小和夹角，再重复上述实验两次．
四、误差分析
1．弹簧测力计的选取方法：将两只弹簧测力计调零后互钩水平对拉，若两只弹簧在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应另选，直至相同为止．
2．保证分力与合力作用效果相同的方法：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点O的位置一定要相同．
3．橡皮条老化的检查方法：用一个弹簧测力计拉橡皮条，要反复做几次，使橡皮条拉到相同的长度看弹簧测力计读数有无变化．
4．弹簧测力计夹角范围：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°到120°之间为宜．
5．拉力的选取原则：在不超出弹簧测力计的量程和橡皮条形变限度的条件下，使拉力适当大些．
6．画力的图示的注意事项：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些．
典型例题
1、在做“探究求合力的方法”实验时：
(1)除已有的器材(方木板、白纸、弹簧测力计、细绳、刻度尺、图钉和铅笔)外，还必须有________和________．
(2)要使每次合力与分力产生相同的效果，必须()
A．每次将橡皮条拉到同样的位置
B．每次把橡皮条拉直
C．每次准确读出弹簧测力计的示数
D．每次记准细绳的方向
(3)为了提高实验的准确性，减小误差，实验中应注意些什么？
(4)在“探究求合力的方法”实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置．图中________是力F1与F2的合力的理论值；________是力F1与F2的合力的实验值．通过把________和________进行比较，验证平行四边形定则．
[解析](1)根据实验器材要求可知，还必须有橡皮条和三角板(用来作平行四边形)．
(2)根据实验原理知正确选项为A.
(3)实验中应注意：①选用弹性小的细绳；②橡皮条、细绳和弹簧测力计的轴线应在同一平面上，且与板面平行贴近等．
(4)在本实验中，按照平行四边形定则作出的合力F为F1与F2的合力的理论值，而用一个弹簧测力计拉时测出的力F′为F1与F2的合力的实验值．比较F与F′的大小和方向，即可验证平行四边形定则．
[答案](1)橡皮条三角板(2)A(3)见解析
(4)F F′F F′
2、有同学利用如图所示的装置来探究求合力的方法：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力FOA、FOB和FOC，回答下列问题：
(1)改变钩码个数，实验能完成的是()
A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是()
A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为下图中________(选填“甲”或“乙”)是正确的．
甲乙
[解析](1)对O点受力分析如图所示，
OA、OB、OC分别表示FOA、FOB、FOC的大小，由于三个共点力处于平衡．所以FOA、FOB的合力大小等于FOC，且FOC (2)为探究求合力的方法，必须作受力图，所以先明确受力点，即标记结点O的位置，其次要作出力的方向并读出力的大小，最后作出力的图示，因此要做好记录，应从力的三要素角度出发，要记录钩码的个数和记录OA、OB、OC三段绳子的方向，故A正确，B、C、D 错误． (3)以O点为研究对象，F3的实际作用效果在OC这条线上，由于误差的存在，F1、F2的合力的理论值与实际值有一定偏差，故甲图符合实际，乙图不符合实际． [答案](1)BCD(2)A(3)甲 知识点四 一、共点力的平衡条件 1. 平衡状态：如果一个物体在力的作用下，保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。 2. 共点力作用下物体的平衡条件是合力为0，即F合＝0。物体所受合力为零，则在任意两个相互垂直的方向上，物体所受的合力都为零，即F x＝0、F y＝0。 3.物体平衡时，作用在物体上的诸力间的关系 二、共点力平衡处理共点力平衡问题的常用方法 （1）力的合成法——用于受三个力而平衡的物体。 ①确定要合成的两个力； ②根据平行四边形定则作出这两个力的合力； ③根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)； ④根据三角函数或勾股定理解三角形。 (2)正交分解法——用于受三个及以上的力而平衡的物体。 ①建立直角坐标系； ②正交分解各力； ③沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解。 （2）正交分解法——用于受三个及以上的力而平衡的物体。 1．如图所示，A 物体沿竖直墙自由下滑，B ，C ，D 物体均静止。各接触面均粗糙。下列说法正确的是（ ） A ．A 物体受到两个力作用 B ．B 物体受到三个力作用 C ．C 物体受到两个力作用 D ．D 物体受到三个力作用 2．(多选)如图所示，质量为m 的木块在推力F 作用下，在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为（ ） A ．mg μ B ．)sin (θμF mg + C ．)sin (θμF mg - D ．θcos F BD 【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、推力F 、支持力F N 、摩擦力 F f 。沿水平方向建立x 轴，将F 进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F )，由 于木块做匀速直线运动，根据平衡条件有 F cos θ＝F f ，F N ＝mg ＋F sin θ，又F f ＝μF N ，解得，F f ＝μ(mg ＋F sin θ)，选项B 、D 均正确。 典型例题 3.如图所示，质量为m 的物块在水平推力作用下，静止在倾角为θ的光滑斜面上，则物块对斜面的压力为( ) A ．mgcos θ B ．mgsin θ C ． mg cos θ D ．mg sin θ C [分析物块受力，建立如图所示的直角坐标系．物块静止，则y 轴方向上有Ny ＝Ncos θ＝mg ，则N ＝ mg cos θ .故C 正确．] 4．如图所示，一只质量为m 的蚂蚁在半径为R 的半球形碗内爬行，在距碗底高R 2的P 点停下来，若重力加速度为g ，则它在P 点受到的摩擦力大小为( ) A ．12mg B ．22mg C ．3 2 mg D ．mg C [过P 点作半球形面的切面，该切面相当于倾角为θ的斜面，由几何知识知cos θ ＝12.用一方形物体表示蚂蚁，故蚂蚁在P 点受到的摩擦力大小Ff ＝F1＝mgsin θ＝32mg ，C 正确．] 5.如图所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求： (1)地面对三棱柱支持力的大小； (2)地面对三棱柱摩擦力的大小． [解析] (1)选取A 和B 整体为研究对象，它受到重力(M ＋m)g 、地面的支持力N 、墙壁的弹力F 和地面的摩擦力f 的作用(如图甲所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有N －(M ＋m)g ＝0，F ＝f 可得：N ＝(M ＋m)g. 甲 乙 (2)再以B 为研究对象，它受到重力mg ，三棱柱对它的支持力NB ，墙壁对它的弹力F 的作用(如图乙所示)而处于平衡状态． 根据平衡条件：NBcos θ＝mg ，NBsin θ＝F 解得F ＝mgtan θ，所以f ＝F ＝mgtan θ. “活结”“死结”问题 1. “死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。如图1所示。 2.“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。如图2所示。 1．如图所示，轻质且不可伸长的细绳两端分别固定在竖直杆M 、N 上的A 、B 两点，一重30N 的物块C 悬挂于轻质滑轮上且处于静止状态， 053α=，不计一切摩擦，则细绳的拉力为（ ） A ．15N B ．18N C ．24N D ．25N 1. D 【解析】滑轮两边绳子的拉力相等，可知两边绳子与竖直方向的夹角相等均为α，对滑轮，由平衡条件可知：2Tcos 530=mg ，解得T =25N ，故选项D 正确。 2．如图所示，轻绳AO 和BO 共同吊起质量为m 的重物。AO 与BO 垂直，BO 与竖直方向的夹角为θ，则（ ） A ． 绳AO 所受的拉力大小为mgsinθ 知识点五 典型例题 B ． 绳AO 所受的拉力大小为 mg sinθ C ． 绳BO 所受的拉力大小为mgtanθ D ． 绳BO 所受的拉力大小为mg cosθ A 【解析】绳AO 所受的拉力与 绳BO 所受的拉力的合力与重力等值反向，作出平行四边形可知F AO =mgsinθ，F BO =mgcosθ，所以A 选项正确。 .B 【解析】依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：F B ＞F A 。又因为两绳承受能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO 绳先断，选项B 正确。 3. （多选）如图5所示，电灯的重力G ＝10N ，AO 绳与顶板间的夹角为45°，BO 绳水平，AO 绳的拉力为F A ，BO 绳的拉力为F B ，则 （ ） A. F A ＝102N B. F A ＝10N C. F B ＝102N D. F B ＝10N 4．如图所示，在绳下端挂一物体，用力F 拉物体使悬线偏离竖直方向α的夹角，且保持其平衡。保持α角不变，当拉力F 有极小值时，F 与水平方向的夹角β应是（ ） A ．0 B ． 2 C ．α D ．2α C 【解析】物体处于平衡状态，合力为零，重力和拉力的合力与细绳的张力F T 等大反向，如图所示，可以知道当拉力F 有极小值时，F 与水平方向的夹角β应等于α，选项C 正 确。 知识点六 动态平衡问题 在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化。分析动态平衡问题通常有两种方法。 （1）解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变参量的变化确定应变参量的变化。 （2）图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度，变化判断各个力的变化情况。 (3)相似三角形法：对研究对象进行受力分析，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。 典型例题 11．如图所示，质量不计的细绳一端绕过无摩擦的小滑轮C与物块相连，另一端与套在一根固定竖直杆上的圆环A相连。初始状态，杆BC丄AC。现将杆BC绕B点沿逆时针方向缓慢转动一小角度，该过程中圆环A始终处于静止状态，则（） A．细绳对圆环A的拉力变大B．圆环A受到竖直杆的弹力变大 C．圆环A受到的静摩擦力变小D．滑轮C受到细绳的压力变小 D 【解析】设AC与竖直杆的夹角为θ，将杆BC绕B点沿逆时针方向缓慢转动一小角度，因为AB与BC长度不变，由几何关系可知AC与竖直杆的夹角θ变小；细绳对圆环A的拉力始终等于悬挂物体的重力，所以绳子拉力不变，细绳对圆环A的拉力F不变，选项A 错误。圆环A受到竖直杆的弹力N=F sinθ，θ变小、则圆环A受到竖直杆的弹力变小，选项B错误。根据平衡条件可得，圆环A受到的静摩擦力f=F cosθ+m环g，θ变小，则圆环A受到的静摩擦力变大，选项C错误。杆BC绕B点沿逆时针方向缓慢转动一小角度，两段绳子夹角变大，根据拉力一定，夹角变大合力减小可知两段绳子拉力的合力变小，则滑轮C受到细绳的压力变小，选项D正确。 2、如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对木板的压力为N2.在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是() A．N1和N2都增大 B．N1和N2都减小 C．N1增大，N2减小 D．N1减小，N2增大
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