第二十一讲余数的性质与计算
37』桂除的
余数足多少？我知沽玳，余数昂7!
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这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.
一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0
当r 0 时，我们称a 能被b 整除；
当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*
商；商=（被除数-余数）十除数.
余数小于除数．
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．
例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被
除数和除数各是多少？
「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？
练习1．
甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．
我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除
特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：
1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；
一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；
一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；
2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；
一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．
（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如
果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．
（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．
这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．
例题2．
1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？
2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．
练习2．
（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？
（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？
例题3．
（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？
（2）360360360 除以99 的余数是多少？
「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．
练习3．
201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？
为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：
1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________
(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是
(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________
比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：
和的余数等于余数的和；
差的余数等于余数的差；
积的余数等于余数的积?
这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性?在
计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性
每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就
可以像右侧这样计算?这一简算方法又称替换求余法?
需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗
上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还
需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果
就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数?再比
如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到
3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余
数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可?例如：在计
算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用
6 3 5 4来计算即可.
例题4.
一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个?年终将这些零件按6个一包的规
格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？
「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.
练习4．
（1）123 456 789除以111 的余数是多少？
（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？
如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．
例题5．
（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？
（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？
「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．
例题6．
（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．
小熊分粽子
今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。在回家的路上，猴爸爸买了一筐粽子准备分给孩子们。回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。猴爸爸把9个孩
子叫到身边说：“孩子们，今天过节，爸爸要将这些粽子分给你们吃。”说完，就开始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。
小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说：“小熊老弟，你来得正好，我正有问题要找你帮忙呢。于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。小熊眼珠一转，计上心头，笑着说：“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊的要求。
小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们，猴儿们帮分到了同样多的粽子，谁也没有意见，都高高兴兴地吃起了粽子。这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最多。他生气地对小熊说：“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。”小熊笑着说：“猴大哥，我们可是有言在先，你可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！”猴爸爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说：“谁叫我当初不多读点书呢! ”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊，小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。小朋友，请你想一想，猴爸爸一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子?
作业1. 1234567除以3、5、9 的余数分别是多少？
作业2. 151515151515 除以8、11、7的余数分别是多少？
作业3. 算式2009 2009 2010 2010 2011 2011除以31的余数是多少？
作业4. 自然数42011除以9 的余数是多少？
作业5. 算式188 288 388 L 1988 2088的结果除以9、13 的余数分别是多少？
第二十一讲余数的性质与计算
例题1. 答案：856；21
详解：除数为（877 16）（40 1） 21 ，被除数为877 21 856 ．
例题2. 答案：（1）1；5．（2）2；5
详解：一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数即可．一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数数字和除以3和9的余数即可．
例题3. 答案：（1）1；5．6；7．．（2）63
详解：（1）123 789 456 456 ，456除以7和11的余数分别为1和5，因此123456789 除以7 和11 的余数分别为1 和5．用321 87 654 408 654 ，发现不够减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可．比如：408 654 350 104 ，104除以7余6，因此87654321 除以7 余6．求除以
11 的余数，可用1 3 5 7 （2 4 6 8） 16 20 ，发现不够减，加上11的倍数即可，16 20 11 7，因
此87654321除以11余7．（2）一个数除以99 的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数．容易发现360360 可被99 乘除，因此只要看360 除以99 的余数即可，因此余数为63．
例题4. 答案：2
详解：就是要求算式365 1234的结果除以6 的余数．利用替换求余法易知结果是2．
例题5. 答案：（1）0；2．（2）2；2；2
详解：特性求余法和替换求余法结合使用．
例题6. 答案：（1）6；9．（2）4
详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、…每四个数一个周期.100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6. 3n的个位数字依次是3、9、7、1、… 每四个数一个周
期．2014 除以4 的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数
9（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、…每六个数一个周期. 2014除以6的余数是4，所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．
练习1. 答案：1994；20
简答：设乙数为a,则甲数为99a 14，那么有a 99a 14 2014, a 20 .可求出甲
数为1994，乙数为20．
练习2. 答案：（1）1；21．（2）2；8
简答：（1）利用末位判别法；（2）利用数字和．
练习3. 答案：8；0
简答：三位截断后，奇段和为420 12 432 ，偶段和为201 132 333 ，432 333 99 ，除以
13 的余数是8．两位截断后，所有段的和是20 14 20 13 20 12 99 ，除以99 的余数是0．
练习4. 答案：（1）36；（2）12 简答：利用替换求余法计算．
作业1. 答案：1，2，1
简答：利用特征求余法求解．
作业2. 答案：3，2，0
简答：利用特征求余法求解．
作业3. 答案：15．
简答：利用替换求余法求解．
作业4. 答案：4．
简答：利用周期求余法求解．
作业5. 答案：8，10．
简答：188 288 388 L 1988 2088 188 2088 10 ，然后利用替换求余法求解．
小学五年级奥数教材：带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。 例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。 解：∵被除数÷除数=商…余数， 即被除数=除数×商+余数， ∴251=除数×商+41， 251-41=除数×商， ∴210=除数×商。 ∵210=2×3×5×7， ∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 解：∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？ 解：十月份共有31天，每周共有7天， ∵31=7×4+3， ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？ 解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数
5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？ 这是一道求除数的问题，设除数a。 已知：230÷a=（） (2) 345÷a=（） (3) 如果消去余数，就转化为整除问题。 230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？ （228，342）==114，最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？ 2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。 （）÷5=4...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=7...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=12...2 （）÷8=（） (5) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （1）说说你的发现。 22÷5=4…2 22－2=5×4 37÷5=7…2 37－2=5×7 62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9 357÷23=15…12 357－12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37－22=5×3 357－219=138 62－22=5×8 138÷23=6 62－37=5×5 如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。 （2）你能再举一些这样的例子吗？ A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？ B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？ 问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。 问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。 75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。 75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。 75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3， 75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。 如果除数都是4或6，那么余数是3。 3、巩固练习： （1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？ （2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？ （3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
带余数除法 年级班姓名得分 一、填空题 1、除107后，余数为2的两位数有_____. 2、27 ( )=( )……3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3、四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是 _____. 4、一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第 1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推； 那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5、222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6、小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3 个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7、七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字 是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8、有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9、在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10、用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽 可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.
二、解答题 11、桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小 的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；…… 是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？ 12、一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8 除后余7，最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数. 8 所求自然数……余1 8 第一次商……余1 8 第二次商……余7 a 短除式<1> 17 所求自然数……余4 17 第一次商……余15 2 a 短除式<2> 13、某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书, 已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书? 14、某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空 瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水?
第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少？我知沽玳，余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数. 一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0
当r 0 时，我们称a 能被b 整除； 当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）* 商；商=（被除数-余数）十除数. 余数小于除数． 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被 除数和除数各是多少？ 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？ 练习1． 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数． 我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除 特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法： 1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数； 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数； 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数； 2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数； 一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法． （3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如 果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．
带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。
带余数除法作业 一、填空题 1．除107后，余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放
五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？ （2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？ 练习1： （1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？ （2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？ （3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？ 【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？ 练习2： （1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7) （2002个7相乘）的尾数是几？ （2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？ 【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？ 练习3：当商是整数时，余数各是几？ （1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7 （3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5 【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 练习4： （1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？ （2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。这列数左起第1996个数被5除余
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
五年级奥数__尾数和 余数
第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 模块一、带余除法的估算问题 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-2.带余除法（二）
【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足 (823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是 满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当 千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数． 【答案】33743 【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那 么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】由48412 ÷= ÷=，48412 ÷=知，一组是10或11人．同理可知48316 ÷=，4859.6 知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一 组10人． 【答案】10 【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数． 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678 ?=，并且小于?+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数13(61)91 为78583 +=． 【答案】83 【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次． 1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数． 【答案】99 【例 5】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数． 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克 【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过 ++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该 25815 数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18 =，设该数为a，则181 =-，即 a m 18(1)17 =-+（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17． a m 【答案】17 模块二、多位数的余数问题
第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4
五年级奥数.数论.余数性质(C级) 「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。 【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答 「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數" 本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足 比竝丸，符合条件的有91 【答案】91 I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数* 7 4 Z □ □? 2 0 0 4 7 □ □ □ 【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空 ［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余 【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27… 【答集】27 I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—? I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空 【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐 【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是￡ 【答案】9A＜2 I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个. 【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空 【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題 【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直
小学奥数思维训练-余数通用版
2014年五年级数学思维训练：余数 1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？ 2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？ 4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？ 6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？ 121
7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是 多少？ 8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？ 9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？ （4分）1111除以一个两位数，余数是66．求11． 这个两位数． 12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？ （2）除以9和11的余数分别是多少？13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 14．（4分）自然数的个位数字是．
第四讲 余数问题 知识点： 1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有105 2、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。例如： 3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。例如： 4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。例如： 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如： 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？ 例4、整数1111…111除以6的余数是几？ 2012个1
例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？ 二、拓展训练 1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？ 2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？ 3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？ 4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？
尾数与余数 练习一 1、317除以一个两位数后余数是2，符和条件的两位数有哪些？ 2、写出除349后余4的全部两位数。 3、写出除1095后余3的全部三位数。 练习二 1、61×61×61×…×61（2011个61）积的尾数是几？ 2、（31×36）×（31×36）×…×（31×36）（50个31×36）积的尾数是几？ 3、9×9×9×…×9（91个9）积的个位数是几？
练习三 1、555…555(2001个5)÷13，当商是整数时，余数是几？ 2、下列各小题中，当商是整数时，余数各是多少？ （1）、666…6（50个6）÷4 （2）、888…8（80个8）÷7 （3）、444…4（1000个4）÷74 （4）、111…1(1000个1)÷5 3、把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 练习四 1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是 前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是多少？
2、一列数1，2，4，7,11,16,22,29，…。这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第 三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，以次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？ 3.有一串数：5,8,13,21,34,55,89，…。其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？ 练习五 1、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是 几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？ 2、甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲＋乙+丙）÷9还有余数 吗？ 3、
1.五年级奥数带余除法（一）教师版 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了． 除法公式的应用例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-1.带余除法（一）
【例1】某数被13除,商是9,余数是8,则某数等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第2题,5分 【解析】125 【答案】125 【例2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题 【解析】因为最大的三位数为999,999362727 ÷=,所以满足题意的三位数最大为：?+= 36278980 【答案】980 【巩固】计算口÷△,结果是：商为10,余数为▲。如果▲的值是6,那么△的最小值是_____。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,6分 【解析】根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有△的最小值为7。 【答案】7 【例3】除法算式÷ □□=208中,被除数最小等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,4题 【解析】本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是+=,所以本题答案为：20×（8+1）+8=188. 819 【答案】188 【例4】71427和19的积被7除,余数是几? 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第14题 【解析】71427被7除,余数是6,19被7除,余数是5,所以71427×19被7除,余数就是6×5被7除所得的余数2。 【答案】2 【例5】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】1013121001 =??,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因-=,100171113 为“余数小于除数”,所以舍去11,答案只有13,77,91。 【答案】13,77,91共三个 【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数； 或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。 本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数 还要满足比37大,符合条件的有39,91. 【答案】39或者97 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。