2014年大连市高三一模测试
数 学（理科）
命题人：赵文莲、安道波、张宁、何艳国
说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．
2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
锥体体积公式1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高． 球的表面积公式：2
4R S π=，其中R 为半径.
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{
}
12≥=x
x A ，则?R A =( )
A. (-∞,0]
B. (-∞,0)
C. [0，+∞)
D. (0，+∞)
2．复数3
11
i
z +=
（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为( ) A.1-i B.1+i C.i 2121+ D. i 2
1
21-
3．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，
留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是( )
A.抽签法
B.随机数表法
C.系统抽样
D.分层抽样 4．向量a =)1,(m ,b =)1,(n ,则
1=n
m
是a //b 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 5．若角α的终边过点)2,1(-，则)2cos(απ-的值为( )
A.53
B.5
3
- C.55 D.55-
6．执行如图所示的程序框图,若输入]2,0[π∈x ，则输出y 的取值范围是( )
A.[0,1]
B. [-1,1]
C. [-
22,1] D. [-1,2
2] 7．4个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置，共有( )种不同的站法．
A. 6个
B. 9个
C.12 个
D. 18个 8．在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,，则满足12
-≥x y 的概率是( )
A. 92
B. 97
C. 61
D.6
5
9． 函数)40)(3
sin()(<<-=ωπ
ωx x f 图象的一条对称轴方程是12
5π
=
x ，将函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移
6
π
得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A. ()g x =x 2sin B. ()g x =)sin(6
2π
-x
C. ()g x =)sin(65
4
π
-
x D. ()g x =)sin(30
54π
-x 10．已知双曲线:
C )(01422
2>=-b b
y x 的一条渐近线方程为x y 26=，21,F F 分别为双曲线C 的 开始 （第6题图）
输入x
x y cos =
x y sin =
结束
否
是
x x cos sin ≥
输出y
左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，1:3:21=PF PF ,则21PF PF +的值是( )
A. 4
B. 26
C. 210
D.
5
10
6 11．若x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[ 1.5]2,[5.1]5-=-=）．设{}[]x x x =-，则对函数
{}x x f =)(，下列说法中正确的个数是（ ） ①定义域为R ，值域[0,1) ②它是以1为周期的周期函数
③若方程k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是1111(,][,)3443
--
④若121n x x n <+≤≤(n
Z),则12f(x )f (x ) A. 1 B.2 C. 3 D. 4
12．已知2
1
2+
==x x g e x f x
ln )(,)(，对R,(0,)a b ?∈?∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ） A. 11ln 22+ B. 11ln 22- C. 1
2
e - D.
2124e -
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为 ．
14．焦点在x 轴的椭圆
()x y a a a +=>+22
21041
，则它的离心率的取值范围为 ． 15．设ABC ?内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足,5
3
cos cos a C b B c =-
则=C B tan tan ．
16．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各 有一个动点P 、Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的 动点，则
111M ABPQ
ABC A B C M ABPQ
V V V ----的最大值是 ．
三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，等比数列{}n b 的公比2
1
，有153=S ,3211=+b a ，6422=+b a ． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n n b a ,； （Ⅱ）求数列{}n n b a ?的前n 项和n T ．
18.（本小题满分12分）
为了调查某厂数万名工人独立生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天独立生产该产品的数量，产品数量的分组区间为)15,10[，),25,20[),20,15[),30,25[)35,30[，频率分布直方图如图所示，已知独立生产的产品数
1A
P
B
C A Q
1C M 1B
（第16题图） （第13题图）
量在)25,20[之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；
（Ⅱ）工厂规定：若独立生产能力当日不小于25，则该工人当选今日“生产之星”． 若将这天独立生产该产品数量的频率视为概率，随机从全厂工人中抽取3人， 这3人中当日“生产之星”人数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -,底面ABCD 为直角梯形，AD BC //,CD BC ⊥,
AD CD BC 2
1
=
=,APB ?是等腰直角三角形，,90o =∠APB H 是AB 中点， PD PC =．
（Ⅰ）证明：⊥PH 平面ABCD ;
（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知过抛物线2
:4C x y =的焦点F 直线与C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求线段AB 中点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）动点P 是抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 与抛物线C 的准线l 分别交于点,M N ， 求FN FM ?的值．
21.（本小题满分12分）
. f(x)=2
cosx 12
x +- H
A
B C
P
D
（第19题图） （第18题图）
（Ⅰ）求证： x 0,f(x)0≥≥; （Ⅱ）若不等式2cos sin +-≥x x e
ax
对任意的0≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，以R t △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心OC 为半径的⊙O 与AC 另一个交点E ，
D 为斜边AB 上一点，且OD=OC ，2AD A
E AC =?.
（Ⅰ）证明AB 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若8DE OB ?=，求⊙O 的半径．
23. 选修4－4：极坐标与参数方程选讲（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为t t y t x (,
2,
1??
?+=+=为参数）
，以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=． （Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．
24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式)(32*
∈<-+-N a a x x 的解集为A ,且32
A,
A 2
.
（Ⅰ）求a 的值;
（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.
2014年大连市高三一模测试
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
（第22题图）
D
E
A
B
O
C
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题
1.B
2.D
3.C
4.A
5.A
6.C
7.B
8.D
9.A 10.C 11.C 12.A
二．填空题 13.π33
14.(,
02
15.
41 16.2
1 三．解答题 17． 解：
（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，
所以???
??=++=+=+,
,,6232511
111b d a b a d a
解得,,,21
3211===b d a ………………4分
所以.)(,n
n n b n a 2
113=-= ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
?+?+?=82152122)(n S 321)(+n n n n ))(())((21
1321431-+-+???- ①
①21?得+?+?=3221521221)()(n S 1
2
1132143+-+-+???n n n n ))(())(( ②……8分
①-②得
1322
1
13212121321221+--+???++?+?=n n n n S ))((])()()[( 1121132112114131+-----+=n n n ))((]
)([， ………………10分
整理得52
153++-=n
n n S ))((． ………………12分
18.解：
（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在)25,20[之间的频率为0.3， 所以
,.306
=m
即.20=m ………………4分
（Ⅱ）由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为0.4，
所以三人中每人是“生产之星”的概率都是,5
2 ………………6分 X 的取值为0,1,2,3，由题知X~),,(5
23B
()(),()(),
()(),()()p X p X C p X C p X =====??===?====
31
232233327235401512555125
233628
23551255125
所以X
………………10分 所以)(X E =
5
6
． ………………12分
19.证明： （Ⅰ）取CD 中点G ，连接,PG HG 。∵PD PC =，CD 中点G ，
∴PG CD ⊥。∵APB ?是等腰直角三角形，H 是AB 中点，
∴AB PH ⊥，HG ∥AD 。∵AD BC //,CD BC ⊥,∴HG CD ⊥，…………4分 HG PG G =，HG ?平面PHG ，PG ?平面PHG ， ∴CD ⊥平面PHG 。PH ?平面PHG ，∴CD PH ⊥。
∵AB ?平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，AB 和CD 相交，
∴⊥PH 平面
ABCD 。
……………6分
（Ⅱ）解法一：连接BD ，由勾股定理可知AB BD ⊥。
建立如图所示的空间直角坐标系，设AD CD BC 2
1
=
==2， 则点(0,0,0)B ，(0,D ，(C ，P ，
………………8分
设平面PBC 的法向量111(,,)x y z ，平面PDC 的法向量222(,,)x
y z 。
(
2,2,0)BC =
-
(22,2,2),(2,PC CD =--
=
。
111
110,0.
?-+=??
+=?? 所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)-。
22222
0,
0.?--=?= 所以平面PDC 的一个法向量为
(1,1,3)--
所以33
cos ,311PDC PBC <>=
=
………………12分
解法二：延长AB DC ,交于Q ，由(1)知⊥DC 平面PHM ,
x
过H 作PM HN ⊥，交PM 于N ,可得⊥HN 平面PDQ .
令a BC =，可求,11
223a HN =
连接NQ ,过B 作,//HN BS
交NQ 于S ，可得⊥BS 平面PDQ ,因为
,32=QH QB 所以,11
2
a BS = 过B 作PC BK ⊥,交PC 于K ，连接KS ,可求,2
1
a BK =
所以BKS ∠为所求二面角的平面角， …………………9分 所以,11
22sin =∠BKS 所以33
cos BKS
.11
………………12分 20. 解：
（Ⅰ）2
:4C x y =的焦点为(0,1)，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点(,)x y 。
AB 的方程为：1y kx =+。
联立方程组24,1.x y y kx ?=?=+?化简得：2
440x kx --=，得12124,4x x k x x +==-。
1222x x x k +=
=，21212()2
2122
y y k x x y k +++===+， AB 中点的轨迹方程：21
12
y x =+。 ………………4分
（Ⅱ）设200(,)4
x P x ，则直线PA 的方程为：2
20
1211
1044()4x x x y x x x x -
-=--， 当1y =-时，10104x x x x x -+=
+。即M 点横坐标为10
10
4M x x x x x -+=+，
同理可得N 点横坐标为20
20
4N x x x x x -+=
+。 ………………8分
22
10200120120022
102012120000
44164()4(44)4()44M
N x x x x x x x x x x kx x x x x x x x x x x x x x kx x -+-+-++--++====-+++++-++
所以?=()(),2,2M N x x -?-(2)(2)440M N x x +-?-=-+= ………12分 21. （Ⅰ）证明：
2
()cos 12
x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，设()sin x x x ?=-，则
'()1cos x x ?=-， ………………………2分
当0≥x 时，'()1cos 0x x ?=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ，
即)(x f 在0≥x 时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ………………………4分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2
+-≥x x ，所以2cos sin 12
2
+-≥++x x x x ， ………………………6分 设2
()12
x
x G x e x =---，则'()1x G x e x =--，设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-， 当0≥x 时'()10x g x e =-≥，所以()1x
g x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以
()(0)0
G x G ≥=，所以
2
cos sin +-≥x x e x 对任意的
≥x 恒成
立. ………………………8分 又0≥x ，1≥a 时，x ax
e e
≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成