小升初奥数综合复习

小学奥数知识点分类

小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点。计算能力速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等基础知识和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等图形问题平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积行程问题相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等

数论问题平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制

第一部分计算能力

万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！基本公式

1．运算顺序

第一级：括号：（）→[ ]→ { }

第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序

第三级：＋－：同一级别可以交换运算次序

2．去括号

① a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c

② a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c

③ a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c

④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c

3．分配律/结合律

乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×c

a×b＋a×c = a×(b＋c)

除法：(a＋b) ÷c = a÷c＋b÷ c

a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c

4．两个必须掌握的性质

两个数的和一定，则两数越相近，积越大

两个数的积一定，则两数越分散，和越大

5．几个计算公式

完全平方和（差）公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2

平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b)

求和公式一:1+2+3+……+n =

求和公式二：12+22+32+……n2 =

求和公式三：13+23+33+……n3 =

6．速算巧算基本方法

凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7．等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。

拆分裂项公式：

等差数列公式：

简单等比公式：

例题分析

1.393+404+397+398+405+401+400+399+391+402

2.比较下面A,B两数的大小：A=2009×2009， B=2008×2010

3.结果末尾有多少个零？

4.100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1

巩固练习

5.376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378

6.1÷50+2÷50+3÷50+……50÷50 2010÷2010

7.9999999×2009 7777×3333÷1111

8.

9.比较下面A,B两数的大小：

A＝987654321×123456789；B＝987654322×123456788

10.1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978

－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2

第二部分基础知识

基础知识点列表

序号知识点名称序号知识点名称序号知识点名称

1 归一归总9 鸡兔问题17 加法乘法原理

2 和差问题10 方阵问题18 排列与组合

3 和倍问题11 抽屉问题19 商品利润

4 差倍问题12 容斥问题20 存款利息

5 植树问题13 逻辑问题21 浓度问题

6 年龄问题14 数字谜22 工程问题

7 盈亏问题15 等差数列23 正反比例

8 周期问题16 一笔画24 牛吃草问题

?归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）

列成综合算式：0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：需要1.92元。

11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？

12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105

吨钢材，需要运几次？

?归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】 1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解：（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）

列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）

答：现在可以做904套。

13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，

几天可以读完《红岩》？

14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬

菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

?和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2

小数＝（和－差）÷ 2

【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?

16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，

甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲

车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

?和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解：（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：杏树有62棵，桃树有186棵。

18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求

两库各存粮多少吨？

19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，

从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

20.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三

数各是多少？

?差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

解：（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子

二人今年各是多少岁？

22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，

又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元？

23.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10吨，

多少天后，玉米是小麦的12倍？

?植树问题

基本类型及公式：

①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。

基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长

②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。

基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长

③在封闭曲线上植树：

基本公式：棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长

关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？

解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能

栽多少棵白杨树？25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的

钢条，要求都按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？

26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树

中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?

27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一

个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

?年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？

解 35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？

29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父

子今年各多少岁？

30.甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对

甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？

?盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）

答：有小朋友12人，有47个苹果。

31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天

修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45

人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

?周期问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

周期现象：事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；

月份：1、3、5、7、8、10、12月大。

解答周期问题的关键：

?找出周期T,

?考察余数，注意周期的首尾两数。

例题分析

【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？

【解】平年元旦到国庆节共有的天数：

31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；

循环的周期和余数：274÷7=39…1；

平年的国庆节是星期日；[整周期的第一个数]

闰年元旦到国庆节共有的天数：274+1=275；

循环的周期和余数：275÷7=39…2；

闰年的国庆节是星期一；[整周期的第二个数]

【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期______。

【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期100÷7＝14……2，所以甲第100次取奶是星期二。

基础务实

33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几？

34.《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994年10月份第1期是10

月7日出版的，1995年1月份第1期应在1月几日出版？

35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、

三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。那么，最后一棵应种什么树？在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？

36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、

黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯。那么第73盏灯是什么颜色的灯？

37.小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5

分这样的顺序往下排。那么，他排的第111个是几分硬币，这111个硬币共多少元？

38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几

点钟？

39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问：这年的10月1日是

星期几？

40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、

四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？

41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期几？

42.有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个

数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数被3除，所得的余数是多少？?鸡兔同笼

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解：假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）

答：有鸡23只，有兔12只。

43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施

肥9千克，求白菜有多少亩？

44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3.20

元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？

45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，

问鸡与兔各多少只？

46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个

馍，问大小和尚各多少人？

?方阵问题

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解：22×22＝484（人）

答：参加体操表演的同学一共有484人。

47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数

是28人，这队学生共多少人？

49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增

加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

?抽屉原理

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

【解题思路】（1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论。

【例题】育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

解：由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

50.有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200

个信号中至少有多少个信号相同？

51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种

奖品。问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得到的奖品完全相同？

52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白

球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？

?容斥原理

公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解

容斥原理一：C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。

图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，

黄冈奥数学校—小升初奥数综合复习

黄冈奥数学校

希望杯走美杯迎春杯华杯赛、

竞赛希望等级考试报名与集训

逐块地计算出各个部分，从而解答问题。

【例1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24，其中语文、数学都得优的有12人。全班得优共有多少人？ 【解】全班得优分3种:语数均得优;语文得优数学不得优;数学得优语文不得优。 语数均得优=12人

语文得优数学不得优=15-12=3人 数学得优语文不得优=24-12=12人 全班得优共有12+3+12=27人

53. 某班共50人,参加课外兴趣小组学书法的32人,学绘画的28人，其

中两种都学的15人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组？

54. 从1到100的自然数中，

（1）不能被6和10整除的数有多少个？

（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？

? 逻辑推理

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律 同一律，矛盾律和排中律。 ①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。 ②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。 ③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。 55. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：“甲是2号，乙是3号.”钱说：“丙是4号，乙是2号.” 孙说：“丁是2号，丙是3号.”李说：“丁是4号，甲是1号.”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

56. 甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、

英语。根据下面的已知条件：

（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语； （3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。 则丙不教什么学科？

57. 执行一项任务，要派A 、B 、C 、D 、E 五人中的一些人去，受下述条件

约束：（1）若A 去，B 必须去；（2）D 、E 两人至少去1人；（3）B 、C 两人只能去1人；（4）C 、D 两人都去或都不去；（5）若E 去，A 、D 两人也必须去。问应派哪些人去？

? 数字谜

数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。 步骤： 1、先确定明显部分的数字

2、寻找突破口，缩小范围

3、分情况讨论 58. 下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，

相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？

59. 每个汉字代表的数字是多少？

60.下边的算式中的不同汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数

字，如果巧+解+数+字+谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？

61.A、B各代表什么数字？

?等差数列

若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

等差数列相关公式：

2通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差

2项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

2求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

2平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

62.某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个

座位，这个剧院一共有多少个座位?

63.等差数列第一项是3，第四项是15，求等差数列第二项和公差？

64.等差数列1，5，9，13，17……

1）数字2009是不是该数列的项？

2）求该数列第200项与第100项的差。

65.在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么

这些数的和是多少？

?一笔画

一笔画性质：

2凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

2其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)

66.下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、

入口应设在哪里？

67.甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街

道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？

68.邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各

横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走千米。

?加法乘法原理

u加法原理

如果完成一件任务有n 类方法，在一类方法中有m 1种不同的方法，在第二类方法中有m 2种不同的方法……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件任务共有：m 1+m 2+m 3+……＋m n 种不同的方法。 u 乘法原理

如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1步有m 1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m 2种方法……不管前面n-1步用哪一种方法，第n 步总有m n 种方法，那么完成这件任务共有m 1×m 2×m 3×…×m n 种不同的方法。

69. 下图中的“我爱希望杯”有 种不同的读法。

70. 如图，把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的

部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有多少种不同的着色方法。

71. 从l 、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少不同

的真分数?

? 排列与组合

u 排列：一般地，从n 个不同元素中取出r 个不同元素的无重复排列的

方法数叫排列数，记为r n P ，r

n P ＝n （n －1）（n －1）…（n －r ＋1）。我们记n ！表示n 的阶乘，即n ！＝1×2×3×4×5×…×n 。

u 组合：一般的，从n 个不同元素中任取r 个不同元素，不考虑取出元

素的顺序并成一组，这类任务叫做从n 个不同元素中取出r 个不同元素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位

置或顺序。符号r

n C 表示从n 个不同元素中取出r 个不同元素的无重

复组合数。利用排列数r

n P 可以给出r n

C 的计算方法。我们把任务“从n 个不同元素中选出r 个不同的元素的排列”分为两步：

①从n 个不同的元素中选取r 个不同的元素，方法有r

n C 种；②对选出的r

个元素进行排列，方法有r

r P 。由乘法原理可得r n P =r n C ×r

r P ，所以

r n

C =r r r n P P =)!

(!!r n r n ?

72. 某铁路线共有14个车站，该铁路共需要多少种不同的车票？

73. 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同

信号，一共可以组成多少种不同信号？

74. 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，在于某种原因，C 不能做中

锋．而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上，共有多少种不同的站位方法？

75. 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法： （1）七个人排成一排；

（2）7个人排成一排，某人必须站在中间；

（3）个人排成一排，某两人必须有一人站在中间； （4）七个人排成一排，某两人必须站在两头； （5）七个人排成一排，某两人不能站在两头； （6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；

（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。

? 商品利润

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解:设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：二月份比原价下降了1%。

76.某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，

已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？求亏（盈）率？

77.成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当

销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。

问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

78.某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利

润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价？

?存款利率

【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

【例题】李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

解：因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，

所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：李大强的存款期是30月即两年半。

79.银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年

期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？

80.某厂向银行申请甲乙两种贷款一共40万元，每年需付利息5万元，

甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是14%。该厂申请的甲乙两种贷款的金额各是多少？

?浓度问题

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

【例题】爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解：（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

81.要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%

和15%的糖水各多少克？

82.甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水

的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的浓度？

?工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。

【例题】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：两队合做需要6天完成。

83.一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，

完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

84.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小

时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

?正反比例【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

【例题】修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为：300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：这条公路总长3600米。

85.孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每

天看36页，几天就可以看完？

86.一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求

大矩形的面积。

?牛吃草问题

【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

【例题】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天

数。

求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量，同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50。因此草每天的生长量为50÷（20－10）＝5。（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量

5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数：125÷5＝25（头）

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

87.有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。如果一群

牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？

88.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20

天，或者可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？

第三部分数论知识

数论由于比较抽象，是小学数学的重点也是难点，而且小学数论与中学的代数学有着密切的联系，因此我们必须高度重视。

数论知识点列表

序号知识点名称序号知识点名称

1 定义新运算 6 整数进制

2 约数倍数7 数的整除

3 奇数偶数8 余数与同余

4 质数合数9 高斯取整

5 平均数10 不定方程

?定义新运算

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

② 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

89.规定a※b=

b

a

b

a

+

×

，则2※2※10的值是多少？

90.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。

（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。

91.对于任意正整数，定义：n!=1×2×3×……×n。例如：5！=1×2×3×4×5。

那么，1!+2!+3!+……+2003!和的个位数字是几？

92.若用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，求φ(φ(18))的值？

?约数与倍数

约数倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

u最大公约数的性质：

几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

u求最大公约数基本方法：

2分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2短除法：先找公有的约数，然后相乘。

2辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

u最小公倍数的性质：

两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

u求最大公约数基本方法：

2短除法求最小公倍数；

2分解质因数的方法

93.105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的拼法? 94.和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？

95.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种

树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,则这个班共有学生多少人？

96.有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米

也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？

97.定义一种新运算&满足：a&b=[a，b]+（a，b）

求①14&4 ；②已知6&x=33，求x

备注：[ ]表示最小公倍数，（）表示最大公约数

98.自然数360有多少个约数? 所有约数的和是多少？

?奇数与偶数

所有自然数按能否被2整除分类，能分成奇数和偶数两类；奇数被2除余1，偶数能被2整除。最小的奇数为1，最小的偶数为0。

奇数和偶数的一般计算性质：

（1）奇数±奇数＝偶数

（2）偶数±偶数＝偶数

（3）奇数±偶数＝奇数

（4）偶数±奇数＝奇数

（5）奇数×奇数＝奇数

（6）偶数×偶数＝偶数

（7）奇数×偶数＝偶数

（8）奇数÷奇数＝奇数

（9）奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定为偶数。

（10）相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。（11）两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性。

（12）奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。

（13）奇数用2K＋1或2K－1（K是整数）表示；偶数用2K表示。

99.10个不同的自然数之和等于80，在这10个自然数中，最多有多少个

奇数？

100.任意取出1996个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？

101.已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：（a-1）（b-2）（c-3）的积是奇数还是偶数？

102.某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？

103.某组连续自然数的和等于90，那么这样连续的自然数有几组？

?质数与合数

质数：一个数除了1和它本身外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=

a

a

a

a r

r

r

r n

n

???3

2

1

3

2

1，其中a1、a2、

a3……an都是合数N的质因数，且a1

求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

104.已知两个质数的和是40，这两个的积最大是多少？105.若A是质数，A+12是质数，同时A+18也是质数，求A的最小值？

106.A、B、C为三个质数，A+B+C=30，且A

107.已知pq-1=x，其中p、q是质数且均小于1000，x是奇数，求x的最大值。

108.若三个质数a、b、c满足a+b+c=99-abc,求a+b+c的值。

?平均数

u基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数；总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数+差的平均数=基准数+每个数与基准数差的和÷总份数u基本思路：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：从给出的数中，确定一个数作为基准数，一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求出所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

u关键问题：确定总量和份数分别是谁。

109.有五个数，平均数是9，如果把其中一个数改为1，这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多少？

110.A、B、C、D四个数的平均数是75，A与B的平均数比C与D的平均数多2，A是90，B是多少？

111.某校有100名学生参加第四届小学“希望杯”数学竞赛，平均分是63分，其中参赛男同学平均分是60分，女同学平均分是70分，那么该校参赛男同学和女同学各多少人？

112.某人上山速度为4公里每小时，下山速度为6公里每小时，求此人上下山的平均速度。

?整数进制

2其它进制化十进制：基加权

2十进制化其它进制：短除法

2非十进制间的互化：用十进制做桥梁

113.将(821)9化成十进制；

114.将(147)10化成七进制；

115.将(2761)8 化为五进制数；

116.将(10001)2化为十进制数；

?数的整除

整除的判断方法：

①、能被2整除的特征：个位数字为0、2、4、6、8的整数。

②、能被3整除的特征：各个数位数字和能被3整除。③、能被4整除的特征：末两位数能被4整除。

④、能被5整除的特征：个位数字为0或5

⑤、能被8整除的特征：末三位数能被8整除。

⑥、能被9整除的特征：各个数位上的数字之和能被9整除。

⑦、能被7整除的特征：

⑴，末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除。

⑵，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2被后能被7整除。

⑧、能被11整除的特征：

⑴末三位上的数字所组成的数与末三位以前组成的数字所组成的数之差

能被11整除。

⑵，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除。

⑶，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

⑨、能被13整除的特征：

⑴，末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

⑵，逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9被后能被13整除。117.六位数A4273B，能被72整除，求A和B的值？

118.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数。这样的三位数中，最大的是多少？

119.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？

120.六位数x1991y能被26整除，求满足条件的所有六位数。

?余数与同余

☆关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则M A=M a×b=（M a）b

②若B=c+d则M B=M c+d=M c×M d

☆同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a ≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

☆同余的性质：

u自身性：a≡a(mod m)；

u对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

u传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；

u和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c ≡b-d(mod m)；

u相乘性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡b×d(mod m)；

u乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)；

u同倍性:若a≡b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mod m×c)；

121.1+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？

122.有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。

问这个整数是几？

123.16520，14903，14177除以m（m不为0）的余数相同，求m最小是多少？最大是多少？

124.求33335555+55553333除以7的余数？

?高斯取整

在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料

们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下月一起收．所以数学上引进了符号[ ]，使我们的表述简明．

[a] 表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分．

[a] 显然有以下性质：

①[a] 是整数；

②[x]≤x；

③x＜[x]+1；

④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；

若b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．

请你自己举些例子验证前三条性质．

性质④举例：a取2.7，则〔a〕=2．

若b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕．

若b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；

若b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1．

〔a〕还有许多性质．例：若n是整数，则有：〔a+n〕=〔a〕+n．与〔a〕相关的是数a的小数部分，我们用符号{a}表示．

高斯方程（取整）的性质：

性质1 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

性质2 对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).

性质3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].

性质4 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.

性质5 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性质6 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].

性质7 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰有[x/n]个整数是n的倍数.

125.解方程：［ｘ］

+ 2x =10

126.记符号n!=1x2x3x……n, 求100！后面有多少个零？

127.解方程：2x -［ｘ］= 4

?不定方程

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

不定方程的两种基本思路：

l是否整除

l分情况讨论

128.不定方程3x+5y=1204有多少组自然数解。

129.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？

130.求方程7x+19y=213的所有正整数解．

131.5x+10y=140. 11x+3y=89 ?最值与优化

本知识点难度非常高，不在课堂讲授，请同学们课外自行复习巩固。

挑战华罗庚金杯决赛压轴题：

132.（第十届决赛）已知A、B均为自然数，且满足

求A+B的最大值。（需详细解题过程）

第四部分图形知识

图形属于小学奥数三大专题之一，主要考察学生们对平面图形和立体图形的认识、建构、以及对周长、面积、表面积、体积的计算等方面的知识，图形问题的重点在于等积变换的直线型面积

数论知识点列表

序号知识点名称序号知识点名称

1 几何计数 4 体积与表面积

2 周长与面积 5 阴影面积

3 长方体与正方体 6 直线型面积

?几何计数

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺

序去观察、思考问题

的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力。

u规则图形

1．数体段规律：一条直线上若有n个点，则有线段条数为1＋2＋3＋…＋

（n－1）=

21-n）

（

n

2．数角规律：若有n条边，则有角的个数为：1＋2＋3＋…＋（n－1）

=

21-n）

（

n

3．数长方形规律：长上的线段的条数×宽上的线段条数

=

21-

m）

（

m

×

21-n）

（

n

4．数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形12＋22＋32＋…＋n2

u不规则图形

1．方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。

2．分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。

【例题】下图中有多少条不同的线段？

【解】以A为起点的线段有AB，AC，AD，AE，AF，AG

以B为起点的线段有BC，BD，BE，BF，BG

以C为起点的线段有CD，CE，CF，CG

以D为起点的线段有DE，DF，DG

以E为起点的线段有EF，EG

以F为起点的线段有FG

共有线段：6+5+4+3+2+1=6(6+1)÷2=21条

巩固练习

133.图中共有多少条不同的线段？134.图中有多少条不同的三角形？

135.下图中有多少个不同的正方形？

136.图中有多少个不同的长方形？

137.图中有多少个不同的正方形？

138.如图，有多少条线段，多少个三角形？139.下图中有多少条线段？有多少个三角形？140.图中一共有多少个三角形？有多少个梯形？141.图中共有多少个正方形？

A B C D E F G

希望杯、走美杯58407700 010-********

142. 如图，圆周上有五个点，最多可以画多少条线段？最多可以画多少个

三角形？ 143. 图中共有42个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被5整

除的有多少个？

144. 图中每个最小三角形的面积为1，求图中所有三角形面积之和。

145. 图中有多少个不同的三角形？

? 周长与面积

本讲主要学习5种常见图形的面积求法：长方形，正方形，平行四边形，三角形，梯形。

u 长方形面积等于长乘以宽: S=a ×b ；

u 正方形面积等于边长乘以边长： S=a ×a ； u 平行四边形面积等于底乘以高： S=a ×h ； u 三角形面积等于底乘以高除以2: S= a ×h ÷2

u 梯形面积等于上底加下底的和乘以高除以2: S=(a+b) ×h ÷2 【例题】大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求小正方形的面积是多少？

【解】设小正方形的边长为a ，大正方形比小正方形多的面积，我们分割成两部分计算:则有（a+2）×2 + a ×2 =24， a=5,小正方形的面积为25。 巩固练习

146. 求如下图的面积。

147. 平行四边形ABCD （见下图，单位：厘米）的周长是多少厘米？

148. 如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，

其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？

149. 正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到

一个与原正方形面积相等的长方形，求原正方形的面积？

150. 如下图，7个面积不同的长方形组成一个大正方形，大正方形面积是

36平方厘米，求阴影部分的面积。

151. 如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形，其中有5个小矩形的面积如

图所示，矩形ABCD 的面积为多少？

152. 图中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三

角形的面积是多少？