课时知能训练
一、选择题
1．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c －1)，则c＝()
A．1B．2C．3D．4
【解析】因为ξ～N(2,9)，正态密度曲线关于x＝2对称，
又概率表示它与x轴所围成的面积．
∴(c＋1)＋(c－1)
2＝2，∴c＝2.
【答案】B
2．(2012·阳江调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()
A．100 B．200 C．300 D．400
【解析】记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)
∴E(ξ)＝1000×0.1＝100.
又X＝2ξ，
∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
【答案】B
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
【解析】∵μ＝0，则P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
【答案】C
4．一射手对靶射击，直到第一次命中停止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为()
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
【解析】X
∴E(X)＝3×＝2.376.
【答案】C
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生
一次发球成功的概率为p(p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)＞1.75，则p 的取值范围是( )
A ．(0，712)
B ．(712，1)
C ．(0，12)
D ．(12，1)
【解析】 X 的可能取值为1,2,3，
∵P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1－p)p ，P(X ＝3)＝(1－p)2，
∴E(X)＝p ＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p 2－3p ＋3，
由E(X)＞1.75，即p 2－3p ＋3＞1.75，
解之得p ＜12或p ＞52(舍)，
∴0＜P ＜12.
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·中山调研)
设Y ＝2X ＋1，则________． 【解析】 由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，
∴E(X)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，
因此E(Y)＝E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝23.
【答案】 23
7．已知离散型随机变量X 的分布列如下．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝
【解析】 由题知a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，
12×a ＋12×c ＋22×112＝1，解得a ＝512，b ＝14.
【答案】 512 14
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200
元．【解析】由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，
故一年后收益的期望是 6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．
【答案】 4 760
三、解答题
9．(2011·安徽高考)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX.
【解】(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)．
所以任务能被完成的概率是1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3.
因此任务被完成的概率与派出的人的先后顺序无关．
(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量
EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2)
＝3－2q1－q2＋q1q2
10．(2012·湛江质检)如图10－9－1是某城市通过抽样得到的居
民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
图10－9－1 (1)求直方图中x 的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．
【解】 (1)依题意及频率分布直方图知，
0．02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12.
(2)由题意知，X ～B(3,0.1)．
因此P(X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，
P(X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243， P(X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027，
P(X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.
故随机变量
X X 的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.
11．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润
是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项
目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0＜p ＜1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资十万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
(1)求X 1，X 2的概率分布列和均值E(X 1)，E(X 2)；
(2)当E(X 1)＜E(X 2)时，求p 的取值范围．
【解】 (1)X 1
E(X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.
由题设得X
故X 2
所以E(X 2)×p 2 ＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.
(2)由E(X 1)＜E(X 2)，
得－p 2－0.1p ＋1.3＞1.18，
整理得(p ＋0.4)(p －0.3)＜0，
解得－0.4＜p ＜0.3.
因为0＜p ＜1，
所以当E(X 1)＜E(X 2)时，p 的取值范围是0＜p ＜0.3.