九年级数学圆周角定理易错题总结（含答案）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E
在AD的延长线上，下列说法正确的是()
A. 若DC平分∠BDE，则AB=BC
B. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM?MC
C. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2
D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BD
AC
【答案】B
【解析】解：选项B正确．
理由：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABM，
∴∠ABM=∠ACB，
∵∠BAM=∠CAB，
∴△BAM∽△CAB，
∴AB
AC =AM
AB
，
∴AB2=AM?AC，
故选：B．
选项B正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，
∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点
Q，连CQ，则线段CQ的最大值为()
A. 2
B. √7
C. 1+3√2
D. 1+√7
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，如图，连接OQ，作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；
【解答】
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴∠OCH=30°，
∴OH=1
OC=1，CH=√3，
2
在Rt△CKH中，CK=√(√3)2+22=√7，
∴CQ的最大值为1+√7．
故选D．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC
DF，
中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF=5
4
则tan∠ABD的值为()
A. 2
3B. √3
3
C. 3
5
D. √5
4
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由△ADF∽△BDA，推出AD2=DF?DB，由BF=5
4
DF，可以假设DF=4m，则BF=5m，BD=9m，可得AD=6m，根据
tan∠ABD=AD
BD
计算即可解决问题．
【解答】
解：∵AD?=DC?，
∴∠DAF=∠DBA，
∵∠ADF=∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
∴AD
BD =DF
AD
，
∴AD2=DF?DB，
∵BF=5
4
DF，
∴可以假设DF=4m，则BF=5m，BD=9m，∴AD2=36m2，
∵AD>0，
∴AD=6m，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD=AD
BD =6m
9m
=2
3
，
故选A．
4.如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，
AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为()
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE.根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．
【解答】
解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CDB=∠BAC，
∴∠CAD=∠CDB，
∵∠ACD=∠ACD，
∴△ACD∽△DCE，
∴CD
CE =AC
DC
，即6
4
=x+4
6
，
解得：x=5．
故选A．
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，
OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，∠OCE的大小不可能为()
A. 20°
B. 40°
C. 70°
D. 80°
【答案】C
【解析】解：
连接OC，分情况讨论：
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，
设∠OCE=x，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠D=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∵DE=OD，
∴∠DOE=∠DEO=30°+x+30°=60°+x
∴2(60°+x)+x=180°
解得x=20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC=x，
∵DE=OD，
∴∠EOD=∠E=x，
∵DO=CO，
∴∠ODC=∠OCD=2x，
∠EOC=2∠A=60°∴在△OCE中，
x+60°+2x=180°，
解得x=40°，
∴∠OCE=2x=80°；
③如图3，
设∠ACE=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°+x，
∵OD=DE
∴∠E=1
2∠ODC=15°+1
2
x，
∴15°+
1
2
x+x=30°
解得x=10°，
∴∠OCE=30°+x=40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
综上，∠OCE的大小不可能为70°，
故选：C．
根据OD绕着点O顺时针旋转，设连结CD交直线AB于点E，DE=OD，分三种情况画图进行计算即可．
本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，三角形外角性质，解决本题的关键是
利用旋转的性质分三种情况讨论．
6.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C为弧AB的三等分
点(更靠近A点)，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中
点D，则线段CD的最大值为()
A. 2
B. √7
C. 2√3
D. √3+1
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、直角三角斜边的中线，圆心角，弧，弦的关系有关知识，如图，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D 在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OD，
∵AD=DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO=90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为AB?的三等分点，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA=60°，OC=2，OK=1，
∴CK=√OC2?OK2=√3，
OA=1，
∵DK=1
2
∴CD=√3+1，
∴CD的最大值为√3+1，
故选D．
7.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，
点E在AD的延长线上，下列说法正确的是()
A. 若DC平分∠BDE，则AB=BC
B. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM?MC
C. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2
D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BD
AC
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等有关知识，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质对各个选项进行分析即可得出结论．
【解答】
解：对于A，∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠ABC，
∵DC平分∠BDE，
∴∠BDC=∠CDE，
由圆周角定理得，∠BDC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，故A错误；
对于B，∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABM，
∴∠ABM=∠ACB，∵∠BAM=∠CAB，∴△ABM∽△ACB，
∴AB
AC =AM
AB
，
∴AB2=AM·AC，故B错误；
对于C，如图：
∵AC⊥BD，BD为直径，
∴BD垂直平分AC，∠BAD=90°，
∴AB=BC，AB2+AD2=BD2，
∴BC2+AD2=BD2，故C错误；
对于D，连接BO并延长交圆O于点F．
∵BF是直径，
∴∠BDF=90°，
∵AC为直径，
∴BF=AC，
又∠BAD=∠BFD，
在Rt△BDF中，sin∠BAD=BD
BF =BD
AC
，故D正确．
故选D．
8.已知：平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0,4)，B(0,?6)，点C是x轴
正半轴上的一点，且满足∠ACB=45°，则()
A. △ABC的外接圆的圆心在OC上
B. ∠ABC=60°
C. △ABC的外接圆的半径等于5
D. OC=12
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C.根据△PBA 为等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根据勾股定理得：CF=7，进而得出OC．【解答】
解：设线段BA的中点为E，
∵点A(0,4)，B(0,?6)，
∴AB=10，E(0,?1)．
AB=5，
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=1
2
则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5√2，
以点P为圆心，PA(或PB)长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=1
∠BPA=45°，即则点C即为所求．
2
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5√2，
由勾股定理得：CF=√PC2?PF2=7
∴OC=OF+CF=5+7=12，
故选D．
9.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD
的两侧，且∠ABC=70°，则∠AOD的度数为()
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD?的度数是解此题的关键．先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CD?和AC?的度数，求出AD?的度数，再求出答案即可．
【解答】
解：∵圆周角∠ABC=70°，CD是⊙O的直径，
∴CD?的度数是180°，AC?的度数是2×70°=140°，
∴AD?的度数是180°?140°=40°，
∴圆心角∠AOD的度数是40°，
故选：C．
10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，
OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE= OD时，∠OCE的大小不可能为()
A. 20°
B. 40°
C. 70°
D. 80°
【答案】C
【解析】【试题解析】
解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，设∠OCE=x，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠D=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∵DE=OD，
∴∠DOE=∠DEO=30°+x+30°=60°+x
∴2(60°+x)+x=180°
解得x=20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC=x，
∵DE=OD，
∴∠EOD=∠E=x，
∵DO=CO，
∴∠ODC=∠OCD=2x，
∠EOC=2∠A=60°∴在△OCE中，
x+60°+2x=180°，
解得x=40°，
∴∠OCE=2x=80°；
③如图3，
设∠ACE=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°+x，
∵OD=DE
∴∠E=1
2∠ODC=15°+1
2
x，
∴15°+
1
x+x=30°
解得x=10°，
∴∠OCE=30°+x=40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
根据OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，DE=OD，分三种情况画图进行计算即可．
本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．
11.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半
圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为(结果保留π)()
A. 16
B. 24?4π
C. 32?4π
D. 32?8π
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．
连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S阴影=S△ABC?S△ABD?S
由此可得出结论．
弓形AD
【解答】
解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AD=BD=4√2，
∴S
阴影=S△ABC?S△ABD?S
弓形AD
=S△ABC?S△ABD?(S
扇形AOD ?
1
2
S△ABD)
=1
2
×8×8?
1
2
×4√2×4√2?
90π×42
360
+
1
2
×
1
2
×4√2×4√2=16?4π+8
=24?4π．
故选B．
12.如图，等边△OAB的边长为1，以O为圆心，CD为直径的半圆经过点A，连接AD，
BC相交于点P，将等边△OAB从OA与OC重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120°，交点P运动的路径长是()
A. √3
3π B. 4√3
9
π C. 2√3
3
π D. 2
3
π
【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠AOB=60°，∴∠AOC+∠BOD=120°，
∴∠BCD+∠ADC=1
2∠BOD+1
2
∠AOC=1
2
(∠BOD+∠AOC)=60°，
∴∠CPD=120°，
∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△CDM的外接圆的半径，
易知等边三角形△CDM的外接圆的半径=2√3
3
，
∴点P的运动路径的长=120?π?2√33
180=4√3
9
π
故选：B．
如图点C的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△CDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，等边三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是证明∠ACB=120°，得出点C的运动轨迹是弧．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.如图，已知：圆的两弦AB、CD相交于点P，AD、CB
的延长线相交于圆外一点Q，∠AQC=34°，∠APC=
70°.则∠ADC=__________，∠BCD=_________．
【答案】52°，18°
【解析】
【分析】
此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由三角形外角的性质，易求得∠APC=∠C+∠AQC+∠A，又由圆周角定理，可得∠A=∠C，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得∠ADC的度数．
【解答】
解：∵∠ADC=∠C+∠AQC，∠APC=∠A+∠ADC，
∴∠APC=∠C+∠AQC+∠A，
∵∠A=∠C，∠AQC=34°，∠APC=70°，
∴70°=2∠A+34°，
∴∠A=18°，
∴∠BCD=∠A=18°，∠ADC=∠APC?∠A=52°．
故答案为：52°，18°．
14.在半径为√2的⊙O中，弦AB=√6，弦AC=2，则∠CAB=__________．
【答案】75°或15°
【解析】略
15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是中线，E
是边AC的中点，过B，D，E三点的⊙O交AC于另一点
F，交AD于点G，连接BF.若BC=4，AD=4√3，则
BF=________⊙O的直径为________．
【答案】4，√91
2
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，连接DE.由AB=AC，AD是
AC=AE=CE，DE//AB，所中线，得到AD⊥BC，又E为边AC的中点，于是DE=1
2
以∠C=∠EDC，因为∠DEC=∠FBC，所以∠BFC=∠EDC，因此∠BFC=∠C，BF=BC，设AD交⊙O于点M，连接FM.由BM为直径，∠BFM=90°，所以∠AFM+∠BFC=90°，于是∠DAC+∠C=90°，∠C=BFC，∠AFM=∠DAC，得到MA=MF，设MA=MF=x，则DM=4√3?x，由勾股定理DM2+BD2=BF2+MF2=BM2即可求出．
【解答】
解：如图1，连接DE，如图，
∵在等腰△ABC中，AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵E为边AC的中点，
AC=AE=CE，DE//AB，
∴DE=1
2
∴∠C=∠EDC，
∵∠DEC 与∠FBC 所对的弧均为DF ?， ∴∠DEC =∠FBC ， 在△BCF 与△ECD 中，
∠DEC =∠FBC ，∠BCF =∠ECD ， ∴∠BFC =∠EDC ，
∵∠C =∠EDC
∴∠BFC =∠C ， ∴BF =BC =4．
如图2，设AD 交⊙O 于点M ，连接FM ，
∵∠ADB =90°，即BM 为直径， ∴∠BFM =90°， ∴∠AFM +∠BFC =90°，
∵∠DAC +∠C =90°，∠C =BFC ， ∴∠AFM =∠DAC ， ∴MA =MF ，
设MA =MF =x ，则DM =4√3?x ， ∵DM 2+BD 2=BF 2+MF 2=BM 2，
∴DM 2+BD 2=BF 2+MF 2
即(4√3?x)2+22=42+x 2， 解得x =
3√3
2
， ∴BM =√42+(3√32)2
=√91
2．
故答案为4，√91
2
．
16.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，DE⊥AB于点E，CD
交线段OE于点F，∠ODF=∠BDE.若OE
OD =3
5
，则
S△DOE
S
四边形ADBC
=______．
【答案】3
22
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质及三角形的面积计算等知识点，灵活运用相似三角形的判定及性质是解题的关键．
延长DE交⊙O于点G，由垂径定理及已知条件可得∠ODF=∠DCB，则OD//BC，再证△OED∽△BCA，由相似三角形的性质得面积比，设OE=3x，OD=5x，可得DE=4x，根据三角形的面积公式分别用含x的式子表示出△DOE、△BAC、△ABD的面积，则可求得答案．
【解答】
解：延长DE交⊙O于点G，
∵DE⊥AB
∴弧GB等于弧BD，
∴∠GDB=∠DCB，
∵∠ODF=∠BDE，
∴∠ODF=∠DCB，
∴OD//BC，
∴∠EOD=∠ABC，
又∠OED=∠ACB=90°，
∴△OED∽△BCA
，
∵OE OD
=
3
5
∴设OE=3x，OD=5x
∵DE⊥AB ∴由勾股定理知DE=4x
∵S△DOE=OE?DE
2
=6x2
∴S△BAC=24x2
∵S△ABD=AB?DE
2=10x?4x
2
=20x2．
∴S△DOE
S
四边形ADBC =6x2
24x2+20x2
=3
22
．
故答案为：3
22
．
17.已知△ABC内接于半径为2的⊙O.若BC=2√3，则∠A=________．
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】
本题考查的了含30°角直角三角形的性质，圆周角定理等内容，掌握圆周角定理是解题的关键．
作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠BCD=90°，根据勾股定理求出CD的长，进而求得∠D，根据圆周角定理解答．
【解答】
解：作直径BD，连接CD，