数值计算方法试题一
一、 填空题
1、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分(10)次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在(
)0,22(-
)22
,0()。
3、已知
???
??≤≤+-+-+-≤≤=3
1)1()1()1(21
10)(233
x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,
则a =(3),b =(3),c =(1)。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
)((1),
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x ),当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k (32
4++x x )。
5、设
1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=?07f 25.2364945
26!77==?。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9,5个节点的求
积公式最高代数精度为9。
7、{}∞
=0)(k k
x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?=
1
4)(dx x x ?0。
8、给定方程组??
?=+-=-2211
21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足1 SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,) ()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 2阶方法。 10、设???? ? ?????=110 1a a a a A ,当∈a ( 22 , 22- )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足(0>ii l )条件时, 这种分解是唯一的。 二、选择题 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是(2)。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当(1)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , (1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 4、若用二阶中点公式 )),(4,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y ++ +=+求解初值问题 1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为(3)。 (1)20≤ 三、12 bx a y += 解: },1{x span =Φ ??? ???=22 22 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得: ? ?? ???=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b 2、用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx e x ?-1 0时, (1)试用余项估计其误差。(2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。 解: 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 四、1、方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等 价形式(1)3 1+=x x 对应迭代格式3 11+=+n n x x ;(2) x x 11+ =对应迭 代格式 n n x x 111+ =+;(3)13 -=x x 对应迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭 代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精 确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 解:(1)3 2 1(31 )(-+=')x x ?,118.05.1<=')( ?,故收敛; (2) x x x 1 121)(2+ - ='?,117.05.1<=')( ?,故收敛; (3)23)(x x ='?, 15.135.12>?=')(?,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x , 32476.15=x ,32472.16=x Steffensen 迭代: k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ???? 1 1211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果:5.10=x ,324899.11=x ,324718.12=x 有加速效果。 2、已知方程组f AX =,其中 ???? ? ???? ?--=41 143 34A , ????? ?????-=243024f (1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2)求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 解:Jacobi 迭代法:?? ???????=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法:?????????=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3 )(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ? ? ????????? ?--=+-=-04 30430 43 043 0)(1 U L D B J , 790569 .0)410 (85)(==或J B ρ SOR 迭代法:?? ???????=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1() 1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2) (2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω 五、1、取步长1.0=h ,求解初值问题? ????=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值;用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 解:改进的欧拉法:??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ; 经典的四阶龙格—库塔法: ????? ?????? ++=++=++==++++ =+),() 2 ,2() 2,2() ,(]22[6 342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ,所以1)1.0(1==y y 。 2、求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足 )()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p = 解:设)(3x H 为满足条件?? ? ='='=1,0)()()()(3 3i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式, 则 2 1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得: 2 12202232)()() ()(x x x x x H x f k ---= 六、(下列2题任选一题,4分) 1、 数值积分公式形如?'+'++=≈1 ) 1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 1, 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高;2,设]1,0[)(4 C x f ∈, 推导余项公式 ?-=1 ) ()()(x S dx x xf x R ,并估计误差。 解:将3 2 ,,,1)(x x x x f =分布代入公式得: 201,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有:?=1 03) ()(x S dx x xH , 22 )4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 3 )4(10 )1(!4)(])()([)(-=-=? ?ξ 1440)(60!4)()1(! 4)()4()4(102 3) 4(ηηηf f dx x x f =?=-= ? 2、 用二步法 )],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα 求解常微分方程的初值问题?? ?=='00)() ,(y x y y x f y 时,如何选择参数θ αα,,10使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 解: ] )(!3)(!2)()()(1()([) )(! 3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()() 4(323 2103 211, +-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα ) ()(21661()()1221() ()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θαθαααα 所以???? ??? =-+- ==--012210011 110θαααα ??? ? ??? ===? 230110θαα 主项:) (1253 n x y h ''' 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题: 1、若A 是n n ?阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ,使LU A =唯一成立。 (Ⅹ) 2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。(∨) 3、形如) ()(1i n i i b a x f A dx x f ∑?=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高 代数精确度的次数为12+n 。 (Ⅹ) 4、矩阵?? ??? ??=210111012A 的2-范数2A =9。(∨) 5、设???? ? ? ?=a a a a A 0 000 02,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。 (用∞?) (Ⅹ) 6、设n n R A ?∈,n n R Q ?∈,且有I Q Q T =(单位阵),则有22QA A =。 (∨) 7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的,且唯一。 (Ⅹ) 8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解: ???? ? ??????? ??-=????? ? ?-=60 1032211 01 2 00154 2774 322b a A ,b a ,的值分别为=a 2,=b 2。(Ⅹ) 二、填空题: 1、设102139)(2 48+++=x x x x f ,则均差 =]2,,2,2[810 f !89?, =]3,,3,3[910 f 0。 2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数,[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点,Newton 迭代公式) ()('1k k k k x f x f m x x -=+的收敛阶至少 是二阶。 3、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到二阶的连续导数。 4、向量T X ) 2,1(-=,矩阵???? ??--=13 27A ,则 =1AX 16,=∞)(A cond 90。 5、为使两点的数值求积公式:?-+≈1 1 10) ()()(x f x f dx x f 具有最高的代 数精确度,则其求积基点应为= 1x 31 ,31-,=2x __________。 6、设n n R A ?∈,A A T =,则)(A ρ(谱半径) = 2A 。(此处填小于、 大于、等于) 7、设 ? ????????=214 102 1A ,则= ∞ →k k A lim 0。 三、简答题: 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根* x ,若用迭代公式: 2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ,则其产生的序列{}k x 是否收敛 于* x ?说明理由。 解:迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=? 12ln 1 2412ln 141)('---= x x ? 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术?答:Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 )(k kk a 全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使0)det(≠A ,则消元过程将无法进行;其次,即使主元素不为0,但若主元素)(k kk a 的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的乘 数绝对值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解 的精确程度受到严重影响,采用选主元的技术,可避免主元素 )(k kk a =0或) (k kk a 很小的情况发生,从而不会使计算中断或因误差扩 大太大而使计算不稳定。 3、 设001.0=x ,试选择较好的算法计算函数值 2 cos 1)(x x x f -= 。 解: +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!21)(2 212n x x x f n n 四、已知数值积分公式为: )]()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈ ?λ,试确定积分公式中的参 数λ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。 解:1)(=x f 显然精确成立; x x f =)(时,] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ; 2 )(x x f =时,12122]20[]0[2332 2302 =?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ; 3)(x x f =时,] 30[121 ]0[2422340 3 h h h h h dx x h -++==?; 4)(x x f =时,6]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?; 所以,其代数精确度为3。 五、已知求)0(>a a 的迭代公式为: 2,1,00 (2101=>+= +k x x a x x k k k 证明:对一切a x k k ≥=,,2,1 ,且序列{}k x 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。 证明: 2,1,022 1)(211==? ??≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1 。 又1 )11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1,即序列{}k x 是单调递减有 下界,从而迭代过程收敛。 六、(9分)数值求积公式?+≈3 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公 式?为什么?其代数精度是多少? 解:是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121)1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=3 0)]2()1([23 )(f f dx x p 。其代数精度为1。 七、设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异,X 为精确解, 0≠b ,若向量~X 是b AX =的一个近似解,残向量~ X A b r -=,证明 估计式:b r A cond X X X ) (~ ≤-(假定所用矩阵范数与向量范数相 容)。 证明:由题意知:r b X A b AX -==~ , r A X X r A X X r X X A 1~ 1~ ~ )(--≤-?=-?=- 又 b A X X A AX b b AX ≤ ?≤=?=1 所以 b A A cond b r A A X X X ) (1~ =≤ --。 八、设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数,试求满足 下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ,并导出 解:设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H ) 1)(0(21 21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N 所以) 2)(1()1(21 21)(--+---=x x ax x x x x H 由3)0(' =H 得:41= a 所以 134541)(2 3-+-= x x x x H 令)()()(x H x f x R -=,作辅助函数 )2)(1()()()()(2 ----=t t t x k t H t f t g 则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:21,0,, x t = 反复利用罗尔定理可得: !4)()() 4(ξf x k = ,)0)(() 4(=ξg 所以 ) 2)(1(!4)()2)(1()()()()(2 )4(2 --=--=-=x x x f x x x x k x H x f x R ξ 九、设{})(x n ?是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列, )1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +?的零点, )1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值 基函数, ∑?+=≈1 1 ) ()()(n k k k b a x f A dx x w x f 为高斯型求积公式,证明: (1) 当j k n j k ≠≤≤,,0时, )()(1 1 =∑+=i j i k n i i x x A ?? (2) ?≠=b a j k j k dx x w x l x l ) (0 )()()((3)∑? ?+==1 1 2)()()(n k b a b a k dx x w dx x w x l 证明:形如 ) ()()(11 k b a n k k x f A dx x w x f ?∑+=≈的高斯(Gauss )型求积公 式具有 最高代数精度2n+1次,它对)(x f 取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立 1)0 )()()()()(1 1 ?∑==+=b a j k i j i k n i i dx x w x x x x A ???? 2)因为)(x l i 是n 次多项式,且有 ?? ?=≠=j i j i x l j i 10)( 所以 )()()()()(1 1 ==?∑+=i j i k b a n i i j k x l x l A dx x w x l x l (j k ≠) 3)取)()(2x l x f i =,代入求积公式:因为)(2 x l i 是2n 次多项式, 所以 i j i b a n j j i A x l A dx x w x l ==? ∑+=21 1)]([)()( ∑??∑+=+===1 1 11 2)()()(n k b a b a n k k k dx x w A dx x w x l 故结论成立。 十、若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω,),,1,0(n i x i =互异,求 ],,,[10p x x x f 的值,其中1+≤n p 。 解: n p x x x f x x x f p i p i j j j i i p ≤=-=∑ ∏=≠=0) () (],,,[0010 1 )!1() (],,,[) 1(110=+= ++n f x x x f n n ξ 数值计算方法试题三 一、填空题 (1) 改变函数f x x x ()=+-1 (x > >1)的形式,使计算结果较精确 ()x x x f ++= 11 。 (2) 若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第 3位小数,则需要对分10次。 (3) 设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ,则()=x f '???? ??12 21 22x x x x . (4) 设 ()???≤≤+++≤≤=21,1 0,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数,则 a=3, b=-3 , c=1。 (5) 若用复化梯形公式计算? 10 dx e x ,要求误差不超过6 10-,利用余 项公式估计,至少用477个求积节点。 (6) 写出求解方程组?? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式 ()() ()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ,迭代矩阵为???? ? ?--64.006.10, 此迭代法是否收敛收敛。 (7) 设 A =?? ? ?? 5443,则=∞A 9,()Cond ∞=A 91。 (8) 若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ,为保证算法的 绝对稳定,则步长h 的取值范围为h<0.2 二. 1.写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。 ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ,n=0,1,2,… ()()141sin 41'<≤= x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 2.以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。 用Newton 插值方法:差分表: ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R 3.求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。 设()()()x c c x c x c x 212211+=+=φφφ ()()()()()()???? ??=???? ?????? ??2121221 22111,,,,,,φφφφφφφφφφf f c c ,()1,1011==?dx φφ,()21,10 21==?xdx φφ, ()31 ,1 0222==?dx x φφ, ()1 )exp(,1 01-==?e dx x f φ, ()1 )exp(,1 02==?dx x x f φ ???? ??-=???? ?????? ??1112121121e c c , ???? ??=???? ??690.18731.021c c ,()x x 690.18731.0+=φ ()()x e e x 618104-+-=φ=0.873127+1.69031x 4.用复化Simpson 公式计算积分()? = 10 sin dx x x I 的近似值,要求误差限 为5 105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+= f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5 -12210933.015 1 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项:()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!27514 2) 4(x x x f ()51)4(≤x f ()()5 4 ) 4(45 105.05288012880-?≤?≤-=n f n a b R η,2≥n , =≈2S I 5.用Gauss 列主元消去法解方程组: ??? ??=++=++=++27 6234532424321 321321x x x x x x x x x 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= 6.求方程组 ? ??? ? ??=???? ??????? ??125112131 21x x 的最小二乘解。 ( ) b A x A A T T =,???? ??=???? ?????? ??2081466321x x , ???? ??-=0000.23333.1x 若用Householder 变换,则: ()?? ? ? ? ??------→52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,b A ???? ? ??---→81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1 最小二乘解: (-1.33333,2.00000)T . 7.已知常微分方程的初值问题: ?? ?=≤≤=2 )1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值,取步长2.0=h 。 ()5.0,001==y x f k ,())0.52380955.02.021.1,1012=?+=+=hk y x f k ()()1071429.25238095.05.01.0222101=+?+=++ =k k h y y 三.在下列5个题中至多选做3个题) (1) 求一次数不超过4次的多项式p(x)满足: ()151=p ,()201'=p ,()301''=p ,()572=p ,()722'=p 差分表: ()()()()()() 4323 3 2 2345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+= 其他方法:设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=3 2111512015 令()572=p ,()722'=p ,求出a 和b (2) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? 取f(x)=1,x ,令公式准确成立,得: 2110= +A A ,312110=+A A 310=A ,61 1= A f(x)=x 2时,公式左右=1/4; f(x)=x 3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 (3)用幂法求矩阵 ??? ? ? ?=11 110 A 的模最大的特征值及其相应的单位特征 向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征 向量的初始近似值为()T 0,1。 ①???? ??==11001Av u , ()00.10,01)1(1==v u λ, ???? ??==09950.09950.02111u u v ②???? ??==095.105.1012Av u , ()108.10,12)2(1==v u λ, ???? ??==1083.09941.02222u u v , 05 .011.0) 2(1)1(1>=-λλ ③???? ??==102.105.1023Av u , ()110.10,23)3(1==v u λ, ???? ??==1090.09940.02333u u v , 05 .0002.0)3(1)2(1<=-λλ ∴11.101 ≈λ,???? ??≈1090.09940.01x (4) 推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式,使其精度尽量高,其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -=局部截断误差=()11++-i i y t y ()()()() ()()()()()[ ] ()()()() 3 2 1103 21103 2''21'1''''''2 'h O x y h x hy h O x y h x hy x hy x y h O x y h x hy x y i i i i i i i i i +?? ? ??++--=+-++-+++=ββββββ 令0110=--ββ,0211=+β得 230=β,211 -=β, 计算公式为 ()1132-+-+ =i i i i f f h y y ,i=0,1,2,… ( 局部截断误差=()() 4 3 '''125h O x y h i + ) (5) 求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程组。 记N a b h )(-=,ih a x i +=,()i i x p p =,()i i x q q =,()i i x r r =, ()i i x y y =,i=0..N ()()i i i i i i i i i r y q y y h p y y y h -=+-++--++-111122121, i=1..N-1 即() i i i i i i i r h y p h y q h y p h 212 121221-=??? ??+++-+?? ? ??-+-, i=1..N-1 (1) 043210=-+-y y y ,与(1)取i=1的方程联立消去y 2得 ()()121112012222r h y hp q h y p -=+++-- (2) 0=N y ,与(1)取i=N-1的方程联立消去y N 得 () 1 2 11222221------=+-+??? ??-N N N N N r h y q h y p h (3) 所求三对角方程组:方程(2),方程组(1)(i=1..N-2),方程(3) 【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组: 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分) 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。 数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。() 期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2)0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=1 3A ??? 22,??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)( 1、解:将)(x V n 按最后一行展开,即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ,.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ,即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解:(1)设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时,有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式, ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ, ξ介于j x 之间,.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地,当0=k 时, 10) (=∑=n j x j l 。 (2) 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x )利用(。 7、证明:以b a ,为节点进行线性插值,得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ,故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ,b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解:设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=, k x x g =)(,记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ,则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ, ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时,0)()1(=-ξn g , 当 1-=n k 时,)!1()(1-=-n g n ξ, 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解:根据差商与微商的关系,有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f , [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 ( 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式, 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f )。 25、解:(1) 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 (2)左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2) 解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因 ,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和. 解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分,共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式,并计算,要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,,则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若,证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大,并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分,共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001- 数值分析 2?当x=1,—1,2时,f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解: X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点,求证: n (1 )7 x:l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j £ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n,则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j :o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解:令x^a,x^b,以此为插值节点,则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则 a =( ),b =( ),c =( )。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0 =x ?,则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。 二、 选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底。 (2)用Lagrange插值基底。 (3)用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解:(1)用单项式基底 设多项式为: , 所以: 所以f(x)的二次插值多项式为: (2)用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: (3) 用Newton基底: 均差表如下: xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有 式中 令得 插值点个数 是奇数,故实际可采用的函数值表步长 8、,求及。 解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系: 所以有: 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可; 当时,,构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得 在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得 再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得 而,将代入,得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有: 确定误差限: 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk,xk+1]上有 而最值 进而得误差估计: 16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ,则=( ) A . B . C . D . 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足( ) A . =0, B . =0, C .=1, D . =1, 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . B . C . D . π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则 , . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数 ,那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ,所以 在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解: 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式,拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ,使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度;利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ,并求)2(f 的近 似值(保留四位小数)。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ,并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表 数值计算方法考试试题 一、选择题(每小题4分,共20分) 1. 误差根据来源可以分为四类,分别是( A ) A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差; B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差; C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差; D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ,则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f ( C ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 ( D ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵,则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 ( B ) A. 都发散; B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛,Gauss-Seidel 迭代法发散; D. Jacobi 迭代法发散,Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ=',Euler 方法的绝对稳定区间为( C ) A. 02≤≤-h ; B. 0785.2≤≤-h ; C. 02≤≤-h λ; D. 0785.2≤≤-h λ ; 二、填空题(每空3分,共18分) 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ,则 =2 x 5,= 1Ax 16 ,=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ,则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%,应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表, 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值; 解:1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x数值计算方法试题及答案
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