民乐一中、张掖二中2019届高三第一次调研考试
数学(理) 试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1z i =-，（其中i 为虚数单位， z 是z 的共轭复数），则z
zi i
+=（ ） A ． 2
B ． 2i +
C ． 2i -+
D ． -2
2．已知集合22
{|1}23
x y A y =+=，集合2{|4}B x y x ==，则A B ?=（ ）
A ． ??
B ． ??
C ． )
+∞ D ． )
?+∞?
3．已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+，若()AB AC R λλ=∈，点
O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
4．过抛物线2
4y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，
则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为 （ ） A ． 2
B ．3
C ．4
D ．5
5．已知m R ∈，“函数21x
y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．
83 B ． 16
3
C ．
20
3
D ． 8
7．5
12a x x x x ?
???+- ????
???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中
常数项为( )
A ．-40
B ．-20
C ．20
D ．40
8．2020年东京夏季奥运会将设置4100?米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自
由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成， 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种布阵的方式. A ． 6
B ． 12
C ． 24
D ． 144
9. 已知函数()()22
log 3,2,{2
1,2
x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）
A. 1
B. 1-
C. 2-
D. 2
10．若函数()()sin 2()2f x x π
φφ=+<
的图像关于点,03π??
???
对称，且当127,,
1212
x x ππ
??
∈ ???
时， ()()120f x f x += ()12x x ≠，则()12f x x +=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11．在平面直角坐标系中,双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的
直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，若△FAB 的面积为l 的斜率为 （ ） A ．
1313
2 B ．21 C ．4
1 D ．
77
12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=， ()13f -=，数
列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=- ()
*n N ∈，则()()3637f a f a +=（ ） A ． -2
B ． -3
C ． 2
D ． 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若060B =， 2c =， b =，则
a =__________．
14．抛物线2
2y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，则
y x >的概率为__________.
15．已知,,,A B C D 四点在球O 的表面上，且2AB BC ==， AC =若四面体ABCD
的体积的最大值为4
3
，则球O 的表面积为__________． 16．已知111
2sin
,3sin ,3cos ,233
a b c ===则,,a b c 的大小关系是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()
*n N ∈. （1）证明： {}1n a +是等比数列；
（2）令1
2n
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次．某同学在A 处的投中率10.25q =，在B 处的投中率为2q ，该同学选择先在A 处投第一球，以后都在B 处投，且每次投篮都互不影响，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
（1）求2q 的值；
（2）求随机变量X 的数学期望()E X ；
（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B 处投篮得分超过3
分的概率的大小．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD
为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥，
2CD AB ==， PAB ?与PAD ?均为等边三角形，点E 为CD 的中点.
（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；
（2）试问在线段PC 上是否存在点F ，使二面角F BE C --的
余弦值为F 的位置；若不存在，
请说明理由.
20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b
+=>>
()0,1A 在椭圆E 上.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知()0,2P -，设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴
的对称点为C ，直线,AB AC 分别交x 轴于点,M N ，证明： OPM ONP ∠=∠.（O 为坐标原点） 21．已知函数()()ln a
f x x a R x
=+
∈． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间2
[e ,)-+∞上零点的个数；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在[]
()1,e e 2.71828...=上存在一点0x ，使得()000
1
x mf x x +
<成立，求实数m 的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x t
y kt =+??=?
(t 为参数)，直线2l 的参数方程为
2x m
m y k =-+??
?
=??
(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C (1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
:(cos sin )0l ρθθ+-=，M 为l 与C 的交点，求M 的极径．
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值； （2）若不等式()2211b a b a a
x x -++≥++- ()0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.
民乐一中、张掖二中2019届高三毕业班第一次调研考试
数学(理) 试题答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．C 10．A 11 B 12．B
二、填空题 13．4 14．1
8
15．9π 16．a b c << 三、解答题
17．（1）见解析（2）1
1
121
n +-
-
试题解析：（1）由1121S a =-得： 11a =
∵()()()
11221n n n n S S a n a n ---=---- ()2n ≥， ∴121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得
11
21
n n a a -+=+ ()2n ≥，
∴{}1n a +是以2为首项， 2为公比的等比数列．
（2）由（1）得21n
n a =-
∴()()
122121
n n n n
b +=--，即111
2121n n n b +=--- ， ∴11111
113372121n n n T +??????=-+-+???+- ?
? ?--?
?????
11121n +=--．
18．18．解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，
则事件,A B 相互独立，且()()()()220.25,0.75,,1P A P A P B q P B q ====-，
根据分布列知：0X =时，()()()()()2
20.7510.03P ABB P A P B P B q ==?-=， 所以2210.2,0.8q q -==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）当2X =时，()()()2p P ABB ABB P ABB P ABB =+=+
()()()()()()()220.75120.24P A P B P B P A P B P B q q =+=-?=．．．．．．．．．．．．．．．．
．3分
当3X =时，()()()()()2
320.2510.01p P ABB P A P B P B q ===-=．．．．．．．．．．．．．．．4分
当4X =时，
()()()()2
420.750.48p P ABB P A P B P B q ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当5X =时，()()()5p P ABB AB P ABB P AB =+=+
()()()()()()2220.2510.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．
．6分
所以随机变量X
∴随机变量X ()00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E X =?+?+?+?+?=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．8分
（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为
()()()()()22
222210.896P BBB BBB BB P BBB P BBB P BB q q q ++=++=-+=．．．．．．
．10分
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=， 所以该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）见解析（2）点F 为PC 的中点 试题解析：（1）证明：连接BD ，由于AB ∥CD ，点E 为CD 的中点， DE AB =， AB AD ⊥
∴四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥ 设BD 与AE 相交于点O
又∵△PAB 与△PAD 均为等边三角形
∴PB PD =
在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点 ∴BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE 又∵BD ?平面ABCD
∴平面PAE ⊥平面ABCD ．
（2）由2CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知
3OA OP ==， PA =PO AO ⊥，又平面PAE ⊥
平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点， OA 为x 轴， OB 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系．
可得()0,3,0B ， ()0,0,3P ， ()3,0,0E -， ()6,3,0P -
设点F 的坐标为(),,x y z ， PF PC λ=，由()3PF x y z =-，，， ()633PC =--，，，可得()6,3,33F λλλ--，
故 ()63333BF λλλ=---，，， ()330BE =--，，
设111m x y z =
（，，）为平面BEF 的一个法向量，则 0{
m BF m BE ?=?=，得1131m λλλ=---（
，，），平面BCE 的一个法向量为()001n =，，， 由已知,m n
cos m n
m n ?=
? =
3=
1
2
λ=
所以，在线段PC 上存在点F ，使二面角F BE C --F 为PC 的中点．
20．（1）2
214
x y +=（2）见解析
试题解析：（1）由已知得： 1b =，
2
c a = 又∵2
2
2
a b c =+ ∴2
4a =，∴椭圆E 的方程为2
214
x y +=． （2）∵点B 关于x 轴的对称点为C ∴()00,C x y -，
∴直线AC 的方程为0
11y y x x +=-+，令0y =得00,01x N y ?? ?+??
； 直线AB 的方程为00
1
1y y x x -=
+，令0y =得00,01x M y ?? ?-??
． ∵2
0002
000111x x x OM ON y y y ?=?=+--，而点()00,B x y 在椭圆22
14x y +=上， ∴22
0014x y +=，即： 2
020
41x y =- ∴2
4OM ON OP ?==，即OM OP OP
ON
=
∴Rt OPM Rt ONP ~， ∴OPM ONP ∠=∠． 21．试题解析： （Ⅰ）
()2
1'a
f x x x =
-,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.
（Ⅱ）令()f x = ln 0a
x x +
=， 2[e ,)x -∈+∞ 得ln a x x -= 记()ln ,H x x x x =∈ 2
[e ,)-+∞， ()1ln ,H x x =+'由此可知
()H x 在21e ,e --????
上递减，在()1
e ,-+∞上递增， 且()222,H e e --=- ()
11,H e e --=- x →+∞时()H x →+∞ 故1a e >
时， ()f x 在2
[e ,)-+∞无零点 212
a a e e =<或时， ()f x 在2[e ,)-+∞恰有一个零点
2
21a e e
≤<时， ()f x 在2
[e ,)-+∞有两个零点 （Ⅲ）在[]
()1, 2.71828...e e =上存在一点0x ,使得()000
1
x mf x x +<成立等价于函数()()11ln m
h x x mf x x m x x x x
=+
-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. ()()()22222
1111'1x x m m m x mx m h x x x x x x +-----=---==, ①当1m e +≥时,即1m e ≥-时, ()h x 在[]1,e 上单调递减,所以()h x 的最小值为()h e ,
由()10m
h e e m e
+=+-<可得211e m e +>
-,22111,11e e e m e e ++>-∴>--； ②当11m +≤时,即0m ≤时, ()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h ,由
()1110h m =++<可得2m <-； ③当11m e <+<时,即01m e <<-时, 可得()
h x 的最小值为
()()()()()1,0ln 11,0ln 1,12ln 12h m m m m m h m m m m +<+<∴<++=+-+ 此时, ()10h m +<不成立.
综上所述:可得所求m 的范围是211
e m e +>-或2m <-
22．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；
消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得???
??
y ＝k x －
，y ＝1
k
x ＋，
消去k ，得x 2
－y 2
＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2
－y 2
＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2
θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立?
??
ρ
22θ－sin 2
θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110
.
代入ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4，得ρ2
＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 23．（1）最小值为
52（2）55,44??
-????
试题解析：（1）()31,2
1
212{3,2 2
131,2
x x f x x x x x x x --<-=-++=-+-≤≤
+>
， 所以， 12x =
时， ()f x 取最小值，且最小值为52
（2）由()2211b a b a a x x -++≥++-， ()0a ≠恒成立，得
()2211b a b a
x x a
-++≥++-恒成立，即
21211b b
x x a a
-++≥++-恒成立， 令
b
t a
=，则()21211t t x x -++≥++-恒成立， 由（1）知，只需5
112
x x ++-≤ 可化为1{ 522x x <--≤或11{ 522x -≤≤≤或1
{ 522
x x >≤，
解得5544x -≤≤，∴实数x 的取值范围为55,44??-????