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二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)

二次函数表达式、图象、性质

及计算（讲义）

一、知识点睛

1．一般地，形如__________________（_______________）的

函数叫做x 的二次函数． 2．表达式、图象及性质：

①由一般式通过______________可推导出顶点式．

顶点式：________________（其中h =______，k =_________）．

②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________．

③当a_______时，函数有最_____值，是____________；当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图

象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系：

a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____．

c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3．二次函数图象平移：

①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________．平移口诀主要针对二次函数_________________．

二、精讲精练

1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号）

①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21

y x =-+；

④2

22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252

y x x =-+；

⑦215s t t =++；⑧2

20x y -+=． 2. 若函数7

)3(--a

x a y =为二次函数，则a =（） A ．-3

B ．3

C ．±3

D ．5

3. 通过配方把221213y x x =-+写成2

()y a x h k =-+的形式（）

A ．2

(3)5y x =--

B ．2

(3)5y x =+- C ．2

2(3)5y x =-+

D ．2

2(3)5y x =--

4. 由二次函数2

2(3)1y x =++，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．当3x <时，y 随x 的增大而减小

C ．图象与y 轴的交点为(0，1)

D ．当x =-3时，y 有最小值1

5. 二次函数522

-+=x x y 有（）

A ．最大值5-

B ．最小值5-

C ．最大值6-

D ．最小值6-

6. 二次函数2

21y kx x =++（k <0）的图象可能是（）

B ．

7. 二次函数2

y ax bx c =++反比例函数a

y x

=与一次函数y =bx 标系中的大致图象是（）

B ．

8. 在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx 2+2x +2（m 是常数，且m

≠0）的图象可能．．

是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

9. 将抛物线y =x 2-2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__________________．

10. 抛物线y =(x +2)2-3可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是

（）

A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

11. 抛物线2

y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得

图象的函数解析式为2

23y x x =-+，则b ，c 的值为（）

A ．b =2，c =3

B ．b =2，c =6

C ．b =-2，c =-1

D ．b =-3，c =2

12. 抛物线y=2(x+m )2+n （m ，n 是常数）的顶点坐标是_______；c

bx ax y ++=2

的顶点坐标是_____________（用含a ，b ，c 的代数式表示）；2241y x x =-++的顶点坐标是__________，有______值，是________．

13. 抛物线21

y x =-开口向_____，对称轴是_______，顶点坐标是_______，当

x =_______时，y 有_______值，是_______．

14. （1）已知二次函数的图象经过A (-3，0)，B (1，0)，C (0，3)

三点，求此二次函数的解析式．

解：设二次函数的解析式为______________________，由题意得：解得：

∴二次函数的解析式为______________________．

（2）已知二次函数的图象经过A (-4，0)，B (2，0)，C (1，-5)三点，求此二次函数的解析式．

15. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，

求此二次函数的解析式．

解：依题意可设这个函数的解析式为__________________， ∵这个函数的图象经过点_____________， ∴_________________________________，解得：__________________，

∴二次函数的解析式为__________________．

（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．

16. 已知抛物线2145

333

y x x =-++．

（1）把它配方成2

()y a x h k =-+的形式；

（2）写出它的顶点M 的坐标、对称轴和最值；

（3）求出图象与x 轴的交点A ，B （点A 在点B 的左侧）的坐标，与y 轴的交点C 的坐标；

（4）作出函数图象，根据图象指出x 取什么值时y >0；

（5）若该抛物线上两点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)的横坐标满足0

三、回顾与思考

【参考答案】知识点睛

1. 2y ax bx c =++，（a ，b ，c 为常数，a ≠0）

2. ①配方法，2

()y a x h k =-+，2b h a

=-，244ac b k a -=．

②抛物线，轴对称，直线2b x a =-， (2b

-，

24)4ac b a -． ③0a >，小，244ac b a -；0a <，大，2

44ac b a -．

④0a >，2b x a <-，减小，2b

x a

>-，增大；

0a <，2b x a <-

，增大，2b x a

>-，减小． ⑤0a >，上；0a <，下． y 轴，纵坐标．左同右异，对称轴．

3. ①点的平移，坐标．②上加下减、左加右减．顶点式．

精讲精练

1．①③⑤⑦⑧ 2．A 3．D 4．D 5．D

6．C

7．D

8．D 9．21027y x x =-+

10．B

11．B

12．(m -，)n ；(2b

-，

4)4ac b a -；(1，3)，大，3． 13．下，y 轴或直线0x =，(0，1)，0，最大，1． 14．（1）223y x x =--+ （2）228y x x =+- 15．（1）23(1)3y x =--- （2）2(1)4y x =+-

16．（1）21

(2)33

y x =--+．

（2）M (2，3)，对称轴为直线x =2，当x =2时，y 有最大值3．

（3）A (-1，0)；B (5，0)；C (0，5

)．

（4）当15x -<<时0y >．（5）12y y <．

一元二次函数的图像和性质

§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。１.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。（2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。（３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。当0