导数
一、导数的概念
1．导数的背景
（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
2.导数的定义
如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做
在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。
3、求在处的导数的步骤：
（1）求函数的改变量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。
4、导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的
方程是。
特别提醒：
（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某
点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；
（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只
有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。
比如：
（1）P 在曲线上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
______（答：）；
（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3 或1）；
（3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____（答：0 或）；
（4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程
（答：①1；②或）。[1]
二、相关背景
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产
生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理
论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”
中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之
弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求
即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最
小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一
个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的
研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普
勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分
别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们
（微分学的中心问题），
的最大功绩
问题
系在一起，一个是切线
是把两个貌似毫不相关的问
题联
分学的中心问
(积
题)。
问题
一个是求积
小量，因此这
无穷
门学科早期也称为
的无穷
点是直观
和莱布尼茨建立微积
牛顿
分的出发
研究微积
一大分支名称的来源。牛顿
分着重于从运动
学
在数学中分析学这
小分析，这
正是现
的。
重于几何学来考虑
，莱布尼茨却是侧
来考虑
直到1736 年才出版，它在这
本书里
本书
级数》，这
在1671 年写了《流数法和无穷
牛顿
的
为
变
量是无穷
产生的，否定了以前自己认
小元素的
量是由点、线
动
、面的连
指出，变
续
运
量的导
在流数术
些流动
中所提
数叫做流数。牛顿
量，把这
量叫做流动
续变
静止集合。他把连
的路径，求给
定时
刻的速度（微分法）；已知运动
动
的速度求
出的中心问
运
题是：已知连
续
给定时间内经过的路程(积分法)。
为是最早的
在世界上认
表了现
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684 年，他发
的新方法，它
而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线
篇文章有一个很长
微积分文献，这
样一片说
算》。就是这
理也颇
含糊
型的计
也适用于分式和无理量，以及这
种新方法的奇妙类
代的微分符号和基本微分法则
。他以含有现
。1686 年，莱布尼代的意义
的文章，却有划时
设的微积
分符号，
大的符号学者之一，他所创
史上最伟
分学的文献。他是历
茨发表了第一篇积
远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就
用的。
是当时
莱布尼茨精心选
去很多初等数学束手无策的问
，运用
展，过
题
微积
分学的创
立，极大地推动了数学的发
分学的非凡威力。
示出微积
微积分，往往迎刃而解，显
绩
立决不是某一个人的业
，他必定是经
过多少人的努力后，
科学的创
前面已经
提到，一门
。
样
分也是这
上，最后由某个人或几个人总
在积累了大量成果的基础
结完成的。微积
是这
门学科的创
立者的时
功效之余，在提出谁
分的宏伟
不幸的事，由于人们
在欣赏
微积
立。英国数
期对
的数学家和英国数学家的长
候，竟然引起了一场
悍然大波，造成了欧洲大陆
于拘泥在牛顿
”中停步不前，因而
，过
的“流数术
国，囿于民族偏见
期里闭
学在一个时
关锁
展整整落后了一百年。
数学发
间里先后完成的。比较
是自己独立研究，在大体上相近的时
其实
和莱布尼茨分别
，牛顿
表微积
，
一理论
分这
分要比莱布尼茨早10 年左右，但是正式公开发
特殊的是牛顿
创立微积
。那时
候，由于民族
处
，也都各有短处
的研究各有长
莱布尼茨却要比牛顿
发表早三年。他们
竟从1699 年始延续
了一百多年。
的争论
明优
偏见，关于发
先权
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布
不一，十分含糊。
尼茨的工作也都是很不完善的。他们
题上，其说
个问
在无穷
和无穷
小量这
。
候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆
其说小量，有时
牛顿的无穷
候是零，有时
这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
分的理论
进行了认
真研究，
首，对
微积
直到19 世纪
初，法国科学学院的科学家以柯西为
格化，使极限理论
一步的严
成为
了
建立了极限理论
尔斯特拉斯进
，后来又经
过德国数学家维
一步的发
展开来。
分进
。才使微积
微积分的坚
定基础
史上
分的历任何新兴
的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积
努利、欧拉、法国的
翰·贝
努利和他的兄弟约
也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝
拉格朗日、科西??
的代数学也好，都是一种常量数学，微积
分才是真正的变欧氏几何也好，上古和中世纪
分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变量数学，是数学中的大革命。微积
绩
。[2]
园地里，建立了数不清的丰功伟
速问题，它驰
骋在近代和现
代科学技术
三、基本初等函数的导数公式及到数的运算法则
数公式
基本初等函数的导
1．若f（x）=c（c为常数），则f`（x）=0；
n（n∈Q+），则
f`（x）=nx n-1；
2．若f（x）=x
3．若f（x）=sin x，则f`（x）=cos x；
4．若f（x）=cos x，则f`（x）=-sin x；
x，则
f`（x）=a x ln x；
5．若f（x）=a
6．若f（x）=e x，则f`（x）= e x；
1
7．若f（x）=log a x，则f`（x）=
；
x ln a
1
；[3]
8．若f（x）=ln x，则f`（x）=
x
导数运算法则
[f （x）+g（x）]’=f’（x）+g’（x）
[f （x）·g（x）]’= f（x）’g（x）+ f（x）g（x）’
[ f(x)
f ′(x )g( x) -f ( x) g′(x) g(x) ]’= [g(x)] 2 [4]
（1）已知函数的导
数为
，则
_____（答：）；
（2）函数的导
数为
__________（答：）；
（3）若对
任意，，则
是______（答：）
[1]
四、部分初等函数的导数公式推导
1.设f（n）= (1 +
1
n
)
n 1
f（n+1）=(1+
n+1
)n+1=2.718?=e
辅助结论：a
1+a 2 +a 3 ·····n·········a
n
≥√
a1a2a3a4····n
·（·他··们·全·大a
于零当且仅
当他
n
们各自相等时才取等号）
∵f(n) = (1 + 1
n )n = (1 + 1
)(1 +
n
1 1 1
) ····(1·+··) ·(1·+·) x1
<
n n n
[ (1+
1
n )n+1
n+1
n+2
n+1
]n+1 = (
)n+1 = (1 + 1
n+1
)n+1
结论l im
n→∞(1 + 1
n
)
n
= e
反过
来lim (1 + n)
n→01
n = e
2.试求f(x) = ln x的导数。
ln(
ln (x+△x)-ln x
f(x) = lim △x= lim
△x→0△x→0x+△x
x )
ln(
△x= lim
△x→0
△x
x +1)
△x
设△x=t
x
x→0,t → 0
△x = tx
所以原式等于lim
t →01
x
1
·
t
·ln(1 + t)
=lim t →01
x
·ln(1 + t）
1
1
t =
x
3. (ln e x ) ′= 1
e x
·(e x )′= 1 ( e x)′= e x
x 4. ( a x)′= (e ln a) ′
= (e xln a )
′
=e xln a ( x ln a)′= a x ·ln a
5. 试求f(x) = sin x的导函数f ′(x)
f ′(x) = lim
(
△x→0s in ( x+△x)+sin x
△x
)
sin (x +△x) = sin [(x +
△x
) +
2
△x
]
2
sinx = sin[ (x +
△x
) -
2
△x
]
2
f ′(x) = lim
(
△x→0cos(x+
△x△x
) ·sin
2 2
△x
2
) =cosx
( cosx) ′= [sin ( π
- x)]
2
′
= cos (
ππ
- x) ·( - x)
2 2
′
= -sinx
辅助结论：
五、多项式函数的单调性
1.多项式函数的导数与函数的单调性：
（1）若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。
（2）若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；
若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。比如：
a)函数，其中为实数，当时，的
单调性是______（答：增函数）；
b)设函数在上单调函数，则实数的取值范围______
（答：）；
c)已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程
的根都在区间内，则的取值范围是____________（答：）；
d)已知，，设，试问是否
存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？（答：）
2.利用导数求函数单调区间的步骤：
（1）求；
（2）求方程的根，设根为；
（3）将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。
如设函数在处有极值，且，求的单
调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间）
3.函数的极值：
（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：
（i）求导数；
（ii）求方程的根；
（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”
在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别
提醒：
①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝ 0 是为极值点的必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
a) 函数的极值点是（答：C）；
A、极大值点
B、极大值点
C、极小值点
D、极小值点
b) 已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是
_____（答：或）；
c) 函数处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）；
d) 已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c 有最___值___
（答：大，）
4.函数的最大值和最小值：
（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其
端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[ ]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值。
i. 函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；-15）；
ii. 用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m 。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为 1.2
米时，容积最大为）
特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。比如：
i. 是的导函数，的图像如右图所示，则的图像只可能
是( 答：D )
ii. 方程的实根的个数为______（答：1）；
iii. 已知函数，抛物线，当时，函数的图
像在抛物线的上方，求的取值范围（答：）。[1]
六、生活中的优化问题
例1：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
2
0.8 r 分，其中
r 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml 的饮料，制造商可获利0.2 分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
本题中饮料瓶半径的大小决定着制造商的利润的大小，从而将利润转化成关于r 的函数，(0 我们再利用几何画板来画出函数图像验证上面的运算结果。 例2：通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率g（即每小时的汽油 消耗量，单位: L / h ）与汽车行驶的平均速度v（单位: km ）之间，有如图的函数关 系g = f (v) ，那么如何根据这个图像中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？ G w w t g s s v t 这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图像上看， g v 表示经 过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，转化成导数的应用问题。[5] 六、牛顿法——用导数方法求方程的近似解 牛顿法是求解方程 f (x) = 0 的一种重要的迭代法。它是一种将非线性方程 f (x) = 0 逐步线性化的方法，是解代数方程和超越方程的有效方法之一。 设：已知方程 f (x) = 0 的一个近似根x0，把f ( x)在x0处作泰勒展开， f f ( x ) 0 2 ( x) f ( x0 ) f '( x)( x x ) (x x ) 0 0 0 2! 若取前两项来近似代替 f (x)（称为 f (x)的线性化），则得近似的线性方程 f (x0) f '( x0 )( x x0 ) 0 设'() 0 f x ，解之得 x f (x ) x 0 f x '( ) 我们取x 作为原方程 f (x) = 0 的近似根x1，即 f (x ) x x ，一般地 f (x) 0。 1 f x ' ( ) 再重复用上述方法得 f (x ) 1 x x 2 1 f x '() 1 一般地，有迭代公式 f (x ) k x 1 x (k 0, 1, 2, ) k （2.5） k f ' (x ) k 公式（2.5）称为求解 f (x) = 0 的牛顿迭代公式。 *在几何上表示曲线y = f (x )与x轴的交点。 牛顿法有明显的几何意义。方程f (x) = 0的根x 当我们求得x*的近似值x k 以后，过曲线y= f (x) 上对应点（x k, f (x k)）作f (x) 的切线，其切 线方程为( ) '()( ) y f x k f x x x k k * 的新的近似值x k+1 必须满足方程 求此切线方程和x 轴的交点，即得x f ( x k ) f '(x k )( x x k ) 0 这就是牛顿法的迭代公式 f ( x ) k x x 的计算结果。k 1 k f x '( ) k 由图2.2 可知，只要初值取得合适，点列{x k}就会很快收敛于x* 。 图2.2 正因为牛顿法有这一明显的几何意义，所以牛顿法也称为切线法。[6] 扩展阅读：人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2 A 版，2007 年1 月第 2 版，北京，人民教育出版社，2008，20-21 References [1] https://www.doczj.com/doc/113795477.html,/shuxue/ShowArticle.asp?ArticleID=22064 [2] https://www.doczj.com/doc/113795477.html,/question/59092076.html [3]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准 试验教科书数学选修2-2 A 版，2007 年1 月第 2 版，北京，人民教育出版社，2008，14 [4] 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准 试验教科书数学选修2-2 A 版，2007 年1 月第 2 版，北京，人民教育出版社，2008，15 [5] https://www.doczj.com/doc/113795477.html,/blog/UploadFiles/2008-4/49880698.doc [6] https://www.doczj.com/doc/113795477.html,/train/courseman/ 数值计算/第二章.doc
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