直线对称问题
直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）
例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
二、直线关于点的对称
求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C
或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。 ☆转化为点关于点对称的问题
例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11
-=?l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上
例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标
四、直线关于直线的对称
分两种：1，关于平行直线的对称
求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C
例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
求0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）求出l l 与1的交点P 在2l 上
（2）设1l 上一个异于点P 的点M （a,b ）求出点M 关于直线l 对称的点'M 必在2l 上
(3)求出直线'PM 的方程即为2l 的方程
例5.求直线02y x :l 1=--关于直线033:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习： 1l ：0223=+-y x ，l ：02=-y x ，求1l 关于l 的对称直线2l
或者运用到角公式
按逆时针方向1l 到2l 的角θ则() 901tan 1
21
2≠+-=
θθk k k k ()
180,0∈θ （2）设2l 的斜率为2k ☆所以有k
k k
k kk k k 221111+-=
+-求出2k （3）由点P 及2k 求出2l 的方程 例五 练习
提高训练：
1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 2.已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 1l 与关于x y =对称，则4l 的方程为___________;
3．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）
A ．360x y +-=
B ．320x y -+=
C ．320x y +-=
D ．320x y -+=
4.求点A （4,1-）关于直线l ：02
7
32=-
+y x 的对称点。
5.求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.
6.求点P （2,3）关于 x 轴对称的点 关于 y 轴对称的点 原点对称的点
7.求直线0632:=-+y x l 关于点P （1,3）对称的直线1l
8.求直线0632:1=-+y x l 关于0332:=++y x l 对称的直线2l 的方程
,例1.解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），
则由中点坐标公式得???????=+=+-,
12
y 3,12x 200
解得???-==1y ,4x 00所以点
A 关于点P （1，1）
的对称点为B （4，－1）。练习：C （4，6）.
例2.解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.1
3|
b 16|1
3|416|2
2+++=+-+ 解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=-- 练习：2x+11y-38=0.
例3，设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。
由方程组??
?=-+=+-0
6y x 2,09y 4x 2解得AA ′中点M ???
??3,23。
由中点坐标公式得32
2
y ,2322x 00=+=+，解得.4y ,1x 00==
∴所求的对称点坐标为（1，4）。
练习：A ′的坐标为.
51,53??? ?
?--
例5 022y x 7=++ 练习 010617=--y x
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
直线对称问题 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式） 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 二、直线关于点的对称 求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C 或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。 ☆转化为点关于点对称的问题 例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程 练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11 -=?l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上 例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标 四、直线关于直线的对称 分两种：1，关于平行直线的对称 求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C 例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。 练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=
2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
高一数学知识框架第一章集合与函数概念
第二章基本初等函数（I）
必修二立体几何 第一章空间几何体知识结构如下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面 （3）画侧棱（4）成图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识结构如下 第三章 直线与方程 从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量） 直线的倾斜角概念：当直线l 与x 轴相交时, 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 .特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0° 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等， 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递 性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 直线与平面有三种位置关系： 1）直线在平面内：有无数个公共点 2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 3）直线在平面平行： 没有公共点 平面平行：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面互相垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 斜率公式： 点到线距离： 平行线距离：
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法
一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的面积最小时直线l的方程;
一、点关于点的对称问题 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程. 例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程. 5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标
高中数学知识结构图 集合的概念与表示方法 集合集合的性质 集合之间的关系与运算 解析法 函数的概念与表示方法列表法 图像法 定义域 函数的三要素对应关系 值域 单调性 奇偶性 函数的性质周期性 极值 最值一次、二次函数 反比例函数 基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数 复合函数三角函数 分段函数 函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换 概念 反函数存在条件 与原函数的关系 函数与方程函数的零点对应方程的解 函数的应用建立函数模型 任意角弧度制与三角函数 同角三角函数关系 诱导公式 三角函数中的公式和角、差角公式 二倍角公式与半角公式 三角函数和差化积与积化和差公式 正弦函数三要素 三角函数余弦函数性质 正切函数图像及其变换 正弦定理 解三角形余弦定理 三角形面积
柱体结构 椎体 空间几何体台体三视图和直观图 球体 简单组合体表面积与体积 点、直线、平面的位置关系 点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定 直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离 点到直线的距离 空间距离点到平面的距离 直线到平面的距离 平行平面间的距离 异面直线形成的角 空间的角直线与平面形成的角 倾斜角、斜率和截距 点斜式 斜截式 直线直线与方程两点式 截距式 一般式 直线之间的位置关系垂直与平行的条件 圆与方程一般方程与标准方程 几何圆点与圆的位置关系 位置关系直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 解析几何 圆锥曲线椭圆定义及标准方程 双曲线性质 离心率 点到点的距离 点到直线的距离 平面距离点到圆的距离 两平行线的距离 直线到圆的距离 相离圆的距离 对称问题中心对称关于点对称 轴对称关于直线对称 平面向量概念 向量加减法 向量运算向量的数乘 向量的数量积 空间向量几何意义及应用
高中数学必修知识框架图
{1.11.2 1.32.12.22.33.1?????????????????????????集合第一章：集合与函数概念 函数及其表示函数的基本性质指数函数必修一第二章：基本初等函数（Ⅰ）对数函数幂函数第三章：函数的应用 函数与方程1.11.21.32.12.22.33.13.23.3???????????????空间几何体的结构第一章：空间几何体 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积空间点、直线、平面之间的位置关系第二章：点线面的位置关系直线、平面平行的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质必修二直线的倾斜角与斜率第三章：直线与方程 直线的方程直线的交点坐标与距离第四章：圆与方程 4.14.24.3?????????????????????????? 圆的方程 直线、圆的位置关系空间之间坐标系1.11.21.32.12.22.33.13.23.3???????????????????????????????? 算法与程序框图第一章：算法初步基本算法语句算法案例随机抽样必修三第二章：统计 用样本估计总体 变量间的相关关系随机事件的概率第三章：概率 古典概型 几何概型
1.11.21.31.41.5)1.6 2.12.22.32.42.5x ω?????????+????????????任意角和弧度制任意角的三角函数三角函数的诱导公式第一章：三角函数 三角函数的图像与性质函数y=Asin(的图像三角函数模型的简单应用平面向量的实际背景及基本概念必修四平面向量的线性运算第二章：平面向量 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用举例第 3.13.2?????????????????????????? 两角和与差的正弦、余弦和正切公式三章：三角恒等变换 简单的三角恒等变换1.11.22.12.22.3n 2.42.5n 3.13.23.33.42a b ab ????????????????????????????????+?≤??正弦定理和余弦定理第一章：解三角形应用举例数列的概念与简单表示法等差数列第二章：数列 等差数列的前项和必修五等比数列等比数列的前项和不等关系与不等式一元二次不等式及其解法第三章：不等式 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基本不等式：???????????
.对称问题 一、基础知识 1、 点关于点的对称 点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a -x,2b -y) 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 2、点关于直线的对称点 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地： 设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则???? ???=++++-=??? ??---02 210 '0' 0' 0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。 （1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a -x,2b -y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法： 设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上， 满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组???? ???=++++-=??? ??---02 210 '0' 0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。 4、常用的对称关系 点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b) 关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b -m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m -b,m -a). 二、题型剖析 [对称问题] 例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 1 对称的直线方程是（ ） A 。012=+-y x B 。052=+-y x C 。012=--y x C 。052=--y x 解：设点),(y x ''关于)2,1(-的对称点为),(y x ，则x x --='2，y y -='4。 ∴ 03)4()2(2=+----y x 即：052=+-y x ，故选B 。 【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。
第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 第四章圆与方程 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系
第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修四 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换
直线的一般式方程 知识点一直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 答案 D 解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确． 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4 ＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去). 知识点二平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A 解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12. 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 答案 D 解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C
高中数学（必修1）知识结构框图第一章集合与函数概念 集合含义与表示 基本关系 基本运算 列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法 包含关系 相等关系 交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集 函数概念 定义域 对应关系 值域 表示 解析法 图象法 列表法 性质 单调性 定义 图象特征 最值 奇偶性 定义 图象特征:对称性 映射映射的概念上升或下降
第二章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指 数 与 指 数 函 数 指 数 根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂 运算性质 指 数 函 数 定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P56 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线 对 数 与 对 数 函 数 对 数 定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数 运算性质 对 数 函 数 定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P71 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂 函 数 定义：y xα = 具体的五 个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1）， 当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时， 在(0,) +∞上递减。 换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象见P77图2.3－1
回顾: (1)点到直线距离公式：d 式； (2)两平行直线间的距离：Ax。By o C ；—2 2，注意：用该公式时应先将直线方程化为般V'A B d IC2C1, 注意 :运用此公式时直线方程要化成一般式, 并且X、Y项的系数要对应相等 有关知识： 1、直线互相垂直的条件：斜率存在，k1k2= — 1 2、 P1( xl, y1)、P2 ( x 2, y2 )的中点坐标为冬」,21 y￡ 2 2 3、点（x o, yo ）在直线 Ax + By + C = 0上的条件是Ax0 By0 C 0 对称问题：(中心对称、轴对称问题) 知识运用与题型研究： 一、点关于点对称 例1、已知点A(5,8) , B(-4 , 1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。 fll.己知点A(询，BH，1)?试求人点关于B点的楠点C的坐标， 解:设C(%y) 5+x 则』 —般用中点坐标公式解决这种对称问聽 设巩氐关于点M伍上)的対称点P石,则育 X =上肛一X- y=2b-y t 必修二直线对称问题 ? ? C (-13 j * 6) c * 解题要总中点公式的运用 特船点F董于氏点的对称点叭-兀,-灯
解题要点:」k ? = -1 AA 5中点在0上(L 沏楙｛由) 对称的直线Z 的方程。 三、点关于直线对称 例2?已知点A 的坐标为(4,4),直线啲方 程 为3叶2二0,求点A 关于直线啲 二、直线关于点对称 例3 ?求直线人;3叶40关于点P(2, J)对称的 直线(釣方程。 Y 解:设A(b y)为L 】上任意一点 则丄关于PfiWS 点A 在L 】上 .\3(4-x)-(-2-y)-4=0 ____ 即直线为3叶1(H) 解題要点： A 袪一J 吐的任意一点的对称点在吐； 法二：L1〃L2鞠葩櫥两鈕 迭三，厶〃匚 且團两直线等距。 四、直线关于直线对称 例4.试求直线“「尸2=0关于直线?2： 曰一1=0 y 四、直线关于直线对称 例4?试求直线4：x-y-2=O 关于直线 氏3p+3=0对称的直线「的方程。 解 尸》得P(?"#) 飞眄3“ 2 2 Q^x.y) 在Ljz 任取一点Q(ZO). 求其关于豪的对称点QU ，y) 「3?“ L? 四.直线关于直线对称 解题要点； y Q(2?o)，x 相镁于M 郴曲⑻加 <1)若两直线相交，先求交点P, 再在Ldt 収一点Q 求其对称点得另一点Q 两点式求L 方程 思考：若￡//缸如何求&关于￡的对称直线方程？ ￥ 宀⑴y) <2, 6) 对称点A 啲坐标。 解： 设 A (x,y) 3?节+学如 % 则L 】与L ：距克等于L 与 建立等量关系，解方程 求
直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 知识点三 直线一般式方程的应用 5.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值： (1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是1. 6．求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程； (1)斜率是3 4，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)，B (m,1)； (3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
课堂练习： 7．直线2x ＋6y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．150° B ．30° C ．60° D ．120° 8．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．a ＝2，b ＝5 B ．a ＝2，b ＝－5 C ．a ＝－2，b ＝5 D ．a ＝－2，b ＝－5 9．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( ) 10．已知直线mx ＋ny ＝－1平行于直线4x ＋3y ＋5＝0且在y 轴上的截距为1 3，则m 、n 的值 分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3 D ．4和－3 11．已知直线(a ＋2)x ＋2ay －1＝0与直线3ax －y ＋2＝0垂直，则实数a 的值是( ) A ．0 B ．－43 C ．0或－4 3 D ．－12或23 12．直线l 与直线m ：3x －y －2＝0关于x 轴对称，则这两条直线与y 轴围成的三角形的面积为________． 13．如果对任何实数k ，直线(3＋k )x ＋(1－2k )y ＋1＋5k ＝0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________．
高中数学（必修1）知识结构图第一章集合与函数概念
第二章基本初等函数（I）
第三章函数的应用 函 数 与 方 程 函 数 的 应 用 ＞函数零点的存在性 / ----------------------------------------------------- 方程的根与 函数零点的关 X ______________________________ N用二分法求方程的近似解 方程/*(0 = 0有实数根 o函数y = /(兀)的图象与x轴有交点 o函数尸/(兀)有零点 如果函数〉，=/(兀)在区间［a, b］上的 图彖是连续不断的一条曲线,并且有 /?)? f(b) ＜0,那么函数y = f (兀)在区 间(a,b)内有零点，即存在ce (a.b),使 得.f (c) = 0,这个c?也就是方程f (兀)=0 的根. 函 数模型及其应用 r＞几种不同增长的函数模型 -＞用己知函数模型解决问题 4建立实际问题的函数模型 直线上升 指数爆炸 对数增长 指数函数，对数函数，幕 函数增长速度的比较。见 教材P98-100 __________ __________ 丿
数学必修二 笫一章空间几何体的知识结构框架 第二章 点、直线、平面之间的位置关系的知识结构框架 平面（公理1 、公理 2. 公理 3.公理4） 空间直线.平面位置关 空间平行关系之间的转化 直线与直线平行 V ----------- 直线与平面平行 ------------------ 平面与平面平行 空间垂直关系之间的转化 直线与直线垂直 P ------------------------------ -------------------------------- 直线与平面垂直 F ------------------------------ --------------------------------- 平面与平面垂直 直线与直线的位置关 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直
线为: 分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线 l的方程