第七章力法
§7-1 超静定结构概述
1. 超静定结构基本特性
(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系
(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组
(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。
2. 超静定结构类型
图7.1
3. 求解原理
(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。
(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。
(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。
4. 基本方法
力法：以多余约束力作为求解的基本未知量
位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量
§7-2 超静定次数的确定
超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。
确定方法：超静定结构
去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。
强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。
图7.2
图7.3
图7.4
图7.5
图7.6
§7-3 力法基本概念
下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。 图7.7
(1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构；
(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，?1=0
(3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ?δ???，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。
(4) 柔度系数δ11与自由项?1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得
EI l l l l EI 332211311=????=δ, EI
ql l ql l EI P 843213114
21-=???-=?, ql X P 831111=-=δ? (5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。
§7-4 力法典型方程
由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。
图7.8
3次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。当?1=0，?2=0，?3=0时，原结构与基本结构等价。根据叠加原理，得到力法典型方程，如下
01
1331221111=+++=P X X δX Δ?δδ，注意，一般为0，有不为0的情况
022*********=+++=P X X δX Δ?δδ
033333223113=+++=P X X δX Δ?δδ
选取不同的力法基本结构，如下图示
图7.9
依叠加原理，得到力法方程如下，
013132121111=+++=P X X X δΔ?δδ
023*********=+++=P X X X δΔ?δδ
033332321313=+++=P X X X δΔ?δδ
形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。
依此类推，n 次超静定结构，有n 个多余约束力时，力法典型方程为
2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ??δδδ??δδδ??δδδ
02121212222111211=???
???????????+??????????????????????????nP P P n nn n n n n X X X ???δδδδδδδδδ , 0}{}]{[=+P X ?δ 为线性代数方程组，由位移互等定理，ji ij δδ=。
物理含义：
(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；
(2) 柔度系数ij δ，j 方向单位力引起的i 方向的位移，主系数δii >0，副系数ji ij δδ=。
(3) 自由项iP ?，荷载单独作用在基本结构上，引起的i 方向的位移。 柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。
§7-5 力法计算步骤与示例
例7-1 用力法求解图示刚架，并作M 图。
图7.10
力法基本未知量为X 1、X 2，基本结构如图示，列出力法方程
022221211212111=++=++P P X X X X ?δδ?δδ 作出1M 、2M 、M P 图，如图示。下面计算柔度系数与自由项
EI l l l l EI 6322121311=???=δ, EI l l l l EI 4212132112=???==δδ, EI
l l l l EI l l l EI 6521322113
22=????+???=δ EI Fl l Fl l EI P 9656522212131-=???-=?, EI
Fl l Fl l EI P 162221213
2-=???-=? 力法方程成为(消去公因子l 3/EI )
0965416121=-+F X X , 016
1654121=-+F X X 解出，F X 1141=, F X 88
32-=(与假设方向相反) 计算最后杆端弯矩，如
Fl l F M BC 883883=?=(上侧拉)，Fl l F l F l F M AB 88
151148832=?-?+?=(左侧拉) 作出最后的M 图，如图示。
结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；
(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；
(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。
图7.11
力法计算步骤
(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。
(2) 列出力法典型方程
2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ??δδδ??δδδ??δδδ
(3) X 1=1单独作用在基本结构上，作出1M 图
X 2=1单独作用在基本结构上，作出2M 图，依此类推
荷载单独作用在基本结构上，作出M P 图
(4) 计算柔度系数与自由项
主系数δii >0，i M 自乘；δij =δji ，i M 与j M 图乘；自由项，?iP ，i M 与M P 图乘。
(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。
(6) 由叠加原理，P M M X M X M +++= 2211，计算最后的杆端弯矩。
(7) 作出M 图。
例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。
图7.12
3次超静定，未知量X 1、X 2、X 3，力法方程为
00
333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ?δδδ?δδδ?δδδ