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精 品 教 学 设 计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢.1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢.4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢.四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况.五、构造商式函数 构造商式函数1002()(0)xh x x x=>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课时训练北师大版必修1一、选择题1．以下四种说法中，正确的是( )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．一定存在x0，使x＞x0，总有a x＞x n＞log a x【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．【答案】 D2．当0＜x＜1时，x2，log2x,2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．2x＞log2x＞x2C．x2＞2x＞log2x D．x2＞log2x＞2x【解析】当0＜x＜1时，0＜x2＜1,1＜2x＜2，log2x＜0，所以大小关系为2x＞x2＞log2x.【答案】 A3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，根据三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【解析】可用特殊值法，取x＝8，知g(8)>f(8)>h(8)．【答案】 B4．今有一组实验数据如下：( )tA．v＝log2t B．v＝log12C ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2【解析】 由表中数据可知，当t 增大时，v 也随着增大，所以B 不正确．又当t ＝2时，v ＝1.5，所以A 、D 不正确，C 符合要求．【答案】 C5．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 【解析】 函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．观察图像可知，函数f (x )的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数g (x )的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h (x )的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.【答案】 C 二、填空题6．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘． 【解析】 设第一天生长a ，则第二天有浮萍2a ，第三天4a ，…第14天213a ，第15天214a .因214a ＝2×213a ， ∴14天长满半池塘． 【答案】 147．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)【解析】 设距现在为x 年，则有＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7400.【答案】 7 4008．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －2 x <2，log 3x ＋x ≥2，若它与直线y ＝m 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________(用区间形式表示)．【解析】 在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝m 的图像如图所示，易知当m >1时，y ＝f (x )与y ＝m 有两个不同的交点．【答案】 (1，＋∞) 三、解答题9．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图3－6－4所示．图3－6－4(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 【解】 (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )．10．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)【解】 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N ＋.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数， 得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个．11．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图3－6－5所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)．(注：利润与投资的单位：万元)图3－6－5(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)【解】 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，则f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2，由题图形知f (1)＝14，g (4)＝52，∴k 1＝14，k 2＝54，∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54(x ≥0)．(2)设投入A 产品x 万元，则投入B 产品(10－x )万元，设企业利润为y 万元，则有y ＝f (x )＋g (10－x ) ＝x 4＋54 (0≤x ≤10)． 令＝t ，则y ＝10－t 24＋54t＝－14(t －52)2＋6516(0≤t ≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75，故当投入A 产品3.75万元，投入B 产品6.25万元时，企业获得利润最大且最大利润约为4万元．。
