九年级数学教学质量检测试题（2017．5）--历下二模
考试时间120分钟 满分120分
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. －3的倒数是（ ）
A ．
31
B ．3
C ．3-
D ．3
1- 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 下列计算正确的是（ ） A ．22
1
2
= B ．532=+ C ．13334=- D ．25223=+ 4. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg 的煤所产生的能量．把130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ）
A ．13×107kg
B ．0.13×108kg
C ． 1.3 ×107kg
D ．1.3 ×108kg 5. 如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ABD ，若∠C =40°，则∠D 的度数为 （ ）
A ． 90°
B ． 100°
C ．110°
D ． 120° 6. 平面直角坐标系中，点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．（﹣2，﹣3）
B ．（2，﹣3）
C ．（﹣3，﹣2）
D ．（3，﹣27. 某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．12
8. 实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．88，90
B ．90，90
C ．88，95
D ．90，95 9. 如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为 边长的正方形ACEF 的周长为( ) A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
10.
2， 22x y -
，a , x y
+分别对应下列个字：南、爱、我、美、游、济，现将
22222()2()a
x y b x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A ．我爱美
B ．济南游
C ．我爱济南
D ．美我济南 11. 如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，3）则点B 的坐标为（ ）
A ．（1-3，3+1）
B ．（-3，3+1）
C ．（- 1，3+1）
D ．（- 1，3） 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点
E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是（ ） A ．
123 B ．63 C ．33 D ．2
3
13. 如图，反比例函数k y x =
的图象经过二次函数bx ax y +=2图象的顶点（﹣2
1
，m ）（m ＞0），则有（ ）
A ． k b a 2+=
B ．k b a 2-=
C ．0<
D ．0< B 60 第9题图 第13题图 第11题图 第12题图 14. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C ，1E ，2E ，2C ， 3E ，4E ，3C ……在x 轴上，已知正方形1A 1B 1C 1D 的边长为1，∠11B C O ＝60° ，11C B ∥22C B ∥33C B ……则正方形2017201720172017D C B A 的边长是( ) A ．2016 )2 1 ( B ．2017 )2 1( C ．2016 )3 3( D ．2017)33( 15. 定义[a ，b ， c ]为函数 c bx ax y ++=2的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ） A ． 当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ 31，3 8 ） B ． 当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2 3 C ． 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点 D ． 当m ＜0时，函数在x 4 1 > 时，y 随x 的增大而减小 二、填空题(本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.) 16. 比较大小： 23(填“>””<”或“=”号)． 17. 若一元二次方程2 40x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 18. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =50°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC 的度数是 ． 19. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第24秒，点E 在量角器上对应的读数是 度． 20. 如图，M 为双曲线x y 3 = 上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线m x y +-=于点D 、C 两点，若直线m x y +-=与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点 B ，则AD ·B C 的值为 ． 21. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有 （写出所有正确结论的序号）． ①∠NAP =45°； ②当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ③四边形AMCB 的面积最大值为10； ④线段AM 的最小值为52； ⑤当△ABP ≌△ADN 时，BP =424-． 三、解答题(本大题共7个小题.共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 22. （本题满分7分） (1)计算：)2()(2b a a b a ---； (2) 解方程：x x 3 32=-． 第21题图 第20题图 23. （本题满分7分） (1)如图，AD 、BC 相交于O ，OA=OC ，∠OBD =∠ODB . 求证：AB=CD ． (2) 如图，AB 是⊙O 的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长 线于点D ．若OD ＝2，求∠BAC 的度数． 24. （本题满分8分） 某服装店用6000元购进A ，B 两种新式服装，按标价出售后可获毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价、标价如表所示，求这两种服装各购进的件数． 第23（2）题图 C O A B D 第23（1）题 第23（1）题图 25. （本题满分8分） 空气质量倍受人们关注，我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了1月至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计图共统计了 天的空气质量情况； （2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数； （3）小明所在环保兴趣小组共4名同学（2名男同学，2名女同学），随机选取两名同学去该空气质量监测站点参观，请用列表或画树状图的方法求出恰好选到一名男同学和一名女同学的概率． 26. （本题满分9分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 直线3 y x =与反比例函数x k y =在第一象限内 的图象相交于点A （m ，3）． （1）求该反比例函数的关系式； 第25题图 （2） 将直线y x = 沿y 轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B ，连接AB ，这时恰好AB ⊥OA ，求tan ∠AOB 的值； （3）在（2）的条件下，在射线OA 上存在一点P ， 使△P AB ∽△BAO ，求点P 的坐标． 27. （本题满分9分） 如图1，在菱形ABCD 中，AB =52，tan ∠ABC =2，∠BCD =α，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t （秒），将线段CE 绕点C 顺时针旋转α度，得到对应线段CF ，连接BD 、EF ，BD 交EC 、EF 于点P 、Q ． （1）求证：△ECF ∽△BCD ； （2）当t 为何值时，△ECF ≌△BCD ； （3）当t 为何值时，△EPQ 是直角三角形． 28. （本题满分9分） 如图，已知抛物线c bx x y ++- =2 4 1交x 轴于点A （2，0）、B （﹣8，0），交y 轴于点C ，过点A 、B 、C 三点的⊙M 与y 轴的另一个交点为D ． (1)求此抛物线的表达式及圆心M 的坐标； (2)设P 为弧BC 上任意一点（不与点B 、C 重合），连接AP 交y 轴于点N ，请问： AP ·AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)延长线段BD 交抛物线于点E ，设点F 是线段BE 上的任意一点（不含端点），连接AF ．动点Q 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到点F ，再沿线 第27题图 备用图1 备用图2 第26题图 段FB 以每秒5个单位的速度运动到点B 后停止，问当点F 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 历下区2017年九年级二模质量检测 数 学 试 题 答 案 一、选择题（每题3分，共45分） DDADB AABCC ABDCD 二、填空题（每题3分，共18分） 16. ＞ 17. k ＜ 三、解答题 22． (1) 化简：(a －b )2－a (a －2b )． 解：原式＝a 2 －2ab ＋b 2－a 2＋2ab …………………………………………………2第28题图 第28题备用图 分 ＝b 2 …………………………………………………3分 (2) x x 3 32= - 解:)3(32-=x x ……………………………………………………1分 x=9 ……………………………………………………2分 经检验 x=9为原方程的根…………………………………………3分 所以原方程的解为x=9 ……………………………………………4分 23．（1）∵∠OBD=∠ODB . ∴OB=OD ……………………………………………………1分 在△AOB 与△COD 中， OA OC AOB OD OB OD =?? ∠ =∠??=? ∴△AOB ≌△COD （SAS ）……………………………………………………2分 ∴AB=CD. ……………………………………………………3分 （2）解：连接OC ……………………………………………………1分 ∵ CD 与⊙O 相切 ∴OC ⊥CD ……………………………………………………2分 ∵OA=OC,OA=1 ∴OC=1 ∴CD=OC ∴∠COD=45°……………………………………………………3分 ∵OA=OC ∴BAC= 2 1 ∠COD=22.5°………………………………………………4分 24. 设购进A 型服装x 件，B 型服装y 件．…………………………………1分 由题意得601006000 (10060)(160100)3800x y x y +=??-+-=? ，…………………………………5分 解得50 30 x y =?? =?．……………………………………………………7分 答：购进A 型服装50件，B 型服装30件．…………………………………………8分 25．解：（1）∵良有70人，占70%， ∠AOB =∠COD ∴统计图共统计了的空气质量情况的天数为：70÷70%=100（天）；………………1分 （2）如图：条形统计图中，空气质量为“良”的天数为100×20%=20（天），……2分 空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°，………………3分 （3）画树状图得： 6分 7分 8分 26．解：（1）∵点A （m ，3）在直线y ＝ 3 3 x 上 ∴3＝ 3 3 m ，m ＝33，∴点A （33，3）…………………………………1分 ∵点A （33，3）在反比例函数y ＝ k x 上 ∴k ＝33×3＝39 ………………………2分 ∴y ＝ x 3 9 …………………………………3分 (2)直线向上平移8个单位后表达式为：y ＝ 3 3 x +8 ∵AB ⊥OA ，直线AB 过点A （33，3） ∴直线AB 解析式：123+-=x y …………………………………4分 ∴ 12383 3 +-=+x x ∴x=3 ∴B(3,9) …………………………………5分 AB=43 又∵OA=6， ∴tan ∠AOB= 3 3 2634= …………………………………6分 （3）∵△APB∽△AB O ∴ OA AB AB AP = …………………………………7分 即 6 3 43 4= AP ∴AP=8…………………………………8分 ∴OP=14 ∴P （73，7） ……………………9分 27．（1）菱形ABCD 中，BC=CD, ∵旋转， ∴CE=CF ∴ CB CE CD CF = …………1分 又∵∠FCE=∠DCB ∴△FCE ∽△DCB …………2分 （2）由（1）知，△FCE ∽△DCB ， ∴当CE=CB=CD 时，△FCE ≌△DCB I ）E 、D 重合，此时t=0; …………3分 II)如图，过点C 作CM ⊥AD ，当EM=MD 时，EC=CD. Rt △CMD 中，MD=CDcos ∠CDA=5 152? =2 ∴t=ED=2MD=4 ∴当t=0或者4时，△FCE ≌△DCB. …………5分 （3）∵CE=CF ，∴∠CEQ ＜90°. ①当∠EQD=90°时，如图1， ∠ECF=∠BCD ，BC=DC,EC=FC, ∴∠CBD=∠CEF ， 第27题图2 M ∵∠BPC=∠EPQ ， ∴∠BCP=∠EQP=90°. 在Rt △CDE 中，∠CED=90°， ∵ tan ∠ABC=tan ∠ADC=2， ∴DE=2， ∴t=2秒；……………………………………………………7分 ②当∠EPQ=90°时，如图2， ∵菱形ABCD 对角线AC ⊥BD ， ∴EC 和AC 重合. ∴ ∴ ∴当t=2或者 APQ 为直角三角形.……………9分 28．解：（1）将A （2，0）、B （-8，0）两点代入c bx x y ++- =2 4 1得： { 0210 816=++-=+--c b c b …………………………………1分 解得： ? ??-==23 4b c 抛物线的表达式为：42 3 412+--=x x y …………………………………2分 ∴ C(0,4) ∴ BC=45, AC=25 ,AB=10 ∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90° ∵∠ACB=90° ∴AB 为直径 ∴M(-3,0) …………………………………3分 （2）如图: ∵AB 为直径 第28题图 P N ∴∠APB=90°…………………………………4分 ∵∠APB=∠AON, ∠NAO=∠BAP ∴△APB ∽△AON …………………………………5分 ∴ AP AO AB AN = ∴AN ·AP=AB ·AO=20 所以为定值,定值是20. …………………………………6分 （3）过点B 在BE 的下面作射线BI,使∠IBE=∠ABE,BI 交y 轴于点I, 过点A 做AH ⊥BI,垂足为点H,与射线BE 的交点即为运动时间最少时点F 的位置.………7分 过点D 做DK ⊥BI,垂足为K ∵BE 平分∠ABI ∴DK=DO=4,BO=BK=8 设DI=x,则KI=2x-8 ∴16+(2x-8)2 =x 2 4,320 21== x x (舍去) ∴I(0,3 32 -) ∴BI 表达式为:332 34--=x y ∴ AH 表 达 式 为 2 3 43-= x y …………………………………8分 ∵BD 表达式为42 1 --=x y ∴ 42 1 2343--=-x x ∴x=-2 ∴F(-2,-3) …………………………………9分 第28题备用图 F H I K
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