2018江苏高考数学填空中高档题专练
2018.5.22
1.等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________．
2.将函数y ＝sin ????2x ＋π6的图象向右平移φ????0＜φ＜π
2个单位后，得到函数f(x)的图象，
若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．
3.已知函数f(x)＝ax ＋b
x (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1
＝0垂直，且函数f(x)在区间????12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．
4.已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．
5.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝1
3c ，则c
＝____________．
6.已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋x
y ＋1
的最小值为____________．
7.设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝1
3x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx
在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________． 8.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________． 9.已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10.直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．
11.已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．
12.将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点????π6，3
2，则φ
的最小值为____________．
13.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →
＝xAB →＋yAC →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．
14.已知函数f(x)＝e x －
1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________． 15.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为__________．
16.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝____________．
17.已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－2
5，则sin θ＋cos θ＝____________．
18.已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时的n 的值为____________．
19.若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____________．
20.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值
为x 0，则＝____________．
21.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b
的最小值为____________．
22.在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面V AB 的距离为__________．
23.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为____________．
24.对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3
＝1，a 4＝－1，则a 1＝__________．
25.已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为__________．
26.过曲线y ＝x －1
x (x ＞0)上一点P(x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O
是坐标原点，若△OAB 的面积为1
3
，则x 0＝____________．
27.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA →·PB →
≤0，则线段EF 长度的最大值是____________．
28.已知函数f(x)＝?
????－|x 3－2x 2＋x|，x ＜1，
lnx ，x ≥1，若对于
t ∈R ，f(t)≤kt 恒成立，则实数k
的取值范围是____________．
29.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥MPAD 的体积为__________．
30.已知实数x ，y 满足?????4x ＋y ≤10，
4x ＋3y ≤20，
x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值为____________．
31.已知平面向量
a ＝(4x ，2x )，
b ＝
?
???1，2x －22x ，x ∈R .若a ⊥b ，则|a －b|＝__________．
32.已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝4
9，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则
a 7＋a 8＋a 99的值为__________．
(第12题)
33.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →
(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n
的最小值为____________．
34.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．
35.已知函数f(x)＝?
????2x 2－3x ，x ≤0，
e x ＋e 2，x ＞0.若不等式f(x)≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取
值范围是____________．
答案
1.4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4.本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．
2.π3 解析：由函数y ＝sin ????2x ＋π6的图象向右平移φ?
???0＜φ＜π
2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π
2＋k π，而φ为锐角，则k ＝
－1时φ＝π
3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．
3.23 解析：函数f(x)＝ax ＋b x
(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间????12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间???
?1
2，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b ≤2
3
.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的
运用以及恒成立问题．本题属于中等题．
4.73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝2
3
，则有b －a ≤1，即b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞2
3
时，函数f(m)
在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a
＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜2
3
时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)
＝b －a ≤1，则b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为7
3
.本题主要考查
在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．
5.1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinB
cosB
，结合正、余弦定理转化为边的关系，有
2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b 2
，化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、
余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．
6.54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x
＋11＋
2y x
，设y
x ＝t ＞0，
则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t ＋1]≥1
4×
2
（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54
，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．本题主要考
查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．
7.12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝1
3x 3－2ax 在区间(a ，b)上单调减，故
x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a ≤0，即
a ≥
b 2
2
，而b ＞a ，所以b ∈(0，
2)，b －a ≤b －b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为1
2.本题主要考查二次函
数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.
8.4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．
9.2
3
π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝2
3
π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属
于容易题．
10.－2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．
11.(0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0
12.π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵图象过点???
?π6，3
2，∴
sin ????π3＋2φ＝3
2
，∴π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋
k π，k ∈Z .∵φ>0，∴φ的最小值为π
6
.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于
中等题．
13.58 解析：∵AO 为△ABC 的角平分线，∴存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ
?
?????AB →||AB
→＋AC →||
AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴?
??1
2λ＝x ，1
3
λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD
→
＋yAC →
.∵C 、O 、D 三点共线，∴2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴x ＋y ＝58
.本题考
查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．
14.[2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －
1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴x 1＝1，
则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴x 2
－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴a ＝x 2＋3x ＋1
在x ∈[0，
2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4
t
－2在[1，2]上递
减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴a 的取值
范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．
15.1
6
解析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，则事件“两次向上的数字之和等于7”共有6种，则其发生的概率为1
6
.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易
题．
16.5 解析：三个圆锥的底面周长分别为53π，10
3
π，5π，则它们的半径r 1，r 2，r 3依
次为56，53，5
2，则r 1＋r 2＋r 3＝5.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系．本
题属于容易题．
17.－3125 解析：由sin θ－2cos θ＝－2
5，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin
θ＝－2425，cos θ＝－725，则sin θ＋cos θ＝－31
25.本题考查同角的三角函数关系．本题属于
容易题．
18.5或6 解析：由a 5＝15，a 10＝－10，得d ＝－5，则a n ＝40－5n ，T n ＝3(a n ＋a n ＋5)＝15(11－2n), 则|T n |取得最小值时的n 的值为5或6.本题考查了等差数列的通项公式以及性质．本题属于中等题．
19.18 解析：由直线l 1和直线l 2将圆分成长度相等的四段弧，r ＝22，知：直线l 1和直线l 2之间的距离为4，圆心到直线l 1、直线l 2的距离都为2，可得a ＝22＋1，b ＝1－22，则a 2＋b 2＝18.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式．本题属于中等题．
20.1
2
解析：由|sinx|－kx ＝0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y ＝kx 与y ＝|sinx|相切，设切点为(x 0，y 0)，由导数的几何意义和斜率公式得－cosx 0＝y 0
x 0
，即得tanx 0＝x 0，
.本题综合考查了函数的图象变换，导数的几何意义和斜率公式，三角变换等内容．本题综合性强，属于难题．
21.4＋423 解析：将b ＝14a 代入y ＝11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1，其中14 ＝1（1－a ）2－8（4a －1）2＝0，则a ＝－12＋342，代入y ＝11－a ＋21－b ，得y 的最小值为4 ＋423 .本题综合考查了代数式变形，以及利用导数求最值．本题属于难题． 22.33 解析：设O 到平面V AB 的距离为h ，由V VOAB ＝V OV AB 得13×????12×1×1×1＝1 3 ×????12 ×2×2×32×h ，则h ＝33.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题． 23.1＋32 解析：设AB ＝BC ＝2，由题意知2c ＝2，23－2＝2a ，则c ＝1，a ＝3－1， 则双曲线的离心率为1＋3 2 .本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题． 24.8 解析：b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，由b 3－b 2＝1，则b 2＝－3，而b 2＝a 3－a 2＝－3，得a 2＝4.又b 2－b 1＝1，则b 1＝－4，而b 1＝a 2－a 1＝4－a 1＝－4，则a 1＝8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题． 25.? ??? 0，233 解析：设△ABC 中，a ＝|β|＝1，A ＝60°，|α|＝c ，由正弦定理得a sinA ＝ c sinC ，则asinC sinA ＝c ，即c ＝233sinC.又0 ???0，233，则α的模的取值范围为? ??? 0，233.本题考查了利用正弦定理将向量问题转化成解三角形问题，属于中等 题． 26.5 解析：题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 27.14 解析：因为圆心C 到直线l 的距离d ＝32 2 >2，所以直线l 与圆C 相离．因为 点P 在直线l 上，两点A ，B 在圆C 上，所以|PA →|>0，|PB →|>0.因为PA →·PB →＝|PA →|·|PB → |·cos θ≤0，所以cos θ≤0，所以PA →与PB → 的夹角∠APB 为钝角或直角．因为圆C 上存在两点A ， B ，使得PA →·PB → ≤0，所以只要PA ，PB 分别与圆C 都相切时使得∠APB 为钝角或直角，此时点P 所在的线段长即为线段EF 长度的最大值．当PA ，PB 分别与圆C 都相切时，在Rt △CAP 中，当∠APB 为直角时，∠CPA ＝45°，CA ＝2，则PC ＝2 2.所以，线段EF 长度的最大值为2PC 2－d 2＝2 （22）2－??? ? 3222 ＝14.本题考查了直线与圆的位置关系、向 量数量积等内容．本题属于难题． 28.????1e ，1 解析：①当t ≥1时，f(t)＝lnt ，即lnt ≤kt 对于t ∈[1，＋∞)恒成立，所以k ≥lnt t ，t ∈[1，＋∞)．令g(t)＝lnt t ，则g′(t)＝1－lnt t 2，当t ∈(1，e)时，g ′(t)>0，则g(t)＝lnt t 在t ∈(1， e)时为增函数；当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t)<0，则g(t)＝lnt t 在t ∈(e ，＋∞)时为减函数．所以 g(t)max ＝g(e)＝1e ，所以k ≥1 e .②当0 恒成立，所以k ≥－(t －1)2，t ∈(0，1)，所以k ≥0.③当t ≤0时，f(t)＝t(t －1)2，即t(t －1)2 ≤kt 对于t ∈(－∞，0]恒成立，所以k ≤(t －1)2，t ∈(－∞，0]，所以k ≤1.综上，1 e ≤k ≤1. 本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题． 29.3 解析：三棱锥MPAD 的底面MAD 的面积为3，高PA ＝3，则体积为3，本题主要考查锥体的体积公式，属于容易题． 30.7.5 解析：作出可行域发现最优解为???? 54，5，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题． 31.2 解析：由4x ＋2x －2＝0，得2x ＝1，所以x ＝0，则a －b ＝(0，2)，|a －b|＝2.本题考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题． 32.117 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则4 9 q 2 ＋49q 4＝40，则q ＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝49＋40，a 1＋a 2＋a 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝4 9 ＋40，得a 1＋a 2＋a 3＝139，则a 7＋a 8＋a 99＝19(a 1＋a 2＋a 3)q 6＝19×13 9 ×93＝117.本题考查了等比数列中 的整体思想求和，属于中等题．
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