一次函数技巧及练习题含答案
一、选择题
1．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(2
3
，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是
49小时或8
9
小时. 正确的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，确定①-③正确，当两人相距10千米时，应有3种可能性． 【详解】
解：根据题意可以列出甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数关系得: y 甲=-15x+30
y 乙=()()3001306012x x x x ?≤≤??-+≤≤??
由此可知，①②正确． 当15x+30=30x 时， 解得x=
2,3
则M 坐标为（
2
3
，20），故③正确． 当两人相遇前相距10km 时， 30x+15x=30-10 x=
49
， 当两人相遇后，相距10km 时， 30x+15x=30+10，
解得x=
8
9
15x-（30x-30）=10
得x=
43
∴④错误．
选C ． 【点睛】
本题为一次函数应用问题，考查学生对于图象分析能力，解答时要注意根据两人运动状态分析图象得到相应的数据，从而解答问题．
2．如图，直线l 是一次函数y=kx+b 的图象，若点A （3，m ）在直线l 上，则m 的值是（ ）
A ．﹣5
B ．
32
C ．
52
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，求出解析式，再将A （3，m ）代入，可求得m. 【详解】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，得
20
1k b b -+=??
=?
， 解得121
k b ?=???=?
所以，一次函数解析式y=1
2
x+1， 再将A （3，m ）代入，得
m=
12×3+1=52. 故选C.
【点睛】
本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
3．一次函数y=ax+b与反比例函数
a b
y
x
-
=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标
系中的图象可以是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a?b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，
∴a?b<0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a ?b>0，
∴反比例函数y=
a b
x
-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0， 满足ab>0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选C. 【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小
4．一次函数y x 1=-+的图象不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据一次函数y x 1=-+中k 1=-，b 1=判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【详解】
解：Q 一次函数y x 1=-+中k 10=-<，b 10=>，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案选：C ． 【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数()y kx b k 0=+≠中，当k 0<，b 0>时，函数图象经过一、二、四象限．
5．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =1
x
（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ） A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B 【解析】 【分析】
分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可． 【详解】
解：（1）y =x 是一次函数，符合题意；
（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；
（3）y=1
x
是反比例函数，不符合题意；
（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；
（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；
故是一次函数的有3个．
故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
6．甲、乙两人一起步行到火车站，途中发现忘带火车票了，于是甲立刻原速返回，乙继续以原速步行前往火车站，甲取完火车票后乘出租车赶往火车站，途中与乙相遇，带上乙一同前往，结果比预计早到3分钟，他们与公司的路程y（米）与时间t（分）的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）
A．他们步行的速度为每分钟80米；B．出租车的速度为每分320米；
C．公司与火车站的距离为1600米；D．出租车与乙相遇时距车站400米.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图中一条函数的折返点的纵坐标是480，我们可得知，甲走了480米后才发现了没带票的，然后根据返回公司用时12分钟，速度不变，可以得出他的速度是80米/分钟，甲乙再次相遇时是16分钟，则可以得出相遇时，距离公司的距离是1280米，再根据比预计早到3分钟，即可求出各项数据，然后判别即可．
【详解】
解：根据题意，由图可知，甲走了480米后才发现了没带票，返回公司用时12分钟，行进过程中速度不变，
即：甲步行的速度为每分钟480
80
6
=米，乙步行的速度也为每分钟80米，
故A正确；
又∵甲乙再次相遇时是16分钟，
∴16分乙共走了80161280
?米，
由图可知，出租车的用时为16-12=4分钟，∴出租车的速度为每分12804320
?米，
故B 正确；
又∵相遇后，坐出租车去火车站比预计早到3分钟， 设公司与火车站的距离为x 米， 依题意得：
12380320
x x =++，解之得：1600x ， ∴公司与火车站的距离为1600米，出租车与乙相遇时距车站1600-1280=320米. 故C 正确，D 不正确． 故选：D ． 【点睛】
本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．要注意题中分段函数的意义．
7．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的
10
7
继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S （单位：km ）和大客车行驶的时间t （单位：min ）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（ ）
①学校到景点的路程为40km ； ②小轿车的速度是1km /min ； ③a ＝15；
④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要10分钟才能到达景点入口．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 解：由图象可知，
学校到景点的路程为40km ，故①正确，
小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，
大客车的速度为：15÷30＝0.5km/min，
当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷
10
(0.5)
7
﹣（40﹣15）÷1＝10分
钟才能达到景点入口，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3),则不等式2x ax+4
<的解集为（）
A．
3
x
2
>B．x3
>C．
3
x
2
< 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m，解得m=3 2 ． ∴点A的坐标是（3 2 ，3）． ∵当 3 x 2 <时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方， ∴不等式2x＜ax+4的解集为 3 x 2 <． 故选C． 9．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用y(单位：元)与行驶里程x(单位：千米)的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为( ) A．33元B．36元C．40元D．42元 【答案】C 【解析】 分析：待定系数法求出当x≥12时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值即可．详解：当行驶里程x?12时，设y=kx+b， 将(8,12)、(11,18)代入， 得： 812 1118 k b k b += ? ? += ? ， 解得： 2 4 k b = ? ? =- ? ， ∴y=2x?4， 当x=22时，y=2×22?4=40， ∴当小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为40元. 故选C. 点睛：本题考查一次函数图象和实际应用. 认真分析图象，并利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键. 10．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( ) A．甲的速度为20km/h B ．甲和乙同时出发 C ．甲出发1.4h 时与乙相遇 D ．乙出发3.5h 时到达A 地 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地． 【详解】 解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误； B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误； C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+， 所以：111 60 20b k b =??+=?， 解得113060k b =-??=? 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+； 设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+， 所以：22220.503.560k b k b +=?? +=?， 解得 22 2010k b =??=-? 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-， 所以：30602010y x y x =-+??=-?， 解得 1.4 18x y =?? =? ∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 11．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G 2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①当G 1与G 2有公共点时，y 1随x 增大而减小； ②当G 1与G 2没有公共点时，y 1随x 增大而增大； ③当k ＝2时，G 1与G 2平行，且平行线之间的距离为． 下列选项中，描述准确的是（ ） A ．①②正确，③错误 B ．①③正确，②错误 C ．②③正确，①错误 D ．①②③都正确 【答案】D 【解析】 【分析】 画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答． 【详解】 解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示， N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点， 易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1）， 直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确； 当G1与G2没有公共点时，分三种情况： 一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求； 二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意； 三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确； 当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2， ∴PM＝2PN， 由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2 ∴（2PN）2+（PN）2＝9， ∴PN＝， ∴PM＝. 故③正确． 综上，故选：D． 【点睛】 本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质 逐条分析解答，难度较大． 12．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点（1，0）作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为（ ） A ．（21009，21010） B ．（﹣21009，21010） C ．（21009，﹣21010） D ．（﹣21009，﹣21010） 【答案】D 【解析】 【分析】 写出一部分点的坐标，探索得到规律A 2n +1[（﹣2）n ，2×（﹣2）n ]（n 是自然数），即可求解； 【详解】 A 1（1，2），A 2（﹣2，2），A 3（﹣2，﹣4），A 4（4，﹣4），A 5（4，8），… 由此发现规律： A 2n +1[（﹣2）n ，2×（﹣2）n ]（n 是自然数）， 2019＝2×1009+1， ∴A 2019[（﹣2）1009，2×（﹣2）1009]， ∴A 2019（﹣21009，﹣21010）， 故选D ． 【点睛】 本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键． 13．如图，已知一次函数2y kx =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，与正比例函数1 3 y x =交于点C ，已知点C 的横坐标为2，下列结论：①关于x 的方程20kx +=的解为 3x =；②对于直线2y kx =+，当3x <时，0y >；③直线2y kx =+中，2k =-；④方程组302y x y kx -=??-=?的解为2 23x y =?? ?=?? ．其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 把正比例函数与一次函数的交点坐标求出，根据正比例函数与一次函数的交点先把一次函数的解析式求解出来，再分别验证即可得到答案. 【详解】 解：∵一次函数2y kx =+与正比例函数1 3y x =交于点C ，且C 的横坐标为2， ∴纵坐标：112 2333 y x ==?=， ∴把C 点左边代入一次函数得到：2 223 k =?+， ∴23k =- ，22,3C ?? ??? ①∵2 3 k =- ， ∴2 2023 kx x +==-+， ∴3x =，故正确； ②∵23 k =- ， ∴直线2 23 y x =- +， 当3x <时，0y >，故正确； ③直线2y kx =+中，2 3 k =- ，故错误； ④30223y x y x -=????? --= ? ?? ??， 解得2 23x y =???=?? ，故正确； 故有①②④三个正确； 故答案为C. 【点睛】 本题主要考查了一次函数与正比例函数的综合应用，能正确用待定系数法求解未知量是解题的关键，再解题的过程中，要利用好已知信息，比如函数图像，很多时候都可以方便解题； 14．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（1 2 ， 1 2 m），则不 等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（） A．x>1 2 B． 1 2 3 2 C．x< 3 2 D．0 3 2 【答案】B 【解析】【分析】 由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜3 2 ；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞ 1 2 ，进而 得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为1 2 ＜x＜ 3 2 ． 【详解】 把（1 2 ， 1 2 m）代入y1=kx+1，可得 1 2m= 1 2 k+1， 解得k=m﹣2， ∴y1=（m﹣2）x+1， 令y3=mx﹣2，则 当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1， 解得x＜3 2 ； 当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx， 解得x＞1 2 ， ∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为1 2 ＜x＜ 3 2 ， 故选B． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直 线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k < B ．2k > C ．0k > D ．k 0< 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k 的取值范围． 【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y 随x 的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k ＞2， 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小． 16．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的质量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 通过（0，2）和（100，4）利用待定系数法求出一次函数的解析式，再对比图象中的折点即可选出答案. 【详解】 解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为y=k x +b ，代入点（0,2）和点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为y=0.02x +2.显然当y=7.5时，x =275，故选B. 此题主要考查函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式． 17．若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=ax+c 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 ∵a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，（b 的正负情况不能确定也无需确定）． a ＜0，则函数y=ax+c 图象经过第二四象限，c ＞0，则函数y=ax+c 的图象与y 轴正半轴相交， 观察各选项，只有A 选项符合.故选A. 【详解】 请在此输入详解！ 18．在平面直角坐标系中，函数2(0)y kx k =≠的图象如图所示，则函数232y kx k =-+的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【分析】 根据函数图象易知k 0<，可得32k 0-+<，所以函数图象沿y 轴向下平移可得． 【详解】 解：根据函数图象易知k 0<， ∴32k 0-+<， 故选：C ． 【点睛】 此题主要考查一次函数的性质与图象，正确理解一次函数的性质与图象是解题关键． 19．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将 OAB ?沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B '的坐标为（ ） A ．(3,2)- B ．(63,3)- C ．(6,2)- D ．(63,2)- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据已知条件求出点A 、B 的坐标，再求出直线OA 的解析式，继而得出点A '的纵坐标，找出点A 平移至点A '的规律，即可求出点B '的坐标． 【详解】 解：∵三角形OAB 是等边三角形，且边长为4 ∴(23,2),(0,4)A B - 设直线OA 的解析式为y kx =，将点A 坐标代入，解得：33 k =- 即直线OA 的解析式为：3y x = 将点A '的横坐标为34y =- 即点A '的坐标为(43,4)- ∵点A 向右平移636个单位得到点A ' ∴B '的坐标为(063,46)(63,2)+-=-． 故选：D ． 【点睛】 本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键． 20．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行于x 轴）．下列说法正确的是（ ）． ①从开始观察时起，50天后该植物停止长高； ②直线AC 的函数表达式为1 65 y x = +； ③第40天，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米． A ．①②③ B ．②④ C ．②③ D ．①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC 线段的解析式， ③把x=40代入②的结论进行计算即可得解； ④把x=50代入②的结论进行计算即可得解． 【详解】 解：∵CD ∥x 轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故①的说法正确； 设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0）， ∵经过点A （0，6），B （30，12）， ∴3012 6 k b b +=?? =?， 解得：156k b ?=? ??=?， ∴直线AC的解析式为 1 6 5 y x =+（0≤x≤50）， 故②的结论正确； 当x=40时， 1 40614 5 y=?+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确； 当x=50时， 1 50616 5 y=?+=， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故④的说法错误． 综上所述，正确的是①②③． 故选：A. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 中考一次函数应用题 近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由 于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例， 也许对你有所帮助。 例1 已知雅美服装厂现有 A 种布料70 米，B 种布料52 米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80 套。已知做一套M型号的时装需要 A 种布料0. 6 米，B种布料0.9 米，可获利润45 元；做一套N型号的时装需要A种布料 1.1 米，B 种布料0. 4 米，可获利润50 元。若设生产N种型号的时装x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y 元。 套数为 （1）求y 与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 例2 某市电话的月租费是20 元，可打60 次免费电话（每次 3 分钟），超过60 次后，超过部分每次0. 13 元。 （1）写出每月电话费y （元）与通话次数x之间的函数关系式； （2）分别求出月通话50 次、100 次的电话费； （3）如果某月的电话费是27. 8 元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广州， 这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50 节，已知用一节 A 型货厢的运费是0. 5 万元，用一节 B 型货厢的运费是0.8 万元。 （1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A 型货厢的节数为x（节），试写出y 与x之间的 函数关系式； （2）已知甲种货物35 吨和乙种货物15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物25 吨和乙种货物35 吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 正比例函数 （一）按下列要求写出解析式． （1）圆的周长L 随半径r 的大小变化而变化,L 与r 的关系式为_________________； （2）．铁的密度为7．8g/cm 3．铁块的质量m （g ）随它的体积V （cm 3）的大小变化而变化,V 与m 关系式为______________； （3）每个练习本的厚度为0．5cm ．一些练习本摞在一些的总厚度h （cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化,h 与n 的关系式为___________； （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t （分）的变化而变化,T 与t 的关系式为______________。 一般地，形如 kx y = （k 是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。 练习：1、下列函数钟，那些是正比例函数？______________ （1）x y 4 = （2）13+=x y （3）1=y （4）x y 8= （5）t v 5-=（6）013=+x （7）)81(82x x x y -+= 2、关于x 的函数x m y )1(-=是正比例函数，则m__________ （二）画出下列正比例函数 （1）x y 2= （2）x y 3-= 比较上面两个图像，填写你发现的规律： （1） 两个图像都是经过原点的 __________， （2） 函数y=2x 的图像经过第______象限，从左到右__ ___， 即y 随x 的增大而______； （3） 函数y=-3x 的图像经过第__ __象限，从左到右______， 即y 随x 的增大而______； 从关注学生发展谈《一次函数》教学建议 发表时间：2010-12-21T13:55:36.167Z 来源：《中国校园导刊》2010年第11期供稿作者：张韬[导读] 本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。【摘要】：本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。在教学实践中，建议教师应该灵活处理教材，挖掘教材知识，精心设计函数作图题，引导学生探究规律（并非偶然），从而得出结论。既夯实了学生的基础，体验了探究过程，也锻炼了探究能力，拓 展了学生思维，关注了学生今后的发展。【关键词】：关注发展、挖掘、探究、夯实、拓展。 湘教板教材中“一次函数”安排在八年级上册的第二章，开篇从实际生活入手从而展开全章教学。本章内容有：函数和它的表示法，一次函数和它的图象，建立一次函数模型。 本章的重难点是一次函数的图象及其性质和建立一次函数模型。它是继第一章学习“平面直角坐标系”后对匀速变化的数量关系的研究，也是九年级学习二次函数的基础，更是今后继续研究数形结合的重要起点。而教材在研究一次函数和它的图象时，似乎过于简单：对正比例函数y=kx(k≠0)的图象及其性质没有给出任何结论，只是在讲解例1“画出正比例函数y=-2x的图象”后提出了这样的问题“想一想，任何一个正比例函数y=kx(k≠0)的图象都是经过原点的一条直线吗？你能说出理由吗？”而对一次函数y=kx+b(k≠0)的图象及其性质也只是简单地总结为“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，当k＞0时，函数值随自变量的增加而增大；当k＜0时，函数值随自变量的增加而减小。”本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。在教学实践中，教师应该灵活处理教材，深层次地挖掘知识规律，充分关注学生今后的发展。本文就一次函数的图象及其性质的教学，谈谈本人的经验所得，讫求同行磋商。 在教学中，建议教师深层次地挖掘教材知识，精心设计函数作图题，引导学生探究规律（并非偶然），从而得出下列结论： 一、正比例函数y=kx(k≠0)的图象及其性质： 1、图象是经过（0，0）的一条直线。 2、当k＞0时，图像经过第一、三象限，呈左低右高趋势，y随x的增大而增大（是增函数）。 当k＜0时，图像经过第二、四象限，呈左高右低趋势，y随x的增大而减小（是减函数）。 二、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象及其性质： 1、图象是经过（0，b）的一条直线。 2、当k＞0时，b＞0图像经过第一、二、三象限，b＜0图像经过第一、四、三象限，且图象都呈左低右高趋势，y随x的增大而增大（是增函数）。 当k＜0时，b＞0图像经过第二、一、四象限，b＜0图像经过第二、三、四象限，且图象都呈左高右低趋势，y随x的增大而减小（是减函数）。 三、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平移规律： 1、图象向上平移m个单位，得到直线y=kx+(b+m)。 2、图象向下平移m个单位，得到直线y=kx+(b-m)。 3、图象向左平移m个单位，得到直线y=k（x+ m）+b。 4、图象向右平移m个单位，得到直线y=k（x- m）+b。 四、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2关于x轴对称则k1+ k2=0且b1+b2=0，关于y轴对称则k1+ k2=0且b1=b2。。 五、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2互相平行则k1= k2，互相垂直则k1 k2= -1。 六、直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴围成的三角形面积= 七、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交 1、若两直线都与x轴相交，则三交点组成的三角形面积= 2、若两直线都与y轴相交，则三交点组成的三角形面积= 如此教学，既夯实了学生的基础，体验了探究过程，也锻炼了探究能力，更重要的是培养了学生大胆探究和勇于创新的精神，拓展了学生思维，关注了学生今后的发展。 (贵州省铜仁地区印江县刀坝中学贵州铜仁) 例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 __________。 一次函数知识点复习与考点总结 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 1、已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 浙教版八年级（上）第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 （一）注重函数建模过程，降低函数抽象图形分析的难度，融合方程、不等式、函数的统一 （二）本章教材设计，体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例，让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式：解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数，使学生了解一次函数的有关性质，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标： 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力，经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计： 第一节：常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量，并能举出常量、变量之间关系的例子，获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点：认识常量与变量。 难点：理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海，引出问题：什么量不变，什么量在变，再根据合作学习，探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题，在运算的过程中，让学生感觉变与不变，从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节：认识函数 【教学目标】 （1）初步了解函数的概念，明确函数中两个变量之间的关系。 （2）了解函数常用的三种表示方法，会列简单实际问题的函数解析式；会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点：建立函数观念，掌握求函数解析式。 难点：函数概念的理解，函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时， ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图，跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景，使学生明确“给定其中某一个 变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念， 同时也明确了函数的三种表示方式，对于函数的概念，只要学生能结合具体情境， 体会到函数的概念即可，不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练．建议把P154骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数 关系图象，并设置问题情境，放入合作学习中，作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子，通过几何（等腰三角形）与 代数应用（游泳池换水）问题，使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围，想一想提出的问题很及时，让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间，又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节：一次函数 【教学目标】 （1）使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念，能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 （2）会求正比例函数、一次函数的解析式。 （3）会求一次函数的值，会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。 第十九章《一次函数》内容分析与教学建议 广州市真光中学苏国东 一、教材分析 （一）本章地位和作用 函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一。本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习二次函数和反比例函数的基础。 对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习而不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解又决定了具体的一次函数、反比例函数、二次函数的学习能否顺利地进行。 一次函数是学生接触的第一类具体函数形式，由具体实例抽象出统一的函数形式、利用函数图像归纳函数性质、利用函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。 变化对应、数形结合等思想方法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学生加深认识。 （二）新版教材的变动 《一次函数》在旧版教材中是在初二上学期学习的内容，《反比例函数》是在初二下学期学习的内容。而在新版教材中《一次函数》移至初二下学期，《反比例函数》移至初三下学期，使学生学习函数的难点后移。 新旧教材本章内容与课时安排有所调整，“用函数观点看方程（组）与不等式”并入“一次函数”一节，题目作了修改。19.1节是基础部分，19.2节是重点内容，19.3节是拓展提高部分。具体如下： k 的性质显得更为妥当。 二、本章知识结构框图 三、内容分析 （一）函数的相关概念 1．理解函数的概念及对应关系：①两个变量相互联系，一个变量发生变化时另一个变量也随之变化；②函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的。 2．能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围（使解析式有意义、实际问题有意义），给出自变量的一个值，会求出相应的函数值（学生对函数与函数值可能混淆）。 3．能较准确地画出简单函数的图象，学会利用图象分析变量之间的数量关系。函数图象直观反映变量间的单值对应关系，提供了数形结合地研究问题的方法。对一些无法用解析式表达的函数，图象充当重要角色。 （二）一次函数 1．理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质，注意。 解析式 y kx =（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 全体实数 图 象 形状 过原点和（1，k ）点的一条直线 k 的取值 0k > 0k < 位置 经过一、三象限 经过二、四象限 趋势（从左向右） 上升 下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 （1）对正比例系数k 的理解：x k = ，与小学学过的正比例关系一致，只是小学的比值不涉及负数。 （2）对增减性的研究除了通过观察图象，对有条件的学生可给出证明方法：对任意21x x <，)(212121x x k kx kx y y -=-=-，根据k 的正负得出21y y 和的大小。 从数形两方面加深对这个性质的理解。 （3）有条件的学校可补充k 对直线倾斜程度的影响。k 越大， 图像越靠近y 轴，函数变化速率越大。对k 的研究可采用右图方式。 2．理解一次函数的概念和特征，能正确画出图象，注意一次函 数y kx b =+的解析式、图象、性质等方面与正比例函数y kx =的异 同，从特殊到一般地认识问题。理解k 、b 对一次函数y kx b =+的 影响。解析式 y kx b =+（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 全体实数 图 象 形状 过（0，b ）和（b k - ，0）点的一条直线 k 、b 的取值 0k > 0k < 0b > 0b < 0b > 0b < 位置 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势（从左向右） 上升 下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 （1）k 决定直线的趋势（倾斜程度），b 决定它与y 轴交点位置，k 、b 共同决定直线经过哪几个象限。注意看图识性，体现数与形的互化。 （2）对于y kx b =+和y kx =，从数来看，常数项有区别，其余部分相同，因此对x 的任一值，两函数值的差恒为一常数；从形来看，两图象上横坐标相同的点纵坐标总相差同一值，一图象总比另一图象高出同一高度。这就把以前学习的图象平移与函数图象联系起来。 （3）建议补充：两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系与系数的关系： 一次函数应用题的解题方法 核心提示：一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误较多。但是只要掌握了以下3种解题方法，任何与一次函数应用题有关的问题都能迎刃而解。 一.使用直译法求解一次函数应用题 所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。 例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。 甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本； 乙：按购买金额打9折付款。 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。 （1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x 之间的函数关系式。 （2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。 （3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。 分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。 解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10） y乙=10×25×+5××x=+225（x>=10） （2）由（1）有：y甲-y乙= 若y甲-y乙=0 解得x=50 若y甲-y乙>0 解得x>50 若y甲-y乙<0 解得x<50 当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多， 即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选 择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办 法付款省钱。 （3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。 则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费 用为y=25a+25××（10-a）+5××（60-a）=495-2a。故当a最大（为10） 时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练 习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最 省钱。 说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。 二.使用列表法求解一次函数应用题 列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。 例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。 （1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案请你设计出来。 （2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少 分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B 两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。 解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件 产品每件产品需要甲种原料（kg）每件产品需要乙种原料（kg）每件产品利润（元）件数 A93700x B410120050-x 一次函数应用题专题训练 1．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x 之间的函数关系． （1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 2．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）． （1）求a的值． （2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数． （3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？ 3.在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．． 分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示． （1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围． 4.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. ⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ ⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工. ①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式； ②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？ O y/km 90 30 a 0.5 3 P 甲 乙 x/h 教案学情分析一次函数 一、知识点的地位与作用 一次函数是初中阶段学生所要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础。由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题。 二、教材分析与学情分析 1、教材分析 由于一次函数与现实生活联系密切，在引入一次函数概念时，教材充分考虑概念的实际背景与形成过程，通过学生较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中变量关系的变化规律，使学生领会和理解函数的基本概念及其思想方法。同时，淡化对函数概念过分形式化的定义，使学生对一次函数的认识从感性认识 上升到理性认识，增强他们对一次函数的应用意识。 研究一次函数离不开对图象特征的研究，数形结合思想是学习一次函数时必须体现的一种重要思想。教材通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画 图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，便于学生掌握正确的学习方法，逐步形成解决一次函数问题的技能。 运用一次函数解决实际问题时，考虑的面比较广，需要结合一次函数的解析式、图象和性质，有时会遇到比较复杂的问题情境，不但需要结合图象特征，还要进行数学建模，如运用方程、不等式等其他数学模型解决问题。所以，运用一次函数的知识解决复杂的实际问题对部分学生来说有一定的困难，需要选择适当的方法给予引导、突破。 2、学情分析 学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变，这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识，加上参阅书本知识，画出相应的函数图象解决，看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象问的内在联系运用薄弱些，需要多练、多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面： 将复杂问题情境转化为一次函数图象； 一次函数教学反思 本节课的教学方法主要有讲练结合，自主探究，小组讨论等，教学中让学生积极主动参与知识的形成过程，体验到新知识往往建立在旧知识的基础上，并且与一些旧知识还存在着紧密的联系，放手让学生运用转化的思想方法进行操作，使学生有效地理解和掌握一次函数的概念和应用，同时让他们获得了数学思想方法，并培养了学生探索问题的能力．教学设计主要渗透转化的数学思想方法、数形结合的思想方法以及函数与不等式思想方法，让学生体验利用一次函数及其图象解决不等式的过程，发展学生的数学应用能力；体验函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系；能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力． 在处理典型例题练习中，发现绝大多数学生对于简单题型能自己解答，而一部分学生对稍作变式的题目易错，透露出了思维不灵活，应变能力弱等不足。所以要让不同水平的学生在同一节课中得到应有的发展，课前必须对每一个环节，每一个题型，每一个学生作充分地细致地研究。 1、备课中体会教材的编写意图，把握课标的基本要求，大胆对一次函数解析式和图象的实际应用内容进行整合，并结合学生生活实际编写问题，即点燃了学生学习的激情，又体现了数学的应用价值，再加上由浅入深的问题设置和自然过渡，为提高课堂学习效率奠定了基础。 2、教学中坚持学生的主体地位，积极引导学生独立思考、交流互动，给学生提供足够的时间和空间动手操作，展示成果，讲解思路，提出疑问，交流看法，完善答案。充分信任学生，尽力做到了学生能讲的教师不讲，学生讲对的不再重复。使学生切身体验知识的形成、巩固和应用过程，实现教学目标。 3、回顾教学过程，学生回答问题都是积极主动的，学生的思维经历了一次函数应用中的探究，最后自我反馈，使学生主动的、活泼的、有个性的动手动脑，进而发展思维、学会学习。 本节课安排了两个内容：一是探索一次函数与不等式的关系，这是本节的重点；二是综合运用函数与方程、不等式的关系解不等式，这是本节的难点。 教学中先让学生把一个具体的不等式转化成一次函数，再通过画图来揭示不等式与一次函数之间的关系，然后在同一坐标系中画出直线，观察、思考得到不等式与一次函数之间的关系，进而得到不等式的解集与两条直线交点坐标之间的关系，这些都为从函数的观点认识解不等式。学生经历了前面的探究学习后，很自然从"形"的角度来认识解方程组。为了帮助学生从"数"的角度来认识解方程组，教师设计一个练习，先让学生体验再引导学生归纳结论，使学生的思维活跃起来。这种呈现知识的形式符合学生的认知规律。 在例题的教学中，引导学生分析题意，建立函数模型，然后让学生讨论交流比较大小的方法.对于利用图象比较大小的两种方法，第一种是让学生独立画图，分析比较，然后强调自变量的取值范围；对于第二种方法，着重引导学生作差得到一个新函数，并把要解决的问题设计成填空的形式，让学生结合画图分析完成。 本节课主要在把握教材的编写意图下功夫，并结合实际，不误时机地对学生进行"数形结合"思想方法的教学，让学生在动口、动手、动脑的过程中体会四个"一次"之间的关系。同时注重知识形成过程的教学，突出学生活动这条主线，辅以多媒体教学，师生互动、生生互动，来体现了"以人为本"的教学理念。 授课过程中的几点不足：1、在教学时间安排上欠缺。有前松后紧的情况出现，特别是最后一道练习题引导学生进行探究思考的时间不够，而且没有利用多媒体给出标准的答案。 一次函数经典应用题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案） 4．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离． 5．邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 村到县城共用多长时间？ 6．星期天8：00~8：30员以每车20立方米的加气量，依次 给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立 方米的天然气？ （2）当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y （立方米） 与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． 分 小 一次函数教学案例分析 申昌林 郎溪县姚村中学 一：教学背景： 数学教学的生活性，就是教师捕捉生活中的数学现象，在教学中联系生活实际，挖掘数学知识的生活内涵，让数学更多地联系实际，贴近生活，达到生活材料数学化，数学教学生活化。从生活实际出发，把教材内容与生活现象有机结合起来，注重实践第一，数形有机结合，培养学生的观察能力、思维能力、应用能力，从而更好地增强学生学好数学的内驱力，激发起学习数学的浓厚兴趣。 下面就一次函数教学案例分析如下： 二：教材分析： 本节课是在学生已经学会从单个一次函数的图象中分析获取信息，进而解决有关实际问题的基础上展开的一堂实践与探索的探索课。因此本节课的知识目标：能写出生活实际问题中一次函数关系的解析式；通过结合函数图象揭示函数的性质，培养学生观察、比较、应用能力；渗透函数的数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的能力。能力目标：选择处理生活信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；能从不同角度寻求解决问题的方法，结合具体情况大胆地提出问题；具有数形结合解决实际问题的能力。情感目标：乐于与他人合作，乐于接受生活中的数学信息，积极参与讨论，敢于发表自己的见解。重点是观察坐标系中图象性质及变化规律，怎样从函数图象的比较、分析中提取有用信息，弄清两者之间的关系，概括出函数图象运动变化的规律，进而用“数形结合”的思想 与方法解决实际问题，切实提高学生的识图能力和解决问题能力。难点是怎样抓住有力的特征去分析、比较。 三：教法分析：本节课是以学生熟悉的一次函数的图象及性质为铺垫,以学生感兴趣的生活现象为素材，以交流合作、自主探索为主要形式展开学习内容的。 四：教学过程： 1：问题导入：（教师运用多媒体投影） 例1：如图，折线ABC 表示 从甲地向乙地打电话时所需付的电 话费用y （元）与通话时间t 之间的关系图像。 求：（1）从图像上知，通话2 （2）BC 所表示的函数关系式？ （3）通话7分钟需付的电话费是多少元？ 师：观察图象回答问题。各同学思考，允许前后排四个同学交流。 师：2分钟左右，请同学们回答。 生1：图象上知，AB 是平行于X 轴的一条线段。打电话在0到3分钟电话费都为2.4元。 生2：超出3分钟电话费按直线BC 计费。时间越多，付费越多。 生3：设直线BC 解析式为y=kx+b,把点（3，2.4）和（5，5.4）代入 八年级一次函数解题方法 1、已知正比例函数y等于（1-2a）x (1)a为何值时,函数图像经过第一,三象限 (2)a为何值时,y 随x的增大而减小?（3）若函数图像经过点（—1,2）,求此函数的解析式,并作出图像 2、一次函数y＝（m－2）x＋m2－1图象经过点A（0，3）.（1）求m的值，并写出函数解析式. （2）若（1）中的函数图象与x轴交于B，直线y＝（m＋2）x＋m2－1也经过A（0，3）与x 轴交于C，求线段BC的长. 3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式，并说明点（1，2）是否在函数图象上； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标． 4.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则m=______． 5、如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）． （1）求直线AB的解析式（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．5、夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购 的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200 株；利润=销售所得金额-进货所需金额） 6、（2014?门头沟区二模）如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标、 点B的横坐标如图所示．（1）求直线AB的解析式；（2）点P在直线AB上，是否存在点P 使得△AOP的面积为1，如果有请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 7、如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t (单位：天)的函数关系.已知日销售利润＝日销售量×每件产品的销售利润.下列结论错误的是 A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D.第30天的日销售利润是750元 8、甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。 解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得 ，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时， 直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 （1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为 （4）直线y=-x对称，则直线的解析式为 （5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线，解析式为 （3）其它（略）初中一次函数典型应用题
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