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人教版七年级数学 有理数 拔高及易错题精选
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 如图，数轴上的两个点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，那么a ，b ，—a ，—b 的大小关系是（ ）
A. b<—a<—b B. b<—b<—a C. b<—a D. —a<—b 2. 如果b a ，互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（ ） A. 0=+b a B. 1-=b a C. 2a ab -= D. b a = 3. 若│a │=│b │，则a 、b 的关系是（ ） A. a=b B. a=－b C. a+b=0或a －b=0 D. a=0且b=0 4. 已知数轴上两点A 、B 到原点的距离是2和7，则A ，B 两点间的距离是 A. 5 B. 9 C. 5或9 D. 7 5. 若a<0，则下列各式不正确的是（ ） A. 22)(a a -= B. 2 2a a = C. 33)(a a -= D. )(33a a --= 6. －52表示（ ） A. 2个－5的积 B. －5与2的积 C. 2个－5的和 D. 52的相反数 7. －42+ (－4) 2的值是（ ） A. –16 B. 0 C. –32 D. 32 8. 已知a 为有理数时，1 122++a a =（ ） A. 1 B. －1 C. 1± D. 不能确定 9. 设n 是自然数, 则 n n 1(1)(1)2 +-+-的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 10. 已知|x|＝5，|y|＝3，且x>y ，则x ＋y 的值为（ ） A. 8 B. 2 C. －8或－2 D. 8或2 11. 我国西部地区面积约为640万平方公里，640万用科学记数法表示为（ ） A. 464010? B. 56410? C. 66410?． D. 6410?７． 12. 京九铁路的全长用四舍五入法得到近似数为2.5×106m ，则它精确到（ ） A. 万位 B. 十万位 C. 百万位 D. 千位 二、填空题(每小题3分，共48分) 1. 已知a 是绝对值最小的负整数，b 是最小正整数，c 是绝对值最小的有理数，则c+a+b= 2. 数轴上点A 表示的数为－2，若点B 到点A 的距离为3个单位，则点B 表示的数为 3. 如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A 表示－4，点G 表示8. （1）点B 表示的有理数是 ；表示原点的是点 ． （2）图中的数轴上另有点M 到点A ，点G 距离之和为13，则这样的点M 表示的有理数是 ． 4．－????? ??? －23的相反数是 ． 5. 如果x 2=9，那么x 3= ． 6. 如果2-=-x ，则x = ． 7. 化简：|π－4|＋|3－π|＝ ． 8. 绝对值小于2.5的所有非负整数的和为 ，积为 ． 9. 使 2 5++-x x 值最小的所有符合条件的整数x 有 ． 10. 若 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 (a ＋b)10 －(cd) 10 ＝ ． 11. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，3=x ，则式子2(a ＋b)－(－cd)2016＋x 的值为 G F E D C B A ． 12. 已知()0422=-++y x ，求x y 的值为 ． 13. 近似数2.40×104精确到 位，它的有效数字是 ． 14. 观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，用你所发现的规律写出：72017的个位数字是 ． 15. 观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32 ，1＋3＋5＋7＝16＝42 ，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 ，…… 猜想：（1）1＋3＋5＋7…＋99 ＝ ； （2） 1＋3＋5＋7＋…＋（2n －1）＝ .（结果用含n 的式子表示，其中n =1，2，3，……）． 16. 一跳蚤在一直线上从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O 点的距离是 个单位． 三、解答题(共82分) 1. （12分）计算： （1）)4 9()2115()375()25.4(37153)371012(+---+--++- （2）10.12512(16)(2)2 -??-?- （3） 5 1)716(5)31112(5)31137(51)7111(? ++÷++÷-+?- （4）+-+-+-3 1412 13112 1… 999 1 10001- 2. （5分）计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99． 3. （5分）已知数轴上有A 和B 两点，它们之间的距离为1，点A 和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B 对应的数有哪些？ 4. （6分）“*”代表一种新运算，已知a b a b ab +*= ，求x y *的值． 其中x 和y 满足2 1()|13|02 x y + +-=． 5. （6分）已知()0212=-++b a ，求(a ＋b)2016＋a 2017． 6. （6分）已知a ，b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为5．试求下式的值： 201720162)()()(cd b a cd b a x -+++++-． 7. （6分）已知│a │=4，│b │=3，且a>b ，求a 、b 的值． 0b a c 8. （6分）已知│a │=2，│b │=5，且ab<0，求a ＋b 的值． 9. （6分）探索规律：将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表： 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 … … （1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （2）设中间的数为x ，用代数式表示十字框中的五个数的和； （3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由。 10. （6分）已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图 所示，化简：a b b c c a -+---． 12. （6分）如果有理数a 、b 满足0)1(22 =-+-b ab ， 试求+++++++)2)(2(1)1)(1(11b a b a ab ……()() 201720171++b a 的值． 13. （6分）已知abc |abc|＝1，求|a|a ＋|b|b ＋|c| c 的值． 14. （6分）已知c b a 、、均为非零的有理数，且1-=++c c b b a a ，求 abc abc 的值． 有理数的概念总结 1. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④非负数（正数和零） 1、把下列各数填在相应的大括号中 ??+--+-12112111236100000307 22 82838.,,,,.,,,.,,π 正数集合｛ …｝ 负数集合｛ …｝ 自然数集合｛ …｝ 非负有理数集合｛ …｝ 非负整数集合｛ …｝ 2、数轴 （1）数轴上点的移动规律（点的移动左减右加） 【试卷p24,3题】例1、在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动3个单位后到达终点，这个终点表示的数是（ ） 变式1、试卷P9 9,10题 变式2、 将数轴上的点A 先向左移2个单位 ，再向右移5，此时A 点位于原点，则Ａ开始时表示的数是_______ （2）数轴上两点间的距离公式 |AB| = |a-b| （或大叔减小数） 例 2 数轴上表示数3.5与 – 1.5 的 两点之间的距离为______, 与数2的距离为3个单位的数是________, ①|x|的绝对值表示_______, | x-2 | 表示_______, | x + 2 | 表示______, ② 若 | x -2 | = 3 则 x =______ ③ 满足 | x – 2 | + | x+2 | = 4 的整数 x 有__________. ④ | x – 2 | + | x -2 | 的 最小值为_______ ⑤|x-3|+|x-1|+|x+2|的最小值为________ 变式1、试卷p11 14（3） 3、相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 0的相反数是0。 性质 a ，b 互为相反数，则a+b=0 （2）.相反数的几何意义 互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，与原点的距离相等。 例3 .若某点表示的数 a = -a ， 这个点位于何处______ 例4.已知a,b 互为相反数，|a-b|=6,求b-1的值 (3).相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-” 如；5a+b 的相反数是 -（5a+b ）；a-b 的相反数等于_________ 5.多重符号的化简 “-”号的个数决定最后结果；即：个数是奇数，结果为负，个数是偶数时，结果为正。 例4. )2 1 3(-- )]5([--- )]}2([{+-+- 6绝对值 （1）绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可归纳为①：|a|=a <═> a ≥0（绝对值等于本身的数是非负数。） ② |a|=-a <═> a ≤0（绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数 即 |a|≥0。 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b ； 非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0 人教版七年级数学下册解题技巧专题目录： 【专题一】平行线中作辅助线的方法 【专题二】相交线与平行线中的思想方法 【专题三】开方运算及无理数判断中的易错题 【专题四】平面直角坐标系中的图形面积 【专题五】平面直角坐标系中的变化规律 【专题六】解二元一次方程组 【专题七】一元一次不等式（组）与学科内知识的综合 【专题八】一元一次不等式（组）中含字母系数的问题 【专题一】平行线中作辅助线的方法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？ ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为() A．20°B．30°C．40°D．70° 第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题． 已知：______________，结论：______________． 解： 7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线． (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系？并说明理由． 人教版七年级数学专题培优2 一元一次不等式培优（一） 例1、已知不等式3(1-x)＜2(x+10) - 2 ① 与不等式 6 )125(234++x a x ＜ ② （1）.如果不等式①的解集与不等式②的解集相同。求a 的值。 （2）如果不等式①的解集都是不等式②的解，求a 的值。 （3）如果不等式②的解集都是不等式①的解，求a 的值。 例2、解不等式 x x x x +-≤-+-2 23142，求出它的非正整数解，并把解表示在数轴上。 一、判断 1.若ac 2＞bc 2，则a-3＞b-3.( ) 2.若22c b c a ＜，则a ＜b( ) 3.若a ＞b ，则ac ＞bc( ) 4.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2( ) 5.若ac ＜bc ，则a ＜b( ) 6.不等式ax ＞b 的解集是x ＞a b .( ) 7.已知m ＜n,则2m ＜m+n.( ) 8、若a ＞b 则a 2＞b 2 （ ） 9、若a 与b 积为正数，且a 与b 的和为负数那么a 2〈b 2 （ ） 二、选择 1.若a ＜b ，有下列不等式：①a+m ＜b+m;②a-m ＜b-m;③ma ＞mb;④ m a ＞m b (m ＜0)，其中恒成立的不等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若a ＞0,b ＜0,a ＜｜b ｜,则a,b,-a,-b 的大小顺序是( ) A.-b ＞a ＞-a ＞b B.a ＞b ＞-a ＞-b C.-b ＞a ＞b ＞-a D.b ＞a ＞-b ＞-a 3.若a ＞b ，则下列各式中一定正确的是( ) A.-31＞-31 b B.-51+b ＜-51 +a C.-3a ＞-3b D.a 2＞b 2 4.若(a+1)x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 必须满足( ) A.a ＜0 B.a ≤-1 C.a ＞-1 D.a ＜-1 5.若m ＞n ，则不等式(n-m)x ＜0的解集为( ) A.x ＞0 B.x ＜ n m 1 C.x ＞n-m D.x ＜0 三、解答 1.a 和b 都是小于1的正数，且a ＜b ，试比较下列各组数的大小. (1)a 和a 2 (2)a 2和b (3)a 和ab (4)b a 11和 人教版七年级数学下册专 题训练 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 七年级下册数学第七章专题训练 班级 姓名 一、象限内点的坐标 1. 在平面直角坐标系中，A （2，-1）在第 象限，B （1，-3）在第 象限，C （-4，）在第 象限。 2、点P （x,y ）在第二象限，则x 0，y 0. 3、已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限 4、如果 x y ＜0，那么点P （x ，y ）在第 象限 5、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。 二、坐标轴上点的坐标 1、点Ａ（２，0）在 轴上；点Ｂ（0，9）在 轴上，点C 在 2、点P （a-1，2a-9）在x 轴上，则P 点坐标是 。 3、点P （a-1，2a-9）在y 轴上，则P 点坐标是 。 三、点到坐标轴的距离 1、点Ａ（２，３）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｂ（-４，-5）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｐ（x ，y ）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 2、点C 在第三象限，且到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，则C 点坐标 是 。 3、点Ｐ到x 轴、y 轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能 为 。 四、平行于x 轴，y 轴的直线上的点的坐标 1.过A(4,-2) 和B(-2,-2) 两点的直线一定( ) A.垂直于x 轴 B.与Y 轴相交但不平于x 轴 C.平行于x 轴 D.与x 轴、y 轴平 行 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥y 轴，则m 的值为 。 3．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1，5），线段AB ∥X 轴，且AB=4，则点B 的坐标为 五、象限平分线上点的坐标 人教版数学七年级上册全册单元试卷专题练习（解析版） 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数． 【答案】（1）25° （2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB ∠MOB=2∠BOC=130° ∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40° ∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25° （3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65° ∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115° ∠MON=90° ∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25° 4∠NOC+∠NOC=25° ∠NOC=5° ∠NOB=∠NOC+∠BOC=70° 【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65° ∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25° 【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度 数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解. 2．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8 （1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点, （2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离． 【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3. （2）MN= 【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可； （2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值. 3．如图，数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6，P 为线段 AB 上任一点，C，D 两点分别从 P，B 同时向 A 点移动，且 C 点运动速度为每秒 2 个单位长度，D 点运动速度为每秒 3 个单位长度，运动时间为 t 秒. （1）A 点表示数为________，B 点表示的数为________，AB=________. （2）若 P 点表示的数是 0， ①运动 1 秒后，求 CD 的长度； ②当 D 在 BP 上运动时，求线段 AC、CD 之间的数量关系式. （3）若 t=2 秒时，CD=1，请直接写出 P 点表示的数. 【答案】（1）-8；4；12 （2）解：①运动一秒后，C点为-2，D点为1，所以CD=3； ②当点D在BP上运动时， ,此时C在线段AP上，AC=8-2t， CD=2t+4-3t=4-t，所以AC=2CD （3）解：若 t=2秒时，D点为-2，若 CD=1，则 C=-3 或-1， ①当 C=-3 时，CP=4，此时 P=1； ②当 C=-1 时，P=3. 【解析】【解答】解：⑴ 故答案为：-8;4;12； 【分析】（1）由已知数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6 ，且点A在点B的左边，就可求出点A和点B表示的数，再利用两点间的距离公式求出AB的长。 （2）①由点A、B表示的数及点C、D的运动速度和方向，可得出运动1秒后点C、D分别表示的数，再求出CD的长；②当点D在BP上时，根据t的取值范围，分别用含t的代 七年级下册数学第七章专题训练 班级 姓名 一、象限内点的坐标 1. 在平面直角坐标系中，A （2，-1）在第 象限，B （1，-3）在第 象限，C （-4，-3.5）在第 象限。 2、点P （x,y ）在第二象限，则x 0，y 0. 3、已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限 4、如果 x y ＜0，那么点P （x ，y ）在第 象限 5、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。 二、坐标轴上点的坐标 1、点Ａ（２，0）在 轴上；点Ｂ（0，9）在 轴上，点C 在 2、点P （a-1，2a-9）在x 轴上，则P 点坐标是 。 3、点P （a-1，2a-9）在y 轴上，则P 点坐标是 。 三、点到坐标轴的距离 1、点Ａ（２，３）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｂ（-４，-5）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｐ（x ，y ）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 2、点C 在第三象限，且到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，则C 点坐标是 。 3、点Ｐ到x 轴、y 轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能为 。 四、平行于x 轴，y 轴的直线上的点的坐标 1.过A(4,-2) 和B(-2,-2) 两点的直线一定( ) A.垂直于x 轴 B.与Y 轴相交但不平于x 轴 C.平行于x 轴 D.与x 轴、y 轴平行 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥y 轴，则m 的值为 。 3．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1，5），线段AB ∥X 轴，且AB=4，则点B 的坐标为 五、象限平分线上点的坐标 1、若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= . 2、已知点P （3-x ，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 检测 1.在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ） A.原点O 不在任何象限内 B.原点O 的坐标是0 C.原点O 既在X 轴上也在Y 轴上 D.原点O 在坐标平面内 2.在平面直角坐标系中，点（－3，－1）在第________象限. 3.点P （x ，y ）在第二象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 . 4．已知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，则点P 的坐标为______． 5.点P(x,y)满足xy>0,则点P 在第 象限 6.点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （m -，0）在（ ）． A.x 轴正半轴上 B.x 轴负半轴上 C.y 轴正半轴上 D.y 轴负半上 7. 若点P （a ,b -）在第二象限,则点Q （ab -,a b +）在第_______象限. 8.点M （1m +，3m +）在x 轴上，则点M 坐标为_______． 9.X 轴上的点P 到Y 轴的距离为2.5,则点Ｐ的坐标为（ ） A.（2.5,0) B.(-2.5,0) C.(0,2.5) D.(2.5,0)或(-2.5,0) 10.直角坐标系中，在y 轴上有一点p ，且线段OP=5，则P 的坐标为 . 11.已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 12.已知点A （3-，2），B （3，2），则A ，B 两点相距（ ）． A.3个单位长度 B.4个单位长度 C.5个单位长度 D.6个单位长度 13.已知点P 的坐标（2a -，36a +），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 . 14.矩形OABC 在坐标系中的位置如图，点B 坐标为(3,-2)，则 矩形的面积等于_________ . 七年级下册数学第七章专题训练 班级 姓名 一、象限内点的坐标 1. 在平面直角坐标系中，A （2，-1）在第 象限，B （1，-3）在第 象限，C （-4，-3.5）在第 象限。 2、点P （x,y ）在第二象限，则x 0，y 0. 3、已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限 4、如果x y ＜0，那么点P （x ，y ）在第 象限 5、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。 二、坐标轴上点的坐标 1、点Ａ（２，0）在 轴上；点Ｂ（0，9）在 轴上，点C 在 2、点P （a-1，2a-9）在x 轴上，则P 点坐标是 。 3、点P （a-1，2a-9）在y 轴上，则P 点坐标是 。 三、点到坐标轴的距离 1、点Ａ（２，３）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｂ（-４，-5）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 点Ｐ（x ，y ）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 2、点C 在第三象限，且到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，则C 点坐标是 。 3、点Ｐ到x 轴、y 轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能为 。 四、平行于x 轴，y 轴的直线上的点的坐标 1.过A(4,-2) 和B(-2,-2) 两点的直线一定( ) A.垂直于x 轴 B.与Y 轴相交但不平于x 轴 C.平行于x 轴 D.与x 轴、y 轴平行 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥y 轴，则m 的值为 。 3．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1，5），线段AB ∥X 轴，且AB=4，则点B 的坐标为 五、象限平分线上点的坐标 1、若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= . 2、已知点P （3-x ，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 检测 1.在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ） A.原点O 不在任何象限内 B.原点O 的坐标是0 C.原点O 既在X 轴上也在Y 轴上 D.原点O 在坐标平面内 2.在平面直角坐标系中，点（－3，－1）在第________象限. 3.点P （x ，y ）在第二象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 . 4．已知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，则点P 的坐标为______． 5.点P(x,y)满足xy>0,则点P 在第 象限 6.点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （m -，0）在（ ）． A.x 轴正半轴上 B.x 轴负半轴上 C.y 轴正半轴上 D.y 轴负半上 7. 若点P （a ,b -）在第二象限,则点Q （ab -,a b +）在第_______象限. 8.点M （1m +，3m +）在x 轴上，则点M 坐标为_______． 9.X 轴上的点P 到Y 轴的距离为2.5,则点Ｐ的坐标为（ ） A.（2.5,0) B.(-2.5,0) C.(0,2.5) D.(2.5,0)或(-2.5,0) 10.直角坐标系中，在y 轴上有一点p ，且线段OP=5，则P 的坐标为 . 11.已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 12.已知点A （3-，2），B （3，2），则A ，B 两点相距（ ）． A.3个单位长度 B.4个单位长度 C.5个单位长度 D.6个单位长度 13.已知点P 的坐标（2a -，36a +），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标 是 . 14.矩形OABC 在坐标系中的位置如图，点B 坐标为(3,-2)，则 一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q 从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动． （1）与、两点相等的点所对应的数是________． （2）两动点、Q相遇时所用时间为________秒；此时两动点所对应的数是________．（3）动点P所对应的数是时，此时动点Q所对应的数是________． （4）当动点P运动秒钟时，动点P与动点Q之的距离是________单位长度． （5）经过________秒钟，两动点P、Q在数轴上相距个单位长度． 【答案】（1）30 （2）20；40 （3）52 （4）25 （5）12或28 【解析】【解答】（1）AB的中点C所对应的数为：；（2）设两动点相遇时间为t秒，(2+3)t=80-(-20) 解得：t=20(秒) 80-2t=80-2×20=40,或-20+3×20=40 ∴此时两动点所对应的点为40；（3）22-(-20)=42, 80-42÷3×2=52 ∴动点所对应的数是时，此时Q所对应的数为52；（4）∵20秒相遇，∴(2+3) ×25-[80-(-20)]=25（5）P、Q两点相距40个单位长度，分两种情况 AB=80-(-20)=100 ①相遇前，(100-40) ÷(3+2)=60÷5=12(秒) ②相遇后，(100+40)÷(2+3)=140÷5 =28(秒) ∴经过12或28秒钟，两动点、在数轴上相距个单位长度． 【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用 公式计算;（2）设两动点相遇时间为t秒，P、Q两点运动的路程之和为总路程，列方程求解即可；用80-2t即可求得此时两动点对应的数；（3）先求出动点P对应的点是22时运动的时间，再根据Q和P运动时间相等计算Q点运动路程，进而求得点Q对应的数；（4）根据题意P、Q两点25秒运动的路程和减去总路程就是PQ两点间的距离；（5）根据题意，分两种情况进行解答，即: ①相遇前相距40个单位长度，②相遇后相距40个单位长度，分别列方程求解即可. 有理数经典题型专题训练 一、选择题 1、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（）（A）同号，且均为负数 （B）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 （C）同号，且均为正数 （D）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 2、在下列说法中，正确的个数是（） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列说法正确的是（） A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个； 4、在有理数中，有（） Ａ．绝对值最大的数Ｂ．绝对值最小的数 Ｃ．最大的数Ｄ．最小的数 5、下列结论正确的是（） Ａ．数轴上表示６的点与表示４的点相距10 Ｂ．数轴上表示+6的点与表示－4的点相距10 Ｃ．数轴上表示－4的点与表示4的点相距10 Ｄ．数轴上表示－6的点与表示－4的点相距10 6、下列说法正确的是（） （A）有理数就是正有理数和负有理数 （B）最小的有理数是0 （C）有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点 （D）整数不能写成分数形式 7、下列说法正确的是( ) A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣1 8、下列说法正确的是( ) ①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ①② B ①③ C ①②③ D ①②③④ 9、下面说法中正确的是( ) A．非负数一定是正数。B．有最小的正整数，有最小的正有理数。C．-a一定是负数D．正整数和正分数统称正有理数 a是（） 10、有理数a 等于它的倒数，则2016 F O 1 C B A D ① 21 21 ② 1 2③ 12④ N M B A 初一数学人教版七下几何复习专题 专题一、基本概念与定理专题 例1．下列说法中，正确的是（ ） （A ）相等的角是对顶角 （B ）有公共顶点，并且相等的角是对顶角 （C ）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2 （D ）两条直线相交所成的两个角是对顶角 例2．如图所示，∠1的邻补角是( ) A.∠BOC B.∠BOE 和∠AOF C.∠AOF D.∠BOC 和∠ AOF 例3．下列说法中错误．． 的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 例4.如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行使，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的村庄. ⑴ 设汽车行使到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行使到点Q 位置时，距离村庄N 最近.请你在图中公路AB 上分别画出点P 、Q 的位置.（保留画图痕迹） ⑵ 当汽车从A 出发向B 行使时，在公路AB 的哪一段上距离M 、N 两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 却越来越远？（分别用文字语言表示你的结论，不必证明） 例5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角．．． 的是（ ） A . ②③ B . ①②③ C . ①②④ D . ①④ 例6．如图4所示，下列说法中错误的是 ( ). ①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角； ③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角. A.①和② B.②和③ C.②和④ D. ③和④ 考点5：平行线性质与判定定理 例7．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据 是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等 例8．（2007浙江绍兴课改）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（） ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． Ａ．①②Ｂ．②③Ｃ．③④Ｄ．①④ 考点6：命题 例9．下列命题中，真命题是（）. A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补 例10．.命题“等角的补角相等”的题设是___________________，结论是___________________. 考点7：平移的概念 例11.（2006黑龙江中考题）下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（） A B C D 图4 1 2 3 4 5 七年级数学应用题类型总概 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余…”来体现. 2.行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间. （2）基本类型有 ①相遇问题； ②追及问题；一般情况下：相背而行；行船问题；环形跑道问题. ③行船中的顺逆水问题、飞行中的顺逆风问题。 a、顺水速度=静水速度+水流速度。 b、逆水速度=静水速度-水流速度。 c、(顺水速度-逆水速度)÷2=水流速度。（注：顺逆风的情况和这一样的思路） 3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变 4. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 5. 商品销售问题 有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价=商品售价—商品进价/进价 商品售价=商品标价×折扣率 6. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c. （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示. 7. 储蓄问题 ⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税 ⑵利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%） 8.按比例分配问题 （1）甲：乙：丙=a:b:c,全部数量=各部分成分含量之和，一般设的的时候为：ax,bx,cx。 例如：甲、乙、丙的和为369，且甲：乙：丙=3:5:9,则设甲为3x,乙为5x,丙为9x,则：3x+5x+9x=369。 9.日历中的问题 ①日历中的每一行上相邻两数，右边比左边大1.②日历中每一列上相邻的两数下面的数比上面的大7，且日历中数字a的取值是在1~31之间。 10.比赛得分规则 ①总积分=胜场得分+平场得分+负场得分②胜场得分=胜一场分数×胜场数 ③平场得分=平一场分数×平场数④负场得分=平一场分数×负场数 ⑤总场数= 胜场数+平场数+负场数 11.等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积. 12.分阶段问题 这种问题一般情况下分两个阶段： ①在某一范围内收费标准。 ②超出范围的收费标准的计算方法。 总费用=范围内的费用+超出范围的费用。 专题一 1.填空 （1）AOC ∠的对顶角是： . （2）AOC ∠的邻补角是： . （3）EOC ∠的邻补角是： . （4）FOC ∠的邻补角是： . （5）BOD ∠的邻补角是： . 2.找出下列图形的同位角、内错角、同旁内角. （1）同位角： （2）内错角： （3）同旁内角： 3.点P 到直线l 的距离是线段： . 4.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O . （1）写出COE ∠的邻补角. （2）分别写出COE ∠和BOE ∠的对顶角. 5.如图，直线a ，b ， c 两两相交，123∠=∠，286∠=?，求4∠的度数. l 1 4 3 2 c a b 1.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，70AOD ∠=?，OE 平分BOC ∠，求DOE ∠的度数. 2. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 是BOC ∠的平分线，OF OE ⊥，已知70AOD ∠=?. （1）求BOE ∠的度数. （2）OF 平分AOC ∠吗？为什么？ 3. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，E 是AOD ∠内的一点，已知OE AB ⊥，45BOD ∠=?，求COE ∠的度数. A B A A B 1.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，12∠=∠，求证：AB CD . 2. .如图，12∠=∠，AC 平分DAB ∠.求证：AB CD . 3.如图，AB MN ⊥，CD MN ⊥，垂足分别是B ，D ，FDC EBA ∠=∠.求证：BE DF . 4.如图，BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，1290∠+∠=?，求证：AB CD . 21 E F B A D C 2 1A D C B E 2 1D C B A 压轴题培优-- 七年级数学期末复习专题人教版2018年 1.B. 于AB⊥BC，点已知AM∥CNB为平面内一点，之间的数量关系，直接写出∠A和∠C；（1）如图1（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数. 2.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A．B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由. 3.已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=25°,∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②,当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点）,∠A．∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论． （3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时,（2）中的结论还成立吗？如果成立,说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明． 4.如图1,在平面直角坐标系中,A（a,0）是x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB⊥y轴,交y 轴负半轴于2．(a-3)+|b+4|=0,S=16B（0,b）,且AOBC四边形点坐标；）求C（1的角平分线的反向延长线交的角平分线与∠CAE时,∠ODAOBD为线段上一动点,当AD⊥AC2,（2）如图设的度数．求∠于点P,APD点则,D的平分线交于∠,BMD、∠DAON点点于交⊥作上运动时点在线段当）如图（33,DOB,DMADBCM ,,,N,在运动过程中∠的大小是否变化？若不变求出其值若变化说明理由． 列一元一次方程解应用题的常见题型 （设未知数，找等量关系列方程） 一. 和差倍分的问题 问题的特点:已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。基本方法：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。 1. 一个数的 2 倍与 10 的和等于 18，则这个数是_______。一个数的二分之一与 3 的差等于 2，则这个数是_______。一个数的 3 倍比 10 大 2，则这个数是_______。 2．一个机床厂今年第一季度生产机床180台，比去年同期的二倍多36台，去年一季度产量多少台？ 3.某学校组织10名优秀学生春游，预计费用若干元，后来又来了2名同学，原来的费用不变，这样 每人可以少摊3元，则原来每人需要付费多少元？ 4.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？ 二. 等积变形问题 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。 1. 把内径为 200mm，高为 500mm 的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为 160mm，高为 400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？ 2. 要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm。 三. 相遇问题（相向而行）： 这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。对应公式：路程=速度×时间快者路程+慢者路程=总路程（慢者速度+快者速度）×相遇时间=相遇路程 1. 甲、乙两车从相距 264 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲速是乙速的 1.2 倍，4 小时相遇，求乙速？ 2. 甲、乙两站相距 600 千米，慢车从甲地出发，每小时行 40 千米，快车从乙地出发，每小时行 60 千米，若慢车先行 50 分钟，快车再开出，又行一段时间后遇到慢车，求快车开出多少小时两车相遇？ 3. A、B 两地相距 75 千米，一辆汽车以 50 千米/时的速度从 A 地出发，另一辆汽车以 40 千米/时速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距 30 千米？ 四. 追及问题（同向而行）： 这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地：快者的时间=慢者的时间快者走的路程－慢者走的路程=原来相距的路程 1.甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别是 40 千米/小时和 60 千米/小时，多少小时后，乙车追上甲车？ 2. A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米，若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ ②同地不同时；先走者的时间=慢走者的时间＋时间差先走者的路程=慢走者的路程 1. 一列慢车从某站开出，每小时行驶 48km，过了 45 分，一列快车从同站开出，与慢车同向而行，又经过 1.5 小时追上了慢车。求快车的时速？ 2.一队学生去学校外进行军事训练,他们以每小时5千米的速度行进,走了18分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍? B 0 2 A 考点一：正负数的运用 例1、某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,则该药品在（ ）范围内保存才合适． A ．18℃～20℃ B ．20℃～22℃ C ．18℃～21℃ D ．18℃～22℃ 例2、潜水艇在水下30米处记作—30米，如果上浮5米，这时他的位置可记作（ ）米。 1、小虎家上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨。 ①算出他们家上半年的平均用水吨数。 ②如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整。 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 考点二：数轴 例3、如图所示，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应 的数为（ ）（思考：如果没有图，结果又会怎样？） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 例4、若数轴上表示2的点为M ，那么在数轴上与点M 相距4个单位的点所对应的数是 。 例5、b a 、两数在数轴上位置如图3所示，将b a b a --、、、用“＜”连接，其中正确的是（ ） A ．a ＜a -＜b ＜b - B ．b -＜a ＜a -＜b C ．a -＜b ＜b -＜a D ．b -＜a ＜b ＜a - 1、A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为（ ） A ．－4 B ．－2 C ．－3 D ．－1或5 3、如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点 表示的数是 ． 4、已知数轴上有A 和B 两点，它们之间的距离为1，点A 和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B 对应的数有 。 认识有理数 专题一 第一讲 DI YI JIANG 典例全析 随堂演练 典例全析 随堂演练 -1 0 1 图3 初一数学专题五让“点”动起来人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 专题五：让“点”动起来 教学目的： 使学生能够学会解决几何一类问题的方法 教学过程： 说明：在解答一个数学题时，不能认为获得了解法后解题就结束了。应当清醒地认识到，获得一个解法决不是解题的全过程，而应当继续考察有无其他解法，全面认识题目的结构特征及本质属性，并在此基础上将图形进行演变，获得新题，并形成一个良性系列，这样就可以使我们的解题方法更加灵活，解题经验更加丰富。将图形演变的重要方法就是让“点”动起来。 例 1 . 如图所示，AB CD，在点M运动时形成了一系列图形，试讨论∠BAM，∠AMC，∠MCD三个角的数量关系，并加以证明。 本题是利用运动的观点，把相关的题目串联起来形成的题组。这是一个动态结构，是一种创造性思维。从题组中条件之间、结论之间、条件与结论之间的内在联系，可以发现解法间的有机联系。 解答本题时可以使用下述结论： ∠=∠+∠ ACD A B。 证明：如图1所示，作CE BA。 1A（两直线平行，内错角相等） ∴∠=∠ ∠=∠ 2B（两直线平行，同位角相等） 12。 ACD A B ∴∠=∠+∠=∠+∠ B C D 图1 解：在如图（1）所示中， BAM MCD AMC ∠+∠=∠ （证明略） A B M C D 图（1） 在如图（2）所示中， ∠+∠=∠BAM AMC MCD 证明： ∠=∠+∠MEB BAM AMC ， 又由AB CD MCD MEB //。有，∠=∠ ∴∠+∠=∠BAM AMC MCD M A B E C D 图（2） 在如图（3）所示中， ∠+∠=∠AMC MCD BAM 证明： ∠=∠+∠DFM AMC MCD ， 又由AB CD DFM BAM //，有，∠=∠ ∴∠+∠=∠AMC MCD BAM A B F C D M 图（3） 在如图（4）所示中， ∠+∠+∠=BAM AMC MCD 360° （证明略）人教版七年级数学《有理数专题》
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