尊敬的用户：
感谢您下载使用本文件。本文件是2020年底制作，经过制作、修改、完善等步骤，将大量优秀教师的一手资料进行整合，再继续深挖、编辑。使之成套系，使之更适用于课堂教学与日常练习。经过进一步加工、提炼，期待能够使您在使用中，得到更加完美的体验。如果在使用过程中，发现有任何问题，请搜索微信订阅号：fifteen1617，联系客服，会有更大的惊喜等着您哦！使用本资源，您将得到非常完美的体验，感谢您的下载使用！~
测量平均速度
【学习目标】1、学会用刻度尺和停表测物体的平均速度
2、加深对平均速度的理解，学会分析速度的变化
【学习重点】1、学会用刻度尺和停表测物体的平均速度
【学习难点】加深对平均速度的理解，学会分析速度的变化
【自主学习】
【自学导航】1.在物理学中，用______来描述物体运动的快慢
2、速度的公式是______、时间的公式是______、路程的公式是______速度的国际单位是_____
3、我们用______来测量长度，利用______来测量时间
4、从速度公式______可知，如果我们测出了物体运动的______和通过这段路程所用的______，我们就
可以算出物体在这段时间内的平均速度
【合作导学】
观察测量平均速度的实验视频，分析：
在测量速度过程中，若斜面坡度过小，会怎么样？坡度过大会怎么样？
若某组同学听到撞击声后一段微小时间后才才停表计时，测量结果会怎样？
【分层导练】1、某物理兴趣小组利用带有刻度尺的斜面、小车和数字钟“测量小车的平均速度”，如图15所示，图中显示的是他们测量过程中的小车在甲、乙、丙三个位置及其对应时间的情形，显示时间的格式是“时∶分∶秒”．
（1）请你根据图示完成下表.
（2）分析表中数据，小车全程是做匀速运动吗？为什么？
小车由甲至乙小车由乙至丙小车由甲至丙
路程S/cm 26
时间t/s 4
平均速度v/(cm/s) 15
2、两个同学做测平均速度的实验，某次实验的过程如图所示，图中秒表每格为1S，该次实验中，小车通过全程的平均速度V1=______ m/s
，小车通过上半段路程的平均速度V2=______ m/s
．
【总结提升】
．
本课教学反思
本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个人行为。它包括写前阶段，写作阶段和写后修改编辑阶段。在此过程中，教师是教练，及时给予学生指导，更正其错误，帮助学生完成写作各阶段任务。课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反馈或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作。在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力。学生由于能得到教师的及时帮助和指导，所以，即使是英语基础薄弱的同学，也能在这样的环境下，写出较好的作文来，从而提高了学生写作兴趣，增强了写作的自信心。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。
在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。
《旋转与角》教学设计 二教学目标 1．通过教学操作活动，认识平角和周角。能说出生活中的平角和周角。 2．通过教学，知道锐角、直角、钝角、平角、周角的形成过程，理解各角之间的关系。 3．培养学生的实际操作能力及逻辑思维能力。 三教学重点、难点、关键 重点：掌握平角、周角的特征。 难点：周角的特征。 关键：借助具体情境，感知平角、周角的特征。 四教学准备活动角，折扇。 五教学过程 （一）导入 教师：同学们，在二年级的时候，我们就已经认识了角。（板书：角）你还记得什么是角吗？它是由哪几部分组成的？ 小结：由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。（边画出一个角，并标出角的各部分的名称） 学生举列说说身边的角。 （二）尝试操作，感悟新知 1．转一转 教师：请同学门拿出活动角，固定其中一条边，旋转另一条边，得到一个角。（这时学生可能会得到不同的角）（揭示课题：旋转与角） 师：将你们通过旋转得到的角举起来，互相看一看，都是什么角？有什么不同的地方？ 生：有的是直角，有的是锐角，还有的是钝角。 师：直角有什么特点？锐角呢？钝角呢？ （生答） 师：同学们以前的知识掌握的不错，刚才老师还发现有几个同学通过旋转得到的角和大家的不太一样，我们一起来看一看。 （展示学生用学具旋转得到的平角和周角） 这两个图形是不是角呢？（学生讨论交流） 生：它们不是角，一个是直线，一个是射线。 生：它们是角，一个叫做平角，一个叫做周角。 生：它们都不是角，因为它们没有顶点，没有两条边。 生：第一个是角，它有一个顶点，也有两条边。 …… （三）合作探究，掌握新知。 1、师：刚才同学们各抒己见，意见不一，这样吧，请同学们再次拿出学具，自己动手试试看，能不能旋转出这样的图形，并继续讨论这样的图形是不是角呢？把你的理由在小组内交流一下。（学生在小组内讨论交流） 师：哪个小组上前汇报？ 生：它们都是角，因为它们都有两条边和一个顶点。
如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 例题: 练习1 :如图,?ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点， ?ABD 经过旋转后到达?ACE 的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？ （3）如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋 转后，点M 转到了什么位置？ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｍ ． 随堂训练 1．如图a ，△AOB 旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A 的对应点是______．线段AB 的对应线段是______．∠B 的对应角是______ ∠BOB′=______． 图 a 图b 2.如图b ，已知△ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，AB=5㎝，BC=3厘米，△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°后得到△
DEC，则∠D=______,∠B=______，DE=_______㎝，EC=______㎝，AE=_______㎝三．归纳总结 （总结本节课所学的内容和掌握情况） 四．拓展提升： 1.如图1.正方形ABCD中有一点P，把△ABP绕点点B旋转到△CQB,连结PQ，则△PBQ的形状是____________. 2.如图2. P是等边△ABC内一点，△AQC是由△APB旋转所得，则∠PAQ＝ _______ 中考链接 （2016．深圳）如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方形ABCD的对角线交点O旋转任意角度，求图中重叠部分的面积。（让学生思考、讨论，充分想象，寻求不同的解法） G E F O C A B D
北师大版四年级数学上册教案第四课时旋转与 角 第四课时旋转与角 教学内容： 旋转与角（第22-23页） 教学目标： 1、通过操作活动，认识平角、周角. 2、能说出生活中的平角与周角. 教学重难点： 1、认识平角、周角. 2、能说出生活中的平角与周角. 教法与学法： 教法：创设情境，引导归纳. 学法：观察思考，自学讨论. 教学准备： 活动角,直尺,圆形纸片. 教学过程： 一、激趣导入. (教师出示钟面模型,旋转上面的分针或时针,引导学生观察.) 请大家仔细观察这个钟面,在时针和分针不停地旋转的过程中,它们组成了什么图形?寻找到这个数学密码的同学请举手. 形成了角. 组成的角是静止不动的吗? 不是,是不断变化的. 看来,生活中除了静态的角,还有这样不断变化的角,它也会和静止的角一样美吗?今天,我们就来欣赏和研究旋转变化中的角. 板书课题:旋转与角 【设计意图:联系生活实际引入旋转与角的概念,使学生体会到数学就在我们身边,对数学产生亲切感,培训学生自己探索、集体交流的自主意识.】 二、探索新知. 1.操作活动,引出平角. 请同学们拿出刚做好的活动角,固定其中的一条边,观察旋转过程中形成的各个角,你有什么发现?与同桌交流. 学生动手操作,教师帮助指导.让学生体验角的大小是在变化的,名称也会随
之变化.让学生说说活动结果. 你能摆一个锐角吗?怎样验证它就是锐角?锐角和直角有什么关系? 学生摆一个锐角,并用三角尺验证. 请你摆一个直角,并验证它是不是一个直角. 学生摆一个直角,并用三角尺验证. 你能摆一个比直角更大的角吗? 教师指名,学生上前展示所摆的角. 同学们看明白他是怎样旋转的吗?你们自己再转转看,又有什么发现呢? 2.认识平角. (1)认识平角的特征. 教师和学生一起旋转活动角,逐步得到平角. 现在活动角转成这样了,想一想,它跟前面的几个角相比,有什么不一样? 它比前面几个角都大. 角的两边是平的. 同学们这个角的两边平平的,成了一条直线,像这样的角,数学上称它为平角,能理解吗? (板书:平角) 平角有什么特征呢? (教师根据学生的回答,板书小结平角的特征.) (板书:有一个顶点,两边在同一条直线上) (2)画平角. 我们认识了平角,想学会怎样画平角吗? (教师板演画平角,指出并做上角的记号,从角的一条边画一条半圆形的弧线,画到角的另一边,并标出旋转的方向.) (学生练习画平角,教师巡视,注意观察学生画角的方法.) 3.认识周角. (1)教师演示. (把刚刚旋转得到平角的活动角继续旋转)现在我们接着转.这个角比平角还要大,(旋转到两条边完全重合)那现在呢?它还是角吗?它是什么角? (根据前面判断平角的经验,这时基本上学生都认同这是一种角.学生说出名称后,教师说明这是周角.板书:周角) 它和平角比呢?(大)它是怎样形成的?周角有什么特征? (教师根据学生的回答,小结周角的特征.) (板书:有一个顶点,两边完全重合) (2)学生用活动角旋转形成周角. 同桌之间摆一摆,互相说说周角的特征. (3)画周角. 下面我们来学习画周角. (教师板演画周角,指出周角的记号,从角的一边开始画一个圆圈,回到起始的位置,标上箭头符号,表示是另一条边旋转一周形成的.) (学生画周角,教师注意观察学生的画法.) 4.小组互相摆一摆,说一说. 两人一小组,互相演示旋转中形成的所有的角,并说说它们的特征,好吗?
四年级上册旋转与角(认识平角和周角）教学设计 四年级上册旋转与角(认识平角和周角）教学设计 课标要求： 1、结合操作活动角的过程，从旋转的角度进一步认识角，发展空间观念。 2、认识平角和周角，了解锐角、直角、钝角、平角、周角之间的大小关系，提升分析与推理能力。 教材分析： 教科书提出了三个问题：第一问题是做活动角，感受角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转形成的平面图形；第二个问题是认识平角与周角；第三个问题是找一找生活中的平角与周角，感受拓展角的概念的必要性。 学情分析： 学生在二年级对“角”已经有了初步认识，知道角的大小与角的张口大小有关，与角的两边的长短无关，也知道锐角、直角和钝角。本节课进一步认识角，拓展角的概念。 教学目标： 1、通过操作活动，认识平角、周角。 2、能说出生活中的平角与周角。 教学重难点： 1、认识平角、周角。 2、能说出生活中的平角与周角。 教学准备： 课件、活动角和投影 评价任务：
1、第1道题侧重让学生通过旋转的操作活动，直观的认识各种角，体会角的大小与两条边开口的关系。 2、第2道题鼓励学生辨认锐角、直角、钝角和平角，进一步巩固对角的认识，会画四种角。 3、借助点子图画出这几种角。 4、鼓励学生自己探索折直角和钝角的方法，加深认识，积累活动经验。 学习过程： 一、激趣导入，认识平角和周角。 1、转一转，说一说 （1）一人用活动角转出各种角，让同桌说一说是什么角？ （2）一人说一人转。 （3）复习锐角、直角、钝角和角的组成部分。 （4）我们可以把角看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的，这个端点就是角的顶点，这条射线就是角的边。 2、认识平角和周角。 （1）师演示平角和周角，让学生说一说是什么角？ （2）用自己的话说一说什么是平角，什么是周角。 二、试一试 1、说一说生活中的周角和平角。小组交流再全班交流 2、上述图案是围绕哪一点转动的，并找找图中有哪些角。 三、练一练 1、说一说每个钟面上时针和分针组成的角是什么角。 2、在点子图上分别画出锐角、直角、钝角和平角让学生独立完，再小组交流。 四、你知道吗？
新人教版九年级数学上册23．1 图形的旋转(2)导学案 学习目标 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．[来源:学+科+网Z+X+X+K] 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质． 学习重点图形的旋转的基本性质及其应用． 学习难点运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．学习方法类比——探究——归纳． 学习准备小黑板、三角尺、多媒体投影底片．[来源:学#科#网] 备课组 补充 教学流程一、情景导入 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA 全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验． 二、检查预习 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCD EF能否看做是 某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ 三、自主学习 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，?再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，?在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等．
第二单元线与角 单元教学目标： 1. 通过具体的操作活动，认识直线、线段、与射线，会用字母正确读出直线、线段与射线。 2. 通过动手操作的活动，认识平面上的平行线和垂线，能用三角尺画垂线；通过探索活动，体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 3. 通过学具的操作活动，理解平角、周角，能区别角的大小之间的关系；会用量角器量指定度数的角与画指 定度数的角。
单元教学建议： 1. 在操作活动中，认识 较抽象的平面图形的概念 直线、线段、射线与平行线、垂线都是一些比较抽象的数学概念，学生在感受方面也是比较薄弱的。对此，教材安排了大量的学生操作活动，目的是增强学生感受的力度，帮助学生积累一些经验，同时，也便于学生直观地认识这些概念。所以，在教学中，需要精心设计学生的操作活动，每一个活动都能帮助学生理解相关的概 念。 如直线、线段、射线的认识，教材安排了折纸的活动，通过学生的
折纸，获得其中的折痕，应该说，这些折痕都是笔直的。然后对这些折痕作不同的处理。有两个端点的称为线段，只有一个端点的为射线，没有端点是直线。这些活动对学生建立上述三个概念，可能会起一定的作 用。 又如在平行线的认识上，安排了在方格纸上平移铅笔的活动，通过对平移前后的比较，引出了平行线。接着，在练习中，又安排了“移一移”、“折一折”等活动，以进一步让学生认识平行线。“实践活动”中说一说正方体中哪几条棱是互相平行，也需要学生通过动手操作、仔细观察才能寻找到其中的答案。
同样，在垂线、平角、周角以及量角与画角中，也安排了很多动手操作的活动。对于这些活动，教师应尽可能创造条件，让每个学生都能有积极参与的机会，以提供他们形象地认识抽象概念的平 台。 2. 在实际情境中，提高 数学应用的意识 在学生生活的环境中，存在着大量的数学问题，这些问题是学生学习数学与应用数学的很好题材，所以，在教学的过程中，多让学生从身边的、常见的、能感受的现象中学习概念，是学习理解概念、应用概念的有效途径。
7.2 力的描述 教师寄语：大胆一点，积极一点，快乐一点，成功一点！ 学习目标：目标明确，行为才有效！ 1.知道力的三要素。 2.识记力的单位：牛顿。 3.会画力的示意图和力的图示。 4.培养分析问题的能力。 教学重难点：力往这里使！ 【重点】力的三要素，用力的图示法表示一个已知的力。 【难点】力的图示。 温馨提示：相信它会为你的学习、探究带来帮助！ 1.力的作用效果要受到大小，方向和作用点的影响，它们称为力的三要素。 2.力的单位是牛顿（N），一本物理书约重3N，一瓶矿泉水重12N。 3.力是很抽象的，我们只能看到它所产生的效果，为了便于理解，表述和交流，人们常用一些直观、形象的图样来表现它们，力的图示就是其中的一种形象直观的表现方法。它是不是和地图上的比例尺有几分相似呢？ 课前热身：试一试，你一定行！ 1.力的_________、_________和___________称为力的三要素，它们能改变力的______________。 2.力的作用效果：一是改变物体的______（或使物体发生_________）；二是改变物体的________________。 3.人们常在受力物体上沿力的方向画一条__________的线段，表示物体在这个方向上所受的力，线段的长度表示____________，箭头的方向表示___________，这种表示力的形式叫做_______________。 课堂探究：亮出你的观点，秀出你的个性，展示你的风采！ 聚焦目标一：知道力的三要素和力的单位 1.阅读教材第5页第一、二自然段内容。 探究：如图7-2-2所示， （a）用大小不同的力推课本，力的作用效果不同，说明力的作用效果跟力的_______有关。 （b）用不同方向的力推课本，力的作用效果不同，说明力的作用效果跟力的_______有关。 （c）用大小和方向都相同的力从不同点推课本，力的作用效果不同，说明力的作用效
课题：23.1图形的旋转（1） 【学习目标】 1、掌握旋转的定义以及相关概念； 2、理解旋转的基本性质； 3、利用性质解 决相关问题。 把一个平面图形_平面内某一点O ______________ 个角度，就叫做图形的旋转， 点 0 叫做 __________ ，转动的角叫做 __________ 。因此，旋转的决定因素是 ______________ 和 _________ _ 、剖析展示 1. 钟表的分针匀速旋转一周需要 60分.（1）指出它的旋转中心； ⑵经过20 分，分针旋转了 ___________ . 2 .如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB ，它绕0点按顺时针 方向旋转得到△ OEF ，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是 _____________ 转角 2）如图，已知△ABC 和直线L ,请你画出△ABC 关于L 的对称图形A A 'B'C 是 ___________ 2 ）经过旋转，点 A 、B 分别移动 ______________________ 3.如图：厶ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，厶ABD 经过旋转后到达 虫ACE 的位置。（1）旋转中心是 ___________________________ （2） 旋转了 _______ 度.（3）如果M 是AB 的中点，那么经过上述 旋转后，点M 转到了 ________________________ . （三）自学教材P60探究，总结归纳旋转的性质。 3） 圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ 4） 总结：（1）平移的有关概念及性质. （2 ）如何画一个图形关于一条直线（对称轴） 加勺对称图形并口述它既有的一 些性质. ① ______________________________________________________ ② _________________________________________________________________ ③ _________________________________________________________________ （四）旋转性质的应用 课本p61练习2. 3. （3）什么叫轴对称图形？ 【学习重点】旋转相关概念以及性质。 【学习难点】利用性质解决相关问题。 【学习过程】 一、自学指导 、归纳点拨 2、预习探究 B 1、引入导学 1）将如图所示 点B 的对应点为点 的四边形ABCD 平移, D ，作出平移后的图形. ED c E
《旋转与角》的教学反思 《旋转与角》的教学反思 一、充分发挥学生学习数学的主体性 这节课从复习锐角、直角、钝角到认识平角、周角都是由学生自己动手操作完成，在操作活动中自己掌握所学知识。学生以主人的身份参与了知识的发生、发展的全过程，是一个发现者，在整个教学活动中发挥了学生的主体性，也达到了让学生动手动脑相结合的目的。 二、让学生把数学与生活融合在一起 小学生学习的数学应该是生活中的数学，是学生“自己的数学”。数学来自于生活，又必须回归于生活。数学的教与学应该联系生活实际，注重现实体验，变传统中的“书本中学数学”为“生活中做数学”。在教学中，我让学生找一找、说一说生活中的平角和周角，比如：折扇、钟面、倒立等等。这些动作、物体都能从生活中发现到，从而使学生体会到数学来源于生活。 三、让学生在合作中学习 《新课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”课堂教学更加关注师生、学生之间的互动与交往。其中，交往意味着关系的平等和主动的参与，互动意味着民主的对生活与合作的建构。在本课中，学生之间合作了两次，分别讨论平角、周角是不是角。 四、让学生在实践操作中掌握知识
学生都喜欢在课堂上的操作活动，因此在折一折的活动能够主动探索进而发现直角、平角和周角的关系。还有一次是合作探究平角、周角与直角三者之间的'关系。通过共同的讨论、研究，大家得到共同的发展。 不足之处，主要有以下两点： 1、要更充分体现数学来源于生活，也要回到生活中去。在学生认识了平角和周角时，教师应引导学生辨认生活中的平角和周角，以更多的实例丰富他们对角的认识。 2、在课堂中齐问齐答的方式应少一些，多给学生独立发表自己想法的机会。
旋转【知识点一】旋转及其性质 1、旋转的定义： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫旋转中心，转动的角叫做旋转角。 旋转的三要素：________、________、________。 2、旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离________；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________； （3）旋转前后的图形________。 1、如图，△ABC和△ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（） A、△ABC与△ADE B、△ABC与△ABD C、△ABD与△ACE D、△ACE与△ADE 2、下列运动属于旋转的是（） A、滚动过程中的篮球的滚动 B、钟表的钟摆的摆动 C、气球升空的运动 D、一个图形沿直线对折的过程 【类型一】旋转性质问题 例1、如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B按顺时针旋转，使得点A与在线段CB的延长线上的点E 重合。 （1）直角三角尺绕点B旋转了多少度；（2）连接CD，试判断△CBD的形状； （3）求∠BDC的度数。 3、如图1，△ABC为直角三角形，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，AC = 4 cm，△ABC绕着点C按逆时针方向旋转90°后到达△DEC的位置，那么∠D = ，∠B = ，DE = cm，CE = cm，AE = cm，DB = cm，DE与AB的位置关系是。 图1 图2 图3 4、如图2，将△ABC绕点A旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为_________。 5、如图3，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE = 1，以点A为中心，把△ADE按顺时针旋转90°，得到△ABE’，连接EE’，则EE’的长等于________。 6、已知：如图，点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合。 （1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？ （2）若BP = 2，求PE的长。 【类型二】旋转重合问题：判断一个图形旋转几次，每次旋转多少度，关键是观察图形中
四年级数学上册《旋转与角》教学设计
教学过程 程二、新授 （一）活动1：用活动角，固定其中一条边，旋转另外一条边，摆一摆学过的各种角，并在下面画出来 锐角直角钝角 问：在摆的过程中你发现了什么？ 摆的过程中发现，角的两边张口越大，角度就越（） （二）活动2：继续旋转下去,当两条边在同一直线上的时候,边旋转边思考以下问题： 1.这时形成的图形还是角吗? 2.如果是能找到它的顶点和边吗?并尝试画它出来。 请学生展示画图，并要求学生指出顶点和边，然后强调画法 平角：? ??? 教师揭示：像这样角的两条边成一条直线且方向相反的角，数学上称之 为平角。举例说说生活中的平角。 （三）活动3：继续旋转下去,当两条边重合在一起的时候, 边旋转边思考以下问题： 1.这时形成的图形还是角吗 2.如果是能找到它的顶点和边吗?尝试画它出来 请学生展示画图，并要求学生指出顶点和边，然后强调画法 周角：???? 教师揭示：像这样角的两条边成一条直线且方向相反的角，数学上称之为 平角。举例说说生活中的平角。 （四）活动4：给每个同学发圆形卡纸，通过对折卡纸探索直角平角周角 的关系。 活动要求边折边思考，讨论： 1.把卡纸对折再对折，观察圆形纸片形成了一个什么角? 2.打开一下卡纸，这时你发现卡纸形成了一个什么角？它跟直角有什么关系？ 3.再打开卡纸，这时你发现卡纸又形成了一个什么角？它跟平角和直角又有什 么关系？ 4.平角等于多少度？周角等于多少度？ 通过动手 操作，让 学生体验 角的大小 变化情 况，理解 各种角是 可以由旋 转变化的 通过旋 转，理解 角的概 念，探索 平角和周 角的形 成，及其 画法
旋转与角。(教材第22~23页) 1.通过实物展示和操作活动,认识平角和周角,能找出生活中的平角和周角。 2.通过教学活动,知道锐角、直角、钝角、平角和周角的形成过程,理解各种角之间的关系。 3.培养学生的实际操作能力及逻辑思维能力。使学生得到美的教育,体会到数学美极了。 重点:认识平角和周角,理解各种角的形成过程。 难点:通过旋转与角的学习,理解各种角之间的关系。 活动角,直尺,圆形纸片。 1.观察图案的组成,请看大屏幕。 师:同学们,在我们的身边,有许多美丽的事物,而且还有不少和我们数学有关呢。今天,老师就请大家欣赏一幅我设计的装饰图案,你们觉得我设计得怎么样?美吗?(美)谢谢大家的鼓励,这幅图案看起来很美,它是由许多数学密码组成的。这些数学密码,就是我们学过的图形,你能看出来吗? 学生指出有锐角、直角和钝角,教师指名让学生上前指出发现的角。 师:同学们都发现了吗?原来这幅图就是由直角、锐角、钝角组成的,这些看似普通的角,组成的图案美不美呀?(美)真是美极了! 2.复习角的静态定义以及各部分的名称。 师:那现在我们来回忆一下,什么叫作角呢?我们以前认识过哪几种角?能不能把它们按从大到小的顺序排列一下。 教师指名,学生回答问题。 3.观察钟面,发现运动着的角。 师:刚才我们从一幅图案中发现了美丽的角,但是我们的生活中还有许多的事物,每时每刻都在运动变化,你有信心寻找到数学密码吗?(有) (教师出示钟面模型,旋转上面的分针或时针,引导学生观察。) 师:请大家仔细观察这个钟面,在时针和分针不停地旋转的过程中,它们组成了什么图形?寻找到这个数学密码的同学请举手。 生1:形成了角。
《无题》导学案 主备人：河南扶沟县崔桥镇一中于晓曦 教学目标： 1、了解李商隐，理解诗句的含意，背诵全诗。 2、理解诗人对爱的深刻认识，体会诗句之外的深刻含义。 教学重点：目标1. 教学难点：目标2. 教学方法：朗读、研讨。 课型：新授课。课时数：1课时 教学过程： 一、情境导入： 同学们，我们了解到了“大李杜”指的是（李白、杜甫），那么大家回忆一下“小李杜”指的是谁？（李商隐和杜牧），这堂课我们一起来学习李商隐的一首诗《无题》（板书题目《无题》） 二、整体感知： 1、作者简介：李商隐（813-858），字义山，号玉谿生，怀州河内（今河南沁阳县人）。唐代后期，统制集团内部党派斗争激烈，而李商隐与当时刘党、李党都有关系，他年轻时受牛党令狐楚赏识而中进士，后来又被李党王茂元招为女婿，因此牛党认为他背恩负德。牛党掌权后，他一直在政治上受到压抑，郁郁不得志，成了牛、李党争的牺牲品。46岁时死在荥阳。李商隐的诗歌，有的抒发自己政治失意的痛苦心情，有的反映晚唐的政治生活，有的是托古讽今的咏史之作，还有一类描写爱情生活的无题诗，最为后代读者所喜爱。他的诗有独特的艺术成就，构思新巧，词藻华美，想象丰富，格律严整，风格婉转缠绵。但有的作品伤感情调比较浓重，用典过多，隐晦难解。有《李义山诗集》。 2、背景资料：《无题》李商隐一生政治上很不得意。他擅长律绝、富于文采，具有独特风格，然用典过多，意旨隐晦。无题诗很有名，都有很美的意境。他写的《无题》共十多首。这首是爱情诗，抒写恋人之间的离别相思。 3、学生自由朗读，师生齐读。 三、细读品味、合作探究： 1、“相见时难别亦难”中的两个“难”分别是什么意思？作者突出的是哪一种难？ 2、“东风无力百花残”这句景物描写在诗中有什么作用？ 3、“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”是千古名句，你怎样理解？ 4、“蓬山此去无多路，青鸟殷勤为探看”中用了两个典故，分别表达了什么意思？
23.3 课题学习图案设计 一、导学 1.导入课题：请同学们观察欣赏下列图案（投影）.你能用平移、旋转或轴对称分析下图中各个图案的形成过程吗？这节课我们一起走进图案设计——板书课题. 2.学习目标： （1）学会利用旋转变换进行图案设计,设计出各种图案. （2）学会利用平移、轴对称、旋转的知识,进行多角度、多手法的组合设计方案. （3）会分析一种图案的设计方法. 3.学习重、难点： 重点：会分析寻求一些图案的设计手法. 难点：学会利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合设计出图案． 4.自学指导： （1）自学内容：教材第72页的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：动手操作,小组合作交流. （4）自学参考提纲： ①观看引入中的图形,相互交流一下：它们是由哪些基本图形通过怎样的变换得到的？ ②学生亲自动手操作：按下面的步骤,请每一位同学完成一个别致的图案. 第一步：准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a）； 第二步：把纸片任意撕成两部分（如图b、c）； 第三步：将撕好的一部分（如图b）沿正三角形的一边作轴对称,得到新的图形（如图d）； 第四步：并将上一步中得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转,得到图e； 第五步：把图e平移到图c的右边,得到图f； 第六步：对图e进行适当的修饰,得到一个别致美丽的的图案（如图g）. A b c d e f g
③试分析说明下面右边的图案是通过左边的基本图形（等腰直角三角形）进行怎样的变换得到的？ 右边的图案是由左图的图案绕点A逆时针依次旋转 45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°得到的. ④以所给图案为基本图形,运用平移、轴对称或旋转设计一个图案. 二、自学学生可参考自学指导进行动手操作,互相交流体会. 三、助学 1.师助生： （1）明了学情：明了学生参与活动的情况. （2）差异指导：根据学情进行相应指导. 2.生助生：小组内相互交流、研讨. 四、强化 1.展示自己的作品,交流创作心得. 2.图案设计的基本方法. 五、评价[HT〗 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中有何收获？能否感受到学以致用的成功体验？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生的动手操作,创意设计等. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）:在教学过程中,引导学生动手实践,以创造性地运用数学知识进行图案设计为主线,增强学生学好数学的信念,更好地提高学生的动手操作能力和实践能力.从课堂表现和学生表现来看,学生能够充分发挥主观能动性,创造性地进行图案设计,较好地完成学习任务.
微课视频教学设计 ---《认识平角和周角》 张掖市山丹县东街小学陈艳红 教学内容及背景： 这节微课展现的是北师大版小学数学四年级上册第二 单元《线与角》中第四课时《旋转与角》中的重点教学内容。在此之前，学生已经认识了锐角、直角、钝角，感知了图形的旋转，在此基础上,本课从旋转活动角（纸条）入手,使学生体会旋转过程中角的变化,从而引入平角和周角的概念。本课教学内容具有活动性、 过程性和体验性的特点。 设计思路： 《认识平角和周角》是《旋转与角》中的重点内容，我 紧紧抓住旋转这个主要活动，通过视频展示角的旋转过程激 发学生的学习兴趣，引导学生动手操作，亲身体验平角和周 角的形成过程。视频教学中我将直观的课件和精炼的讲解恰 当地结合起来，使抽象的数学知识具体化，生动直观地让学 生理解和掌握知识。学生在观看视频的过程中，能够在主讲 老师的引导下，自主参与到学习活动中，轻松愉快地学习和 掌握知识。 教学目标： 1.认识平角的周角，初步建立平角和周角的概念。 2.掌握直角、平角、周角之间的关系。
3.通过转一转、量一量、拼一拼等活动培养学生操作、观察、抽象概括的能力，发展学生的空间观念。 教学重点： 认识平角和周角并掌握直角、平角、周角之间的关系。 教学难点： 掌握平角和周角的特征。 教学方法： 通过视频引导学生跟随主讲老师动手操作，开动脑筋，积极热情地参与到各个教学环节中。 教具准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、引入课题 师：我们已经认识过锐角、直角、和钝角，这节课我们一起认识两种特殊的角。 二、复习过渡 教师借助多媒体课件演示活动角的旋转过程（将角的一边固定，另一边进行旋转），带领学生旋转自制的活动角，进一步熟识锐角、直角和钝角。 三、探索新知 1.认识平角，建立平角的概念。 （1）认识平角的特征。
图形的平移与旋转 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.图形的平移 (1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运 动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换． ②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这 两个要素是图形平移的依据． ③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只 改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质 的依据． （2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质： 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征． ②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间 的性质，又可作为平移作图的依据． （3）简单的平移作图 平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移 的方向；③平移的距离． 2.图形的旋转 （1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的一种 基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度． （2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发 生变化． （3）简单图形的旋转作图 两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小； ②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点． 作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点； ②顺次连接各点得到旋转后的图形． （4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变 换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。 （二）：【课前练习】 1.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH， 填空（1）CD=______，（2）∠ F＝______ （3）HE= ，（4）∠D=_____， （5）DH=_________ 2.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的， 则线段CD、AB关系是__________.
《旋转》第二节中心对称导学案1 主编人：主审人： 班级：学号：姓名： 学习目标： 【知识与技能】 1、通过具体实例认识两个图形关于某一点或中心对称的本质：就是一个图形绕一点旋转180°而成. 2、掌握成中心对称的两个图形的性质，以及利用两种不同方式来作出中心对称的图形. 【过程与方法】 利用中心对称的特征作出某一图形成中心对称的图形，确定对称中心的位置. 【情感、态度与价值观】 经历对日常生活与中心对称有关的图形进行观察、分析、欣赏、动手操作、画图等过程，发展审美能力，增强对图形的欣赏意识. 【重点】 中心对称的性质及初步应用. 【难点】 中心对称与旋转之间的关系. 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋 转后的三角形，?并写出简要作法． 作法：（1） （2） （3） （4） 即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示． （二）自主探究 1、观察、实验：选择你最喜欢的一幅图，用透明纸覆盖在图上，描出其中的一部分，用大 头针固定在Ｏ处。旋转180°后，你有什么发现？ （1）（2）（3） 发现：把一个图形绕着某一个旋转，如果他们能够与另一个图形，那么就说这个图形或，这个点叫做，这两个图形中的叫做关于中心的. 2、组内交流 在图5中，我们通过实验知四边形A B C D和四边形A＇B＇C＇D＇关于点Ｏ对称。 （1）你知道它的对称中心、对称点吗？
（2）连接A A＇、B B＇、C C＇、D D＇你有什么发现？ （3）线段AB、BC、CD、DA的对应线段是什么？AB与A＇B＇的关系是怎样的？四边形ABCD 和四边形A＇B＇C＇D＇有什么关系？为什么？ （三）、归纳总结： 1、默写中心对称的概念： 2、中心对称的性质： 1） 2） （四）自我尝试： （1）、已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点A＇。 （2）、已知如图△ABC和点O，画出与△ABC关于点O的对称图形A＇B＇C＇。 二、教师点拔 1、中心对称与图形旋转的关系？ 轴对称中心对称 有一条对称轴---（）有一个对称中心---（） 图形沿对称轴 (翻折180°)后重合图形绕对称中心后重合 对称点连线经过 ,且被对称 对称点的连线被对称轴 中心
《旋转与角》教学设计 教学内容：北师大版小学数学教材四年级上册第24页试一试上面。教学目标：1、通过教学操作活动，认识平角、周角。2、通过教学，知道锐角、直角、钝角、平角、周角的形成过程，理解各种角之间的关系。3、培养学生的实际操作能力及逻辑思维能力。教学重难点：掌握平角、周角的特征。学具：做活动角的小棒，教学过程：教学过程：一、动手操作，重温角的有关知识1、认识角的形成过程。（课件显示一个角）师：这是什么？角怎样是怎样组成的呢？生：角有一个顶点，两条边。师：角有一个顶点，两条边，它是怎样形成的呢？……请同学们看屏幕。演示课件：（出示顶点，由顶点引出两条射线）师小结：由一个顶点引出两条射线所组成的图形叫做角。2、复习锐角、直角、钝角师：同学们，你们已经认识了哪些角？生：锐角、直角、钝角师：现在请同学们利用活动角摆一个直角，摆好的把它举起来，让我们大家看看。（板书：直角）师：怎样的角叫直角？生：两条边互相垂直时所组成的角就是直角。师：那锐角怎么摆呢？摆好的把它举起来，让我们大家看看。（板书：锐角）怎样的角才是锐角？生：小于直角的角叫锐角。师：请同学们继续摆出一个钝角，摆好的把它举起来，让我们大家看看。（板书：钝角）师：怎样的角叫钝角？生：大于直角的角叫钝角。师：同学对锐角、直角和钝角的知识掌握得很好的，下面我们一起来看看锐角、直
角、钝角的形成过程。请看屏幕，课件演示。二、动手操作，探究新知。 1、揭示课题，探究新知师：刚才我们通过动手操作发现利用活动角通过旋转，可以得不同类型的角，这节课我们进一步探究“旋转与角”的问题。（板书课题：旋转与角）（1）认识平角师：如果固定活动角的一条边，转动另一条边，当旋转到钝角后，我们还能旋转吗？生1：能！师：好！请大家观察老师的“活动角”，看它继续旋转会得到什么角？生2：平角师：我们一起来看看这个角的什么特点？生3：角的两条边在同一条线上（角的两条边旋转形成一条直线）。师：角有顶点吗？生4：有师：在哪儿？生5：让学生到讲台上指着老师的活动角来说师：像这样，角的两条边旋转成一条直线时所形成的角，我们称它为平角。下面我们一起来看看平角的形成与画法。（板书：平角）师：请同学们也旋转自己的活动角，使它成为一个平角，并与同伴说一说它的边和顶点。（请一位学生演示旋转的过程，并指出它的边和顶点。）（2）认识周角师：看来我们班的同学操作能力挺强的！现在我们接着转。这个角比平角要怎么样？（大）那现在（两条边重合）呢？它还是角吗？它是什么角？生：周角。师：它是怎样形成的？引导学生回答：角的一条边绕着顶点旋转一周，角的两边重合在一起了。师小结：像这样“角的一条边绕着顶点旋转一周，两边重合在一起了所形成的角”我们叫它作周角。下面我们再来认真观察周角的形成与画法。（课件显示）师：请同们也旋转自己的活动角，使它成为一个周角，并与同伴说一
23-7图案设计人教九上一、学习目标利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案； 了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转……理解简单图案设计的意图； 认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用，能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合，设计出简单的图案． 二、知识回顾1．平移变换、轴对称变换、旋转变换的性质分别是什么？ 平移变换的性质： （1）对应线段平行（或共线）且相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等； （2）对应角相等； （3）平移后的图形与原图形全等. 轴对称变换的性质： （1）关于直线对称的两个图形全等；、 （2）如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线； （3）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或延长线的交点在对称轴上. 旋转变换的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； （2）对应点与旋转中线所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等. 2．想一想，这三种图形变换有什么共性？ 它们都不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化． 三、新知讲解1．分析图案的形成过程 分析图案的形成过程应按如下步骤进行： （1）划分出组成原图案的最基本的图形； （2）说明将该基本图形运用平移、轴对称、旋转中的哪些图形变换，通过怎么样的变换方式得到原图案． 2．图案设计 设计方法： 利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种进行设计，也可以利用这些图形变换的组合进行图案设计．
设计步骤： （1）确定设计的图案所表达的意图； （2）分析图案所给定的基本图形； （3）确定基本图形，综合运用平移、旋转、轴对称变换，力求设计出的图案形式清晰、寓意明确． 四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！ 1．分析图案的形成过程 【例1】如图所示，你能运用平移，旋转与轴对称的观点分析其形成过程吗？ 总结： 1．分析图案的形成过程，应注意运用平移、轴对称、旋转进行描述，只要合理就行. 2．关键是将基本图形从组合图形中分离出来，并再现此基本图形的变换过程． 练1．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、 轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 2．利用平移、轴对称、旋转设计图案 【例2】（2011?漳州）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国 古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图 案．画图要求：
《旋转与角》教学设计 上伏完小刘庆芳 教学内容： 北师大数学教材四年级上册“旋转与角”。 学习目标 1、我能从操作活动，认识平角和周角，知道锐角、直角、钝角、平角和周角的形成过程。 2、我能辨认平角和周角，了解锐角、直角、钝角、平角和周角之间的大小关系。 教学重、难点 教学重点：认识平角和周角，理解平角和周角的形成过程及其特点。 教学难点：对平角和周角概念的判断及其特点。 教法学法： 为了实现教学目标，更好地突出重点突破难点，在教学过程中，采用了多媒体课件的演示，学生观察、小组讨论、比较、探究总结等方法，充分调动学生学习的积极性，让学生主动参与知识的探究过程。 教学用具： 教具：活动角、三角板。 学具：活动角，尺子、三角板。 教学过程： （一）复习旧知，引出新知。 1、复习角的静态定义以及各部分的名称。 教师指名学生回答问题，边回答边出示：顶点、两条边 结论：从一点引出两条射线所组成的图形就是角。 （设计意图：前面引出了角，紧接着复习角的定义和学过的几种角，过渡自然，也为后面的学习做了非常有效的铺垫。）
2、展示活动钟面，揭示课题： 师：在我们的生活中有许多的物体每时每刻都在运动变化着，在运动变化的过程中也会产生各种角，比如钟表，（课件展示）问：钟表上的时针和分针会运动吗？它们是怎样运动的？在旋转中时针和分针有没有组成角呢？ 今天，我们就来欣赏和研究旋转变化中的角。 板书课题：旋转与角 （设计意图：用会动的钟表课件引发学生发现物体在运动旋转变化中也可产生角，但到底是哪些角呢？吸引了学生的探究兴趣，同时自然地揭示出了本课课题。） (二）动手操作，自主探索 1、学生操作，引出锐角、直角、钝角，重点找出直角的特点。 师：老师用两根纸条代表两条边，用一个图钉把它们的一端固定，再固定其中的一条边，然后旋转另一条边就可以得到不同的角。 请同学们拿出自己的学具，按照老师的要求旋转出一个锐角。一名学生黑板上演示，师画出锐角。 再让学生旋转出直角，方法同上。让学生观察直角的两条边，说说有什么特点。（直角的两条边互相垂直） 师：请同学们继续旋转，再旋转出一个钝角。方法同上。 2、操作活动，探究平角。 师：还能继续旋转吗？师演示，当两条边在一条直线上后，问，这是一个角吗？请同桌交流讨论。 生一：不是。 生二：是。 分别让学生说说为什么。师生共同探讨：符合一个角的条件是什么？ 生：一个顶点和从这个顶点引出的两条边。