浦东新区2019学年第二学期初二年级数学学科
期末教学质量监控测试题
（满分100分，考试时间90分钟）题号一二三四五六总分得分
考生注意：1．本试卷含六个大题，共25题；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解答的主要步骤.
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
的图象在y轴的截距是（）
A．﹣2 B．C．2D．
2．一次函数y=6x+1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列方程中，有实数根的是（）
A．B．C．2x2+3x+1=0 D．2x4+3=0
4．将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方
向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（）
A．B．C．D．
5．（如图，在?ABCD中，等于（）
A．B．C．D．
6．（2分）（2013?普陀区模拟）对角线互相平分且相等的四边形是（）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）把直线向下平移4个单位，所得的直线解析式为_________．
8．（3分）（2014?杨浦区三模）方程的根是_________．
9．（3分）如图，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上，且x1＞x2，比较y1和y2的大小：_________．
10．（3分）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2=0可以化为两个一次方程，这两个一次方程是：_________ 11．（3分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程
是_________．
12．（3分）5把钥匙中有2把是开房门的钥匙，则第一次就把房门打开的概率是_________．13．（3分）（2012?泉州质检）n边形的内角和等于1080°，则n=_________．
14．（3分）对角线长为的正方形面积等于_________．
15．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，FG是梯形DBCE的中位线，若FG=6，则BC=_________．16．（3分）如图，已知菱形ABCD中，∠ABC是钝角，DE垂直平分边AB，若AE=2，则DB=
_________．
17．（3分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB=4，若梯形ABCD 的周长为24，则△AED的周长为_________．
18．（3分）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC 的长为_________．
三、解答题（本大题共8题，满分52分）
19．（5分）解方程组：．
20．（5分）如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）写出所有与互为相反向量的向量；
（2）试用向量、表示向量，则=_________；
（3）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．试说明：
∠EBF=∠FDE．
22．（5分）（2011?百色）为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把
免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．小
张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开．
（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）
（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？
23．（6分）某物流公司的快递车和货车每天沿同一公路往返于A、B两地，快递车比货车多往返一
趟．图表示快递车与货车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已
知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快
递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）两车在途中相遇的次数为_________次；（直接填入答案）
（2）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
24．（6分）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天；乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天；甲、乙两组合做24天完成．请问甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 25．（8分）已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，点E 是BC 的中点，点F 是DC 的中点，连接AE 交BD 于点G ． （1）求证：AE=DC ；
（2）求证：四边形EFDG 是菱形．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ ．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ． （1）求点B 的坐标；
（2）当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，求证：∠ABQ=90°；
（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019学年上海市崇明县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）函数的图象在y轴的截距是（）
A．﹣2 B．C．2D．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
专题：探究型．
分析：令x=0，求出y的值即可．
解答：
解：令x=0，则y=﹣．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的横坐标为0是解答此题的关键．
2．（2分）（2011?河北）一次函数y=6x+1的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：一次函数的性质．
专题：存在型；数形结合．
分析：先判断出一次函数y=6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=6x+1中k=6＞0，b=1＞0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选：D．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
3．（2分）下列方程中，有实数根的是（）
A．B．C．2x2+3x+1=0 D．2x4+3=0 考点：无理方程；根的判别式．
专题：计算题．
分析：分别根据分式方程、无理方程的解法，判断、解答即可．
解答：
解：A、∵≥0，
∴≥3，
∴方程无解；
B、，
方程有意义，则x﹣2≠0，x≠2，
解得，x=2；
∴方程无解；
C、2x2+3x+1=0，
∵△=9﹣4×2×1=1＞0，
∴方程有实数根；
D、2x4+3=0，
∵2x4≥0，
∴2x4+3≥3，
∴方程无解；
故选C．
点评：本题考查了无理方程、分式方程及一元二次方程以及高次方程的解法，在解答无理、分式方程时，x的取值必须使方程有意义，注意验根．
4．（2分）将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（）
A．B．C．D ．
考点：几何概率．
专题：计算题．
分析：首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
解答：解：∵圆被等分成8份，其中红色部分占3份，
∴落在红色区域的概率=．
故选B．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．
5．（2分）如图，在?ABCD中，等于（）
A．B．C．D．
考点：*平面向量．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，求得=，然后由平行四边形法则求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
即=，
∴=+=．
故选B．
点评：此题考查了平面向量的知识．解题的关键是注意平行四边形法则的应用．6．（2分）（2013?普陀区模拟）对角线互相平分且相等的四边形是（）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
考点：矩形的判定．
分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．
解答：
解：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．
点评：本题考查了矩形和平行四边形的判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度不大．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）把直线向下平移4个单位，所得的直线解析式为．
考点：一次函数图象与几何变换．
分析：根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
解答：
解：由题意得：平移后的解析式为：y=x+1﹣4=x﹣3，
即y=x﹣3．
故答案为：．
点评：此题考查了图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．
8．（3分）（2014?杨浦区三模）方程的根是x=2．
考点：无理方程．
专题：计算题．
分析：先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得到x1=2，x2=﹣1，把它们分别代入原方程得到x2=﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x=2．
解答：解：方程两边平方得，x+2=x2，
解方程x2﹣x﹣2=0得x1=2，x2=﹣1，
经检验x2=﹣1是原方程的增根，
所以原方程的根为x=2．
故答案为x=2．
点评：本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
9．（3分）如图，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上，且x1＞x2，比较y1和y2的大小：y1＜y2．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
专题：推理填空题．
分析：先根据函数图象判断出函数的增减性，再根据x1＞x2，比较y1出y2的大小．
解答：解：由图可知，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为y1＜y2．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，弄清函数增减性是解题的关键．
10．（3分）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2=0可以化为两个一次方程，这两个一次方程是：x﹣4y=0，x+2y=0．
考点：高次方程．
专题：计算题．
分析：二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2=0的中间项﹣2xy=﹣4xy+2xy，根据十字相乘法，分解即可．
解答：解：∵x2﹣2xy﹣8y2=0，
∴（x﹣4y）（x+2y）=0，
∴x﹣4y=0，x+2y=0．
故答案为x﹣4y=0，x+2y=0．
点评：本题考查了高次方程，熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键，考查了学生熟练分解因式的能力．
11．（3分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是3y2+3y﹣2=0．
考点：换元法解分式方程．
专题：计算题．
分析：由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．
解答：
解：设y=，
方程﹣+3=0变形为3y﹣+3=0，
整理得：3y2+3y﹣2=0．
故答案为：3y2+3y﹣2=0
点评：此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
12．（3分）5把钥匙中有2把是开房门的钥匙，则第一次就把房门打开的概率是．
考点：列表法与树状图法．
分析：由5把钥匙中有2把是开房门的钥匙，利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵5把钥匙中有2把是开房门的钥匙，
∴第一次就把房门打开的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）（2012?泉州质检）n边形的内角和等于1080°，则n=8．
考点：多边形内角与外角．
分析：由n边形的内角和等于1080°与n边形的内角和为180°（n﹣2），即可得方程180°（n﹣2）=1080°，解此方程即可求得答案．
解答：解：∵n边形的内角和等于1080°，
∴180°（n﹣2）=1080°，
解得：n=8．
故答案为：8．
点评：此题考查了多边形的内角和与一元一次方程的解法．此题比较简单，注意掌握n边形的内角和为180°（n﹣2），注意方程思想的应用．
14．（3分）对角线长为的正方形面积等于1．
考点：正方形的性质．
分析：
正方形既是菱形又是矩形，故正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算，即S=ab（a、b 为对角线长）．
解答：解：正方形的对角线相等，所以正方形对角线长均为，
正方形既是菱形又是矩形，
则S=ab（a、b为对角线长）
=××
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了正方形对角线相等的性质，考查了正方形既是菱形又是矩形的性质，考查了正方形面积计算公式，本题中用菱形面积计算公式求正方形的面积是解题的关键．
15．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，FG是梯形DBCE的中位线，若FG=6，则BC=8．
考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理．
分析：首先根据梯形的中位线定理得到梯形DBCE的两底的和，然后根据三角形中位线定理求得线段BC的长．
解答：解：∵FG是梯形DBCE的中位线，
∴DE+BC=2FG=2×6=12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴DE+BC=BC+BC=BC=12，
解得：BC=8，
故答案为：8．
点评：综合考查了三角形的中位线定理及梯形的中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线定理用三角形的中位线表示出三角形的底边．
16．（3分）如图，已知菱形ABCD中，∠ABC是钝角，DE垂直平分边AB，若AE=2，则DB=
4．
考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
专题：数形结合．
分析：根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可得出BD=AD，然后根据AE=2可求出AB的值，继而根据菱形的四边相等的知识可得出BD的长．
解答：解：∵DE垂直平分边AB，
∴DB=DA，AE=EB，
∴AB=2AE=4，
∴AB=AD=BD=4（菱形的四边形等）．
故答案为：4．
点评：本题考查了菱形及线段垂直平分线的性质，属于基础题解答本题的关键根据题意判断出BD=AD，从而利用菱形的性质解答．
17．（3分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB=4，若梯形ABCD 的周长为24，则△AED的周长为16．
考点：梯形．
专题：计算题．
分析：因为AB∥CD，DE∥CB，所以，四边形EBCD是平行四边形，则EB=CD=4，ED=BC，又梯形ABCD的周长为24，即AB+BC+CD+AD=24，所以，AE+BC+AD=16，即AE+DE+AD=16；解答：解：∵AB∥CD，DE∥CB，
∴四边形EBCD是平行四边形，EB=4，
∴EB=CD=4，ED=BC，
又∵梯形ABCD的周长为24，
∴AB+BC+CD+AD=24，EB+CD=8，
∴AE+BC+AD=16，
∴AE+DE+AD=16，
即△AED的周长为16；
故答案为：16．
点评：本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把△AED的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想．
18．（3分）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC 的长为．
考点：等腰梯形的性质；菱形的性质．
专题：探究型．
分析：根据图象可知∠ADC=2∠A，又两邻角互补，所以可以求出菱形的锐角内角是60°；再根据AD=AB可以得出梯形的上底边长等于腰长，即可求出梯形的下底边长，所以菱形的边长可得，线段AC便不难求出．
解答：解：根据图象可知∠ADC=2∠A，又∠ADC+∠A=180°，
∴∠A=60°，
∵AB=AD，
∴梯形的上底边长=腰长=2，
∴梯形的下底边长=4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），
∴AB=2+4=6，
∴AC=2ABsin60°=2×6×=6．
故答案为：6．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质，仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是
解本题的关键．
三、解答题（本大题共8题，满分52分）
19．（5分）解方程组：．
考点：高次方程．
分析：首先对方程（1）进行因式分解，经分析得：2x+y=0或2x﹣y=0，然后与方程（2）重新组合成两个方程组，解这两个方程组即可．
解答：解：由方程①，得2x+y=0或2x﹣y=0．（2分）
将它们与方程②分别组成方程组，得
（Ⅰ）或（Ⅱ）（2分）
方程组（Ⅰ），无实数解；（1分）
解方程组（Ⅱ），得，（2分）
所以，原方程组的解是，．（1分）
点评：本题主要考查解二元二次方程组，关键在于正确的对原方程的两个方程进行因式分解．20．（5分）如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）写出所有与互为相反向量的向量；
（2）试用向量、表示向量，则=﹣；
（3）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
考点：*平面向量；平行四边形的性质．
分析：（1）由点E是BC边的中点，根据相反向量的定义，即可求得答案；
（2）由在?ABCD中，点E是BC边的中点，易得=，=，然后由三角形法
则求得答案；
（3）由三角形法则，即可求得答案．
解答：解：（1）∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∴与互为相反向量的向量为：；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴=，
∵点E是BC边的中点，
∴=，
∴=﹣=．
故答案为：﹣；
（3）如图：=；
=+=．
∴与即为所求．
点评：此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握三角形法则的
应用，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．试说明：
∠EBF=∠FDE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：通过三角形全等得出DE=BF与BE=DF，即四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD=BC，∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF，
同理BE=DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠FDE．
点评：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
22．（5分）（2011?百色）为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把
免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．小
张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开．
（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）
（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？
考点：列表法与树状图法．
专题：图表型．
分析：（1）开始以后有两种选择，即入口A或B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示；
（2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．解答：解：（1）用树状图分析如下
（2）小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，∴P（小张不从同一个验票口进出）=．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
23．（6分）某物流公司的快递车和货车每天沿同一公路往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车与货车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）两车在途中相遇的次数为4次；（直接填入答案）
（2）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）由图象观察得出货车和快递车在途中相遇的次数是4次；
（2）通过图象观察可以求出快递车和货车的速度，从而可以求出E、C的坐标，再用待定系数法就可以求出直线EF和CD的解析式，根据其解析式就可以求出最后一次相遇的交点坐标而得出结论．解答：解：（1）由图象得：两车在途中相遇的次数为4次．
故答案为：4；
（2）由题意得：
快递车的速度为：400÷4=100，
货车的速度为：400÷8=50，
∴200÷50=4，600÷100=6
∴E（6，200），C（7，200）．
如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1，
∵图象过（10，0），（6，200），
∴，
∴k1=﹣50，b1=500，
∴y=﹣50x+500①．
设直线CD的解析式为y=k2x+b2，
∵图象过（7，200），（9，0），
∴，
∴k1=﹣100，b1=900，
∴y=﹣100x+900②．
解由①，②组成的方程组得：
，
解得：，
∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车从A地出发了8小时．
点评： 本题考查了学生识别和阅读函数图象的能力，待定系数法求函数解析式的运用，解答本题时
根据图象求出其解析式是关键．
24．（6分）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天；乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天；甲、乙两组合做24天完成．请问甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？
考点： 分式方程的应用． 分析： 设规定时间为x 天，进而表示出两人完成总工作量的时间，利用两人完成总工作量所占比例
之和等于1得出分式方程求出即可．
解答： 解：设规定时间为x 天，根据题意可列方程：
，
解得：x 1=28，x 2=2，
经检验x 1=28x 2=2都是原方程的根， 但x 2=2不合题意，舍去， 由24＜28知，
甲乙两组合做能在规定时间内完成
答：甲乙两组合做能在规定时间内完成．
点评： 本题考查了分式方程的应用，等量关系：甲、乙两组合做24天完成，表示出两人完成总工作
量所占比例之和等于1是解题关键．
25．（8分）已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，点E 是BC 的中点，点F 是DC 的中点，连接AE 交BD 于点G ． （1）求证：AE=DC ；
（2）求证：四边形
EFDG 是菱形．
考点： 梯形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质． 分析： （1）由点E 是BC 的中点，BC=2AD ，易得EC=AD ，则可得四边形AECD 是平行四边形，
即可得AE=DC ； （2）易证得四边形EFDG 是平行四边形，即可得平行四边形ABED 是矩形，则可证得GD=DE ，即可得平行四边形EFDG 是菱形．
解答： （1）证明：∵点E 是BC 的中点，BC=2AD ，
∴EC=BC=AD ，
又∵AD ∥BC ，
∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AE=DC ；
（2）证明：连接DE ，
∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴EF ∥BD ，
∵四边形AECD 是平行四边形， ∴AE ∥DC ，
∴四边形EFDG 是平行四边形， ∵AD ∥BE 且AD=BE ，
∴四边形ABED 是平行四边形， 又∵∠ABE=90°，
∴平行四边形ABED 是矩形， ∴AE=BD ， ∴GD=GE ，
∴平行四边形EFDG 是菱形．
点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ=90°；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题．
分析：（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标，
（2）根据∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总恒成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°，
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
解答：（1）解：如图1，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=，OC=AC=1，
即B（，1）；
（2）证明：如图2，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB 中，
∵，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．①如图2，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=，
∴此时P的坐标为（﹣，0）．
②如图3，当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2，
∴此时P 的坐标为（2，0）．
综上，P的坐标为（﹣，0）或（2，0）．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用分类讨论得出是解题关键．