§3.1 变化率与导数（１） 学习目标
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；
2．会求函数在某一点附近的平均变化率；
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
学习过程
一、新课导学
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
新知：平均变化率：_______________=_______
试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，
即
x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，
函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x
??，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
※ 典型例题
例1已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，1.1]；
（2）[1，2]
变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x
??=
小结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
※ 学习探究二
问题3：计算运动员在49
650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
2．导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
0000()()lim
lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()
()lim
x f x x f x f x x ?→+?-'=? 说明： 00000 1. ()2. ()3. ()4. f x x x f x x f x ''?'与的值有关.不同的 ,其导数值一般也不相同.
与的具体取值无关。
可以不存在。
瞬时变化率与导数是的两个名称.
同一概念※ 典型例题
例2 位移s （t ） (单位：m)与时间t(单位：s)的关系为：s （t ）=３ｔ＋１，求ｔ＝２时的瞬时速度ｖ．
练习 ｆ(x)=3x+5,求)2('f
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
小结
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-； 第二步：求平均变化率
0()f x x y x x
+??=??； 第三步：取极限得导数00()lim x y f x x
?→?'=?.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ）
A ．0()f x x +?
B ．0()f x x +?
C ．0()f x x ?
D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +?
B ．96t t
+?+? C ．3t +? D ．9t +?
4. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么0lim t s t
?→??为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度；
Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ?时物体的速度；
Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度
6. 2y x =在 x =1处的导数为（ ）
A ．2x
B ．2
C ．2x +?
D ．1
7. 在0000()()()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?中，x ?不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
8.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用
函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212
U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.