常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2260x x --<的解为3(,2)2
- 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x -->
的解为(,1(1)-∞?+∞
当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围
又如2432x ax >+
，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集
③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：
如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。
此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ???-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。
此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)
a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠??<<-∞?+∞??<>-∞?+∞?
又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根
2a
和2的大小关系，这样做是有问题的。 事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。所以此不等式的解集应该是： 注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。
二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式 这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）
步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。
②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)-∞??+∞
为什么数轴标根法是正确的呢对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。
注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x -是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。
三、解分式不等式
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另
一边为含x 的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()0()
f x
g x <（或,,>≤≥的形式）
，此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。 特别地，若要解()0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤??≠?
即可。 例如22816
x x x -≤--，移项化简得223206x x x x -+≥--，使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。
例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)2
a x a x ->≠-的解集，现写出此题的完整解题过程。
解：原不等式通过移项通分可化为
(1)(2)02
a x a x --->-，由于1a ≠，所以可以进一步化为
2(1)()102a a x a x ---->-，两根为21a a --和2。
当1a >时，解集为两根的两边，显然有221a a -<-，所以此时解集为2(,)(2,)1a a --∞?+∞-
当1a <时，解集为两根中间，此时必须根据a 的取值判断两根范围。
①当01a <<时，221a a ->-，此时解集为2(2,)1a a --
②当0a =时，221a a -=-，此时解集为?
③当0a <时，221a a -<-，此时解集为2(,2)1a a --
至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了
当然，如果这道题不给1a ≠的限制条件，只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可。
补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ①求11x >的解集 ②求11x <的解集 ③求11x <-的解集 ④求11x >-的解集 ⑤求132x -<<的解集 解答：①(0,1)②(,0)(1,)-∞?+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-?+∞⑤11(,)(,)32-∞-?+∞，注意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式，解题思想为
①直接脱去绝对值符号
()()()()()f x g x g x f x g x ?><-或
②构造函数，数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
例：图形法某经典问题，解不等式11a x -<，先画出1()1f x x
=-的图像如下，然后分类讨论a 的取值，通过观察()y f x =和y a =的图像，来确定不等式的解集情况。 ①当0a ≤时，()y f x =的图像在y a =的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解
②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1(,)2
+∞
③当01a <<时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a
-+，此时解集为11(,)11a a
+- ④当1a >时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a
-+，此时解集为11(,
),(,)11a a -∞+∞-+ 当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x
<，只是在讨论的时候需要细心，考虑到a 的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧
例如125x x -++≥，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论
①当1x ≥时，原不等式化为215x +≥，解得2x ≥
②当21x -≤<时，原不等式化为35≥，显然无解
③当2x <-时，原不等式化为125x --≥，解得3x ≤-
综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集），(,3][2,)-∞-?+∞
技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将1x -看成数轴上点x 到点1的距离，将2x +看成x 到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]-的点（绿色点）到区间端点的距离之和为3，位于区间[2,1]-之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令x 继续远离区间[2,1]-，发现距离之和大于5。
也就是说12x x -++的取值范围是[3,]+∞ 同理，遇到减号的情况，例如31x x +--，发现其取值范围是[4,4]-
此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。 例1：若存在实数x 使得不等式11x x a ++-≤成立，则a 的取值范围是 （答案
[2,0]-）
例2：不等式212x x +--≤的解集是 （答案1(,]2
-∞） 五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。
对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。
()0()()0g x g x f x ?（注意这里为什么没有写()0f x ≥）
一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —
（5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \
不等式的练习题 一、填空题 1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x ＜18的整数解为 . 3、如果不等式21
16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 . 17.已知关于x 的方程ax 2 +bx+c ＜0的解集为｛x ｜x ＜-1或x ＞2｝.则不等式ax 2 -bx+c ＞0的解集为 . 二、解不等式： 1、302x x -≥- 2、21 13 x x ->+ 3、22 32023x x x x -+≤-- 4、221 02x x x --<- 5、()()() 3 22 1603x x x x -++≤+ 6、()2 309x x x -≤- 7、 101x x <-< 8、 . 0)25)(-4-( 2 2<++x x x x
9 、 (2 1x -)(2 68x x -+)≤0 10 、 22 41 1372 x x x x -+≥-+ 11 、 12 、x x x 211322 +>+-
一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x
5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3
含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。
常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.