概
班级 姓名 学号 任课教师
第七章 参数估计
教学要求:
一、理解点估计的概念,了解矩估计法和极大似然估计法;
二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准;
三、理解区间估计的概念,会求单个正态总体均值与方差的置信区间,会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间.
重点:极大似然估计法、矩估计法. 难点:置信区间的定义及求法.
习题一 点估计
1.随机抽取8只活塞环,测得它们的直径(单位:mm )为:
74.001, 74.005, 74.003, 74.001, 74.000, 73.998, 74.006, 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值,并求样本方差2
s .
解:总体的一、二阶原点矩分别为:
()μ=X E , ()
()()[]222
2μσ+=+=X E X D X E ;
样本的一、二阶中心矩分别为:
X X n A n i i ==∑=111, ∑==n i i X n A 1
2
21;
由矩估计法有
()X A X E ===∧
∧
1μ, ()22
2
2
A X
E =+=∧∧
∧
μσ
,
即
X =∧
μ,
()
∑∑==∧∧
-=-=-=n
i i n i i X
X n X X n A 12
2122
22
11μσ
由题中所给数据得
001.74=∧
μ, 52
10388.1-∧?=σ
2.设总体X 的密度函数为,()???
??≤>=-;0,
0,0,1x x e x f x
θθ 其中θ0>是未知参数,求θ的矩
估计.
解:因为 ()θθ
θ===
-
∞
+∞
+∞
-?
?
dx e x dx x xf X E x
1
)(
则 X =∧
θ.
3.设总体X 服从泊松分布,其分布律为λλ-==e x x X P x
!
}{, ,2,1=x .试求未知参
数λ)0(>λ的矩估计. 解:因为
λλλλλλλ
λ
λ
λ
=-=-=?
=?
=∑∑
∑∑∞
=---∞
=-∞
=∞
=-1
1
11
)!1()!
1(!
!
)(x x x x
x x
x x x e
e
x e
x x x e x X E ,
故 X =∧
λ.
4.设总体X 的密度函数为:σ
σ
x
e x
f -=21)( ,)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计.
解:似然函数为 ()σ
σσσ
σ∑=∏==---=n
i i
i
x n x n
i e e L 1
221)(1, σ
σσ∑=-
-=n
i i
x
n L 1
)2ln()(ln ,
对σ求导得似然方程
01
)(ln 1
2
=+-=∑=n
i i
x
n d L d σ
σσσ
求得σ的最大似然估计为 ∑=∧
=n
i i ML x n 1
1σ.
5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布,其分布参数均未知.在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(单位:小时)为:
1067, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918, 1156, 920, 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解:设灯泡的使用寿命为X ,则X ~()2
,σμN
,其中2
,σ
μ未知. 似然函数为
()
()(
)
()∑===--
---
=∏
n
i i i x n x n
i e
e
L 1
222
2
21
2
221
2221,μσ
σμπσ
σ
πσμ,
(
)
()
()∑=--
-=n
i i x n L 1
2
2
22
212ln 2,ln μσπσσ
μ 对2,σμ求偏导得似然方程组:
()()
()????
???
=-+-=-∑∑==n i i n i i x n x 12
22212;0212,01μσσ
μσ 求得2,σμ的最大似然估计值为:
x x n n i i ==∑=∧
11μ, ()
∑=∧
-=n i i x x n 122
1σ.
将已知数据代入得:
1.997=∧
μ, 8.1242
=∧
σ
于是
008.0)43.2(18.1241.99713001}1300{1}1300{=Φ-=??
?
??-Φ-=≤-=>x P x P .
6.设有一大批产品,其次品率p )10(<
次品,试求p 的最大似然估计值.
解:由于产品只有合格品和次品两种可能,故总体x 应服从两点分布.设两点分布的分布律为 x
x
p p x X P --==1)
1(}{,x =0,1
设 ?
??=01i X 当产品为正品时当产品为次品时
由样本观察值计算得
5100
1
=∑=i i
x
似然函数为: ∑-∑
===
==-
=∏100
1
100
1
100100
1
)
1(}{)(i i
i i
x x i
i p p
x X P p L
取对数得: )1ln()100(ln )(
ln 100
1
1001
p x p x L i i
i i
--+=∑∑==
对p 求导得似然方程 011
)100(1ln 100
1
1001=---+=∑∑==p x x p dp L d i i i i
解得p 的最大似然估计值为: 05.01005
10011001
===∑=∧
i i x p .
习题二 区间估计
1. 设某种清漆的的9个样品,其干燥时间分别为(单位:h )
6.0, 5.7, 5.8, 6.5,
7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0. 设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ,对于以下两种情况:(1) 已知6.0=σ(h );(2)σ
未知.分别求出均值μ的置信度为0.95的置信区间.
解:由条件知
95.01=-α,
025.02
=α
, 9=n , 6.0=σ.
6)0.51.66.53.60.75.68.57.50.6(9
1
=++++++++?=
x ()∑∑===-=--=n i i i
i x x x n S 191
22
2
33.0681)(11 (1)当方差2
σ已知时,μ的置信度为α-1的置信区间为:
???
?
???+?-22,αασ
σz n X z n X
查正态分布表得 96.1025.0=z ,将条件中的值代入得μ的置信度为0.95的置信区间为: ()392.6,
608.5
(2)当方差2
σ未知时,μ的置信度为α-1的置信区间为:
()()???
?
??-?+-?-1,122n t n S
X n t n S
X αα 查t 分布表得 ()3060.28)1(025.0025.0==-t n t .将值代入得μ的置信度为0.95的置信区间为:
()442.6,558.5
.
2. 为考察某大学成人男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得
样本均值 186=x ,样本标准差12=s .假定所论胆固醇水平),(~2
σμN X ,μ与2σ均
未知,试分别求出μ以及σ的90%置信区间.
解:(1)方差未知2
σ时,)1(/--n t n S X ~μ
,由αμα-=???
? ??-<-1)1(/2n t n S X P
得置信度为α-1的置信区间为:
()()???
?
?
?-?+-?-1,122n t n S
X n t n S
X αα
将186=x ,12=s ,25=n 代入得置信度为90%的置信区间为
()191
.190,
809.181. (2)均值μ未知时,)1()1(22
2
2
--=
n S n χσχ~
于是 2
σ的置信度为α-1置信区间为: ()()()()??
??
? ??
-----11,11212
2
2
2
n S n n S n αα
χχ
σ的置信度为α-1置信区间为:()()()()??
??
?
?
?
?
-----
11,112
212
2
22
n S n n S n ααχχ 将12=s ,25=n 代入得:
()798.15,
742.9.
3. 2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况:已知体育、卫生、社会福利事业职工工资X (单位:元))218,(~2
1μN ;文教、艺术、广播事业职工工资Y (单位:元)
)227,(~22μN ,从总体X 中调查25人,平均工资1286元,从总体Y 中调查30人,平
均工资1272元,求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间.
解:当21σ,2
2σ已知时,)1,0()
(2
2
2
1
21
21N n n Y X U ~σ
σ
μμ+
---=
则工资之差的99%的置信区间为:
()()??
?
? ?
?
+
?
+-+?--2221
2
12
2
221212,
n n z
Y X n n z Y X σσσσα
α
将1286=X ,1272=Y ,221218=σ,2
22227=σ,251=n ,302=n 代入得
()395.167,395.139-.
4. 用两台机床加工同一种零件,分别从它们加工的零件中抽取6个和9个测其长度(单
位:cm ),算得样本方差分别为 245.021=s ,357.022=s .设两台机床加工零件的长度都
服从正态分布,试求两个总体方差之比22
2
1σσ的置信区间(取置信度为0.95). 解:两个正态总体方差比22
2
1σσ的α-1置信区间为:
()()????
?
???--?---2221212122
212121,11
,1,11S S n n F S S n n F αα 由95.01=-α,025.02=α,975.02
1=-α
,查F 分布表得 82.4)8,5(025.0=F ,
76
.61)5,8(1)8,5(025.0975.0==
F F .并将61=n ,92=n ,245.021=s ,357.02
2=s 代入得
方差比22
2
1σσ的置信度为0.95的置信区间为:()6392
.4,1424.0.
综合练习题
一、填空题
1.在天平上重复称量一重为a 克的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布)
2.0,(2a N ,
若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值,则为使,95.0}1.0{≥<-a X P n n 的最小值应不小于自然数16≥n .
2.设由来自正态总体~(,0.81)X N μ的一个容量为9的简单随机样本,计算得平均值为5,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间为(4.412,5.588).
3.设总体~(,)X B N p ,N 已知,(12,,,n X X X )是来自X 的样本,则2
p 的最大
似然估计量为2
2
???
?
??=∧N X P . 4.总体~X 2
(,)N μσ,若μ是已知常数,则2σ的置信度为1α-的置信区间的长度L
的数学期望为????
? ??--)(1)(1222212
n n n α
αχχσ.
5.总体X 服从(,1)θθ+上的均匀分布,(12,,,n X X X )是来自X 的样本,则θ的最
大似然估计量为),1(?)
1()(X X n -∈θ.
二、选择题
1.设321X ,X ,X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本,下面给出的四个统计量都是总体均值μ 的无偏估计量,则它们中最有效的统计量为( C ).
(A ) 11X =∧
μ ; (B )32126
1
3121X X X ++=
∧
μ; (C ) ∑=∧==3
1
331i i X X μ ; (D ) 3145352X X +=∧μ.
2.设总体X 的方差为2
σ,(12,,,n X X X )是来自X 的样本,
212
1)(11,1-==-
--==∑∑X X n S X n X n i i n i i ,则( C ). (A )S 是σ 的无偏估计量; (B) S 是σ 的最大似然估计量; (C) S 是σ 的相合估计量; (D) S 与-
X 独立.
3.总体X ~2
(,)N μσ,μ为已知,(12,,,n X X X )是来自X 的样本,则2
σ的有效估计量为( B ).
(A )2
2
?()X σ
μ=- ; (B) 2
21
1?()n
i i X n σμ==-∑; (C) 2
211?()1n i i X X n σ==--∑; (D) 2
21
1?()n i i X X n σ==-∑. 4.设θ∧
是参数24b ac θ-的无偏估计量0()D θ<<∞,则下列结论必定成立的是
( B ).
(A) 2
2
?θ
θ是 的无偏估计量 ; (B) 2
2?θθ是的矩估计量;
(C) 2
2?θ
θ是的有偏估计量; (D) 22?θ
θ是的一致估计量. 5.总体X ~2
(,)N μσ,(12,,,n X X X )是来自X 的样本,为使1
?n
i
i A X X θ==-∑是
σ的无偏估计量,则A 的值应为( D ).
(A)
n
1 ; (B)
n 1; (C) 1
1-n ; (D) 2(1)n n π-.
三、计算题
1.设n X X ,,1 是取自总体X 的一个样本,X 的密度函数为:
()()??
?<<+=其它;,
0,
10,1x x x f θθ 其中θ未知,0>θ,求θ的矩估计和最大似然估计.
解:⑴ θ的矩估计
因为 2
1
)1(),()(0
1++=
+==??
++∞
∞
-θθθθθ
θdx x dx x f x X E 则
()X X E =++=
∧
∧
∧
2
1θθ,
即θ的矩估计量
X
X --=
∧
11
2θ
⑵ θ的最大似然估计 似然函数是
()()??
???<???
??+=∏=其它;,0,10,11i n i i n x x L θθθ ,3,2,1=i …n . 当10<θL ,故
∑=++=n
i i x n L 1
ln )1ln(ln θθ
对θ求导得似然方程: 0ln 1ln 1
=++=∑=n
i i x n
d L d θθ
求解得θ的最大似然估计量为: ∑=∧
-
-=n
i i
x
n
1
ln 1θ.
2. 设总体X 具有分布律:
X 1 2 3 P 2θ 2)1(θθ- 2)1(θ-
其中θ)10(<<θ为未知参数.若1,2,1,3,1是X 的一个样本值,试求θ的矩估计值和最大似然估计值.
解:⑴θ的矩估计
因为 ()()()θθθθθ231312212
2-=-?+-?+?=X E ,
则()X X E =-=∧∧θ23,即θ的矩估计量为:2
3X
-=
∧
矩θ.又 5
8)13121(51=++++?=
x , 故θ的矩估计值为:
7.010
7
==
∧
矩θ. ⑵ θ的最大似然估计
似然函数为 ()()()[]()()321,)(3
51
5
1
=======
∏∏==X P X P X P x X
P x p L i i i i
i
θθ
()
()()()3
723
212112θθθθθθ-=-?-?=,
)1ln(
3ln 72ln )(ln θθθ-++=L , 对θ求导得似然方程:
013
7)(ln =--=θ
θθθd L d
求解得θ的最大似然估计值为: 7.010
7
max ==
∧
θ 3. 设总体X 的密度函数为()()??
???<<-=其它;,0,
10,63x x x
x f θθn X X X ,,,21 是取自X
的简单随机样本.(1)求θ的矩估计量∧
θ;(2)求∧
θ的方差)(∧θD ;(3)讨论∧
θ的无偏性.
解:(1)因为 ()2
6)()(0
3
θ
θθ
θ
=-==
?
?
+∞
∞
-dx x x
dx x f x X E
则()X X E =∧
即 X =∧
2
θ
.所以θ的矩估计量为:X 2=∧
θ.
(2)由于 ()2
3
2
2
2
10
36)()(θθθθ
=
-==
?
?
∞
+∞
-dx x x dx x f x X E ,
[]2222
220
1
41103)()()(θθθ=-=
-=X E X E X D , 所以
()2
22
1
2
15120144
14)(4)2()(θθθn n n X D n
X n D X D X D D n
i i n i i =??=
=??? ??===∑∑==∧
.
(3)因为 θθ
θ=?====∧
2
2)(2)(2)2()(X E X E X E E ,所以 X 2=∧
θ是θ的无
偏估计量.
4. 对方差2
σ为已知的正态总体来说,问需抽样容量n 为多少的样本,方能使总体均值
μ的置信度为)1(α-的置信区间长度不大于L ?
解:当方差2
σ为已知时,样本容量为n 的总体均值μ的置信度为)1(α-置信区间为:
???
?
???+?-22,αασ
σz n X z n X
则置信区间长度为22ασz n ?.依题意 L z n ≤?22ασ
,求得2
2
224ασz L n ?≥.
5. 设总体),(~2σμN X , n X X X ,...,,21为来自X 的一个样本,μ和2
σ为未知参数.若以L 表示μ的置信区间的长度,求)(2
L E .
解:方差2
σ为未知时,样本容量为n 、置信度为()α-1的总体均值μ的置信区间为:
()()???
?
?
?-?+-?-1,122n t n S
X n t n S
X αα
则μ的置信区间的长度:)1(22
-=
n t n
S L α.由于2S 是2σ的无偏估计,于是
()()()
()2
2
22222221414)1(2σααα??????-=???????-?=???
????????? ??-?=n t n S E n t n n t n S E L E . 6. 设从均值为μ,方差为2
σ>0的总体中,分别抽取容量为1n ,2n 的两个独立样本,
1X 和2X 分别是两样本的均值.
试证:对于任意常数()1,1,X a Y b a b a ==++2X b 都是μ的无偏估计;并确定常数b a ,,使()Y D 达到最小.
解:因为1X ,2X 都是样本均值,则μ=)(1X E ,μ=)(2X E ,且1=+b a ,则
μμμμ=+=+=+=+=)()()()()(2121b a b a X bE X aE X b X a E Y E
即21X b X a Y +=是μ的无偏估计.
由于1X 与2X 相互独立,且 1
2
1)(n X D σ=
,2
2
2)(n X D σ=
,则
=+=+=22212222
12
)()()(n b n a X D b X D a Y D σσ???
? ??+2212
2n b n a σ, 设 ????
??+=221
22
),(n b n a b a f σ
依题意,使()Y D 达到最小为求()b a f ,在条件1=+b a 下的极值,由拉格朗日乘数法,设
()1),(22
12-+++=b a n b n a b a L λ
令 ???
???
???=-+=??=+=??=+=??01020
221
b a L n b
b L n a
a L λ
λλ
求解得: 212
n n +-
=λ,211n n n a +=,2
12n n n b +=
故 当211n n n a +=,212n n n b +=时,)(Y D 达到最小值,其最小值为2
12
)(n n Y D +=σ.
习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+< ?=??? ? ?∏其它. 当0
统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1.解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2.简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3.怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4.解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5.简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 (z 2 )2 2其中: E z n n E22 其中: E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比,在其他条件不变的情况下,置信水平越大,所
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
第七章 参数估计 1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。 解:μ,σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1)???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。 (2)?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0,θ为未知参数。 (5)()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解:(1)X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令, 得c X X θ-= (2),1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 (5)E (X ) = mp 令mp = X , 解得m X p =? 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设: (1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=. 解:(1)是简单假设,其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显着性水平为 解:因为(,9)N ξμ~,故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下, 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==,所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L , (1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系; (2)设0μ=,20σ=,α=,n=9,求μ=时不犯第二类错误的概率。 解:(1)在0H 成立的条件下,2 00(, )n N σξμ~,此时 00000()P c P ξαξ=≥=
10 αμ-= ,由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下,2 0(, )n N σξμ~,此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知,当α增加时,1αμ-减小,从而β减小;反之当α减少时,则β增加。 (2)不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体,对()f x 考虑统计假设: 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2min αβ+=,并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他(c 为检验的拒绝域)
1 估计量的含义是指()。 A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C.总体参数的名称 D.总体参数的具体数值 2 在参数估计中,要求通过样本的统计量来估计总体参数,评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为()。 A.无偏性 B.有效性 C.一致性 D.充分性 3 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间()。 A.以95%的概率包含总体均值 B.有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D.要么包含总体均值,要么不包含总体均值 4 无偏估计是指()。 A.样本统计量的值恰好等于待估的总体参数 B.所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数 C.样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小 D.样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致 5 总体均值的置信区间等于样本均值加减边际误差,其中的边际误差等于所要求置信水平的临界值乘以()。 A.样本均值的抽样标准差 B.样本标准差 C.样本方差 D.总体标准差 6 当样本量一定时,置信区间的宽度()。 A.随着置信系数的增大而减小 B.随着置信系数的增大而增大 C.与置信系数的大小无关 D.与置信系数的平方成反比 7 当置信水平一定时,置信区间的宽度()。 A.随着样本量的增大而减小 B.随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比 8 一个95%的置信区间是指()。 A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,有95%的区间包含该总体参数 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,有95%的区间不包含该总体参数
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
统计学复习笔记 第七章 一、 思考题 1. 解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2. 简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3. 怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4. 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中: 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)
作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试卷 A 一、填空题(共5 小题,每题 3 分,共计15分) 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ,若事件A与B互不相容,则 = . 2、设在一次试验中,事件A发生的概率为,现进行n次重复试验,则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ,则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~,则P{}= . 二、选择题(共5 小题,每题3 分,共计15分) 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立,且. (B) A与B独立,且. (C) A与B不独立,且. (D) A与B不独立,且. 2、下列函数中,()可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量,若D(10) =10,则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布,是来自的样本, 为样本均值,已知,则有(). (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中,显著性水平的意义是(). (A)原假设成立,经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立,经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立,经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立,经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂, (1)从中任取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计),的分布函数是 求下述概率: (1){至多3分钟}. (2){3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.
统计学复习笔记 第七章 参数估计 一、 思考题 1. 解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2. 简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3. 怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4. 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差 、估计误差E 之间的关系为 其中: 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
概率统计试题及答案(本科完整版)
一、 填空题(每题2分,共20分) 1、记三事件为A ,B ,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球,3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么,白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3,P (B )=0.5,当A ,B 相互独立时,06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球,现有10名同学依次从袋中摸出一球(不放回),则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,则对 a c b <<以及任意的正数0 e >,必有概率 {} P c x c e <<+ = ?+?-? -?+>?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ,则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==(且=,=,则 8、袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U
2,3,则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后,再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少? 解:以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”,R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”, W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”, 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+?
第六章 参数估计 在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数,这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值;区间估计就是对于未知参数给出一个范围,并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数. 例如, 灯泡的寿命X 是一个总体, 根据实际经验知道, X 服从),(2σμN , 但对每一批灯泡而言, 参数2,σμ是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题. 参数估计问题的一般提法: 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(θx F , 其中θ为未知参数(θ可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n X X X ,,,21 , 再依据该样本对参数θ作出估计, 或估计参数θ的某已知函数).(θg 第一节 点估计问题概述 内容分布图示 ★ 引言 ★ 点估计的概念 ★ 例1 ★ 评价估计量的标准 ★ 无偏性 ★ 例2 ★ 例3 ★ 有效性 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 相合性 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-1 ★ 返回 内容要点: 一、点估计的概念 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21 是相应的一个样本值. θ是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数θ, 需构造一个适当的统计量 ),,,,(?2 1 n X X X θ 然后用其观察值 ),,,(?21n x x x θ 来估计θ的值. 称),,,(?21n X X X θ为θ的估计量. 称),,,(?21n x x x θ为θ的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为θ?. 注: 估计量),,,(?21n X X X θ是一个随机变量, 是样本的函数,即是一个统计量, 对不同的样本值, θ的估计值θ?一般是不同的. 二、评价估计量的标准 从例1可见,参数点估计的概念相当宽松, 对同一参数,可用不同的方法来估计, 因而得到不同的估计量, 故有必要建立一些评价估计量好坏的标准. 估计量的评价一般有三条标准:
第七章参数估计 1.[ 一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计,并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知, e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解: ( 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.[二]设X , X ,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解:(1)似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解:U,b 2的矩估计是 X 74.002 E (X ) = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0
(解唯一故为极大似然估计 量) In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? (n In x i )2 0 (解唯一)故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,(解唯一)故为极大似然估计量。 mn m 4.[四(2)]设X , X,…,X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本,试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解:(1)矩估计 X ~ n 入),E ( X )=入,故*= X 为矩估计量。 (2)极大似然估计L (入) n P(X i ;入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。
第四章 抽样分布与参数估计 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成 了一个简单随机样本。 (1)假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差。 x σ= = = (2)在95%的置信水平下,求边际误差。 x x t σ?=?,由于是大样本抽样,因此样本均值服从正态分布,因此概率度t=2z α 因此,x x t σ?=?x z ασ=?0.025x z σ=?=×= (3)如果样本均值为120元,求总体均值 的95%的置信区间。 置信区间为: (),x x x x -?+?=()120 4.2,120 4.2-+=(,) 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x =81,s=12。 要求: 大样本,样本均值服从正态分布:2,x N n σμ?? ???:或2,s x N n μ?? ??? : 置信区间为: 22x z x z αα?-+ ? (1)构建μ的90%的置信区间。 2z α=0.05z =,置信区间为:()81 1.645 1.2,81 1.645 1.2-?+?=(,) (2)构建μ的95%的置信区间。 2z α=0.025z =,置信区间为:()81 1.96 1.2,81 1.96 1.2-?+?=(,) (3)构建μ的99%的置信区间。 2z α=0.005z =,置信区间为:()81 2.576 1.2,81 2.576 1.2-?+?=(,) 某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时): 解:
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5)1(=≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。 (按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<=统计学课件 第七章 参数估计
STATISTICS (第三版 第三版)
第 7 章 参数估计
统计学
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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第 7 章 参数估计
§7.1 参数估计的一般问题 §7.2 一个总体参数的区间估计 §7.3 样本量的确定
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 样本量的确定方法
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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§7.1 参数估计的一般 问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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估计量与估计值
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
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估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量:用于估计总体参数的随机变量 – 如样本均值,样本比例, 样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值μ 的一个估计量
? 表示 2. 参数用θ 表示,估计量用 θ
3. 估计值:估计参数时 计算出来的统计量的
具体值
– 如果样本均值 ?x =80,则80就是μ的估计值
作者:张占贞 作者:张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院概率统计试题及答案